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专题07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的
思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三
角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应
试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当AB //
，则
； 反之，如果
，则可知直线AB //
。
图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD 时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（山东省临沂市2023-2024 学年八年级月考）如图，
是
边
的中线，点E 在
上，
，
的面积是3，则
的面积是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出
．
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【详解】解：∵
是
边
的中线，
的面积是3，∴
，
∵
，∴
，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分
成面积相等的两部分．
例2．（河北省石家庄市2023-2024 学年八年级月考）如图，
是
的边
上的中线，
是
的边
上的中线，
是
的边
上的中线，若
的面积是32，则阴影部分的面积是（
）
A．9
B．12
C．18
D．20
【答案】B
【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：∵
是
的边
上的中线，∴
，
∵
是
的边
上的中线，∴
，
又∵
是
的边
上的中线，则
是
的边
上的中线，
∴
，
，
则
，故选：B．
【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024 学年八年级月考）如图，点
为
的重心，
，
，
分别为
，
，
的中点，具有性质：
．已知
的面积为2，则
的
面积为 ．
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【答案】12
【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
【详解】解：
，
的面积为2，
的面积为4，
的面积为
，
点
为
的中点，
的面积
的面积，
的面积为
，故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比
等于底之比是解题的关键．
例4．（浙江省杭州市2023-2024 学年八年级上学期10 月月考数学试题）如图，
是
的一条中线，
E 为
边上一点且
，
相交于F，四边形
的面积为6，则
的面积是 ．
【答案】14.4
【分析】连接
, 设
则
根据
为
边上中线，可得
；根据
，可得
进而，
的面积可表
示为
和
由此建立方程
解出a 的值即可得到
的面积.
【详解】解：连接
，如图所示：设
则
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∵
为
边上中线，
∵
，
，
，
即
解得:
.
，故答案为: 14.4.
【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面
积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.
例5．（2023 春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，
是
边
上的中线，则
．
理由：因为
是
边
上的中线，所以
．
又因为
，
，所以
．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：
在如图2 至图4 中，
的面积为a．
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(1)如图2，延长
的边
到点D，使
，连接
．若
的面积为
，则
（用含a 的代数式表示）；
(2)如图3，延长
的边
到点D，延长边
到点E，使
，
，连接
．若
的
面积为
，则
（用含a 的代数式表示）；
(3)在图3 的基础上延长
到点F，使
，连接
，
，得到
（如图4）．若阴影部分的面
积为
，则
（用含a 的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D 是
的边
上任意一点，点E，F 分别是线段
，
的中点，且
的面积为
，则
的面积为 （用含a 的代数式表示），并写出理由．
【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a，见解析
【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
（2）连接
，运用“等底同高的三角形面积相等”得出
，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出
，从而得解；
（4）点E 是线段
的中点，可得
，
．
．点F 是线段
的中点，
可得
．从而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，
延长
的边
到点
，使
，
为
的中线，
即
；
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（2）如图3，连接
，
延长
的边
到点
，延长边
到点
，使
，
，
，
，
，即
；
（3）由（2）得
，
同理：
，
，
；
（4）
，理由如下：理由：∵点E 是线段
的中点，
∴
，
．∴
．
∵点F 是线段
的中点，∴
．∴
．
【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并
适当添加辅助线是解答此题的关键．
例6．（2023 春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线
，点
、
在直线
上，点
、
在直线
上，当点
在直线
上移动时，总有
______与
的面积相等．
(2)解答下题．①如图2，在
中，已知
，且
边上的高为5，若过
作
，连接
、
，则
的面积为______．
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②如图3，
、
、
三点在同一直线上，
，垂足为
．若
，
，
，
，求
的面积．
(3)如图4，在四边形
中，
与
不平行，
，且
，过点
画一条直线平分四
边形
的面积（简单说明理由）．
【答案】(1)
(2)①15；②
(3)图见解析，理由见解析
【分析】（1）根据
，可得
和
同底等高，即可求解；
（2）①先求出
，再由
，可得△ABC 和△BAE 是同底等高的两个三角形，即可求解；
②先求出
=
，再由
，
，可得AC∥BF，从而得到
，即可求解；（3）过点B 作BE∥AC 交DC 延长线于点E，连接AE，取DE 的中点F，作直线
AF，则直线AF 即为所求，可得
，从而得到
，即
可求解．
【详解】（1）解：∵
，∴
和
同底等高，则
与
的面积相等；
（2）解：①∵
，且
边上的高为5，∴
，
∵
，∴△ABC 和△BAE 是同底等高的两个三角形，∴
；
②∵
，
，
，∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴∠EBG=120°， ∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴
；
（3）解： 如图，过点B 作BE∥AC 交DC 延长线于点E，连接AE，取DE 的中点F，作直线AF，则直线
AF 即为所求，理由如下：
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∵BE∥AC，∴△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等，
∴
，∴
，
∴
，∵
，
∴所以面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F，则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线．
【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题
的关键．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则
四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：①
或
；②
。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：①
；②
；③梯形
的对应份数为
。
例1．在四边形ABCD 中，AC 和BD 互相垂直并相交于O 点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分
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三角形BCO 的面积为 ．
【答案】45
【详解】设阴影部分面积为x。
根据蝴蝶（风筝）定理：
即：20：x=16：36 解得：x=45
估阴影部分的面积为45.
