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淘宝：学思创想
专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型
特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并
且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在
处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三
角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论
情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15
..................................................................................................................................................26
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模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型
1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶
角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底
和腰的原理相同。
2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰
上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
例1．（24-25 九年级上·山东·期末）若等腰
内接于
，
，
，则
底角
的度数为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】画出相应图形，分
为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．本题考查的是三角形外
接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．
【详解】解：（1）圆心
在
外部，
在优弧
上任选一点
，连接
，
．
∵
，
，
；
，
；
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（2）圆心
在
内部．∵
，∴
，
，
．综上所述，
底角的度数为
或
，故选：C．
例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，那么这个
等腰三角形的顶角等于（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】B
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图1，三角形是锐角三角时，
，
顶角
；
如图
，三角形是钝角时，
，
顶角
，
综上所述，顶角等于
或
．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更
形象直观．
例3．（2023 春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y 满足
，则以，的值为两边长的
等腰三角形的周长是（ ）
A．20 或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】利用非负数的性质，求出
，
的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】解：
，又
，
，
，
，
当等腰三角形的边长为4，4，8 时，不符合三角形的三边关系；
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当等腰三角形的三边为8，8，4 时，周长为20，故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
例4．（2024 八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为
，
，
，则等腰三角形的周
长为（ ）
A．10 B．7 或10 C．7 或4 D．10 或7 或4
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，
分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解．
【详解】解：①当
为底边长时，腰长为
，
，
∵三角形为等腰三角形，
，解得
，∴
，
，∵
，∴构不成三角形；
②当
为底边长时，腰长为
，
，∵三角形为等腰三角形，
，解得
，
∴
，
，符合三角形三边关系，
等腰三角形的周长为
；
③当
为底边长时，腰长为
，
，∵三角形为等腰三角形，
，解得
，
∴
，
，符合三角形三边关系，
等腰三角形的周长为
．
综上，等腰三角形的周长为7 或10，故选：B．
例5．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为
和
两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ．
【答案】
/ 厘米
【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、
三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①
；②
两种情况，再分别根据等腰三角形
的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检
验即可得．
【详解】解：如图，
是等腰三角形，
是腰
上的中线，
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设
，则
，由题意，分以下两种情况：
①当
时，则
，解得
，
此时等腰三角形的三边长分别为
，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
②当
时，则
，解得
，
此时等腰三角形的三边长分别为
，满足三角形的三边关系定理，
因此，这个等腰三角形的底边长为
．故答案为：
．
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型
1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
等腰三角形的两种分类讨论方法
方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。
如图：已知A ，O 两点是定点，在坐标轴上找一点P 构成等腰△OAP 。
①以已知线段OA
为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2 个）；
②以已知线段OA
为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以
O
为圆心的有4 个，
以A 为圆心的有2 个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
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方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用
“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。
例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标为
，若
为
轴
上一点，且使得
为等腰三角形，则满足条件的点
有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【分析】分别以O、A 为圆心，以OA 长为半径作圆，与x 轴交点即为所求点M，再作线段OA 的垂直平分
线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，
满足条件的点M 的个数为2．故选A．
