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专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”
字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：① ；②
。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确
定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝
∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6
＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段 相交于点O，连接 ，则我
们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证： ；
(2)如图2，若 和 的平分线 和 相交于点P，且与 分别相交于点 ．
①若 ，求 的度数；
②若角平分线中角的关系改为“ ”，试探究 与 之间的数量
关系．
【答案】(1)见解析(2)① ；②
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据角平分线的定义得到 ， ，再根据“8字形”得到
，两等式相减得到 ，即
，即可求解．②根据 ，可得 ，
，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ，∴ ；
（2）解：①∵ 和 的平分线 和 相交于点P，∴ ，
∵ ①， ②，
由 ，得： ，即 ，
∵ ，∴ ；②∵ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ），故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段 ， 交于点 ，连接 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2， 平分 ， 为 上任意一点，在 ， 上截取 ，连接 ， ．求证：
；
(3)如图3，在 中， ， 为角平分线 上异于端点的一动点，求证： ．
【答案】(1) ；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知， ， ，两式相加即可得出
结论；（2）根据 证 即可得出结论；
（3）在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ，证 ，即 ，同理证
，然后同理（1）得 ，变形不等式即可得出结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， ，
，即 ；
（2）证明： 平分 ， ，
在 和 中， ， ， ；
（3）证明：在 上取一点 ，使 ，连接 交 于点 ，是 的角平分线， ，
在 和 中， ， ， ，同理可证 ，
， ， ，即 ，
， ．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是
解题的关键．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，
在图1中， 的内角 与 的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，
根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质： ．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形” 与 中， ， ，求证： ；
（2）【性质应用】如图3，在 中，点D、E分别是边 、 上的点， ，若 比
大20°，求 的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知 ， 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相
交于点P，设 ，求 的度数（用 表示 ）．【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】（1）由“对顶三角形”的性质得 ，从而得 ，进而即可得
到结论；（2）设 =x， =y，则 =x+20°， =y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根
据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-
，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在“对顶三角形” 与 中，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ∴ ；
（2）∵ 比 大20°， + = + ，
∴设 =x， =y，则 =x+20°， =y-20°，
∵ ，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- =x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB- = x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+ =180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴ =100°；
（3）∵ ， 是 的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+ =180°，即：x+y=90°- ，
∵ 和 的平分线 和 相交于点P，
∴∠CEP= (180°-2y-x)，∠CDP= (180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P= (180°-2y-x)+y- (180°-2x-y)= x+ y=45°- ，即：∠P=45°- ．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角
形”的性质，是解题的关键．模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角求得 ，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，∴ ，故选：A．【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图， 中， ，直线 交 于点D，交 于点
E，则 （ ）．
A． B． C．235 D．245
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出ADEAED，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：∵A65，ADEAED18065115，
BDECED360115245，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180是解题的关键．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，求证
．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解： 和 是 的外角， ．
又 ， ．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在
上，使三角板的两条直角边分别经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴ 40°-90°=50° 故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1， 为直角三角形， ，若沿图中
虚线剪去 ，则 __________；
（2）如图2，在 中， ，剪去 后成为四边形，则 __________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳 与 的关系是______________；
（4）若没有剪去 ，而是将 折成如图3的形状，试探究 与 的关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则 ， ，
，即可；（2）根据三角形的内角和为 ，三角形的外角和定理，则
， ， ，即可；
（3）根据（1）和（2）可知， ，根据 ，即可；
（4）根据折叠的性质，则 ，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则， ， ，再根据等量代换，即可．
【详解】（1） 为直角三角形， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（2）∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
（3）由（1）和（2）得， ，
∵ ，∴ ，∴ ．
（4） ，理由见下：由题意得， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角
和定理．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：(1)如图（2），“五角星”形，求 ？
分析： 图中 是“A”型图，于是 ，所以 = ；
(2)如图（3），“七角星”形，求 ；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ；
【答案】(1)180°(2)180°(3)360°
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，由三角形外角的性质可得， ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，
∵ ，∴ ．
（3）如图，由三角形外角的性质可得， ， ， ，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①
；② 与 互为补角；③若 ，则 ；④ ．其中一定正确的
序号是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】由题意知， ，则 ，进而可判断①的正误；由 ，
可得 ，则 与 互为补角，进而可判断②的正误；由 ，
可得 ，则 ， ，进而可判断③的正误；由题意知，
，即 ，由 ，可得 ，则 ，
进而可判断④的正误．