例2、如图，S△ACB＝24 平方厘米，S△ACD＝16 平方厘米，S△ABD＝25 平方厘米，则S△COB为 平方厘米。
【答案】9 平方厘米
【解析】在四边形ABCD 中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，
则S△AOB＝
S△ABD＝
×25＝15（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）
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例3、如下图，梯形
的
平行于
，对角线
，
交于
，已知
与
的面积分
别为
平方厘米与
平方厘米，那么梯形
的面积是________平方厘米．
35
25
O
A
B
C
D
【答案】144 平方厘米
【解析】根据梯形蝴蝶定理，
，可得
，
再根据梯形蝴蝶定理，
，所以
(平方厘米)．
那么梯形
的面积为
(平方厘米)．
例4、如图，梯形
中，
、
的面积分别为
和
，则梯形
的面积为 ．
O
D
C
B
A
【答案】7.5
【解析】根据梯形蝴蝶定理，
，所以
，
，
，
．
例5、梯形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，AB 垂直AC，并且已知AO＝6 厘米，BO＝10 厘米，则三
角形DOC 的面积是 平方厘米。
【答案】24 平方厘米
【解析】在梯形ABCD 中，根据蝴蝶定理得：S
DOC
△
＝S
AOB
△
在直角三角形AOB 中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8
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所以S
DOC
△
＝S
AOB
△
＝6×8÷2＝24（平方厘米）
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS 的面积为
。
【答案】17
【解析】如下图，连接EF、GH 和IJ
在平行四边形ABEF 中，根据蝴蝶模型得：S
ABP
△
＝S
EPF
△
＝6，
在平行四边形EFGH 中，S
EQF
△
＝S
GQH
△
＝13—6＝7；
在平行四边形IDCJ 中，S
DCT
△
＝S
IJT
△＝5，
在平行四边形GIJH 中，S
GSH
△
＝S
ISJ
△＝15—5＝10，
所以S 四边形GQHS＝S
GQH
△
＋S
ISJ
△＝7＋10＝17
模型3.燕尾（定理）模型
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条件：如图，在
中，E 分别是
上的点，
在
上一点，结论：S1 S2
S3 S4
S1+S3 S2+S4
BE EC。
例1、如图，△ABC 中，M、N 分别是BC、AC 边上的三等分点，AM、BN 相交于点O，已知△BOM 的面
积为2，则四边形MCNO 的面积为 。
【答案】8
【解析】如图，连接OC
由“燕尾定理”可得：
,
所以可得
所以
,所以四边形MCNO 的面积为8.
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，已知点P、Q 分别在边AC、BC 上，BP 与AQ 相交
于点O，若△BOQ、△ABO、△APO 的面积分别为1、2、3，则△PQC 的面积为（ ）
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A．22
B．22.5
C．23
D．23.5
【答案】B
【分析】连接CO，根据△BOQ、△ABO、△APO 的面积分别为1、2、3，求出S△POQ=1.5，设S△OPC=x，
S△COQ=y，仍然利用△BOQ、△ABO、△APO 的面积分别为1、2、3，列出关于x、y 的方程组，解得x、y 的
值，然后利用S△QPC=S△OPC+S△COQ-S△POQ即可求出答案．
【详解】连接CO，
BOQ
∵△
、△ABO、△APO 的面积分别为1、2、3，
∴
，
，∴S△POQ=1.5，
设S△OPC=x，S△COQ=y，则
，解得
，
S△QPC=S△OPC+S△COQ-S△POQ=15+9-1.5=22.5．故选B．
【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.
