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专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当AB =AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）
②当AB =BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）
③当AC =BC 时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）
例1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是
，
，若
，
满足
，那么它的周长是（ ）
A．11
B．13
C．11 或13
D．11 或15
例2．（2023 春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
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A．4cm
B．7cm
C．4cm 或7cm
D．全不对
例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是
，则它顶角的度数是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为
，则它的底角为（ ）
A．
B．
C．
或
D．以上都不是
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，则等腰三角
形的顶角度数为 ．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6 行
列的长方形网格
中有两个格点A、B，连接
，在网格中再找一个格点C，使得
是等腰直角三角形，则满足条件的
格点C 的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直
角三角形ACD，则线段BD 的长为____．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．
如图1，Rt△ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2 的△ABC 中，∠ABC＝110°，
若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是 ．
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例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B 两点的坐标分别为
，
，点P 是x 轴上一点，
且
为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．
例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，
中，
，
，
，若点
从点
出发，以每秒
的速度沿折线
运动，设运动时间为秒（
）．
(1)若点
在
上，且满足
，求此时的值；(2)若点
恰好在
的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，
为等腰三角形．
例10．（2022 春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过
的直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点
，直线
交x 轴负半轴于点D，若
的面积为
(1)求直线
的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段
上（不与点
重合），过点P 作
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x 轴的平行线交
于点E，设
的长为
，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使
为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性
质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt △ABC
方法：两线一圆
具体图解：①当∠BAC =90° 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）
②当∠ABC =90° 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。
③当∠ACB =90° 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。
例1．（2023 春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4 和5，要使其成为直角三角形，则第三
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边的长为 ．
例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图，
是
的角平分线，
是
的高，
，
，点F 为边
上一点，当
为直角三角形时，则
的度数为 ．
例3．（2022 秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4 的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在
网格中再找一个格点C，使得△ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2
，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P 在x 轴上运动，当点P 与点A、B、C 三点中任意两点构成直角三角形时，点P 的坐标为________．
例5．（2022 秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC 为一边，在
△ABC 外作等腰直角△ACD，则线段BD 的长为 ．
例6.（2023 春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形
中，
，
，点
为射线
上的一个动点，若
与
关于直线
对称，若
为直角三角形，则
的长为
．
例7.（2023 秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在
中，
，
，点D 是边
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上的点，将
沿
折叠得到
，线段
与边
交于点F．若
为直角，则
的长
是 ．
例8．（2023 秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，
中，
cm，现有两点M、N 分别
从点A、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为
，点N 的速度为
．当点N 第
一次到达B 点时，M、N 同时停止运动．
(1)点M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？(2)点M、N 运动几秒后，可得到等边三角形
？
(3)当点M、N 在
边上运动时，能否得到以
为底边的等腰三角形
？如存在，请求出此时M、N
运动的时间．(4)点M、N 运动______________________后，可得到直角三角形
．
例9．（2023 秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形
中，D、E 分别是
、
边上的点，
，
与
相交于点P，
，Q 是射线
上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若
为直角三角形，求
的值．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-4，4），点B
的坐标为（0，2）．（1）求直线AB 的解析式；（2）以点A 为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC 交x 轴的负
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半轴于点C，射线AD 交y 轴的负半轴于点D．当∠CAD 绕着点A 旋转时，OC-OD 的值是否发生变化？若不
变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x 轴上的两个
点，点P 是直线AB 上一点．当△PMN 是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P 的坐标．
课后专项训练
1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，点