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【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割
线．如图1，Rt△ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2 的△ABC 中，∠ABC＝
110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是 ．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，当∠BDC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，或当∠BDC=90°，
CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，；
③如图，当∠ABD=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．
例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，
中，
，
，射线
从射线
开始
绕点C 逆时针旋转
角
，与射线
相交于点D，将
沿射线
翻折至
处，射
线
与射线
相交于点E．若
是等腰三角形，则
的度数为 ．
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【答案】
或
或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知
，
，再画出图形，利用三角形
的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知
，
，
当
时，
，
由三角形的外角性质得
，即
，此情况不存在；
当
时，
，
，
由三角形的外角性质得
，解得
；
当
时，
，∴
，
由三角形的外角性质得
，解得
；
当
时，
，∴
，
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∴
；
综上，
的度数为
或
或
．故答案为：
或
或
．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题关键．
例4．（2023 春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P
是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
【答案】
【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D，求出OA 即可；②以A 为圆心，以
OA 为半径画弧交y 轴于P，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C，则AC＝OC，根据勾股定
理求出OC 即可．
【详解】有三种情况：
①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D，则OA＝OD＝
；∴D（0，
）；
②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；
③作OA 的垂直平分线交y 轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝
，
∴OC＝
，∴C（0，
）；故答案为：
．
【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知
识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，
中，
于D，且
，
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(1)试说明
是等腰三角形；(2)已知
，如图2，动点M 从点B 出发以每秒
的速度沿线
段
向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段
向点C 运动，当其中一点到达终点时整
个运动都停止．设点M 运动的时间为t（秒），①若
的边与
平行，求t 的值；②若点E 是边
的中点，问在点M 运动的过程中，
能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①5 或6；②9 或10 或
【分析】（1）设
，则
，由勾股定理求出
，即可得出结论；
（2）由
的面积求出
；①当
时，
；当
时，
；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出
，根据题意得出当点M 在
上，即
时，
为等腰三角
形，有3 种可能：
；
；
；分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：设
，则
，
在
中，
，∴
，∴
是等腰三角形；
（2）解：设
，则
，
，而
，∴
则
，
由题意可知当点M 到达点A 时点N 刚好到达点C，此时
．
①当
时，
，即
，∴
；
当
时，
，得：
；
∴若
的边与
平行，t 值为5 或6．
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②∵点E 是边
的中点，
，∴
cm，
当点M 在
上，即
时，
为钝角三角形，但
；
当
时，点M 运动到点D，不构成三角形
当点M 在
上，即
时，
为等腰三角形，有3 种可能．
如果
，则
，∴
；
如果
，则点M 运动到点A，∴
；
如果
cm，过点E 作
于F，如图3 所示：
此时
cm，∵
，∴
cm
∵
，∴
cm，
∵
cm，则在
中，
，∴
．
综上所述，符合要求的t 值为9 或10 或
．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难
度，需要进行分类讨论才能得出结果．
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例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过
的
直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点
，直线
交x 轴负半轴于点D，若
的面积为
(1)求直线
的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段
上（不与点
重合），过点P 作
x 轴的平行线交
于点E，设
的长为
，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使
为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点F 的坐标为
或
或
【分析】（1）据直线
交
轴正半轴于点
，交
轴于点
，
，设直线
解析式为
，
把
的坐标代入求得
的值，从而求得
的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出
的值，求出
的
值，从而求出
点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出
的解析式，先根据
的坐标求出直线
的解析式，将
点的横坐标代入直线
的解析式，求出
的纵坐标，将
的纵坐标代入直线
的解
析式就可以求出
的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使
为等腰直角三角形，
分三种情况分别以点
为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中
的值，就可以求出
点的坐标．
【详解】（1）解：
，∴设直线
的解析式为
，
∵直线
经过
，
，
，
∴直线
的解析式为
，
，
，
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的面积为
，
，
，
，
，
直线
的解析式为
（2）解：设直线
的解析式为
，
，
∴
，解得
．∴直线
的解析式为
；
∵点P 在
上，且横坐标为m，
，
轴，∴E 的纵坐标为
，
代入
得，
，解得
，
，
的长
；即
，
；
（3）解：在x 轴上存在点F，使
为等腰直角三角形，
①当
时，如图①，有
，
，
，
，解得
，此时
；
②当
时，如图②，有
，
的长等于点E 的纵坐标，
，
，解得：
，
∴点E 的横坐标为
，∴
；
③当
时，如图③，有
，
．
，
．作
，点R 为垂足，
，
，
．同理
，
．
∵点R 与点E 的纵坐标相同，