例3．如下图，三角形
中，
，且三角形
的面积是，则三角形
的面积为 ．
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【答案】19
【详解】连接BG，
份
根据燕尾定理，
，
得
(份)，
(份)，则
(份)，因此
,
同理连接AI、CH 得
,
,所以
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
例4．（2023 江苏淮安九年级月考）已知
的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若
是
的
边上的中线，则
的面积______
的面积．（填“>”“<”“=”）
(2)如图2，若
、
分别是
的
、
边上的中线，求四边形
的面积可以用如下方法，
连接
，由
得：
，同理：
，设
，
，则
，
由题意得：
，
，可列方程组为：
，解得
______，则可得四边形
的面积为______．(3)如图3，
，
，则四边形
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的面积为______．(4)如图4，D，F 是
的三等分点，E，G 是
的三等分点，
与
交于O，
且
，则四边形A
的面积为______．
【答案】(1)= (2)
，20 (3)11 (4)
【分析】（1）过点A 作
于点H，根据中线的定义得出
，再根据三角形的面积公式得出
，即可得出结论；
（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据
，即可求解；
（3）连接
，根据题意得出
，
，则
，
，设
，
，则
，
，列出方
程组求解， 最后根据
即可求解；
（4）连接
，根据题意得出
，
，用和（3）一样的方法即可求解．
【详解】（1）解：过点A 作
于点H，
∵
是
的
边上的中线，∴
，
∵
，∴
，故答案为：=；
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（2）解：
，
得：
，解得：
，
把
代入①得：
，解得：
，
∴原方程组的解为
，∴
，故答案为：
，20；
（3）解：连接
，∵
，
，
∴
，
，
∵
的面积是60，∴
，
，
设
，
，则
，
，
，解得：
，∴
；故答案为：11；
（4）解：连接
，∵D，F 是
的三等分点，E，G 是
的三等分点，
∴
，
，∴
，
，
∵
的面积是60，∴
，
，
设
，
，则
，
，
，解得：
，∴
；故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比．
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模型4.鸟头定理（共角定理）模型
图1 图2
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在
中，
分别是
上的点(如图1)或
在
的延长线上，
在
上(如图2)，则
例1、如图，在三角形ABC 中，D、E 是AB,AC 上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE 的
面积是16 平方厘米，则ABC 的面积为 。
【答案】70 平方厘米
【解析】①观察：图中存在鸟头模型'假设：设三角形ABC 的面积为a
转化：由鸟头模型比例关系有：16：a=（4×2）：（5×7），得a=70。
即三角形ABC 的面积是70 平方厘米。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等
于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1 中，点D，E 分别在AB 和AC 上，△ADE 和△ABC 是共角三角形，则
证明：分别过点E，C 作EG⊥AB 于点G，CF⊥AB 于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
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又
即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若
则AE=
．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）过点C 作CG⊥AB 于G，过点E 作EF⊥DA 交DA 延长线于F，可得∠EFA=∠CGA=90°，再由
∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，推出∠CAG=∠EAF，即可证明△CAG∽△EAF，得到
，
再由
，
，得到
．
（2）根据
，
，可得
，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点C 作CG⊥AB 于G，过点E 作EF⊥DA 交DA 延长线于F，
∴∠EFA=∠CGA=90°， ∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，
∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴
，
∵
，
，∴
；
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（2）∵
，
，∴
，
∵
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形．
例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上，连接DE，
已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC 和a，b，c，d 之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
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DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：
而根据相似三角
形面积之比等于相似比的平方．可得
．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论：
？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH⊥BC 于H，可得：
．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，
AB＝b，AE＝c，AC＝d，则
．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，
连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，
．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E，连接DE 交BA 的延长线
于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．
【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）
;（2）
；结论应用：
【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；
探究二，过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
延伸探究：（1）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
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（2）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
结论应用：取AD 的中点M，连接GM 并延长交DE 于点N，连接DG，可得
,根据题意，进而得
出
,根据AM=DM,
,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4，
，可得FN=2EF，进而可
得ED=5EF，即可得出
．
【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴
,∴
，∴
；
探究二：过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，
∵
，∴
,∴
,
；
延伸探究：（1）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，
∵
，∴
,∴
,
淘宝：学思创想
；
（2）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，
∵
，∴
,∴
,
;
结论应用：取AD 的中点M，连接GM 并延长交DE 于点N，连接DG，
∴AM=DM，
，∵AE=2，AG=4，∴
,
∵AM=DM,
,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，
,∴
,即：FN=2EF,
∴ED=5EF，∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性
质是解题的关键．
模型5.金字塔与沙漏模型
金字塔模型 沙漏模型
条件：①
