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淘宝：学思创想
专题03 三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”
字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8 字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC 相交于点O，连接AB、CD；结论：①
；②
。
8 字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP 平分∠BAD，线段CP 平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），
与
的交点为
，且
，
，
保持不变．为了舒适，需调整
的大小，使
，则图中
应 （填
“增加”或“减少”） 度．
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例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K 的度数．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段
相交于点O，连接
，则我
们把形如这样的图形称为“8 字型”．(1)求证：
；(2)如图2，若
和
的平
分线
和
相交于点P，且与
分别相交于点
．①若
，求
的度数；
②若角平分线中角的关系改为“
”，试探究
与
之间的数量
关系．
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例4．（2023 春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段
，
交于点
，连接
，
，判断
与
的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，
平分
，
为
上任意一点，在
，
上截取
，连接
，
．求证：
；
(3)如图3，在
中，
，
为角平分线
上异于端点的一动点，求证：
．
例5．（2023 春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能
够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为
基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问
题．我们将图1①所示的图形称为“8 字形”．在这个“8 字形”中，存在结论
．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论
．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，
、
分别平分
、
，说明：
．
(2)将图2 看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线
平分
的外角
，
平分
的外角
，若
，
，
求
的度数．②在图4 中，
平分
的外角
，
平分
的外角
，猜想
与
、
的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5 中，
平分
，
平分
的外
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角
，猜想
与
、
的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+ 2=
∠
∠A+180° 。
例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若
，那么
的度数为
．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，
中，
，直线
交
于点D，交
于点
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E，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
例3．（2022·福建泉州·九年级校考期中）如图，
，若
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023 秋·广西·八年级专题练习）如图所示，
的两边上各有一点
，连接
，求证
．
例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在
中，
，现将一块直角三角板放在
上，使三角板的两条直角边分别经过点
，直角顶点D 落在
的内部，则
（ ）．
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245
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A．
B．
C．
D．
例6．（2023 秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，
为直角三角形，
，若沿图中
虚线剪去
，则
__________；
（2）如图2，在
中，
，剪去
后成为四边形，则
__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳
与
的关系是______________；
（4）若没有剪去
，而是将
折成如图3 的形状，试探究
与
的关系，并说明理由．
例7．（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
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(1)如图（2），“五角星”形，求
？
分析： 图中
是“A”型图，于是
，所以
= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求
；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得
= ；
模型3、三角板模型
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【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图：
和
是两块直角三角尺，两直角三角尺的
斜边AB、DE 在同一直线上，其中
，
，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中
，
，
，若
相交于点E，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C 在
的延长线上，点
C、F 分别为直角顶点，且
，
，若
，则
的度数是（ ）
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A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含
角的直角三角板的直角顶点在另
一个三角板的斜边上，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023 春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，
，一副直角三角板
和
如图摆放，
，
，若
，则下列结论：①
；②
；③
；
④
平分
，正确的有 ．（填序号）
例5．（2023 春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1 摆放，
，
，
，点
在
上，点
在
上，且
平分
，现将三角板
绕点
以每秒
的速度顺
时针旋转（当点
落在射线
上时停止旋转），设旋转时间为秒．
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(1)当
______秒时，
；当
______秒时，
；
(2)在旋转过程中，
与
的交点记为
，如图2，若
有两个内角相等，求的值；
(3)当边
与边
、
分别交于点
、
时，如图3，连接
，设
，
，
，试问
是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，
的度数为（ ）
A．540°
B．500°
C．460°
D．420°
2．（2023 春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形
中，
，若沿图中虚线剪去
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF 放置在锐角△ABC 上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF 恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD 的值为( )
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A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在
中，
，若沿图中虚线剪去
，则
的度数是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2022 秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中
，
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段
组成的平面图形中，
，则
的度数为（ ）．
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A．
B．
C．
D．
7．（2022 秋·湖北孝感·八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 秋·海南海口·九年级校考期末）将一个直角三角板
与一个直尺按如图所示的方式摆放，若
，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
9（2022 春·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC 为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+ 2=
∠
°．
（2）如图2，已知△ABC 中，∠A=40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+ 2=
∠
°．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+ 2
∠与∠A 的关系是 ．
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10．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若
，则
．
11．（2022 秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知
，
．
12．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板
与三角板
摆放在一起；如图
，其
中
，
，
．固定三角板
，将三角板
绕点
按顺时针方
向旋转，记旋转角
．
(1)在旋转过程中，当
为 度时，
；当
为 度时，
．
(2)当
时，连接
，利用图探究
值的大小变化情况，并说明理由．
13．（2023 春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．
他用一副三角板拼成了如下两幅图．(1)图1 中，
的度数是______．(2)①求图1 中
的度数；②
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图2 中，
，求
的度数．
14．（2022 秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，
把直角三角板放置在锐角
上，三角板
的两边
、
恰好分别经过
、
．
(1)若
，则
______ ，
______ ，
______
(2)若
，则
______ ．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下
与
所满足的数量关系，并说明理由．
15．（2023·福建南平·八年级统考期末）结论：直角三角形中，
的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
如图①，我们用几何语言表示如下：
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∵在
中，
，
，∴
.
你可以利用以上这一结论解决以下问题：如图②，在
中，
，
，
，
，
（1）求
的面积；（2）如图③，射线
平分
，点
从点
出发，以每秒1 个单位的速度沿
着射线
的方向运动，过点
分别作
于
，
于
，
于
.设点
的运动时间
为秒，当
时，求的值.
16．（2022·广东云浮·九年级校考期中）把一副三角板按如图甲放置，其中
，
，
，斜边
，
．把三角板
绕点
顺时针旋转
得到
（如
图乙）．这时
与
相交于点
、与
相交于点
．
(1)写出
度；(2)线段
的长为
；(3)若把
绕着点
顺时针旋转
得
，
这时点
在
的内部、外部、还是边上？说明理由．
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17．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD 相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE 平分∠ABD 交CD 于F，CE 平分∠ACD 交AB 于G，求∠BEC 的度数；
(2) 若直线BM 平分∠ABD 交CD 于F，CM 平分∠DCH 交直线BF 于M，求∠BMC 的度数．
18．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板
放置在
上（
点在
内），三角板
的两条直角边
、
恰好分别经过点
和点
．探究
与
是
否存在某种确定的数量关系．
(1)特殊探究：若
，则
____度，
____度，
____度；
(2)类比探索：请探究
与
的关系；
(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板
的位置，使
点在
外，三角板
的两条直角边
、
仍然分别经过点
和点
，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理
由．
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19．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在
中，
，直线
分别交
的边
、
和
的延长线于点D、E、F．(1)若
，则
．(2)
、
、
有什么数
量关系？请说明理由．
20．（2023·山东青岛·八年级校联考期末）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数为
；
探索三：如图3，CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD，AG 反向延长线交CP 于点P，则∠P、∠B、∠D 之间
的数量关系为
．
【模型应用】应用一：如图4，在四边形MNCB 中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角
∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线BP，CP 相交于点P．则∠A＝
（用含有α 和β 的代数式表示），
∠P＝
．（用含有α 和β 的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角
∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝
．（用含有α 和β 的代数式表示）
【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝
∠CAB，∠CDP＝
∠CDB，试问∠P 与
∠C、∠B 之间的数量关系为
．（用x、y 表示∠P）
拓展二：如图7，AP 平分∠BAD，CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE，猜想∠P 与∠B、∠D 的关系，直接写
出结论
．
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