，∴
，解得：
，
，∴点F 的横坐标为
，
．
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综上，在x 轴上存在点F 使
为等腰直角三角形，点F 的坐标为
或
或
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2 或2.5
B．5 或
C．2.5 或
D．2.5 或
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分
类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：当和
为直角边时，则斜边
，中线
，
当斜边为
时，中线
，∴斜边的长为
或
，故选：A．
例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图，
是
的角平分线，
是
的高，
，
，点F 为边
上一点，当
为直角三角形时，则
的度数为 ．
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【答案】
或
【分析】分情况讨论：①当
时，②当
时，根据角平分线和三角形高线的定义分别
求解即可．
【详解】解：如图所示，当
时，
∵
是
的角平分线，
，
∴
，∴
中，
；
如图，当
时，同理可得
，
∵
，∴
，
∴
，
综上所述：
的度数为
或
．故答案为：
或
．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想
是解题的关键．
例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在
中，
，
，
，点D 是
的中
点，点E 是斜边
上一动点，沿
所在直线把
翻折到
的位置，
交
于点F，若
为直角三角形，则
的长为 ．
【答案】1 或
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【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分
，
两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：如图，当
时．
在
中，∵
，
，∴
，
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
，∴
，
，
，
如图，当
时，作
交
的延长线于H．设
，
∵
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，在
中，
，
，
，
在
中，∵
，∴
，解得
，
综上所述，满足条件的
的值为1 或
，故答案为：1 或
．
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，
如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
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问题：已知点A，B 和直线l，在l 上求点P，使△PAB 为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A 为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A 作AB 的垂线，与已知直线l 的交点P1即为所求；
②以B 为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B 作AB 的垂线，与已知直线l 的交点P2即为所求；
③以P 为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB 的中点Q 为圆心，QA 的长为半径画圆，与已知直线l 的交点
P3，P4即为所求．
代数法计算：分别表示出点A，B，P 的坐标，再分别表示出AB，AP 和BP 的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②
AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况
不存在。
几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角
形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
例1．（2023 九年级·广东·专题练习）如图，已知
，C 为坐标轴上一点，且
是直角
三角形，则满足条件的C 点有( )个．
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
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【分析】过点
作AB的垂线，交
轴于点
，交
轴于点
；过点
作AB的垂线，交
轴于点
，交
轴于点
；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据
和
的坐标求出AB的长度，即为圆
的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与
轴相切，可得出圆与
轴有个交点，与
轴交于
点．所
以满足条件的点共有
个．
【详解】解：分三种情况考虑：
①当
为直角顶点时，过
作
，交
轴于点
，交
轴于点
，此时满足题意的点为
，
；
②当
为直角顶点时，过
作
，交
轴于点
，交
轴于点
，此时满足题意的点为
，
；
③当
为直角顶点时，以AB为直径作圆，由
、
，可得此圆与
轴相切，
则此圆与
轴有个交点，与
轴有
个交点，分别为
．
综上，所有满足题意的
有
个．故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．
注意：若
是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知
，以
为一边在
外部作等腰直角
．则点
的坐标为 ．
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【答案】
或
或
【分析】分三种情形讨论求解即可．当
时，作
轴于
，由
，推出
，可得
点坐标，同法可得，当
，
，
，当
是等腰直角三角形的斜边时，
是
的中点，
．
【详解】解：如图，当
时，作
轴于
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
同法可得，当
，
当
是等腰直角三角形的斜边时，
是
的中点，
，
综上所述，满足条件的点
的坐标为
或
或
．故答案为：
或
或
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
例3．（22-23 八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在
中，
，点
是射线
上的一个动点．（1）当
为直角三角形时，
的长为 ．
（2）若点
在边
的下方，当
为直角三角形时，
的长为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
或
【分析】本题主要考查了勾股定理，含
直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用．
（1）画出图形，在
中得到
，再用勾股定理计算即可；
（2）分两种情况讨论：①当
时，②
时，分别画出图形，然后根据含
直角三角
形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【详解】（1）∵
∴
，
当
为直角三角形时，即
，
∵
，∴
，
，
故答案为：
．
（2）如图1 所示，当
时，
，
为等边三角形，∴
；
如图2 所示，当
时，
，
∴
,
，
，
又
．
．故答案为：
或
．
例4．（23-24 九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边
的边长为
，点Q 是
的中点，若动点
淘宝：学思创想
P 以
的速度从点A 出发沿
方向运动，设运动时间为t 秒，连接
，当
是直角三角
形时，则t 的值为 秒．
【答案】
或2 或
【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．此题属于动点问题，难度适中，注意
掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．由等边
