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专题17 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我
们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模
型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的
这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）..................................................................................................2
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................................................................4
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）........................................................................................6
....................................................................................................................................................9
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
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此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特
征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。
等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足 （常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式： （选填题非常适用）
证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴ ∠ BAC-∠ PAC=∠ PAP’-∠ PAC ， ∴ ∠ BAP=∠ P’AC ， ∴ （ SAS ） ， ∴ BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵ ，∴ ，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
注意：多线段共端点常考旋转。
例1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形 内的一点，且 ， ，
，则 的度数为 ．
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例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则
与 的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， ， 都是等边三角形，将 绕点C旋转，使得点
A，D，E在同一直线上，连接 ．若 ， ，则 的长是 ．
例4．（2024·安徽·一模）如图，P是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以 为边
在 外作 ，连接 ，则以下结论中不正确的是（ ）
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A． B． C． D．
例5．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图， 是正 内一点， ， ， ，将
线段BO以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论，① 可以由 绕点 逆时
针旋转 得到；②点 与 的距离为5；③ ；④四边形 面积 ；⑤
，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足 ，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
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证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°， ，∠AP’P=45°；
∴ ∠ BAC-∠ PAC=∠ PAP’-∠ PAC ， ∴ ∠ PAB=∠ P’AC ， ∴ （ SAS ） ， ∴ BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵ ，∴ ，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
例1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角 ， 点P在 内，
， ， 则PB的长为（ ）
A． B． C．5 D．5
例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点 作
的垂线交 于点P，若 ， 则下列结论：① ；② ；
③点C到直线 的距离为 ；④ 其中结论正确的个数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2023年湖北省武汉市中考一模）如图， 中， ， ， ．点P为
内一点，且满足 ．当 的长度最小时，则 的面积是 ．
例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形 内有一点P， ， ， ，求
的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是
将 绕点B逆时针旋转 ，得到了 （如图2），然后连结PP'．
【解决问题】请你通过计算求出图2中 的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形 内有一点P，且 ， ， ．
（1） 的度数为 ；（2）直接写出正六边形 的边长为 ．
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模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若 ，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非
常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴
（SAS）
，∴BP=CD；
∵ ，∴ ，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；
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∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°， ，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴
（SAS）
，∴BP=CD；
∵ ，∴ ，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1．（2024九年级上·重庆·专题练习）如图， 是等边三角形 外一点， ， ， ，求
的度数．
例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形 外一点，连接 ， ，若 ， ，
，则 的长是 ．
例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，
∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图
1，在四边形 中， ， ， ， ， ，求CD的长．”经过小
组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将 绕点B逆时针旋转60°到 ，连接DE．则
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是等边三角形，所以 ，导角可得 ，所以 ．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在 中， ， ．D为 外一点，且 ，
，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ， ， 于D，M为AD上一点，连
接BM，N为BM上一点，若 ， ， ，连接 ，请直接写出线段
的长______．
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1．（2024九年级·重庆·期中）如图，在等边 内有一点 ，使得 ，那
么以 ， ， 的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ．
2．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条
件相对集中，以达到解决问题的目的．
【发现问题】如图①，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ，求 的度数．
解：如图①，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
， ， 是等边三角形， ， ，
是等边三角形， ， ，
，即 ．请你补充完整解答过程．
【应用问题】如图②，在正方形 内有一点 ，若 ， ， ，则 ．
【拓展问题】如图③，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，在直线 上方（包括直线
）有一点 ， ， ，连接 ，则线段 的最大值为 ．
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3．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形
ABC内有一点P，且 ， ， ，求 的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形，
从而将问题解决．
(1)请你计算图1中 的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形
内有一点 ，且 ， ， ，求 的度数．
4．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在 中， ， ，点 在
内部，点 在 外部，满足 ，且 ．求证： ．
（2）已知如图2，在等边 内有一点 ，满足 ， ， ，求 的度数．
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5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形 是正方形，点 为平面内一点，
(1)若点 在正方形内，如图1， ，求 的度数；
(2)若点 在正方形外，如果 ，如图2，且 ，求 的长．（用 表示）
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已
知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时
针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB
的长为 .
【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB= ,求
∠APB的大小.
【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，
若AD=2，BE=3，求DE的长.
