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专题17 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我
们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模
型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的
这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）..................................................................................................2
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................................................................7
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）......................................................................................13
..................................................................................................................................................18
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
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此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特
征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。
等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足 （常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式： （选填题非常适用）
证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴ ∠ BAC-∠ PAC=∠ PAP’-∠ PAC ， ∴ ∠ BAP=∠ P’AC ， ∴ （ SAS ） ， ∴ BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵ ，∴ ，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
注意：多线段共端点常考旋转。
例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形 内的一点，且 ， ，
，则 的度数为 ．
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【答案】150
【分析】将 绕点B逆时针旋转 后得到的 ．首先证明 ，推出 ，
，所以 为等边三角形，得 ，可得 ， ，
， ，即可得到 为直角三角形，则 ，所以 ；由
此即可解决问题．
【详解】解：如图，将 绕点B逆时针旋转 后得到的 ．
∴ ，∴ ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ 为直角三角形，
∴ ，∴ ；故答案为：150．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股
定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则
与 的面积之和为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 绕点B顺时针旋转 得 ，连接 ，得到 是等边三角形，再利用勾股定理
的逆定理可得 ，从而求解．
【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ，
， ， ， 是等边三角形， ，
∵ ， ， ， ，
与 的面积之和为 ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
与 的面积之和转化为 ，是解题的关键．
例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， ， 都是等边三角形，将 绕点C旋转，使得点
A，D，E在同一直线上，连接 ．若 ， ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是
解题的关键．根据题意证明 ，即可求解．
【详解】解： ， 都是等边三角形， ， ，
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， ， ，
在 和 中， ， ， ，
， ， ， ， ．故答案为： ．
例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以 为边
在 外作 ，连接 ，则以下结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据 BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，
PB=QB=4，PA△=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即△可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断
B；根据 BPQ是等边三角形， PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，
可得∠Q△PC≠30°，即可判断C．△
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；
PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴ BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQ△C=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决
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本题的关键是综合应用以上知识．
例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图， 是正 内一点， ， ， ，将
线段BO以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论，① 可以由 绕点 逆时
针旋转 得到；②点 与 的距离为5；③ ；④四边形 面积 ；⑤
，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
【答案】C
【分析】根据正三角形性质，得 ， ；根据旋转的性质，得 ，
，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明 ，即可判断①；根据勾股定理逆
定理，得 ，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性
质，可计算得 ，从而判断④； 绕点A逆时针旋转 得到 ，根据等腰三角形、勾股定理
及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如下图：∵正 ∴ ，
∵线段 以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ∴ 为等边三角形∴ ，即②错误；
∵ ， ∴
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和 中 ∴
∴ ， 可以由 绕点B逆时针旋转 得到，即①正确；
∵ ， ∴ ∴
∵ 为等边三角形∴ ∴ ，即③正确；
∵ ∴ 过点B做 ，交 于点N
∵ 为等边三角形∴ ∴ ∴
∴ ∴四边形 面积 ，即④正确；
∵正 ∴ 绕点A逆时针旋转 得到 ，如下图：
∵ ， ， ， ∴ 为等边三角形∴
过点A做 ，交 于点G，如下图：∵ 为等边三角形∴ ∴
∴ ∴
∵ ， ， ∴ ∴
∴ ∴
∴ ，即⑤正确；故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋
转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．
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模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足 ，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°， ，∠AP’P=45°；
∴ ∠ BAC-∠ PAC=∠ PAP’-∠ PAC ， ∴ ∠ PAB=∠ P’AC ， ∴ （ SAS ） ， ∴ BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵ ，∴ ，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角 ， 点P在 内，
， ， 则PB的长为（ ）
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A． B． C．5 D．5
【答案】A
【分析】先利用等腰直角 ， 得到 ，再证明 ，接着把 绕点C
顺时针旋转 得到 ，连接 ，根据旋转的性质得到 ，则可判
断 为等腰直角三角形，从而 ，然后计算 ，从而利用勾
股定理计算出AE即可．
【详解】解∶∵等腰直角 ， ∴ ，
∵ ，∴ ，
如下图，把 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
∴ ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，故选∶A．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离
相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是解
题的关键．
例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点 作