的边长为
，点Q 是
的中点，可求得
的长，然后根据
，得出另外的一个锐角为
，根据直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：连接
，如图所示：∵等边
的边长为
，点Q 是
的中点，
∴
，
，
，∴
，
当
时，
，∴
；
∴当P 从
时，
，当P 从
时，
；
当
时，点P 运动到点B，
．
综上分析可知，t 的值为
或2 或
．故答案为：
或2 或
．
例5．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(0，2)，△ABO 为
等边三角形，P 是x 轴上的一个动点（不与O 点重合），将线段AP 绕A 点按逆时针旋转60°，P 点的对应
点为点Q，连接OQ，BQ。
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(1)点B 的坐标为 ；(2)①如图①，当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；
②当点P 在x 轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；
(3)在点P 运动的过程中，若△OBQ 是直角三角形，直接写出点P 的坐标.
【答案】(1)(
，1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立(3)(
，0)或(
，0)
【分析】（1）过点B 作
轴，由等边三角形的性质可知
，
，从而可求出
，再由含30 度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出
，
，从而得出B(
，
1)；（2）①由旋转的性质可知AP=AQ，
，根据等边三角形的性质可知AO=AB，
，从而可求出
，进而可求出
，即易证
，得出
；②由题意画图即可，由①同理可证
，即得出
；
（3）先求出
，再分类讨论：①当
时，此时点P 在x 轴负半轴和②当
时，此时点P 在x 轴负半轴，结合含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质即可求出
答案．
【详解】（1）解：如图，过点B 作
轴，
淘宝：学思创想
∵点A 的坐标为(0，2)，△ABO 为等边三角形，∴
，
，∴
，
∴
，∴
，∴B(
，1)；故答案为：(
，1)；
（2）①由旋转的性质可知AP=AQ，
．
∵
为等边三角形，∴AO=AB，
，∴
，
∴
，∴
，∴
．∵
，∴
；
②补全图②如图，①中的结论仍然成立．
由①同理可证
，∴
；
（3）当点P 在x 轴负半轴运动时，∵
，
，∴
．
当点P 在x 轴正半轴运动时，∵
，
，∴
．
综上可知
，故可分类讨论：①当
时，如图，此时点P 在x 轴负半轴，
∵
，
，∴
．
∵
，∴
，解得：
或
（舍）．
∵
，∴
，∴P(
，0)；
②当
时，如图，此时点P 在x 轴负半轴，
∵
，
，∴
，∴
．
∵
，∴
，∴P(
，0)．
淘宝：学思创想
综上可知当△OBQ 是直角三角形时，点P 坐标为(
，0)或(
，0)．
【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30 度角的
直角三角形的性质以及勾股定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
例6．（2023 秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】
如图，将含有
的三角板的直角顶点放在直线l 上，过两个锐角顶点分别向直线l 作垂线，这样就得到了
两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这
模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，①则
_________；②C，D 是正比例函数
图像上的两个动点，连接AD，BC，若
，则AD 的最小值是_______；(2)如图2，一次函数
的图像与y 轴，x 轴分别交
于A，B 两点．将直线
绕点A 逆时针旋转
得到直线l，求直线l 对应的函数表达式；
【模型拓展】(3)如图3，点A 在x 轴负半轴上，
，过点A 作
轴交直线
于点B，P
是直线
上的动点，Q 是y 轴上的动点，若
是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角
形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．
【答案】(1)①
；②
(2)
(3)
或
或
或
【分析】（1）①先根据函数解析式确定
，进而得到
，然后根据等腰直角三
角形的性质即可解答；②根据点到直线的距离垂线段最短，可得当
时，AD 有最小值，然后判定
淘宝：学思创想
可得
，最后根据勾股定理求解即可；（2）先证
可得
，进而得到
，最后根据待定系数法即可解答；（3）分
，点P
在x 轴上方或下方和
点P 在x 轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和
二元一次方程组解答即可
【详解】（1）解：①∵
与x 轴，y 轴交于A，B 两点，∴
，∴
，
又∵
，∴
为等腰直角三角形，∴
；故答案为
；
②∵A 是定点，∴如图：当
时，
有最小值；
∵
,∴
，
∵
，∴
，
在
和
中，
∴
，∴
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，∴
的最小值为
．故答案为
．
（2）解：如图，过点B 作
交直线l 于点C，过点C 作
轴．∴
．
∵
，∴
．∴
．∴
．
∵
，∴
．∴
．
∵
，∴
．∴
．
当
时，
，∴
．当
时，
，∴
．∴
．
设直线l 对应的函数表达式为
，将
和
代入，
淘宝：学思创想
得
解得
∴
．
（3）解：①当
,
,P 在x 轴的上方，
如图1：过P 作
轴，交
于M，交y 轴于N，∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
；
∵直线l：
，∴设
，∴
，∴
，
∴
，∴
,即
，
①②联立解得：
，∴
；
②当
,
,P 在x 轴的下方，
如图2：同①易证：
，∴
；
∵直线l：
，∴设
，∴
，∴
，
∴
,∴
,即
，
①②联立解得：
，∴
;
③当
,
,P 在x 轴的上方，如图3：易证
，∴
；
淘宝：学思创想
∵直线l：
，∴设
，∴
，∴
，
∵
，∴
，①②联立解得：
，∴
；
④当
,
,P 在x 轴的下方，
如图：易证
，∴
；
∵直线l：
，∴设
，
∴
，∴
，∵
，∴
，
①②联立解得：
，∴
．
综上，点P 的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判
定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
淘宝：学思创想
1．（2023 秋·广东八年级课时练习）若
是等腰三角形，
，则
的度数是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：
是等腰三角形，
，
当
是顶角时，
；
当
是底角时，①当
时， 则
；②
；
综上所述，
的度数是
或
或
，故选：D．
【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．
2．（2024·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
关于
轴的对称
点
，点
是
轴上的一个动点，当
是等腰三角形时，值个数是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】首先根据关于y 轴对称的点的坐标规律可得P′的坐标为（2，1），再根据△P′TO 是等腰三角形分
淘宝：学思创想
三种情况情况讨论：P′Q=P′O 时；P′Q=QO 时；OQ=P′O 时分别求解即可．
【详解】∵点P（-4，3），∴关于y 轴的对称点P′的坐标为（4，3），
则
，对于△P′QO 是等腰三角形分三种情况情况讨论：
(1)当
是等腰三角形的底边时，点
就是
的垂直平分线与
轴的交点，根据三角形相似可得：
，则的值是
；
(2)当
是等腰三角形的腰时，若点
是顶角顶点，则点
就是以点
为圆心，以
为半径的圆与
轴
的交点，其坐标分别是
，则的值是8；
若点
是顶角顶点，则点
就是以点
为圆心，以
为半径的圆与
轴有2 个交点，其坐标分别为
、
，则的值是5 或-5．
由(1)(2)可知t 的值是
或8 或5 或-5．综上值个数是4 个．故选：D.
