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淘宝：学思创想
专题06 三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M 型）
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，
，
，
，则
的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
，从而可得
，则有
，
，即可求
的度数．
【详解】解：过点
作
，如图，
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，
，
，
，
．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
例2．（2023 春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物
线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线
，
反射后沿着与
平行的方向射出，已知图中
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质即可得出
，
，再根据
即可求解．
【详解】由题意知
∴
，
∴
故选：C．
【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．
例3．（2023 春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB EF
∥
，用含
、
、
的式子表示
，应为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过C 作CD AB
∥
，过M 作MN EF
∥
，推出AB CD MN EF
∥
∥
∥
，根据平行线的性质得出
+ BCD=180°
∠
，
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∠DCM= CMN
∠
，∠NMF=
，求出∠BCD=180°-
，∠DCM= CMN=
∠
-
，即可得出答案．
【详解】过C 作CD AB
∥
，过M 作MN EF
∥
，
AB EF
∥
∵
，∴AB CD MN EF
∥
∥
∥
，∴
+ BCD=180°
∠
，∠DCM= CMN
∠
，∠NMF=
，
BCD=180°-
∴∠
，∠DCM= CMN=
∠
-
，∴
= BCD+ DCM=
∠
∠
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身
与水平线的夹角
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】延长
交直线
于点
，利用平行线的性质得出
，再由两直线平行，内
错角相等即可得出结果．
【详解】解：延长
交直线
于点
，
，
，
根据题意得
，
，故选：A．
【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
例5．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知
，
，
，
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若
，则
为（ ）
A．23°
B．33°
C．44°
D．46°
【答案】C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得
，同样的方
法可得
，再根据角的倍分可得
，由此即可得出答
案．
【详解】如图，过点E 作
，则
，
∴
，
，
同理可得：
，
，
∴
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的
断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口
问题”．（1）如图（2）所示，已知
，请问
，
，
有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知
，请问
，
，
又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知
，请问
与
有何关系并说明理由．
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【答案】见解析.
【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：
过点E 作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D .
（2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E 作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，
∠4+∠D=180°
∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.
（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：
过点E，F，G 作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，
则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D
∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.
模型2：铅笔头模型
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图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知
，那么
（ ）
A．180°
B．270°
C．360°
D．540°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质得出
，进而可得出结论．
【详解】过点C 作
，
，
，∴
由
得，
，
即
．故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台
平行若
，
，则
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点
作
工作篮底部，
，
工作篮底部与支撑平台平行，
工作篮底部
支撑平台，
，
，
，
，
，故选：
．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”
是解题的关键．
例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1 是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2
所示的数学图形．已知
垂直地面上的直线
于点
，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的
段将
绕点
缓慢向上抬高，
段则一直保持水平状态上升（即
始终平行于
）．在该运动过程中，当
时，
的度数是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点C 作
，利用平行线的性质得到
，进而求出
，则
．
【详解】解：如图所示，过点C 作
，∵
，∴
，
∴
，
∵
，
即
，∴
，
∴
，故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
例4．（2023 春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果AB
CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
【答案】540
【分析】过点E 作
，过点F 作
，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．
【详解】过点E 作
，过点F 作
，如图，
∵
，
，
，∴
，
，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
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∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线
，
是解答本题的关键．
例5．（2022 春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知
，则
，则
等于 （用含
的式子表示）．
【答案】
/360 度
【分析】过点
向右作
，过点
向右作
，得到
，根据两
直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图，过点
向右作
，过点
向右作
，
∵
，∴
，
∴
，
，
，
∴
，
当
时，
故答案为：
；
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
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模型3：牛角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：
.
如图2，已知：AB∥DE，结论：
.