的垂线交 于点P，若 ， 则下列结论：① ；② ；
③点C到直线 的距离为 ；④ 其中结论正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点 作 的延长线于点
，利用勾股定理求出 ， ，再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到 ，进而得到正
方形面积，即可判断④．
【详解】解： 四边形 为正方形， ， ，
， ， ，
， ，故①正确；
， ， ，
，
， ，故②正确；
过点 作 的延长线于点 ，如图所示，
， ， ，
， ， ，
， ，
， ， ，故③错误；
， ， ， ，
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，故④正确；综上所述，正确的有 个，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方
形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．
例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图， 中， ， ， ．点P为
内一点，且满足 ．当 的长度最小时，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】取 中点O，连接 ， ，由 即可得到 ，再由 ，
可得当点P在线段 上时， 有最小值，然后利用直角三角形的性质可得 ，
即可推出 ，则 是等边三角形，求得 的面积，根据 可得
．
【详解】解：如图，取 的中点O，连接 ， ，
∵ ，∴ ，∴点P在以 为直径的圆上运动，
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在 中， ，∴当点P在线段 上时， 有最小值，
∵点O是 的中点， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∵ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直
角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题．
例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形 内有一点P， ， ， ，求
的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是
将 绕点B逆时针旋转 ，得到了 （如图2），然后连结PP'．
【解决问题】请你通过计算求出图2中 的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形 内有一点P，且 ， ， ．
（1） 的度数为 ；（2）直接写出正六边形 的边长为 ．
【答案】（1） ；（2） ； ．
【分析】解决问题：由旋转的性质可得 ， ， ， ，
然后证明 得到 ，则 ；
（1）仿照【分析】中的思路，将 绕点B逆时针旋转 ，得到了 ，连接PP'．如图所示，根
据旋转的性质可得： ，从而得出 为等腰三角形，
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，，由 ，得到 ，可以求得 ，
由勾股定理的逆定理就可以求出 ，从而得出结论；
（2）延长 ，作 于点G，在 中， ，就可以得出 ，
，，则 ，在 中，根据勾股定理得 ．
【详解】解决问题：由旋转的性质可得 ， ， ， ，
∴ ， ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（1）仿照【分析】中的思路，将 绕点B逆时针旋转 ，得到了 ，连接PP'．如图5，
∴ ，∴ ，∴ 为等腰三角形，
∵ ，∴ ，作 于G，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ∴ ，
在 中，∵ ， ， ，∴ ， ， ，
∴ ∴ 是直角三角形，∴ ．
∴ ．故答案为：
（2）延长 ，作 于点G，如图6，
在 中， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
在 中，根据勾股定理得 ．故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度
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角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若 ，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非
常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴
（SAS）
，∴BP=CD；
∵ ，∴ ，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；
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∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°， ，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴
（SAS）
，∴BP=CD；
∵ ，∴ ，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图， 是等边三角形 外一点， ， ， ，求
的度数．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质可知， ， ；将 绕点 顺时针旋转 得 ，
连 ，首先证明 为等边三角形，可确定 ，由勾股定理的逆定理可证明 为直角三
角形，且 ，然后计算 的度数即可．
【详解】解：∵ 为等边三角形，∴ ， ，
可将 绕点 顺时针旋转 得 ，连 ，如下图，
∴ ， ， ， ，∴ 为等边三角形，∴ ，
在 中， ， ， ，∴ ，∴ 为直角三角形，且 ，
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∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知
识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键．
例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形 外一点，连接 ， ，若 ， ，
，则 的长是 ．
【答案】
【分析】把 绕点B顺时针旋转 ，连接 ， ，可证 是等边三角形，利用 证明
，得出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：把 绕点B顺时针旋转 ，连接 ， ，如图所示：
则 ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又 ， ，∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全
等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，
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∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中， ，∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′= ，∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，故选D．
例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图
1，在四边形 中， ， ， ， ， ，求CD的长．”经过小
组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将 绕点B逆时针旋转60°到 ，连接DE．则
是等边三角形，所以 ，导角可得 ，所以 ．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在 中， ， ．D为 外一点，且 ，
，求 的度数；
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【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ， ， 于D，M为AD上一点，连
接BM，N为BM上一点，若 ， ， ，连接 ，请直接写出线段
的长______．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）3
【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是
本题解题的关键．（1）题意补全图形即可；（2）将 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，作
于F，根据含30度的直角三角形的性质及勾股定理求得 ，推出 ，据此求
解即可；
（3）延长 构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出 ，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：（1）补全图形，如图，
；
（2）将 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，作 于F，
由旋转的性质知 ， ， ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，
由勾股定理得， ， ，∴ ，
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∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）延长 交 于 ，延长 到 ，使 ，连接 ，如图，
， ， ，
， 是等边三角形， ，
， ，
， ， ， ，
， ， ，
过 作 于 ，过 作 于 ， ，
， ，
，
∵ ，∴ ， ， ， ，
， ，∴ ．故答案为：3．
1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边 内有一点 ，使得 ，那
么以 ， ， 的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ．
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【答案】5：3：4