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定．
3．（23-24 九年级上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系
中，过原点
及点
、
作长
方形
，
的平分线交
于点
.点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线
方向
移动；同时点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为秒，当
为直角三角形时为（ ）
A．2 或
B．2 或
C．
或
D．2 或
或
淘宝：学思创想
【答案】D
【分析】要使
为直角三角形，显然只有当∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得
出
，
，
，再分别就∠PQB=90°或
∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t 值即可．
【详解】作PG⊥OC 于点G，在Rt△POG 中，
∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=
，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），
∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理得，
，
，
，
当∠PQB=90°，则
，即
，
整理得：
，解得t=0（舍）或t=2，∴t=2；
当∠PBQ=90°，则
，即
，
整理得：
，解得
；
∴当t=2 或
或
时，
为直角三角形；故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，用到的知识点是动点问题、勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形
的性质，解答本题的关键是讨论P 点的位置，由题意建立方程从而求出t 的值，同时要注意数形结合．
4．（23-24 八年级下·江西九江·期末）如图，在
中，
，将一块足够大的直角三角尺
（
，
）按如图放置，顶点P 在边AC 上滑动，三角尺的直角边
始终经过点B，斜
边
交
于点D，若点P 在滑动中恰能使
与
均为等腰三角形，则∠C 的度数为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
或
或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角等知识，根据①当
，
时，②当
，
时，③当
，
时，④当
，
时，四种情况讨论即可作
答．
【详解】①当
，
时，如图，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
②当
，
时，如图，
淘宝：学思创想
同①可得：
，
∵
，
∴
，
③当
，
时，如图，
同①可得：
，
∵
，
∴
；
④当
，
时，如图，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
综上：∠C 的度数为
或
或
淘宝：学思创想
故答案为：
或
或
．
5．（2023 春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，则等腰三角形的
底角的度数是 ．
【答案】
或
【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两
底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【详解】如图当
是锐角三角形时，
于D，则
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
；
如图当
是钝角三角形时，
于H，则
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
故答案为：
或
．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，解题的关键是熟练掌握以
淘宝：学思创想
上知识点．
6．（23-24 九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在
中，
，点
分
别是
的中点，在射线
上有一动点
，若
是直角三角形，则
的长为 ．
【答案】
或
【分析】此题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，先求出
，
，当
时，根据直角三角形的性质即可得到
；当
，证明
，
利用相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
当
时，
∵点
分别是
的中点，
；
当
时，如图，
∵点
分别是
的中点，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
淘宝：学思创想
∵
，
∴
∴
∴
，
∴
故答案为：
或
7．（2024·河南郑州·三模）在矩形
中，
，
为CD的中点，取
的中点
，连接
，
当
为直角三角形时，
的长为 ．
【答案】
或
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角
三角形的性质，先证明
，可得
，
，再分
和
两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
，
∵点
为CD的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
，
当
时，如图，则
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
；
淘宝：学思创想
②当
时，如图，则
，
∵点
为
的中点，
∴
垂直平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
为等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
综上，
的长为
或
，
故答案为：
或
．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，点
是
的中
点，点
是边
上一动点，沿
所在直线把
翻折到
的位置，
交
于点
，若
为直角三角形，则
的长为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
或
【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题
关键．分两种情况讨论，画出图形分别进行解答即可．
【详解】解：在
中，
，
，
，
∴
，
∴
∵点
是
的中点，
∴
由翻折性质得，
不可能为直角，
当
是直角时，如图，
是直角，
，
∴
，
，
，
由翻折可知
，
，
，
，
，
；
当
是直角时，如图
，
淘宝：学思创想
连接
、
、
，由翻折可知
，
，
∴
，
，
，
，
∴
,
∵
，
，
∴
，
，
，
又
，
∴
，
，
，延长
交
于
，可得
，
∵
，
∴
垂直平分
，
，
在直角三角形
中，由
，
，
淘宝：学思创想
∴
得到
，
．
在直角三角形
中，
，
将
，
代入①可得
．
故答案为：
或
．
9.（2024·江西南昌·模拟预测）在
中，
，
，
，点
为平行四边形
边
上的动点，且满足
是直角三角形，则
的长度是 ．
【答案】或
或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分
和
两
种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