；②
。
例1．（2023 秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E 分别是
边上的点，且
，面积比为
，
交
于点F．则
（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质可得
，
，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似
比即可求解．
【详解】解：∵
，
是公共角，∴
，∴
，
∵
，∴
，∵
，面积比为
∴相似比为
，∴
，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”，灵活运用是
关键．
例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，
中，
，
与
相交于点
．如果
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，
得到
，
，结合面积比等于相似比平
方即可得到答案；
【详解】解：∵
，
，∴
，
，
∴
，故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等
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于相似比的平方．
例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，AC 与BD 相交
于点O，则
的面积与
的面积的比为（ ）
A．1：2
B．
C．1：4
D．
【答案】C
【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB 和CD 的长，再根据
得到
，然后利用相似三角形的性质来求解．
【详解】解：如下图，
设小方格的边长为1，∵
、
分别是边长为1 和2 的等腰直角三角形，
∴
，
，
．
∵
，∴
，∴
．
又∵
，∴
，∴
，∴
．故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
例4．（2023 春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，
是等边三角形，被一矩形所截，
被截成
淘宝：学思创想
三等分，
，若图中阴影部分的面积是6，则四边形
的面积为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】由题意易得
，则有
，然后根据相似三角形的性质可进行求
解．
【详解】解：由题意可知：
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵阴影部分的面积是6，∴
，
∴
，∴
；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图，
为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点
处与地面
的距离为
米，车头
可近似看成一个矩形，且满
，盲区
的长度是6 米，车宽
的长度为
米．
【答案】
/
【分析】过点
作
，垂足为
，交
于点
，根据题意，设
米，由
得，
，证明
，得出
，根据
列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，过点
作
，垂足为
，交
于点
，则
，
淘宝：学思创想
设
米，由
得，
，
∵四边形
是矩形，∴
，∴
，
∴
，即
，∴
，
∵
，∴
，解得，
，
∴车宽
的长度为
米，故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，
中，点
分别在
上，且
，
于点M，
于点N，
于点D，交
于点E，且
，连
接
，若
的面积等于75，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证
，利用对应高之比等于相似比，设
，根据勾股定理表示出
，通过配
方求最小值．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
∴四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
的面积等于75，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
∴当
时，
有最小值
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三
角形的判定和性质定理．
例7．（2022 秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH 内接于
（矩形各顶点在三角形边上），
E，F 在
上，H，G 分别在
，
上，且
于点D，交
于点N．
(1)求证：
(2)若
，
，设
，则当x 取何值时，矩形
的面积最大？
最大面积是多少？
【答案】(1)见解析；(2)当
取1.5 时，矩形
的面积最大，，最大面积是6.75．
【分析】（1）由
，可证
；（2）由相似三角形的性质可得
，表达出
与
的关系，进而求出矩形
的面积与
之间的函数关系式，进而解答．
【详解】（1）证明：∵四边形
是矩形，∴
，∴
；
（2）∵
，∴
，∴
，
∴
，设矩形
的面积为
，则
．
∴当
取1.5 时，矩形
的面积最大，最大面积是6.75．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
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课后专项训练
1．（2023 山西八年级期末）如图在
中，
、
分别是边
、
的中点．
，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可求得
，
，
，据此即可求得答案．
【详解】∵
是边
的中点，∴
．
∵
是边
的中点，∴
．
∵
，∴
．∴
．故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，牢记三角形的中线的定义是解题的关键．
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形
面积的15%，黄色三角形面积是21 平方厘米，则矩形面积为 平方厘米．
【答案】60
【详解】分别作出黄色三角形和绿色三角形的高线，据矩形的性质和三角形的面积公式说明S 黄+S 绿=
S 矩
淘宝：学思创想
形，然后列式计算即可.
详解：如图，分别作出4 个三角形的高线.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC,AB=CD.
∴S 黄+S 绿=
AD·OM+
BC·ON=
AD·AB=
S 矩形，∴S 矩形=21÷(
-15％)=60 平方厘米.故答案为60.
点睛：本题考查了矩形的性质和三角形的而面积公式，证明S 黄+S 绿=
S 矩形是解答本题的关键.
3．（2023 安徽芜湖八年级期中）如图，在
中，
分别是
的中点，且
，则
．
【答案】
【分析】由点
，
，
分别为边
，
，
的中点可得
是
的中线，
是
的中线，
是
的中线，
是
的中线，得
的面积，再由
是
的中线，得到
的面积．
【详解】解：
已知点
，
，
分别为边
，
，
的中点，
是
的中线，
是
的中线，
是
的中线，
是
的中线，
是
的中线，
，
点
是
的中点，
，
，
，
点
是
的中点，
，即
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的
三角形”，这也是本题的突破点．
4．（浙江省杭州2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）如图，
是
的一条中线，
为
淘宝：学思创想
边上一点且
相交于
，四边形
的面积为，则
的面积是 ．
【答案】
【分析】连接
，设
，则
，根据
为
边上中线，可得
，
；根据
，可得
，
，进而
的面积可表示
为
和
，由此建立方程
，解出
的值即可得到
的面积．
【详解】解：连接
，如图所示：
设
，则
，
为
边上中线，
，
，
，
，
，
，
，即
，解得：
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查与中线有关的三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底
的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题．
淘宝：学思创想
5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023 学年九年级上学期月考数学试题）如图，
的面积为
，
，则四边形
的面积等于
．
【答案】
【分析】连接
，求出
，
，
,设
，则
，得到
，解方程后即可
得到四边形
的面积．
【详解】解：如图，连接
，
∵
∴
，∴
，∴
，
∵
的面积为
，∴
，
∴
，
,设
，则
，
，解得
，∴四边形
的面积为
．故答案是：
【点睛】此题考查的是不同底等高的三角形面积，灵活分割三角形面积进行计算是解答此题的关键．
6. 如图，在
中，已知
、
分别在边
、
上，
与
相交于
,若
、
和
淘宝：学思创想
的面积分别是3、2、1，则
的面积是 ．
N
M
O
C
B
A
【答案】22.5
【详解】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