【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关
键．将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连结 ，可证得 是等边三角形，从而得到
， ，所以 就是以 ， ， 的长度为边长的三角形，进一步求出
的内角度数，即得答案．
【详解】将 绕点B顺时针旋转 得到 ，连结 ，
则 ， ， ， 是等边三角形，
， ， 就是以 ， ， 的长度为边长的三角形，
， ，
， ，
， ，
，
以 ， ， 的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为
．故答案为： ．
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2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条
件相对集中，以达到解决问题的目的．
【发现问题】如图①，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数．
解：如图①，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
， ， 是等边三角形， ， ，
是等边三角形， ， ，
，即 ．请你补充完整解答过程．
【应用问题】如图②，在正方形 内有一点 ，若 ， ， ，则 ．
【拓展问题】如图③，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，在直线 上方（包括直线
）有一点 ， ， ，连接 ，则线段 的最大值为 ．
【答案】发现问题： ，应用问题： ，拓展问题：
【分析】发现问题∶由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ， ，
由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，即可求解；
应用问题：将 逆时针旋转 ，连接 、 ，由勾股定理得 ，同理可证 是
直角三角形，即可求解；拓展问题：将 顺时针旋转 得 ，连接 、 ，同理可证
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，由全等三角形的性质得 ， 即可求解．
【详解】发现问题∶证明：补充如下：如图，
在 和 中 ， ( )， ， ，
， ， 是直角三角形， ，
， ；
应用问题：解：如图，将 逆时针旋转 ，连接 、 ，
， ， ， ，
四边形 是正方形， ， ， ， ，
在 和 中 ， ( )， ， ，
， ， 是直角三角形，
， ， ；故答案： ；
拓展问题：解：如图，将 顺时针旋转 得 ，连接 、 ，
， ， ，
四边形 是正方形， ， ， ， ，
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在 和 中 ， ( )， ，
， ， ， 的最大值为 ，故答案： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及
性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键．
3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形
ABC内有一点P，且 ， ， ，求 的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形，
从而将问题解决．
(1)请你计算图1中 的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形
内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）将 APB逆时针旋转60°得到 AP′C，根据旋转的性质可知 ABP≌ ACP′，求证 APP′为等
边三角形，再根据△勾股定理的逆定理得出∠△PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠△APB=1△50°； △
（2）将 APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知 是等腰直角三角形，求证∠APP′=45°，
用勾股定△理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．
【详解】（1）（1）如图2，把 绕点A逆时针旋转60°得到 ，
由旋转的性质， ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ；∴ ；
（2）如图3，把 绕点 逆时针旋转90°得到 ，
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由旋转的性质， ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等
三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.
4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在 中， ， ，点 在
内部，点 在 外部，满足 ，且 ．求证： ．
（2）已知如图2，在等边 内有一点 ，满足 ， ， ，求 的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）150°
【分析】（1）先证∠ABD =∠CBE，根据SAS可证△ABD≌△CBE；
（2）把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．根据旋转性质得△PCQ是等边三角
形，根据等边三角形性质证△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根据勾股定理逆定
理可得∠AQP=90°，进一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE
∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD =∠CBE．
又∵AB=CB，BD=BE∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）如图，把线段PC以点C为中心顺时针旋转60°到线段CQ处，连结AQ．
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由旋转知识可得：∠PCQ =60°，CP=CQ=3，∴△PCQ是等边三角形，∴CP=CQ=PQ=3．
又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，
∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．
在△BCP与△ACQ中 ∴△BCP≌△ACQ （SAS）∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．
又∵PA=5，∴ ．∴∠AQP=90°
又∵△PCQ是等边三角形，∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°．
【点睛】考核知识点：等边三角形，全等三角形，旋转，勾股定理.根据旋转性质和全等三角形判定和性质
求出边和角的关系是关键.
5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形 是正方形，点 为平面内一点，
(1)若点 在正方形内，如图1， ，求 的度数；
(2)若点 在正方形外，如果 ，如图2，且 ，求 的长．（用 表示）
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题
的关键是掌握旋转的性质．(1) 把 绕点A顺时针旋转 90°得到 ， 连接 与 重合，
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旋转到 的位置，证 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理逆定理求
出证出 ，即可得出结果．(2) 把 绕点A顺时针旋转90°得到 ，连接 ， 与
重合， 旋转到 的位置，证 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定
理求出 ，即可得出结果．
【详解】（1）解：把 绕点A顺时针旋转 90°得到 ， 连接 与 重合， 旋转到
的位置，如图1，
∴ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ；
（2）解：把 绕点A顺时针旋转 90°得到 ，连接 ， 与 重合， 旋转到 的位置，
如图2， ∴ ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ∴ ．
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已
知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时
针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB
的长为 .
【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB= ,求
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∠APB的大小.
【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，
若AD=2，BE=3，求DE的长.
【答案】（1）6；（2）90°；（3）
【分析】如图一，根据旋转的性质可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾
股定理求出PB即可；[方法迁移]：将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，根据旋转的性
质可得△PAP'是等边三角形，利用勾股定理逆定理可证∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，问题得解；
[能力拓展]：将△CAD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，易证△CDE≌△CD'E，可得
DE=D'E，然后根据旋转的性质求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，过点D'作D'F⊥AB于F，根据含30°直角三
角形的性质求出BF和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，问题得解.
