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专题08 三角形中的重要模型之弦图模型、勾股树模型
弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，
相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久
远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中
数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大
能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点
问题。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.弦图模型...............................................................................................................................................2
模型2.勾股树模型.........................................................................................................................................10
..................................................................................................................................................18模型1.弦图模型
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个
全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰
是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵
活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时
能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。
图1 图2 图3 图4
（1）内弦图模型：
条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点
H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
（2）外弦图模型：
条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，
结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）内外组合型弦图模型：
条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S = S +S
正方形EFGH 正方形ABCD 正方形
PQMN.证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S 表示他们的面积。
△
∵S =S +8S ；S =S +4S ；
正方形ABCD 正方形PQMN 正方形EFGH 正方形PQMN
△ △
∴S +S =S +8S +S =2S +8S =2S
正方形ABCD 正方形PQMN 正方形PQMN 正方形PQMN 正方形PQMN 正方形EFGH
△ △
上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。
（4）半弦图模型
图5 图6 图7
条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；
EA+GB=AB。
证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-
GB=AB。
证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
条件：如图7，在Rt ABE和Rt BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
证明：∵△ABE和△△BCD是R△t ，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
△
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼
就要想到用弦图的相关知识解决问题。
例1．（23-24八年级下·北京门头沟·期末）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后
人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正
方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用 ， 表示直角三角形的两直角边 ，下列四个推断：① ；② ；③ ；④ ．
其中所有正确推断的序号是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，正确运用完全平方公式变形求值成为解题的关键．
由题意可得大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，再结合图形和勾股定理可得 、
可判定①②；然后通过完全平方公式变形求值可判定③④．
【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4，
∴大正方形的边长为7，小正方形的边长为2，∴ ， ，即①、②正确；
∴ ，则： ， ,即③正确；
∴ ，∴ ，即④错误；
综上，正确的有①②③．故选B．
例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵
爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，
现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到 ， ，进而求出 的值，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，
图1中大正方形的面积是24， ，
小正方形的面积是4， ， ，
图2中最大的正方形的面积 ；故选：D．
例3．（2023·山东枣庄·二模）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，
它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别
为 ． 若正方形 的边长为2，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，设全等的直角三角形的两条直角边为a、
且 ，则 ， ， ，再由正方形 的边长为2得到 ，据
此可得答案．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、 且 ，
由题意可知： ， ， ，
∴ ， ，
∵正方形 的边长为2，∴ ，∴ 故答案为： ．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形 与四边形 均为正方形，点 是 的中点，阴影部分的面积为
27，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形 与四边形 均为正方形，点 是
的中点，可知 、 、 分别为 、 、 的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，
每一个都为正方形 面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形 面积的3倍，即可得正方形
面积为9，继而得 ，由勾股定理可求得 的长．
【详解】解：由四边形 与四边形 均为正方形，点 是 的中点，可知 、 、 分别为
、 、 的中点，且 ，
， ，
， ， ，
又 ， ．故答案为： ．
例5．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是
由四个全等的直角三角形围成的，若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延
长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．74 B．76 C．78 D．80
【答案】B
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【详解】如图，根据题意， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴这个风车的外围周长是 ，故选B．
【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．例6．（2023·河北·八年级期末）如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正
方形的边长为1．（1）如图1，若用a，b表示直角三角形的两条直角边（a