（）当
时，
①作
于
，如图所示，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
为直角三角形，
，
∴此时点
和点
重合，
∴此时
；
②当
时，如图
，
；
（
）当
时，如图，
，
∴
；
综上，
的长度是或
或
，
故答案为：或
或
．
【点睛】
10．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，
的顶点
，
的坐标分别为
，
，点
绕点
顺时针旋转
到点
，连接
，
，若
为直角三角形，则点
到
轴的距离为 ．
淘宝：学思创想
【答案】4，2 或
【分析】本题考查了旋转过程中点的坐标的变化，根据特殊角的三角函数值求出
与x 轴的夹角是解题
的关键；通过分类讨论，分三种情况逐个求解即可；
【详解】解：当
，即点P 与点B 重合时，则P 到
轴的距离为4；
当点P 与点B 不重合，且
时，此时P 在第四象限，
，
，
，
，
，
，
的坐标分别为
，
，
，
，
，
，
，
和
轴夹角为
，
到
轴的距离为
，
当
时，
和
轴夹角为
，
到
轴的距离为
，
综上所述，
到
轴的距离为4，2 或
．
故答案为：4，2 或
．
淘宝：学思创想
11．（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片
中，
，
，点
是
的中点，点
是
边上的一个动点，将
沿
所在直线翻折，得到
，连接
，
，则
当
是等腰三角形时，
的长是 ．
【答案】
或1 或
【分析】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质、勾股
定理、全等三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．分三种情况考虑，①当
时，
连接
，则易得
三点共线，在
中，利用勾股定理建立方程即可求解；②当
时，则得四边形
是正方形，即可求解；③当
时，连接
，则可得
三点共
线，再证明
，则可得点F 是
的中点，从而求解；最后综合上述三种情况即可．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
；
∵点
是
的中点，
∴
；
由折叠性质知：
，
，
；
①当
时，则
；
连接
，则由勾股定理得：
；
∵
，
∴
，
∴
三点共线，
∴
，
中，
，
由勾股定理得：
，
淘宝：学思创想
解得：
；
②当
时，如图，
则点
在线段
的垂直平分线上，
∴点
在线段
的垂直平分线上，
∵E 是
的中点，
∴
是线段
的垂直平分线，
∴
，
∵
，
，
∴四边形
是正方形，
∴
；
③当
时，连接
，如图；
则
；
∵
，
∴
；
∵
，
∴
三点共线，
∴
；
∴
，
∵
，
，
淘宝：学思创想
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
综上，
的长为
或1 或
．
故答案为：
或1 或
．
12．（2023 春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为
的等腰三角形，它的一个内角是
，则以它
的腰长为边的正方形的面积为 ．
【答案】20 或
【分析】由题意知，分等腰三角形的顶角为
和等腰三角形的底角为
两种情况求解：①当等腰三角形
的顶角为
，如图1，等腰
中
，
，过
作
于
，设
，则
，由
，
，可得
，求解
的值即可；②当等腰三角形的底
角为
，如图2，等腰
中
，
，过
作
的延长线于
，则
，
，设
，则
，由勾股定理得
，由
，
，可得
，求解
的值即可．
【详解】解：由题意知，分等腰三角形的顶角为
和等腰三角形的底角为
两种情况求解：
①当等腰三角形的顶角为
，如图1，等腰
中
，
，过
作
于
，
淘宝：学思创想
设
，则
，
∵
，
，
∴
，解得
，
∴以腰长为边的正方形的面积为
；
②当等腰三角形的底角为
，如图2，等腰
中
，
，过
作
的延长
线于
，则
，
∴
，
设
，则
，
由勾股定理得
，
∵
，
，
∴
，解得
，
∴以腰长为边的正方形的面积为20；
综上所述，以腰长为边的正方形的面积为20 或
．
【点睛】本题考查了含
的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的定义．解题的关键在于分类讨论．
13．（2023·安徽·九年级专题练习）在矩形
中，
，
，点
，
分别为
，
上的两
个动点，将
沿
折叠，点
的对应点为
，若点
落在射线
上，且
恰为直角三角形，
则线段
的长为 ．
【答案】
或
【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可得AC=5，通过证明△AFG∽△ABC，由相似三角形的性质可求
淘宝：学思创想
CF 的长．
【详解】解：当
为直角三角形时，按两种情况分析：
如图，当
为直角时，设
．
在
中，
，
，
．由折叠的性质知
．
，
，
，
，即
，解得：
，故
的长为
．
如图，当
为直角时，设
．
，
，
，
．
，即
，解得：
，故
的长为
，
综上所述，
的长为
或
．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AFG∽△ABC
是本题的关键．
14．（2023 春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，
，点
在边
上，
，点
为边
上一动点，连接
，
与
关于
所在的直线对称，点
，
分别为
，
的中点，
连接
并延长交
所在直线于点
，连接
，当
为直角三角形时，
的长为
淘宝：学思创想
【答案】
或2
【分析】当
为直角三角形时，存在两种情况：①当
时，如图1，根据对称的性质和平行
线可得：
，根据直角三角形斜边中线的性质得：
，最后利用勾股定理可得
的
长；②当
时，如图2，证明
是等腰直角三角形，可得
．
【详解】解：当
为直角三角形时，存在两种情况：
①当
时，如图1，
与
关于
所在直线对称，
，
，
点
，
分别为
，
的中点，
、
是
的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
②当
时，如图2，
，
，
与
关于
所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，
的长为
或2；
淘宝：学思创想
故答案为：
或2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角
形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
15．（23-24 八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1 条线段将一个三角形分割成2 个等腰三角形，我
们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2 条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把
这2 条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，
是
的“双等腰线”，
、
是
的“三等腰线”．
(1)请在图2 三个图中，分别画出
的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①
；②
，
；③
，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3，
中，
，
．画出
所有可能的“三等腰线”，使得对
取值范
围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补
充）