根据蝴蝶定理得
设
，根据共边定理我们可以得
，
，解得
．
7. 如图，
，
，求梯形的面积．
S 4
S 3
S 2
S 1
【答案】9
【详解】设
为
份，
为
份，根据梯形蝴蝶定理，
，所以
；
又因为
，所以
；那么
，
，
所以梯形面积
，
或者根据梯形蝴蝶定理，
．
8. 四边形
的对角线
与
交于点
(如图所示)。如果三角形
的面积等于三角形
的面积
的
，且
，
，那么
的长度是
的长度的_________倍。
A
B
C
D
O
H
G
A
B
C
D
O
【答案】
【详解】在本题中，四边形
为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利
淘宝：学思创想
用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是
面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四
边形”，于是可以作
垂直
于
，
垂直
于
，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形
高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，
从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵
，∴
，∴
．
解法二：作
于
，
于
．
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
．
9.如图，△ABC 三边的中线AD，BE，CF 的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影
部分的面积是 ．
【答案】4
【详解】解：∵△ABC 的三条中线AD、BE，CF 交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，
∴S△CGE＝S△AGE＝
S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝
S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝
S△ABC＝
×12＝6，
∴S△CGE＝
S△ACF＝
×6＝2，S△BGF＝
S△BCF＝
×6＝2，
∴S 阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：4．
10．如图，三角形
的面积是，
是
的中点，点
在
上，且
，
与
交于点
．则四边形
的面积等于 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【详解】方法一：连接
，
根据燕尾定理，
，
,
设
份，则
份，
份，
份，
如图所标 所以
方法二：连接
，
由题目条件可得到
，
，所以
，
，
而
．所以则四边形
的面积等于
．
11、如图所示，在△ABC 中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC 的面积是△GHI 面积的几倍？
【答案】7
淘宝：学思创想
解析：如下图，连接AI。
在三角形ABC 中，根据燕尾模型得：AD：DB＝S△ACI：S△BCI＝1：2；
同理：AF：FC＝S△ABI：S△BCI＝2：1，所以S△ACI：S△BCI：S△ABI＝1：2：4
S△BCI＝
S△ABC，同理：S△ACG＝
S△ABC，S△ABH＝
S△ABC
所以S△GHI＝（1—
×3）S△ABC＝
S△ABC,即S△ABC是S△GHI的7 倍
12、如图，S△ACB＝48 平方厘米，S△ACD＝32 平方厘米，S△ABD＝45 平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？
【答案】21 平方厘米
【解析】在四边形ABCD 中，根据风筝模型得：DO：BO＝S
ACD
△
：S
ACB
△
＝32：48＝2：3，
则S
AOB
△
＝
S
ABD
△
＝
×45＝27（平方厘米），则S
COB
△
＝S
ACB
△
—S
AOB
△
＝48—27＝21（平方厘米）
13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS 的面积是多
少？
淘宝：学思创想
【答案】17
【解析】如下图，连接EF、GH 和IJ。
在平行四边形ABEF 中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，
在平行四边形EFGH 中，S△EQF＝S△GQH＝12—6＝6；在平行四边形IDCJ 中，S△DCT＝S△IJT＝5，
在平行四边形GIJH 中，S△GSH＝S△ISJ＝16—5＝11，所以S 四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝6＋11＝17
14 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1 平方千米，
△BOC 面积为2 平方千米，△COD 的面积为3 平方千米，公园由陆地面积是6．92 平方千米和人工湖组成，
求人工湖的面积是多少平方千米？
O
D
C
B
A
【答案】0.58 平方千米
【详解】根据蝴蝶定理求得
平方千米，
公园四边形
的面积是
平方千米，
所以人工湖的面积是
平方千米
15．（2023 春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，
是
中
边上的中线，则
．
淘宝：学思创想
理由：
，
，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索：在如图2 至图4 中，
的面积为
．
(1)如图2，延长
的边
到点
，使
，连接
．若
的面积为
，则
___________（用含
的代数式表示）；
(2)如图3，延长
的边
到点
，延长边
到点
，使
，
，连接
．若
的面积为
，则
___________（用含
的代数式表示），并写出理由；
(3)在图3 的基础上延长
到点
，使
，连接
，
，得到
（如图
．若阴影部分的面
积为
，则
___________；（用含
的代数式表示）
拓展与应用：(4)如图5，已知四边形
的面积是
，
、
、
、
分别是
、
、
、
的
中点，连接
交于点O，求图中阴影部分的面积？
【答案】(1)
；(2)
；(3)
；(4)
．
【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；
淘宝：学思创想
（2）连接
，运用“等底同高的三角形面积相等”得出
，即可得解；
（3）由（2）结论即可得出
，从而得解；
（4）连接
，运用“等底同高的三角形面积相等”得出
，
，从而得解．
【详解】（1）解：如图2，
延长
的边
到点
，使
，
为
的中线，
即
；故答案为：
；
（2）解：如图3，连接
，
延长
的边
到点
，延长边
到点
，使
，
，
，
，
，即
；故答案为：
；
（3）解：由（2）得
，
同理：
，
，
；故答案为：
；
淘宝：学思创想
（4）解：如图5 所示，连接
，
则
，
，
；故阴影部分的面积为
．
【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并
适当添加辅助线是解答此题的关键．
16．（2022 秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图至图中，已知
的面积为
，
(1)如图，延长
的边
到点
，使
，连接
若
的面积为
，则
______
用含
的代数式表示
(2)如图
，延长
的边
到点
，延长边
到点
，使
，
，连接
若
的
面积为
，则
______
用含
的代数式表示
淘宝：学思创想
(3)在图
的基础上延长
到点
，使
，连接
，
，得到
（如图）若阴影部分的面积
为
，则
______
用含
的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将
各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到
如图
，此时，我们
称
向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的
的面积是原来
面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在
的空地上种
红花，然后将
向外扩展三次图
已给出了前两次扩展的图案
在第一次扩展区域内种黄花，第二次
扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即
的面积是
平方米，请你运
用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) (5)①种紫花的区域的面积420 平方米，②种蓝花的区域的面积2940 平方米
【分析】（1）过点A 作
于H，如图1，由于
与
底相等、高相同，因此它们的面积相
等，问题得以解决；（2）连接
，如图2，同（1）可求出
的面积，就可解决问题；
（3）如图3，同（2）可求出
的面积，问题得以解决；（4）根据
即可得出结论
（5）①利用探索与发现中的结论可得：种紫花的区域的面积等于△DEF 面积的6 倍，
，根
据条件
平方米，就可解决问题；②利用探索与发现中的结论可得：种蓝花的区域的面积等于
面积的6 倍，
，只需把
代入，就可解决问题．
【详解】（1）解：探索：过点A 作
于H，如图1，
∵
，
，∴
.故答案为a.