【详解】解：由题意知， ，∴ ，①不一定正确，故不符合要求；
∵ ，∴ ，
∴ 与 互为补角，②一定正确，故符合要求；∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，③一定正确，故符合要求；
由题意知， ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，④一定正确，故符合要求；故选：B．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之
间的数量关系．例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中 ， ，
，若 相交于点E，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 中，利用三角形内角和定理，可求出 的度数，再结合对顶角相等，即可得出
的度数．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，∴ ．故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是 ”及“对顶角相等”是解题
的关键．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在 的延长线上，点
C、F分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【分析】由 ，利用“两直线平行，内错角相等”可求出 ，再利用三角形的外角性质，
即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，∴ ．
∵ 是 的外角，∴ ．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两
个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放，， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；
④ 平分 ，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】如图，由题意得： ，根据平行线的性质求出
，进而可求出 ，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、
平行线的性质和角的和差求出 ，即可判断①；求出 ，进而可判断②．
【详解】解：如图，由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ∴ ，
∴ ， ，故结论③错误；
∵ ，∴ ，∴ 平分 ，故结论④正确；
∵ ，∴ ，∴ ，故结论①正确；
∵ ，∴ ，∴ ，故结论②正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握
三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作： 和 ，其中 ， ， ．(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的
直线分别为 、 ， 与 相交于点O，则 的大小为 度．
(2)操作二：保持 、 不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在
上，点F在 上，点A与点E重合，点C与点D重合，且 平分 ，求 的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺 绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒 ，设运动时间为t
秒，当边 与 互相平行时，直接写出t的值．
【答案】(1)105(2) (3) 或
【分析】操作一：可得出 ，从而
，进而得出 ；
操作二：延长 ，交 于G，可得出 ， ，由
得出 ，进而得出 ；
操作三：当第一次 时，由 ，得出 ，从而得出
；当第二次 时，在第一次基础上，又旋转 ，进一步得出结果．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
，故答案为： ；
（2）解：如图1，延长 ，交 于G， 平分 ， ，
由题意得： ， ，
， ；
（3）解：如图2，
， ， ，
当点A运动到 时， ， 综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及其推论，平行线的判定和性质，图形的旋转等知识，解决问题的
关键是熟练掌握有关基础知识．课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，利用对顶角相等得 ， ，再利用三角形的内角和即可
求解．
【详解】解：如图，
由题意得： ，
， ，
，
在 中， ，
，即 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟记三角形的内角和为 ．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中 ，则下列
结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出
答案．
【详解】解：A、 ， ，故此选项不符合题意；
B、 ， ， ， ， ，故此选
项不符合题意；
C、 ， ， ， 不平行 ，故此选项符合题意；
D、 ， ， ， ，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，三角板中角度的计算，余角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板 和 ，其中
， ， ，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么 不
可能等于（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ，利用三角形的外角性质得到 ，据此求解即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，不等式的性质，掌握“三角形的一个外角大于与它不相邻的任一
内角”是解题的关键．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知 为直角三角形， ，若沿图中虚线剪去
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据四边形内角和为 可得 ，再根据直角三角形的性质可得
，进而可得 的和．
【详解】解： 四边形的内角和为 ，直角三角形中两个锐角和为
．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为 和直角
三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为C，且 保持不变．为了舒适，需调整 大小，使 ，则 应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】A
【分析】延长 交 于H，利用“8”字形求出 ，利用外角的性质得到 ，由
此求出 的度数，进而得到答案．
【详解】解：延长 交 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图， 的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，根据平角的定义和四边形内角和可得
，同理可得 ，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∵
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于 是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用内外角之间的关系可得 ．
【详解】解：∵三角形的内角和等于 ，
∴可得 和 的邻补角之和等于 ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于 ,解题的关键是理解题意，掌握
这些知识点．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角
板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋
∠ACD的度数．
【详解】解：在 ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在 DBC中，∠△BDC＝90°，
∴∠△DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若 ，则
．
【答案】 /250度
【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出 ， ，
， ，再根据 ，进行求解即可得出最后结果．
【详解】解：如图，进行标注，
是 的一个外角，
，
是 的一个外角，
，即 ，
是 的一个外角，
，
，
是 的一个外角，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知 ， 平分 ， 平分 ，求
证：
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋ ∠C＝∠C＋ ∠A，
∴∠E＝ （∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的
关键．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知 ，
．
【答案】 /240度
【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】连接 ， ，∴
又 ，
∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质
以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在 中，D、E分别是 上的点，点F在
的延长线上， ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质可得 ，然后根据三角形的外角性质可得 ，最后代
入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
由三角形的外角性质可得 ．∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解答