【答案】(1)见解析
(2)
或
或
(3)见解析
淘宝：学思创想
【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）设底角度数为
，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）解：如图2，取
的中点
，则
，
∴
和
是等腰三角形；
如图3，取
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
和
是等腰三角形；
如图4，作
的垂直平分线
，交
于
，交
于
，连接
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
和
是等腰三角形；
（2）解：①设
是以
、
为腰的锐角三角形，
为“双等腰线”，如图5，
淘宝：学思创想
当
，
时，
设
，则
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
②设
是以
、
为腰的钝角三角形，
为“双等腰线”，如图6，
当
，
时，
设
，则
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
③设
是以
、
为腰的直角三角形，
为“双等腰线”，如图7，
当
，
时，
为
的垂直平分线，
淘宝：学思创想
设
，则
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
或
或
；
（3）解：∵要画出使得对
取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使
等于具体的数值，
∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，
∵
，、
设
，
，
当
、
将
分成
，
，
的三个等腰三角形时，
则有
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为
，
即可使得对
取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵
，
淘宝：学思创想
设
，
，
当
、
将
分成
，
，
的三个等腰三角形时，
则
，
，
∵
，
∴
，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为
，即可使得对
取值范围
内的任意值都成立，综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对
取值范围内的任意值都成立．
16．（2024·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系中有矩形
，
，
，连接
，
点
从顶点
出发以1.5 个单位/秒的速度在线段
上向
点运动，同时点
从顶点
出发以1 个单位/秒
的速度在线段
上向
点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点
作
，交
于点
，连接
，设运动时间为秒．
（1）当
时，
______．
（2）设
的面积为，写出关于的函数表达式，并写出
的面积最大时点
的坐标；
（3）直接写出运动过程中，
为等腰三角形时的值．
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，
，
【分析】（1）延长
交
于点
，由四边形AOBC 为矩形，可得AC∥OB，AC=OB=8，由
，
可证四边形
为矩形，当
时，QB=2，由EF∥OA，可证
，可求
．由
，可求
即可；
（2）由
，与
，可得
与
，可求
，利用三角形面积公
淘宝：学思创想
式
，利用二次函数性质可得当
时，S△PCE 最大，S△PCE 最大=4 即可；
（3）先分别求出
，CE=
， PE=
，根据
为等腰三角形时可分为三种情
况当
，
，
时，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）延长
交
于点
，
∵四边形AOBC 为矩形，
∴AC∥OB，AC=OB=8，
∵
，
∴
，
∴∠FQB=∠QBC=∠BCF=90°，
∴四边形
为矩形，
当
时，QB=2×1=2
∴
．
∵EF∥OA，
∴∠EFC=∠OAF，∠FEC=∠AOC，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
故答案为
；
淘宝：学思创想
（2）∵
，
∵
，
∴
，即
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴当
时，S△PCE 最大，S△PCE 最大=4．
∴
，QE=QF-EF=6-2=4，
∴OQ=OB-QB=
∴
；
（3）由（2）得
，
，
，PF=8-AP-CF=8-1.5t-t=8-2.5t
在Rt△ECF 中，由勾股定理CE=
，
淘宝：学思创想
在Rt△PFE 中由勾股定理PE=
，
①如图，当
时，EF⊥PC，
∴PF=CF，即
解得
；
②当
时，即
解得
；
③当
时，
整理得
，
，t=0（舍）．
淘宝：学思创想
∴
为等腰三角形时的值为
或
或
．
【点睛】本题考查锐角三角函数，平面直角坐标系中图形动点问题，三角形面积，二次函数最值问题，矩
形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，等腰三角形，建构方程与解方程，掌握锐角三角函数，图形
动点的速度，时间与路程关系，三角形面积，二次函数最值问题，矩形性质，勾股定理应用，三角形相似
判定与性质应用，等腰三角形分类思想的运用，建构方程与解方程是解题关键．
17．（2023 春·重庆渝中·八年级校考期末）如图，
中，以
，
为边，分别在各自的上方作等边
三角形
，等腰三角形
，
，
，连接
，
；
(1)如图1，若
，
，求
的面积
(2)如图2，点
为
中点，求证：
(3)如图3，
，
，点
为直线
上的动点，连接
，作
关于
所在直线
的对称图形，记作
，连接
，
，当
直角三角形时，请直接写出
的度数．
【答案】(1)
的面积为36；
(2)见解析
(3)
的度数为
或
或
或
．
【分析】（1）作
交
的延长线于点F，求得
，利用含30 度角的直角三角
形的性质以及三角形的面积公式即可求解；
淘宝：学思创想
（2）延长
至点M，使
，延长
交
于点N，连接
，先后证明
和
，推出
是等边三角形，据此即可证明结论成立；
（3）由题意得点
在以D 为圆心，
为半径的圆上，分四种情况讨论，画出图形，利用轴对称的性质
即可求解．
【详解】（1）解：作
交
的延长线于点F，如图，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
的面积
；
（2）解：延长
至点M，使
，延长
交
于点N，连接
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
淘宝：学思创想
∴
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∵
，
∴
，
∴
；
（3）解：分四种情况讨论，
由题意得点
在以D 为圆心，
为半径的圆上，
①当
时，如图，
；
②当
时，如图，
淘宝：学思创想
同理，
；
③当
时，如图，
同理，
；
④当
时，如图，
同理，
；
综上，
的度数为
或
或
或
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，含30 度角的直
角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．（2023·八年级重庆校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴交于点
，与
轴
交于点
.点
的坐标为
，点
在
轴上，
.