（2）解：连接
，如图2，
淘宝：学思创想
同理可得
,∴
.故答案为2a.
（3）解：同（2）可得
,∴
,故答案为
；
（4）解：如图3，
，故答案为7；
（5）解：①
根据上述结论可得：
（平方米），
∴种紫花的区域的面积
（平方米）；
②同理可得：
（平方米），
种蓝花的区域的面积
（平方米）；
所以，种紫花的区域的面积420 平方米，种蓝花的区域的面积2940 平方米．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，另外还考查了归纳、探究的能力，运用已有经验解决问题的
能力，突出了对能力的考查．
17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关
系．
淘宝：学思创想
如图1，
中，
为
边的中线，可得
，过点
作
于
，则
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
(1)如图2，矩形
中，点
，
分别为
，
上的动点，且
，
与
交于点
．连
接
．①判断
与
的面积关系；②若
，
，当点
为
的中点时，求四边形
的面积；(2)
中，
，
，点
为
的中点，连接
，将
沿
折叠，点
的对应点为点
，若
与
重合部分的面积为
面积的
，直接写出
的面积．
【答案】(1)（1）①
，理由见解析；②6；(2)
或
；
【分析】（1）①只需要证明△MDE≌△ANE 得到ME=AE，即可推出
；②先求出
，
，再证
，即可得到结果；
（2）分如图2-1 所示，当△ABC 是锐角三角形时，如图3-2 所示，当△ABC 时钝角三角形时，两种情况讨
论求解即可．
【详解】（1）解：①
，理由如下：
∵四边形ABCD 是矩形，∴
，∴∠MDE=∠ANE，∠DME=∠NAE，
在△MDE 和△ANE 中，
，∴△MDE≌△ANE（ASA），
∴ME=AE，∴
；
淘宝：学思创想
②∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAN=90°，AB=CD=4，
，
∵M 是CD 的中点，∴
，
，
又∵
，∴
，
∴
；
（2）解：如图2-1 所示，当△ABC 是锐角三角形时，重叠部分即为△CDQ，
∵D 是AB 的中点，∴
，
，
∵重叠部分的面积为
面积的
，∴
，
∴Q 为BD 的中点，∴
，由折叠的性质可得，
，
过点D 作DF⊥BC 于F，∴
，
∵点到直线的距离垂线段最短，过直线外一点有且只有一条线段与已知直线垂直，
∴Q 与F 点重合，即DQ⊥CE，在Rt△ACQ 中，
，
∴
，
如图3-2 所示，当△ABC 时钝角三角形时，重叠部分为△CDQ，
同理可证Q 为BC 的中点，Q 为DE 的中点，
又∵D 为AB 的中点，∴DQ 是△ABC 的中位线，
，
淘宝：学思创想
∴
，
，∴
，
过点C 作CF⊥AB 于F，∴
，∴
，
综上所述，
或
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、矩形的性质、三角形中线的性质、折叠的性质、含30
度角的直角三角形的性质、点到直线的距离、三角形面积、三角形中位线定理等等，熟知三角形中线的性
质是解题的关键．
18．（2022 秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点
将线段
分成两部分，如果
，那么称点
为线段
的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
，
，如果
，那么称直线为
该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在
中，若点
为
边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是
的黄金
分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点
任作一条直线交
于点E，再过点
作直线
，交AC
于点F，连接EF（如图3），则直线EF 也是
的黄金分割线．请你说明理由．
淘宝：学思创想
（4）如图4，点E 是
的边
的黄金分割点，过点E 作
，交
于点
，显然直线
是
的黄金分割线．请你画一条
的黄金分割线，使它不经过
各边黄金分割点．
【答案】（1）对，理由见解析（2）不可能，理由见解析；（3）理由见解析（4）见解析
【分析】（1）由于
、
、
是同高，而点
为边
的黄金分割点，则
，所以
，故直线
是
的黄金分割线；
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是；
（3）根据平行线间的距离相等，则
，设直线
与
交于点
，则
．通过图
形面积的转化，直线
分三角形的图形面积有
，故直线
也是
的黄金分割线；
（4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可．
【详解】解：（1）直线
是
的黄金分割线．理由如下：
设
的边
上的高为．则
，
，
，
∴
，
．
又∵点
为边
的黄金分割点，∴
．则
．
∴直线
是
的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴
，即
，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵
，∴
和
的公共边
上的高也相等，∴
．
设直线
与
交于点
．则
．
∴
，
．
淘宝：学思创想
又∵
，∴
． ∴直线
也是
的黄金分割线．
（4）画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取
的中点
，再过点
作一条直线分别交
，DC 于
，N 点，则直线MN 就
是
的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF 上取一点N，连接EN，再过点F 作
交
于点
，连接MN，则直
线MN 就是
的黄金分割线．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知
识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用．
19．（2023 春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重
要线段，同时，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，