【详解】解：如图一，将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，连接PP'，
∴PA= P'A=4，PC= P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B= ∠APC =135°，∴∠PP'A=45°，
∴PP' ，∠PP'B=135°-45°=90°，∴ ；
[方法迁移]：如图二，将△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，
∴PA= P'A=2，PC= P'B=1，∠PAP'=60°，∴△PAP'是等边三角形，∴PP'= PA= 2，
∵ ，即 ，∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，∴∠APB=60°+30°=90°；
[能力拓展]：如图三，将△CAD绕点C逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，
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∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ECD'=60°，
又∵CE=CE，∴△CDE≌△CD'E（SAS），∴DE=D'E，
又∵∠A=∠ABC= ，∴∠A=∠CBD'=30°，∴∠EBD'=60°，
过点D'作D'F⊥AB于F，∴BF= ，D'F= ，∴EF=2，
∴ ，∴ .
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全
等三角形的判定和性质以及勾股定理及其逆定理等，解题的关键是正确运用材料中的方法，通过旋转构造
图形，运用旋转的性质求解.
7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点 是
等边三角形 内一点， ，求 的度数．为利用已知条件，不妨把 绕点
顺时针旋转60°得 ，连接 ，则 的长为_______；在 中，易证 ，且
的度数为_____，综上可得 的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点 是等腰 内的一
点， ．求 的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形 中，
，请直接写出BD的长．
【答案】（1）2， 30°， 90° ；（2）90°；（3）2 ．
【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知 CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知
∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得 AP′P是直角△三角形，继而可得答案．
（2）如图2，把 BPC绕点C顺时针旋△转90°得 AP'C，连接PP′，同理可得 CP′P是等腰直角三角形和
AP′P是直角三角△形，所以∠APC=90°；（3）如△图3，将 ABD绕点A逆时△针旋转得到 ACG，连接
△ △ △
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DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．
【详解】解：（1）把 BPC绕点C顺时针旋转60°得 AP'C，连接PP′（如图1）．
由旋转的性质知 CP′P△是等边三角形；∴P′A=PB=√3△、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，
在 AP′P中，∵△AP2+P′A2=12+（√3）2=4=PP′2；
△
∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA= PC，∴∠AP′P=30°；
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案为2；30°；90°；
（2）如图2，把 BPC绕点C顺时针旋转90°得 AP'C，连接PP′．
△ △
由旋转的性质知 CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=√2，PB=AP'=√2，
在 AP′P中，∵△AP'2+P′P2=（√2）2+（√2）2=2=AP2；
∴△△AP′P是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
（3）如图3，∵AB=AC，将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG， ∴∠BA△C=∠DAG，∵AB=AC，AD=A△G，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，
∴CG= = =2 ，∴BD=CG=2 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰
三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添
加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．（23-24九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共
端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．
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（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP
三条线段间的数量关系，我们可以将 ABP，绕点A逆时针旋转90°得到 ACP'，连接PP'，则PP'＝
AP， CPP'是 三角形，AP，BP△，CP三条线段的数量关系是 ．△
（2）△如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究
AP、BP、CP三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝
135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．
【答案】（1） ，直角， ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）由旋转的性质可得： ， ， ， ，
即可利用勾股定理得到 ，然后证明 ，利用勾股定理得到 即可得到
；（2）将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到 ，连接 ，由旋转的性质可得：
， ， ， ， ，则 是等边三角形，可得
， ，然后证明 ，可得 ，
则 ；（3）将△APD绕点P顺时针旋转90度得到 ，连接 ，由旋转的性质可得：
， ， ， ，证明 ，利用勾股定理求出
，然后证明 ，即可得到 ．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得： ， ， ，
，
∴ ， ， ，
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∴ ，∴ ， 是直角三角形，
∴ ，故答案为： ，直角；
（2）如图所示，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到 ，连接 ，
由旋转的性质可得： ， ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（3）如图所示，将△APD绕点P顺时针旋转90度得到 ，连接 ，
由旋转的性质可得： ， ， ， ，
∵PD＝PC，∠CPD＝90°，∴∠PDC=∠PCD=45°，∵ ，∴
，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
在 和 中 ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判
定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线利用旋转的性质进行求解．
7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边 内部有一点P， ， ，
，求 的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
，又 ， ， ， 为 三角形， 的度数为 ．
【类比探究】如图2，在 中， ， ，其内部有一点P，若 ， ，
，求 的度数．
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【联想拓展】如图3，在 中， ， ，其内部有一点P，若 ， ，
，求 的度数．
【答案】【尝试解决】直角， ；【类比探究】 ；【联想拓展】
【分析】尝试解决：将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，根据旋转的性质，得到
， 为等边三角形，进而得到 ， ，再利用勾股定理的逆定理，证明 为
直角三角形，得到 ，即可求出 的度数；
类比探究：将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，根据旋转的性质，得到 ，