例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】如图所示，过点E 作
，则
，由平行线的性质得到
，进一步推出
．
【详解】解：如图所示，过点E 作
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
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例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若
，则∠1+ 3- 2
∠
∠的度数为
【答案】180°
【分析】延长EA 交CD 于点F，则有∠2+ EFC= 3
∠
∠，然后根据
可得∠1= EFD
∠
，最后根据领补角及
等量代换可求解．
【详解】解：延长EA 交CD 于点F，如图所示：
，
∠1= EFD
∠
，
∠2+ EFC= 3
∠
∠，
，
，
；故答案为180°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是
解题的关键
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P 为直线AB，CD 外一点，BF 平分∠ABP，DE 平
分∠CDP，BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝a，试用a 表示∠P 为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝
2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P 和a 的关系，然后即可用 a 表示∠P．
【详解】解：延长AB 交PD 于点G，延长FE 交CD 于点H，
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∵BF 平分∠ABP，DE 平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣
∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣
∠PBG）＋
∠6＝90°＋
（∠PBG＋∠6）＝90°＋
（180°﹣∠P）＝180°﹣
∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣
∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关
系是关键．
例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线
，点
为直线
，
所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1，
，
．求
的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，
，
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
，理由见解析 (3)
【分析】（1）过点
作
，易得
，由平行线的性质可得
，
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，即可求出
；（2）过点
作
，易得
，根据平行线的性质可得
；
（3）过点
作
，过点
作
，易得
，
，根据平行线的性质可得
，
，再由已知等量代换，即可求得
的值．
【详解】（1）解：如图1 所示，过点
作
，
，
，
，
，
，
．
，
，
；
（2）解：
，理由如下：
如图2，过点
作
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点
作
，过点
作
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END 的数量
关系为
；（2）如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P 与∠E 之间
的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=
∠MBE，∠CDN=
∠NDE，直线MB、ND 交于点
F，则
=
．
【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，
角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.
【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB 是△MEF 的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM 是△GPM 的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ 平分∠BME，PN 平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM 中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB 交DE 于G，延长CD 交BF 于H，
∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE 是△BEG 的外角，
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∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=
∠MBE，∠CDN=
∠NDE，∴∠ABM=
∠ABE=∠CHB，∠CDN=
∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB 是△DFH 的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=
∠ABE﹣
∠CDE=
（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=
∠E，即
.
点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.
模型4：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：
.
如图2，已知：AB∥DE，结论：
.
例1．（2023 春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB 的度数为
．
【答案】57°
【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如
果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即
可．
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【详解】解：设AE、CD 交于点F，
∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，
∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．
例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C 等于（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
【答案】B
【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC 是外角，所以可求得∠C．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），
又∵∠C=∠E，∠AOC 是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．
例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D
【答案】见解析
【分析】过点E 作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出
∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．
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【详解】证明：过点E 作EF∥CD，如图
∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），
∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），
∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．
例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知
，
，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作
，则
，根据平行线的性质可得到
，
，即可求得
．
【详解】如图，过点
作
，
∵
，
，∴
．
∴
，．
∵
，∴
．
∴
．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
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例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，
，
，
，
，点
是
上一点． （1）
的度数为 ；（2）若
．则
与
（填“平行”或
“不平行”）．
【答案】
/
度 平行
【分析】（1）根据平分线的判定可得
，根据平行线的性质可得
的度数；
（2）根据对顶角相等可得
的度数，根据平分线的判定可得
．
【详解】解：（1）∵
，
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
；故答案为：
．
（2）∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
．故答案为：平行．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
模型5：蛇形模型（“5”字模型）
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：
.
如图2，已知：AB∥DE，结论：
.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D 三点，拐弯后与原来方向相
同，如图，若
，则
等于（ ）
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A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【答案】D
【分析】过点C 作
，根据平行线的性质即可求出
的度数．
【详解】解：过点C 作
，∴
，
∵
∴
；
∵
，∴
；
由题意
，∴
，∴
．故选：D
【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若
，
，
，则
的度数是
（）
A．115°
B．130°
C．140°
D．150°
【答案】C
【分析】利用平行线的传递性作出辅助线
，再通过平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：过
作
的平行线
，如图所示；
淘宝：学思创想