中，
，则
的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，
中，
，已知两条高
、
，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两
点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出
的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】(2)如图3，在
中，
，
平分
，过点
作
于点
．
①若
，
，则
；②请写出
与
，
之间的数量关系 ，并
说明理由．
【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积
淘宝：学思创想
比等于对应底边的比．如图4，
中，
是
上一点，则有
．如图5，
中，
是
上一点，且
，
是
的中点，若
的面积是
，请直接写出四边形
的面积 ．（用含
的代数式表示）
【答案】(1)①A；②见解析(2)①
；②
(3)
【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长
、
交于点
，连接
，延长
交
于点
，则
为
的第三条高；
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得
，再由直角三角形的性质得
，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接
，由中线的性质得
，同理
，设
，则
，
再求出
，
，然后由面积关系求出
，即可解决问题．
【详解】（1）解：①
直角三角形三条高的交点为直角顶点，
，
的三条高所在直线交于点
，故答案为：
；
②如图2，延长
、
交于点
，连接
，延长
交
于点
，则
为
的第三条高；
（2）解：①
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，故答案为：
；
②
与
，
之间的数量关系为：
，理由如下：
，
，
，
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，
平分
，
，
，
，
，
，故答案为：
；
（3）解：连接
，如图5 所示：
是
的中点，
，
，同理：
，
设
，
的面积是
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即：
，解得：
，
，故答案为：
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和
定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面
积关系．
20．（2023 春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，
是
的中线，
与
的面积有怎样
的数量关系？
小旭同学在图1 中作
边上的高
，根据中线的定义可知
．又因为高
相同，所以
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，于是
．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】（1）如图2，点
在
的边
上，点
在
上．
①若
是
的中线，求证：
；②若
，则
______．
【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形
的各边，使得点
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，依次连结
、
、
、
得四边形
．
①求证：
；②若
，则
______．
【答案】（1）①证明见解析；②
；（2）①证明见解析；②
【分析】（1）①根据中线的性质可得
，点
为
的中点，推得
是
的中线，
，即可证明
；②设
边
上的高为，根据三角形的面积公式可得
，
，即可推得
，同理推得
，即可求得
，即可证明
；（2）①连接
，
，
，根据中线的判定和性质可得
，
，
，
，推得
，
，即可求得
，即可证明
，②由①可得
，同理可证得
，
根据
，即可推得
，即可求解．
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【详解】（1）①证明：∵
是
的中线，∴
，点
为
的中点，
∴
是
的中线，∴
，∴
，即
；
②
，解：设
边
上的高为，
则
，
，
∵
，∴
，同理
，
则
，即
，∴
．
（2）①证明：连接
，
，
，如图：
∵点
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，
∴
，
，
，
分别为
，
，
，
的中位线，
∴
，
，
，
，
∴
，
∵
，即
；
②15，解：由①可得
，同理可证得
，
，即
，
∵
，∴
．
【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两
个等底同高的三角形是题的关键 ．
21．（2023 秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料：
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小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA 至A1、
B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的
值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根
据等高两三角形的面积比等于底之比，所以
2S
ABC
△
2a，由此继续推理，从
而解决了这个问题.（1）直接写出S1
（用含字母a 的式子表示）.
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP、BP、CP 并延长分别交边BC、AC、AB 于点D、E、F，则把
△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.
（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S△APE与S△BPF的比值.
【答案】（1）19a；（2）315；（3）
.