为等腰直角三角形，进而得到 ， ，再利用勾股定理的逆定理，证明 为
直角三角形，得到 ，即可求出 的度数；
联想拓展：如图，以 为直角边构造直角三角形 ，使得 ， ，先证明
，得出 ，进而证明 ，得到 ，然后利用特殊角的三角函数值，
分别求出 ， ，再利用勾股定理的逆定理，证明 是直角三角形，得到 ，
即可求出 的度数．
【详解】尝试解决：解：将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ， ， 为等边三角形， ， ，
， ， ，
， 为直角三角形， ，
， 的度数为 ，故答案为：直角， ；
类比探究：解：如图，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，
由旋转的性质可知， ， ， ，
是等腰直角三角形， ， ，
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， ， ，
， 为直角三角形，
， ；
联想拓展：解：如图，以 为直角边构造直角三角形 ，使得 ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
在 中， ， ， ， ， ，
， 是直角三角形， ， ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和
性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
8．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边 内有一点 ，且 ， ， ，
若把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
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(1)求 的度数；(2)求 的长．(3)求点 划过的路径长；
(4)当 时，如果 是由 旋转所得，求 扫过的区域的面积．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】（1）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到 是等边三角形，再由 是等边三
角形，利用等边三角形性质，结合三角形全等的判定得到 ，进而有 ，
，再利用勾股定理的逆定理得到 为直角三角形，且 ，即可得到答案；
（2）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到 是等边三角形，从而确定 ；
（3）根据题意，把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，点 划过的路径是 ，利用弧长公式代值求解
即可得到答案；（4）由（1）的证明过程，结合旋转性质得到 扫过的区域的面积 ，
根据扇形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，则 是等边三角形，
， 是等边三角形， ，
， ，
在 和 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，则 ，由勾股定理的
逆定理可知 为直角三角形，且 ，
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；
（2）解：把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，则 是等边三角形， ；
（3）解：如图所示：把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，点 划过的路径是 ，
则 长度为 ；
（4）解：由（1）的证明过程可知， ，点 划过的路径是 ，点 划过的路径是 ，如
图所示：由旋转性质可知 ，
扫过的区域的面积 ．
【点睛】本题考查旋转综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股
定理的逆定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，理解旋转的性质，灵活运用相关几何判定与性质，数形
结合求解是解决问题的关键．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰 中， ，点 是 内一点，连
接 ，且 ，设 .
（1）如图1，若 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，连结 ，易证 为等边三
角形，则 ， ；（2）如图2，若 ，则 ， ；
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（3）如图3，试猜想 和 之间的数量关系，并给予证明.
【答案】（1） ， （2） ， （3）
【分析】（1）将 PBC绕点C顺时针旋转90°至 DAC，连结DP，只要证明 DAP为等边三角形，即可
解决问题；（2）△将 PBC绕点C顺时针旋转90°△至 DAC，连结DP，只要证△明 DAP为等腰直角三角形，
即可解决问题；（3△）将 PBC绕点C顺时针旋转9△0°至 DAC，连结DP，只要△证明 BPA≌△BPD
（SSS），即可解决问题△； △ △
【详解】解：（1）如图1中，
由旋转不变性可知： ， ， ，
∵在等腰 中， ， ，
∴ ，CP为三线合一的线
∴ ， ∴
在 中， ， ， ∴ 为等腰直角三角形
∴ ，∴ ，
∴△APD是等边三角形，∴∠ADP=∠APD=60°，
∵∠CDP=∠CPD=45°，∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，
∴∠APB=360°-105°-105°=150°，∴α=150°，β=105°，故答案为150°，105°．
（2）将 PBC绕点C顺时针旋转90°至 DAC，连结DP．
△ △
由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴ 为等腰直角三角形∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴△ADP是等腰直角三角形，∴∠APD=90°，∠ADP=45°，
∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，∴∠APB=360°-135°-90°=135°，
∴α=135°，β=90°，故答案为135°，90°．
（3）将 PBC绕点C顺时针旋转90°至 DAC，连结DP，延长PB交AD与S，
由旋转不△变性可知：BP=AD，CD=CP，△∠DCP=90°，
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∴ 为等腰直角三角形∴ ，∵ ，∴PA=PD，
∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，∴∠ADC+∠CPS=180°，
∴∠PSD+∠PCD=180°，∴∠PSD=90°，∴PS⊥AD，
∵PA=PD，∴△ADP是等腰直角三角形，∴SA=SD，
∴△ABP是等腰直角三角形，∴BA=BD，
∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，∴△BPA≌△BPD（SSS），∴∠APB=∠BPD，
∴ ∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，即： ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理，全等三角形的
判定和性质，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
10．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边 中，点D是等边 内一
点，连结 ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结 ，观察发现： 与 的数
量关系为 ， 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰 中， ， ，点D是 内一点，连结 ，
， ， ， ， ，求 面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰 中， ， ，点D为平面内一点，且 ，
，则 的值为 ．
【答案】【问题背景】： ，60；【尝试应用】： ；【拓展创新】： 或 ；
【分析】问题背景： 是等边三角形，根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角形判断再用等边
三角形的性质即可得出；
尝试应用：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，证明 ，推出
，再证明C，D，T共线，可得结论；
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拓展创新：分两种情形：当点D在的上方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接
，设 ，则 .再求出 ， ，可得结论；
当点D在 的下方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，设 ，则
，过点D作 交 的延长线于点H.再求出 ， ，可得结论.