，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据
传递性做出辅助线是解决问题的关键．
例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，
，
，
，则
的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作
，则
，根据平行线的性质分别求出
和
，则
．
【详解】解：如图，作
，则
，
，
，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，
，
，
平分
，若
，则
的度数为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可知
，
．再由角平分线的定义即可求
解．
【详解】∵
，∴
．∵
平分
，∴
．
∵
，∴
，∴
．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．
例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图
于点D，将
绕点A
逆时针旋转
，使
，则
的最小值为 ．
【答案】
/25 度
【分析】过点C 作
，过点A 作
，利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点C 作
，则
，
∴
．过点A 作
，则
．
∴
，故
的最小值为
．故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的
关键．
淘宝：学思创想
课后专项训练
1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质可得
，再根据邻补角的定义即可得．
【详解】解：如图，
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
2．（2023 春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：
，
，求证：
．在证明该结
论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（ ）
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A．延长
交
的延长线于点
B．连接
C．分别作
，
的平分线
，
D．过点
作
（点
在点
左侧），过点
作
（点
在点
左侧）
【答案】C
【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．
【详解】解：A、如图，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，故此选项不符合题意；
B、如图，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，故此选项不符合题意；
C、如图，由
平分
，
平分
，
没有条件说明
与
相等，也没有条件说明
与
平行，
∴此辅助线的作法不能说明
与
平行，故此选项符合题意；
D、如图，延长
交
于点
，∵
，
，
，
∴
，∴
，
，
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∵
，∴
，∴
，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是
解题的关键．
3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若
，
，则
的度数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】过
顶点作直线l
支撑平台，直线l 将
分成两个角即
、
，
根据平行线的性质即可求解．
【详解】如图所示，过
顶点作直线l
支撑平台，直线l 将
分成两个角即
、
∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l
支撑平台
∴直线l
支撑平台
工作篮底部∴
、
∵
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线
、
平行，则
（ ）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】分别过E 点,F 点,G 点,H 点作L1,L2,L3,L4 平行于AB
观察图形可知，图中有5 组同旁内角，
则
故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键
5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若
，
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质分别求出
的度数即可得到答案．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与
∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30°
B．35°
C．36°
D．45°
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【答案】C
【分析】延长BG 交CD 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长BG 交CD 于G
BF ED
F= EDF
∵
∥
∴∠
∠
又∵DF 平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，
BF ED
CGF= EDF=2
∵
∥
∴∠
∠
∠F，∵AB CD
ABF= CGF=2
∥
∴∠
∠
∠F，
∵BF 平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5 F=180°
∠
，解得∠F=36°故答案选C.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中
，
，
，则
的度数为（ ）
A．56
B．66
C．98
D．104
【答案】A
【分析】如图，在
处作
，根据平行线的性质可得
，
，由
对顶角相等可得
，根据
计算求解即可．
【详解】解：如图，在
处作
，
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∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，
∴
，故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
8．（2023 春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，AB
CD，∠ABE＝
∠EBF，∠DCE＝
∠ECF，设
∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ 的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β
2
﹣α﹣γ＝360°
【答案】A
【分析】过E 作EN AB
∥
，过F 作FQ AB
∥
，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出
AB EN CD
∥
∥
，AB FQ CD
∥
∥
，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝
180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【详解】解：过E 作EN AB
∥
，过F 作FQ AB
∥
，
∵∠ABE＝
∠EBF，∠DCE＝
∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB CD
∥
，∴AB EN CD
∥
∥
，AB FQ CD
∥
∥
，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β
α
﹣，
3α+γ+4
∴
（β
α
﹣）＝360°，即4β
α+γ
﹣
＝360°，故选A．
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【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2 的度数等于 __________．
【答案】180°.
【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD
∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示，
，
，
，则
度．
【答案】86
【分析】过点
作
的平行线
，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点
作
的平行线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：86．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点
处构造出一条平行线．
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11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线
，射线
、
分别平分
，
，两射
线反向延长线交于点
，请写出
，
之间的数量关系：________．
【答案】
【分析】分别过点
，
作
，
，根据
，可得
，根据平行
线性质可得
，
，根据角平分线定义可得
，进而证出
，同理
，根据平角定义可得
，
，由此证出
，进而证出结论．
【详解】分别过点
，
作
，
∵
，∴
∵射线
平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵射线
平分
∴
∵
，
，∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．
12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，
，E 是
上的点，过点E 作
，若
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，
平分
，
，
，则
_______．
【答案】
【分析】延长AB 交HP 于点M；根据
平分
，得
；根据
，得
，从而推导得
；结合
，得
；再根
据
以及
，结合三角形内角和性质，即可完成求解．
【详解】如图，延长AB 交HP 于点M
∵
平分
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、
平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
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13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知
，
，求
的度
数．
【答案】72°
【分析】如图所示，过点C 作
，则
，根据平行线的性质求出
，进而求出
，再由
，即可得到
．
【详解】解：如图所示，过点C 作
．∵
，∴
．
∴
．∴
．
又∵
，∴
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023 春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：
如图，
，当
与
满足什么关系时，
?