【分析】（1）首先根据题意，求得S△A1BC=2S△ABC，同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC，依此得到S△A1B1C1=19S△ABC，则
可求得面积S1的值；（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC
的面积；（3）设S△BPF=m，S△APE=n，依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出
，从而求解．
【详解】解：（1）连接A1C，
淘宝：学思创想
B
∵
1C=2BC，A1B=2AB，∴
,
,
，
∴
，∴
，
同理可得出：
，∴S1=6a+6a+6a+a=19a；故答案为19a；
（2）过点
作
于点
，
设
，
，
；
，
．
，即
．
同理，
．
．
．①
，
，
．②
由①②，得
，
．
（3）设
，
，如图所示．
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依题意，得
，
．
．
，
．
，
，
．
．
．
【点睛】此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等
底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．
22．（2023·江苏盐城·统考二模）(1)如图1，△ABC 中，D 是BC 边上一点，则△ABD 与△ADC 有一个相同
的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为
=
(△ABD、△ADC 的面积分别用S△ABD、
S△ADC 表示)．现有BD=
BC，则S△ABD：S△ADC= ；
(2)如图2，△ABC 中，E、F 分别是BC、AC 边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE 与BF 相
交于点G、现作EH ∥BF 交AC 于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF 的值；
(3)如图3，△ABC 中，点P 在边AB 上，点M、N 在边AC 上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN 与CP
分别相交于点R、Q，现已知△ABC 的面积为1，求△BRQ 的面积．
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【答案】（1）1：3；（2）
、
、
；（3）
【分析】（1）有一个相同的高，它们的面积之比等于相应的底之比进行计算即可；
（2）由平行线分线段成比例定理即可得解；
（3）作辅助线，平行线分线段成比例定理即可得解．
【详解】解：（1）
=
，故答案为：1：3；
（2）∵EH
BF，∴FH：HC=BE：CE=1：2，∴AG：GE=AF：FH=CF：FH=BC：BE=3：1，
∵FG
EH，∴
∴GF：EH=AF：AH=3：4，EH：BF=CE：BC=2：3，
∴
，
，∴BG=BF-GF=
，∴BG：GF=1：1；
（3）过M 作ME
PC 交AB 于E，过N 作ND
PC 交AB 于D，则ME
ND
PC，
∴AE:DE:DP=AM:MN:CN，
∵AM=MN=NC，∴AE=DE=DP，∵EM
PR，∴
∴BR:RM=BP:PE=AP:PE=3:2，RP:EM=BP:BE=AP:BE=3:5，∴RP=
EM，
∵PQ
DN，∴
∴BQ:QN=BP:PD=AP:PD=3:1，PQ:DN=BP:BD=AP:BD=3:4，
∴PQ=
DN=
EM，∴QR=PQ-RP=
EM-
EM=
EM，
∵ME
PC，∴
∴PC:EM=AP:AE=3:1，
∴PC=3EM，∴CQ=PC-PQ=3EM-
EM=
EM，
∴CQ:QR:RP=
EM：
EM：
EM=5：3：2，
淘宝：学思创想
∵△ABC 的面积为1．∴
，
．
【点睛】此题考查的是三角形相似和三角形面积与线段的比例，难度中等，当两个三角形相似时，则相似
三角形的面积之比等于相似比的平方，当两个三角形同底时，面积比等于高之比，当两个三角形等高时，
面积之比等于底之比，在解决这个问题时，首先要注意两个三角形是属于哪种情况，然后在进行求面积的
比值。
23．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,顶点D,G 分
别在边AB,AC 上,AH⊥BC 于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG 的边长和面积．
【答案】正方形DEFG 的边长是6,面积为36．
【分析】设AH 与DG 交于点M,正方形DEFG 的边长为x,根据题意可得到
,由AH⊥BC 可得到
,利用相似三角形对应边成比例,可列出关于x 的等式,即可求解．
【详解】解:设AH 与DG 交于点M,正方形DEFG 的边长为x,
∵AH⊥BC,正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,∴
,
∵AH=10,∴
,∵
,∴
,∴
,∴
,
又∵BC=15,DG=x,∴
,解得:
,∴正方形DEFG 的面积为
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、
公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角
形;也考查了正方形的性质．
24．（2023·广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M 是AB 边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF
的面积:四边形EMNF 的面积:四边形MBCN 的面积．
淘宝：学思创想
【答案】1:3:5
【分析】由已知条件和平行线得出AM＝2AE，AB＝3AE，△AEF
AMN
∽△
，△AEF
ABC
∽△
，由相似三角形面积
的比等于相似比的平方得出△AEF 的面积:△AMN 的面积＝1:4，△AEF 的面积:△ABC 的面积＝1:9，得出△AEF
的面积:四边形EMNF 的面积＝1:3，△AEF 的面积:四边形EBCF 的面积＝1:8，即可得出结果．
【详解】∵EF MN BC
∥
∥
，∴△AEF
AMN
ABC
∽△
∽△
，
E
∵、M 是AB 边的三等分点，∴△AEF，△AMN，△ABC 的相似比为1:2:3，
AEF
∴△
，△AMN，△ABC 的面积比为1:4:9，
AEF
∴△
的面积∶四边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积=1:3:5.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解
决问题的关键．
25．（2023·河南信阳·九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB 与△DOC 的面积之比．
【答案】(1)见解析；(2)1：3
【分析】（1）推出∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，就可得△AOB∽△COD；（2）设BC=a，则AB=a，BD=2a，
由勾股定理知：CD=
a，得AB：CD=1：
，根据相似三角形性质可得面积比.
【详解】解：(1)∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD
(2)设BC=a，则AB=a，BD=2a 由勾股定理知：CD=
a
∴AB：CD=1：
∴△AOB 与△DOC 的面积之比等于1：3．
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解相似三角形的判定和性质是关键.
淘宝：学思创想