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7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点 是
等边三角形 内一点， ，求 的度数．为利用已知条件，不妨把 绕点
顺时针旋转60°得 ，连接 ，则 的长为_______；在 中，易证 ，且
的度数为_____，综上可得 的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点 是等腰 内的一
点， ．求 的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形 中，
，请直接写出BD的长．
6．（23-24九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共
端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．
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（1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP
三条线段间的数量关系，我们可以将 ABP，绕点A逆时针旋转90°得到 ACP'，连接PP'，则PP'＝
AP， CPP'是 三角形，AP，BP△，CP三条线段的数量关系是 ．△
（2）△如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究
AP、BP、CP三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝
135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长．
7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边 内部有一点P， ， ，
，求 的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
，又 ， ， ， 为 三角形， 的度数为 ．
【类比探究】如图2，在 中， ， ，其内部有一点P，若 ， ，
，求 的度数．
【联想拓展】如图3，在 中， ， ，其内部有一点P，若 ， ，
，求 的度数．
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8．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边 内有一点 ，且 ， ， ，
若把 绕着点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
(1)求 的度数；(2)求 的长．(3)求点 划过的路径长；
(4)当 时，如果 是由 旋转所得，求 扫过的区域的面积．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰 中， ，点 是 内一点，连
接 ，且 ，设 .
（1）如图1，若 ，将 绕点 顺时针旋转 至 ，连结 ，易证 为等边三
角形，则 ， ；（2）如图2，若 ，则 ， ；
（3）如图3，试猜想 和 之间的数量关系，并给予证明.
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10．（23-24九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边 中，点D是等边 内一
点，连结 ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连结 ，观察发现： 与 的数
量关系为 ， 度；
【尝试应用】：如图2，在等腰 中， ， ，点D是 内一点，连结 ，
， ， ， ， ，求 面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰 中， ， ，点D为平面内一点，且 ，
，则 的值为 ．
11．（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好 ，
， ，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，旋转角设为 ，连接 、 ，如图1
所示．如图2，小李同学发现，当点 落在边 上时， ；
如图3，小王同学发现，当 每改变一个度数时， 的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在 中， ， ，将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，设转角
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设为 ，连接 、 ．（1）如图2，当点 落在边 上时，求证： ；（2）如图
3，当 时，若 ，求 的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰
三角形的顶角改为 ，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4， 中， ， ，
将线段 绕着点 逆时针旋转得到线段 ，旋转角 ，连接 、 ，求 的度数．
12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集
中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形 内部有一点P， ， ， ，求 的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ，则
，然后利用 和 形状的特殊性求出 的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段． ，连接 、 ，
∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ．
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ．
请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形 内有一点P，且 ，
， ，则 ______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形 中，对角线 、
交于点O，在直线 上方有一点P， ， ，连接 ，则线段 的最大值为______．
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13．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在 中，点D为BC边上一点，
连接AD，点P为线段AD上一点，连接PB、PC得到有公共边的两个 和 ，求证：
．
【类比迁移】如图（2），在 中，点D、E、F分别为线段BC、AC、AB上的点，线段AD、BE、
CF交于点P，若 ， ，则 ．
【拓展迁移】如图（3），在 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P为 内部一点，且
，则线段AP＝ ．
14．（23-24九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问
题：如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们
的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到
△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下
面问题：
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【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，PA＝5，PC＝2 ，
∠BPC＝135°，求PB的长；
【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，D、E是底边AB上的两点且∠DCE＝60°，若
AD＝2，BE＝3，求DE的长．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则
AB的最大值是 ．（2）如图②，已知在Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且
△
AD＝2 ，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝
AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝
30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与
B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．
16．（2024山东校考二模）【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对
应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
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【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC= ，点P在△ABC内，且∠APC=90°，
∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC之间数量关系；
想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC之间的数量
关系；
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）
【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，
AD=kAB（k为常数），直接写出BD的长（用含k的式子表示）．
17．（23-24辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1， 为等边三角形内一点，满足 ，
， ，试求 的大小.李明同学的思路是：将 绕点 逆时针旋转60°，点 的对
应点为 ，画出旋转后的图形，再连接 .将求 分成求 和 的和即可.请你按照李明同
学给出的旋转的思路，求 的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形 中， ， 分别为 ， 边上的点，满足 ，若
， ，求 的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形 ， ， ， ，求 的
长.
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18．（23-24九年级上·重庆江北·期末）【问题背景】如图1，P是等边三角形 外一点， ，
则 ．小明为了证明这个结论，将 绕点A逆时针旋转 ，请根据此思路完成其证明；
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形 中， ， ，点P在 外部，且
，若 的面积为5.5，求 ；
【拓展创新】如图3，在四边形 中， ，点E在四边形 内部，且 ，
， ， ， ，直接写出 的长．
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