小明认为
时
，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的
作图与填空：
解：用直尺和圆规，在
的右侧找一点M，使
（只保留作图痕迹）．
∵
，
①_____________
∴
∵
∴
②_________ ，
∵
，
∴
③__________ ，
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④_____________
∴
∴
．
所以满足的关系为：当
时，
．
【答案】①
，②
，③
，④
【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即
可．
【详解】解：如图，通过尺规作图得：
，
∵
，∴①
，
∵
，∴
②
，
∵
，∴
③
，
∴④
，∴
．
所以满足的关系为：当
时，
．
故答案为：①
，②
，③
，④
．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的
熟练掌握是解题关键．
15．（2023 春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1）
，猜想
与
的关
系，说出理由．（2）观察图（2），已知
，猜想图中的
与
的关系，并说明理
由．
（3）观察图（3）和（4），已知
，猜想图中的
与
的关系，不需要说明理由．
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【答案】（1）
，理由见解析；（2）
，理由见解析；（3）图
（3）
，图（4）
【分析】（1）过点P 作
，得到
，由
，
，得到
，得
到
，由此得到
；
（2）过点P 作
，由
，得到
，从而得到结论
；（3）由
，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即
可求得
与
的关系．
【详解】（1）解：猜想
．
理由：过点P 作
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
；
（2）
．理由：如图，过点P 作
，
∵
，∴
，
∴
，∴
；
（3）如图（3）：
．
理由：∵
，∴
，
∵
，∴
，即
；
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如图（4）：
．理由：∵
，∴
，
∵
，∴
，即
．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解
题的关键．
16．（2023 秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果
，求证：
．
（2）如图②，
，根据上面的推理方法，直接写出
___________．
（3）如图③，
，若
，则
___________（用x、
y、z 表示）．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【分析】（1）过P 作
，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P 作
，过点Q 作
，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P 作
，过点Q 作
，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P 作
，如图，
∴
，∵
（已知），
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∴
，∴
，
∵
，∴
；
（2）如图，过点P 作
，过点Q 作
，
∵
，
，
，∴
，
∴
，
，
，
∴
，故答案为：
；
（3）过点P 作
，过点Q 作
，
∵
，
，
，∴
，
∴
，
，
，
∴
，
即
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
17．（2023 春·山东淄博·九年级校考期中）如图，
，点E 为两直线之间的一点．
(1)如图1，若
，
，则
；
如图1，若
，
，则
；
(2)如图2，试说明，
；(3)如图3，若
的平分线与
的平分线相交
于点F，判断
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)55°，α+β(2)见解析(3)
，理由见解析
【分析】（1）过点E 作直线
，利用平行线的性质证明
，
，即可
得到
；
（2）过点E 作
，利用平行线的性质证明
，
，即可证明
，即
；
（3）由（1）可得
，再证明
，由（2）可知，
，即可证明
．
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【详解】（1）解：如图1，过点E 作
，
∵
，∴
，∴
，
，
∵
，
当
，
时，∴
；
当
，
时，∴
．故答案为：55°，α+β；
（2）解：如图2，过点E 作
，
∵
，∴
，∴
，
，
∴
，即
；
（3）解：
，
理由如下：由（1）可得
，
∵
平分
，
平分
，∴
，
，
∴
，由（2）可知，
，
∴
．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间
的关系．
18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF 分别与直线a，b 相交于点E，F，点A，B 分
别在直线a，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E，F 重合），设∠PAE＝∠1，
∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
（1）如图1，当点P 在线段EF 上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P 作PM∥a）
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（2）当点P 在线段EF 外运动时有两种情况，①如图2 写出∠1，∠2，∠3 之间的关系并给出证明．
②如图3 所示，猜想∠1，∠2，∠3 之间的关系（不要求证明）．
【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.
【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM，
∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；
（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，
∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；
②结论：∠2＝∠3−∠1.