【详解】问题背景：由题意可知，
是等边三角形， ， ；故答案为： ， ；
尝试应用：如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 .
，
, 共线，
.
拓展创新：①当点D在 的上方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ， ， ，
设 ，则 .
， ， ， ，
过点B作 于点H ，则 ，
， ，
，
， .
②当点D在 的下方时，将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ,连接 ，设 则
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过点D作 交 的延长线于点H.
同法可证 ， ， ，
综上所述， 的值为 或 故答案为： 或
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.
11．（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好 ，
， ，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，旋转角设为 ，连接 、 ，如图1
所示．如图2，小李同学发现，当点 落在边 上时， ；
如图3，小王同学发现，当 每改变一个度数时， 的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在 中， ， ，将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，设转角
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设为 ，连接 、 ．（1）如图2，当点 落在边 上时，求证： ；（2）如图
3，当 时，若 ，求 的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰
三角形的顶角改为 ，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4， 中， ， ，
将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，旋转角 ，连接 、 ，求 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）由旋转的性质可得 ， ，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可
得 ，再根据三角形内角和定理易知 ，结合 ，即可证
明结论；（2）以 为边向右作等边 ，连接 并延长交 于点 ，由等边三角形的性质可得
， ，利用“ ”证明 ，由全等三角形的性质可得
， ，再利用“ ”证明 ，易得 ，进而可得
， ，同理， 平分 ；设 ，则 ， ，在 中，
利用勾股定理得 ，即可获得答案；
（3）以 为边向下作等边 ，连接 ， ，由旋转得 ， ，利用“ ”证
明 ，易得 ，再证明 ，可得 ， ，进而证明
是等边三角形，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，
∴由旋转的性质可得 ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ；
（2）解：下图，以 为边向右作等边 ，连接 并延长交 于点 ，
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∴ ， ，由旋转可得， ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，同理， 平分 ，
设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得，
，∴ ，∴ ；
问题2：解：如下图，以 为边向下作等边 ，连接 ， ，
则 ， ，由旋转得 ， ，
∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，又∵ ，∴
，
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∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、
全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．
12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集
中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形 内部有一点P， ， ， ，求 的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则
，然后利用 和 形状的特殊性求出 的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段． ，连接 、 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ．
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ．
请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形 内有一点P，且 ，
， ，则 ______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形 中，对角线 、
交于点O，在直线 上方有一点P， ， ，连接 ，则线段 的最大值为______．
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【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的
条件相对集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，证明 ，再证明 是直角三角形；
（2）将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，证明 ，再证明 是直角三角形；
（3）将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，证明 ，在 由三角形三边关系
求出 的最大值，从而求得 的最大值．
【详解】（1）解：将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ．
∵ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ，
即 ．
在 中，
．
（2）解：将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，
∵ ， ，∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，即 ．
在 中，
．故答案为： ．
（3）解：将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，连接 、 ．
∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ， ．
∵四边形 是正方形，∴ ， ，
∴ ，即 ．
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在 中，
当点 在 时， ∴ 的最大值为
在 中， ∴
． 的最大值为 ．
13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在 中，点D为BC边上一点，
连接AD，点P为线段AD上一点，连接PB、PC得到有公共边的两个 和 ，求证：
．
【类比迁移】如图（2），在 中，点D、E、F分别为线段BC、AC、AB上的点，线段AD、BE、
CF交于点P，若 ， ，则 ．
【拓展迁移】如图（3），在 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P为 内部一点，且
，则线段AP＝ ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，易证得 ， ，从而
结论得证；（2）过点 作 与 交于 ，连接 ，通过 易得平行四边形 ，
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通过对边平行，可得 ， ，所以可得 ，通过 进
而求得结论；（3）过点 作 于 ， 于 ， 于 ，通过勾股定理求得 ，
已知 ，利用此条件可以设参数，表示面积，进而表示各线段的值，在
与 中通过勾股定理建立方程，求得参数的值，最后代回可求得 的值．
【详解】证明：（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
由已知得： ， ,
∴ ，∴ ，即 ．
解：（2）过点 作 与 交于 ，连接 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，故答案为： ．
（3）过点 作 于 ， 于 ， 于 ，
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， ， ，
∵ ，∴设 ， ， ，
在 中， ，∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ，∴ ， ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴四边形 为矩形，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 与 中， ,
∴ ，解得： ，∴ ， ，
∴ ，即 ．故答案为： ．
【点睛】本题是与三角形有关的综合问题，通过面积法求得线段的比，利用相似三角形转化线段比例关系，
利用勾股定理建立方程求得参数，是解题的关键．
14．（23-24九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问
题：如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们
的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到
△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下
面问题：
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【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，PA＝5，PC＝2 ，
∠BPC＝135°，求PB的长；