（1）点
在
上，其横坐标为
，点
、
分别是
轴、
轴上的动点，连接
，将
沿
翻折得
，点
是直线
上的一个动点，当
最大时，求
的最小值；
（2）将
绕点
逆时针旋转90°得直线
，点
、
分别是直线
与直线
上的动点，当
淘宝：学思创想
是以
为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点
的坐标.
【答案】（1）
的最小值为
；（2）点M 的坐标为
或
或
或
．
【分析】（1）如图1，过E 点作EH⊥x 轴与点H，连接AC 交直线BD 与点P，此时
最大，通过
“HL”证明Rt△OCD≌Rt△OAB，得到D 点坐标，进而得到直线CD 的解析式，然后求得ED 的长，作P 关
于y 轴的对称点
，分别连接
，
，
，过E 作EM⊥
A 于点M，则
，当G，
都在
线段
上时，
最小，即
最小，且最小值为
，先求得直线AC 与BD 的解析
式，得到P 点坐标，再根据题意进行求解计算即可；（2）①若C 点为直角顶点，则∠NCM=90°，且
CN=CM，如图2，延长CD 交直线AB 于点Q，利用勾股定理与全等三角形的判定与性质等进行求解即可；
若N 为直角顶点，则∠CNM=90°，且CN=NM，如图3，过点M 作MH⊥
于点H，求解同①．
【详解】（1）如图1，过E 点作EH⊥x 轴与点H，连接AC 交直线BD 与点P，
淘宝：学思创想
则此时
最大，
∵
是直线BD 上的任一点，则
，∴当
与P 重合时，
最大，
在
中，令x=0，得
；令y=0，得
，
∴
，
，∴
，
，
∵
，∴OC=OA，∵
∴Rt△OCD≌Rt△OAB（HL），
∴
，∴
，设直线CD 的解析式为y=kx+b（k≠0），
将CD 的坐标分别代入y=kx+b 得：
，解得
，
即直线CD 的解析式为
，又∵点
在
上，其横坐标为
，
∴
，
，
∴
，∴
为定长，
∴
点在以E 为圆心，ED 长为半径的圆上运动，
作P 关于y 轴的对称点
，分别连接
，
，
，过E 作EM⊥
A 于点M，则
，
淘宝：学思创想
当G，
都在线段
上时，
最小，即
最小，且最小值为
，
设直线BD 的解析式为y=k1x+b1，将B，D 的坐标分别代入y=k1x+b1得：
，解得
，∴直线BD 的解析式为
，
设直线AC 的解析为y=k2x+b2，将A，C 的坐标代入y=k2x+b2得：
，解得
，∴直线AC 的解析式为
，
联立方程得
，解得
，∴
，∴
，
∵
与A 的横坐标相同，∴
⊥x 轴，∴
，
∵EM⊥
，EH⊥x 轴，∴四边形EHAM 是矩形，∴
，
，∵
，
∴
，∴
的最小值为
；
（2）①若C 点为直角顶点，则∠NCM=90°，且CN=CM，如图2，延长CD 交直线AB 于点Q，
由（1）知Rt△OCD≌Rt△OAB，∴∠CDO=∠ABO，
淘宝：学思创想
∵∠DCO=∠QCB，∠DCO+∠CDO=90°，∴∠QCB+∠ABO=90°，
∴DQ⊥AB，∴∠QMC+∠QCM=90°，∵∠NCD+∠QCM=90°，∴∠NCD=∠QMC，
∵∠CDN=∠CQM=90°，∴△CDN≌△MQC（AAS），∴CD=QM，
∵
，∴
，
联立方程得：
，解得
，∴
，
设
，则M，Q 两点横坐标差的绝对值为
，
纵坐标差为
，
由勾股定理得：
，
∴
，解得：
或
，
∴
或
，∴
或
；
②若N 为直角顶点，则∠CNM=90°，且CN=NM，如图3，过点M 作MH⊥
于点H，
淘宝：学思创想
∵∠MHN=∠CNM=90°，∴∠MNH+∠NMH=∠MNH+∠CND=90°，∴∠CND=∠NMH，
∵∠CDN=∠MHN=90°，∴△CDN≌NHM（AAS），∴
，MH=DN，
易证四边形DQMH 为矩形，∴QM=DH，MH=DQ，∴MQ=DH=DN+NH=MH+CD=DQ+CD
∵
，∴
，
∵
，∴
，解得：
或
，
∴
或
，∴
或
，
综上，点M 的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，最短路径问题等知识
点，综合性较强，属于压轴题，解此题的关键在于熟练掌握熟练掌握各个知识点并灵活运用．