19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：
如下面四个图形中， AB
CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4 中，∠1 与∠2、∠3 三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5 所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出两束光线OB、OC 经灯碗反射后平
行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
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【答案】(1) 图1：∠1+ 2
∠＝∠3； 图2：∠1+ 2+ 3
∠
∠＝
； 图3：∠1＝∠2+ 3
∠； 图4：∠1+ 3
∠＝
∠2；(2)见解析；(3)
【分析】(1) 图1：首先过点P 作PE
AB，由AB
CD，即可得AB
PE
CD，然后根据两直线平行，内
错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P 作PE
AB，由AB
CD，即可得AB
PE
CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，
即可求得答案；图3：由AB
CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答
案；图4：由AB
CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P 作PE
AB，由AB
CD，即可得AB
PE
CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得答案；（3）利用图1 结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+ 2
∠＝∠3； 图2：∠1+ 2+ 3
∠
∠＝
图3：∠1＝∠2+ 3
∠；图4：∠1+ 3
∠＝∠2；
(2)选择图1，如图所示：过点P 作EP//AB
∵AB
CD，EP
AB∴AB
EP
CD
1=
∴∠
∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC
1+ 2
∴∠
∠＝∠3；
(3)由图1 可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
淘宝：学思创想
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直
线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
20．（2023 春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B 不在同一条直线，
(1)求证：
：
(2)如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究
与
的数量关系；
(3)如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点P，
，直接写出
．
【答案】(1)见解析(2)
，理由见解析(3)
【分析】（1）过点C 作
，则
，根据平行线的性质可得出
、
，据此可得；（2）过点Q 作
，则
，根据平行线的性质、角平分线
的定义可得出
，结合（1）的结论可得出
；（3）由（2）的
结论可得出
①，由
可得出
②，联立①②可求出
的度数，再结合（ 1）的结论可得出
的度数，将其代入
中可
求出结论．
【详解】（1）在图①中，过点C 作
，则
．
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
∴
．
（2）在图2 中，过点Q 作
，则
．
∵
，∴
．
∵
平分
，
平分
，∴
，
∴
．
∵
，∴
．
（3）∵
，∴
，
∴
．∵
，∴
．
又∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行
线．
21．（2023 春·广东·七年级专题练习）（1）如图1，
，
，
，直接写出
的度数．（2）如图2，
，点
为直线
间的一点，
平分
，
平分
，写出
与
之间的关系并说明理由．（3）如图3，
与
相交于点
，点
为
内一点，
平分
，
平分
，若
，
，直接写出
的度数．
淘宝：学思创想
【答案】（1）
；（2）
，理由见解析；（3）
【分析】（1）过点
作
，可得
，
，根据
即可求解；（2）过点
作
，可求出
，
过点
作
，可求出
，由此即可求解；（3）延长
交
于点
，可得
，
，
平分
，
平分
，可得
，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点
作
，
∵
，∴
，∴
，
，
∵
，
，∴
，
，
∴
．
（2）
，理由如下：过点
作
，
∵
，∴
，∴
，
，
∵
平分
，
平分
，∴
，
，
∴
，同理，过点
作
，
∴
，∴
，
，
∵
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，即
．
（3）如图，延长
交
于点
，
∴
，
，
∵
平分
，
平分
，∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
22．（2023 春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知
，AB 和CD 都不经
过点P，探索
与
、
的数量关系．
发现：在图1 中，
；如图5
小明是这样证明的：过点Р 作
∴
___________
∵
，
．
∴
__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
淘宝：学思创想
（2）理解：①在图2 中，
与
、
的数量关系为_____________________；
②在图3 中，若
，
，则
的度数为_________________；
（3）拓展：在图4 中，探究
与
、
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①
；
②40°；（3）
，理由见解析．
【分析】（1）过点
作
，根据平行线的性质得出
，
，即可得出答案；
（2）①过点
作
，根据平行线的性质得出
，
，即可得出答
案；②根据平行线的性质得出
，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出
，求出
，根据
得出
，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点
作
，
∴
（两直线平行，内错角相等）
，
．
（平行于同一直线的两直线平行）
即
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
（2）①
解：过点
作
，所以
，
，
．
，
，
，
，即
，
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故答案为：
；
②
解：
，
，
，
，
，故答案为：
；
（3）解：
．
理由是：如图4，过点
作
，
，
，
，
，
（平行于同一直线的两直线平行）
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
23．（2023 春·山东·七年级专题练习）如图1，直线AB
CD，点P 在两平行线之间，点E 在AB 上，点F
在CD 上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q 在直线AB 与CD 之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说
明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1 的基础上，作P1E 平分∠PEB，P1F 平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则
∠P1= （用含x，y 的式子表示）．若P2E 平分∠P1EB，P2F 平分∠P1FD，可得∠P2；P3E 平分∠P2EB，P3F
平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y 的式子表示）
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【答案】（1）110°；（2）80°；（3）
【分析】（1）过点P 作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+ 4= 2+ 3
∠
∠
∠，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P 作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF= 1+ 2=110°
∠
∠
；
（2）过点P 作
,
，
，
，
，
，
，
，
，
，∴∠1+ 4= 2+ 3
∠
∠
∠，
1=30°
∵∠
，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；
（3）过点P 作
，
平分
，
，同理
，
∴
，
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同理
，故答案为：
，
．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会
探究规律，利用规律解决问题．
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