【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若
AD＝2，BE＝3，求DE的长．
【答案】阅读材料：5；学以致用：3；能力拓展：
【分析】阅读材料：由∠ABC=60°，将 APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到 ABD，连接PD，则
APD是等边三角形，∠APC=∠ADB=△150°，PC=DB=4，得出∠ADP=60°，DP=A△P=3，∠PDB=90°，由勾
△股定理即可得出结果；
学以致用：将 BCP绕点C顺时针旋转90°得到 ACP'，连接PP'，由旋转的性质得出∠PCP'=90°，CP′＝
△ △
CP＝2 ，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，得出 CPP'是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答案；
△
能力拓展：将 ACD绕点C逆时针旋转120°得到 CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE于H．证明
ECD≌△EC△D′（SAS），推出DE=ED′，求出EH△，D′H即可解决问题．
△【详解】解：阅读材料：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
将 APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到 ABD，连接PD，如图1所示：
则△APD是等边三角形，∠APC=∠ADB=150°△，PC=DB=4，∴∠ADP=60°，DP=AP=3，∴∠PDB=90°，
△
∴ ，故答案为：5；
学以致用：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，AC=BC，
将 BCP绕点C顺时针旋转90°得到 ACP'，连接PP'，
△ △
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则∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2 ，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，
∴∠CPP'=∠CP'P=45°，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴ ，
∴∠AP'P=∠AP'C-∠CP'P=135°-45°=90°，∴ ．
能力拓展：将 ACD绕点C逆时针旋转120°得到 CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE于H．
由旋转的性质△可知：AD=BD′=2，CD=CD′，∠AC△D=∠BCD′，∠A=∠CBD′，
∵∠ACB=120°，∠DCE=60°，∴∠ECD′=∠BCD′+∠ECB=∠ACD+∠BCE=60°，∴∠ECD=∠ECD′，
∵EC=EC，∴△ECD≌△ECD′（SAS），∴DE=ED′，
∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠A=∠CBA=30°，∴∠EBD′=∠ABC+∠CBD′=30°+30=60°，
在Rt BHD′中，∵BD′=2，∠BHD′=90°，∠BD′H=30°，
△
∴BH= BD′=1，D′H= ，EH=3-1=2，∴ED′= ，∴DE= ．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则
AB的最大值是 ．（2）如图②，已知在Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且
△
AD＝2 ，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝
AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝
30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与
B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
【答案】（1）4 （2）135°（3）PA+PB的最大值为 米
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【分析】（1）作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2 ，可得结论；
（2）将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT，利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可
得结论；（3）将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆
，连接OP，OC，OJ，证明PA+PB =JC，再求出JC的最大值即可求解．
【详解】（1）如图①，作△ABC的外接圆 ，连接OA，OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形
∵BC=4∴OB=OC=2 =OA ∵AB≤OA+OB∴AB≤4 ∴AB的最大值为4 故答案为：4 ；
（2）如图②，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT
由题意可得DT= BD=2 ，CT=AD=2 ∵CD=6∴ ∴∠CTD＝90°，
∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°
（3）如图③，将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆
，连接OP，OC，OJ ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°
∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等边三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°
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∵PC=30∴OP=OC=OJ= ∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤
∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值为 米．
【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知三角形外接圆的性质、三角函数的应用、旋转
的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用及三角形的三边关系的应用．
16．（2024山东校考二模）【操作发现】
如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，
连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC= ，点P在△ABC内，且∠APC=90°，
∠BPC=120°，求△APC的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC之间数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC之间的数量
关系；
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）
【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，
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AD=kAB（k为常数），直接写出BD的长（用含k的式子表示）．
【答案】【操作发现】（1）作图见解析；（2）45°；【问题解决】S = ；【灵活运用】BD=
APC
△
．
【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明 ABB′是等腰直角三角形即可；【问
题解决】如图②，将 APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到 AP′△C′，证明∠PP′C=90°，利用勾股定理
即可得出答案. 【灵活△运用】如图③中，由AE⊥BC，BE=EC，△推出AB=AC，将 ABD绕点A逆时针旋
△
转得到 ACG，连接DG．则BD=CG，只要证明∠GDC=90°，可得CG= ，由此即可解决问
△
题；
【详解】（1）如图所示， AB′C′即为所求；
△
（2）连接BB′，将 ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB=AB′，∠B′AB△=90°，∴∠AB′B=45°，故答案为45°；
【问题解决】如图②，
∵将 APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到 AP′C′，
∴△△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣△90°﹣120°=150°，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
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∴PP′= PC，即AP= PC，∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，即（ PC）2+PC2=
∴PC=2，∴AP= ， ∴S = AP•PC= × ×2= ，
APC
△
【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，
∴AB=AC，将 ABD绕点A逆时针旋转得到 ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CA△G，∴∠BAC=∠DAG， △
∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，
∵AD=kAB，∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，
∴CG= = ．∴BD=CG= ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和
性质等知识，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题关键.