本题的关键．
13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算
每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补
充完整．
(1)解：∵ ， ．
∴ ．
∵ ________ ，
∴ ________ ，
∴ ________ ．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求 ， ，
， ， 的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点 落在 上，点 落在 上，若 ，则
________ ．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1） ， ．
．
，，
；
（2） ， ．
．
，
；
（3） ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于 和三角形的一
个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知 ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图
中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ △
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知 ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据△（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析
【分析】（1）先求出∠B+∠A的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论；
（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，
∴∠B+∠A=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．
故选：C；（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．
故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．
故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：
如图：
∵△EFP是由 EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PF△E，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，四边形内角和等于360°以及折叠的性质，掌握以上知识点是解
题的关键．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图 ，将三角板 与三角板 摆放在一起；如图 ，其
中 ， ， ．固定三角板 ，将三角板 绕点 按顺时针方
向旋转，记旋转角 ．(1)在旋转过程中，当 为 度时， ；当 为 度时， ．
(2)当 时，连接 ，利用图 探究 值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）如图 ，记 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，由 ，可得
，再利用角的和差关系可得答案；如图 ，记 与 的交点为 ，求解
，由角的和差关系可得答案；
（2）如图3，设 分别交 、 于点 、 ，在 中，可得 ，
结合 ， ，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图 ，记 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，
，
，
，
，即 ，
如图 ，记 与 的交点为 ，，
，
，
，即 ，
（2）当 ， ，保持不变，理由如下：
如图3，设 分别交 、 于点 、 ，在 中， ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利
用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形
进行探究活动，分别得到以下图形．已知 中， ．请根据他们的叙述条件完成题
目．(1)若 为等腰直角三角形，且 ；
①甲同学：如图1， 和 的直角边 在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边
与 相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2， 和 直角顶点C，D互相重合于点P，斜边 与斜边 互相平行，
求 的度数，并写出解答过程；
(2)若 为等腰三角形，已知 ．
丙同学：如图3，若 直角顶点D恰好与 底边 的中点重合， 的斜边 经过
的顶点C，若 ，设 ，请用含x的式子表示 的度数，并写出解答过程．
【答案】(1)①105；②75°
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和外角的性质进行求解即可；②过点P作 ，利用平行
线的判定和性质，进行求解即可；
（2）利用等边对等角，平行线的性质，以及三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：105；
②∵ ，
∴ ，
如图2，过点P作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由②得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，平行线的判定和性质．熟练掌
握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．
他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中， 的度数是______．
(2)①求图1中 的度数；
②图2中， ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)① ；②【分析】（1）由三角板可知 ， ，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知 ， ，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知 ，然后根据平行线的性质得出 的度数，再利用三角形外角的性质求解即
可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：①∵ ， ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和是解题的关键．
18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板 足够大 ，其中，
把直角三角板放置在锐角 上，三角板 的两边 、 恰好分别经过 、 ．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ， ______
(2)若 ，则 ______ ．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下 与 所满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)140，90，50；
(2)35，过程见解析；
(3) ，理由见解析．【分析】（1）在 中，由 和三角形内角和定理求得 ，在 中，由
及三角形内角和定理求得 ，即可求得 ；
（2）按照（1）的过程即可得到答案；
（3）在 中， ．在 中， ，利用
，即可得到答案．
【详解】（1）在 中， ，
，
在 中， ，
，
；
故答案为：140，90，50．
（2）在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
故答案为：35；
（3） 与 之间的数量关系为： ．
理由如下：
在 中， ．
在 中， ．
，
．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四
边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明 ；
(2)【简单应用】如图2， 、 分别平分 、 ，若 ， ，求 的度数；(3)【问题探究】如图3，直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，若 ，
，请猜想 的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设 ， ， ， ，试问 与
、 之间的数量关系为：___．（用 、 表示 ，不必说明理由）
【答案】(1)见解析(2) (3) ；理由见解析(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4)同法即可解决问题．
（1）
证明：在 AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
∠AOB=∠COD
∠A+∠B=∠C+∠D
（2）
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∠1=∠2，∠3=∠4
由(1)的结论得
2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC∠P= (∠ABC+∠ADC)
∵∠ABC=35°，∠ADC=15°
∠P=25°
（3）
解：如图3
∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE
∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3
∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)
∠P+∠1=∠ABC+∠4
2∠P=∠ABC+∠ADC
∠ABC=35°，∠ADC=29°
∠P=(∠B+∠D)= ×(35°+29°)=32°
（4）
解:同法可得，∠P=
故答案为：∠P=
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方
程组的思想思考问题，属于中考常见题型．