，
，若点C 在x 轴上，
且
为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标为
，若
为
轴
上一点，且使得
为等腰三角形，则满足条件的点
有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在
中，
，
，
．若点P 为直线
BC 上一点，且
为等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C 为原点，C 所在直
线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M 使△MAB 为等腰三角形，符合
条件的 M 点有（ ）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个
5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是
，则底角是 ．
6．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等
腰三角形的“特征值”，记作k．若
，则该等腰三角形的顶角为 度．
7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，
中，
，
，
的平分线与线段
交
于点
，且有
，点
是线段
上的动点（与A、
不重合），连接
，当
是等腰三角形
时，则
的长为___________．
8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个
动点，分别连接BP 和PQ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形
都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．
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9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC 中，ABAC5，BC8，E 是BC 上的一个动
点，将△ABE 沿着AE 折叠到△ADE 处，再将边AC 折叠到与AD 重合，折痕为AF，当△DEF 是等腰三角形
时，BE 的长是___________．
10．（2022·河南南阳·二模）如图，在
的纸片中，
，
，
．点
在边
上，
以
为折痕将
折叠得到
，
与边
交于点
．若
为直角三角形，则
的长是
_______．
11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，
∠AOC＝60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为____．
12．（2023 春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在
中，已知
，
，
．
，
在直线上．现将
在直线上进行平移，当
为直角三角形时，
的长为
．
13．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形
是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐
标系中，使得点
与坐标原点重合，点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，点
的坐标为
，
的坐
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标为
，现将纸片沿过
点的直线折叠，使顶点
落在线段
上的点
处，折痕与
轴的交点记为
．
(1)求点
的坐标和
的大小；(2)在
轴正半轴上是否存在点
，满足
，若存在，求出
点坐标，若不存在请说明理由；(3)点
在直线
上，且
为等腰三角形，请直接写出点
的坐标．
14．（2023 秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形
的
顶点A、B 分别在x 轴与y 轴上，已知
，
，点D 为y 轴上一点，其坐标为
，点P 从点A
出发以每秒1 个单位的速度沿线段
的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动．
(1)当点P 与点C 重合时，求直线
的函数解析式；(2)设运动时间为t 秒．当点P 在运动过程中，
①求
的面积S 关于t 的函数解析式；②是否存在等腰三角形
？若存在，请求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
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15．（2022 春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，直线
交
轴于
点
，交
轴于点
，点
是线段
上一动点（不与点
重合），过点
作
于点
．
(1)当点
是
中点时，求
的面积；(2)连接
，若
平分
，求此时点
的坐标；
(3)
平分
，在
轴上有一动点
，
横坐标为
，过点
作直线
轴，与线段
有交点，求
的取值范围；(4)
平分
，
为
轴上动点，
为等腰三角形，求
坐标．
16．（2023 春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长为1
个单位长度，存在线段
，端点A，B 均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B 的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接
，
，使
为等腰直角三角形，此时点C 的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P 的横纵坐标均为整数，连接
，
，得到锐角
，且
为等腰三角形，则满足条件的点P 有_____个．
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17．（2023 秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-1，0)，点B 是直
线
上的动点，连接AB，设点B 的横坐标为
．
(1)如图1，当
时，以AB 为直角边在AB 下方作等腰直角三角形ABC，使
，求点C 的坐标．
(2)如图2，把线段AB 绕点A 顺时针旋转
得到线段AD，当点B 在直线
上运动时，点D 也随之
运动，连接OD，求
AOD 的面积（用含
的代数式表示）．
(3)在图3 中以AB 为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E 落在直线
上时，求
的值．
18．（2023 秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)
的直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点C，OB=OC，直线AD 交x 轴负半轴于点D，若△ABD 的面积为27．
（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A，B 重合），过点P 作x 轴的平行
线交AD 于点E，设PE 的长为y（y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若
不存在，请说明理由．
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19．（2023 秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为
，点B 的坐
标为
．(1)求直线
的表达式；(2)点M 是坐标轴上的一点，若以
为直角边构造
，请求
出满足条件的所有点M 的坐标；(3)如图2，以A 为直角顶点作
，射线
交x 轴的正半轴于点
C，射线
交y 轴的负半轴于点D，当
绕点A 旋转时，求
的值．
20．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
与x 轴交于点A，
与y 轴交于点B，过点B 的直线交x 轴的正半轴于点C，且
面积为10．
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(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若点M 为线段BC 上一点，且满足
，求点M 的坐标；
(3)如图2，点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上任意一点，连接FG，以FG 为腰，G 为直角顶点，在FG 右
侧作等腰直角
，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点的坐标．
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