17．（23-24辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1， 为等边三角形内一点，满足 ，
， ，试求 的大小.李明同学的思路是：将 绕点 逆时针旋转60°，点 的对
应点为 ，画出旋转后的图形，再连接 .将求 分成求 和 的和即可.请你按照李明同
学给出的旋转的思路，求 的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形 中， ， 分别为 ， 边上的点，满足 ，若
， ，求 的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形 ， ， ， ，求 的
长.
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【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）将 绕B点逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 为等边三角形，
.再由 得到 ，用勾股定理逆定理得到 是直角三
角形， ，从而得到 ；
（2）将 绕 点逆时针旋转 得到 ，得到 ，证明
得到 ；
（3）证明 是等腰直角三角形， ，将 绕 点顺时针旋转 得到 ，连接 ，
则 为等腰直角三角形， ，再计算得 ，用勾股定理得到
，从而利用全等三角形的性质得到 .
【详解】解：（1）如图，将 绕B点逆时针旋转 得到 ，连接 ，则
， ，∴ 为等边三角形.
∴ ，又∵
∴ ∴ 是直角三角形， ，
（2）由正方形的性质得： ， ，
如图，将 绕 点逆时针旋转 得到 ，
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， ，
∴ ，
，∵ ， ， ，
（3）∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形， ，
如图，将 绕 点顺时针旋转 得到 ，连接 .
则 ， ， ， 为等腰直角三角形. ，
又
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形
18．（23-24九年级上·重庆江北·期末）【问题背景】如图1，P是等边三角形 外一点， ，
则 ．小明为了证明这个结论，将 绕点A逆时针旋转 ，请根据此思路完成其证明；
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形 中， ， ，点P在 外部，且
，若 的面积为5.5，求 ；
【拓展创新】如图3，在四边形 中， ，点E在四边形 内部，且 ，
， ， ， ，直接写出 的长．
【答案】[问题背景]见解析；[迁移应用] ；[拓展创新]
【分析】[问题背景]按题意画出图形，根据旋转的性质得到AP=AP′，PB=P′C，证明△APP′为等边三角形，
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从而推出∠PP′C=90°，在△PP′C中，利用勾股定理得到 ，再利用等量代换可得结果；
[迁移应用]作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，证得∠PBC=∠ABM，证明
△PBC≌△MBA（SAS），得出∠AMP=90°，由三角形的面积可求出答案；
[拓展创新]将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，证得∠FCE=90°，由勾股定理求出FB=
，证明△ABE≌△FBE（SAS），由全等三角形的性质得出AB=FB．
【详解】解：[问题背景]如图1，连接PP′，由旋转可得：
AP=AP′，PB=P′C，∠PAP′=∠BAC=60°，∴△APP′为等边三角形，∴∠APP′=60°，PP′=AP′=PA，
∵∠APB=30°，∴∠AP′C=30°∴∠PP′C=90°，
在△PP′C中， ，∴ ；
[迁移应用]如图2，作线段BM垂直于BP交PC的延长线于点M，连接AM，
∵∠BPM=45°，∠PBM=90°，∴△BPD为等腰直角三角形，∴BP=BM，
∵∠ABM+∠MBC=∠ABC=90°，∠PBM=∠PBC+∠MBC=90°，∴∠PBC=∠ABM，
在△PBC和△MBA中， ，∴△PBC≌△MBA（SAS），
∴∠AMP=90°，∴S PAC＝ PC•AD＝ PC2=5.5，∴PC= （负值舍去）．
△
[拓展创新]如图3，将△AED绕点E顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，
则AD=CF= ，AE=EF，∠ADE=∠FCE，∴∠EDC=∠ECD=45°，
∵AD∥BC，∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB=180°，
∵ED=EC，∠CED=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，∴∠ADE+∠ECB=90°，
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∴∠FCE+∠ECB=90°，即∠FCB=90°，∴FB= = ，
∵∠AEB=135°，∠AEF=90°，∴∠FEB=360°-135°-90°=135°，∴∠AEB=∠FEB，
在△ABE和△FBE中， ，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AB=FB= ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
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