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专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当AB =AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）
②当AB =BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）
③当AC =BC 时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）
例1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是
，
，若
，
满足
，那么它的周长是（ ）
A．11
B．13
C．11 或13
D．11 或15
【答案】C
【分析】由已知等式，结合非负数的性质求
、
的值，再根据
、
分别作为等腰三角形的腰，分类求
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解．
【详解】解：
，
，
，
，
，解得：
，
，
当
作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：
，
当
作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：
，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求
、
的值，再根据
或
作为腰，分类求解．
例2．（2023 春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
A．4cm
B．7cm
C．4cm 或7cm
D．全不对
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】解：当
cm 为腰长时，则底边长为
cm，
∵
，不符合题意；∴
cm 为底边长，∴等腰三角形的腰长为：
；故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注
意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形．
例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是
，则它顶角的度数是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和为
，进行分类讨论即可
【详解】解：①当底角为
时，顶角
，
②当顶角为
时，顶角度数
，综上：顶角度数为
或
；故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和为
，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容．
例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为
，则它的底角为（ ）
A．
B．
C．
或
D．以上都不是
【答案】D
【分析】等腰三角形的一个外角等于
，则等腰三角形的一个内角为
，但已知没有明确此角是顶角
还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【详解】∵等腰三角形的一个外角等于
，∴等腰三角形的一个内角为
，
①当
为顶角时，其他两角都为
、
，
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②当
为底角时，其他两角为
、
，所以等腰三角形的底角可以是
，也可以是
．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等
腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和
等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，则等腰三角
形的顶角度数为 ．
【答案】
或
【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和
以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，
，
，
为高，即
，
此时
，∴
，
若三角形为钝角三角形时，如图，
，
，
为高，即
，
此时
，综上，等腰三角形的顶角的度数为
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据
题意画出图形，并注意分类讨论．
例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点．如图，在6 行
列的长方形网格
中有两个格点A、B，连接
，在网格中再找一个格点C，使得
是等腰直角三角形，则满足条件的
格点C 的个数是（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①
为等腰直角
底边；②
为等腰直角
其中的一条腰．
【详解】如图：分情况讨论：
①
为等腰直角
底边时，符合条件的格点C 点有2 个；
②
为等腰直角
其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3 个．故共有5 个点，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数
形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直
角三角形ACD，则线段BD 的长为____．
【答案】
或
或
．
【分析】根据题意分类讨论，①
，②
，③
，分别作出图形，再结合已
知条件勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图，当
时，
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是等腰直角三角形，
,
，
；
②如图，当
时，过点
作
，交
的延长线于点
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
又
，
是等腰直角三角形，
，
在
中，
，
，
在
中，
，在
中，
；
③如图，当
时，
，
是等腰直角三角形，
，
在
中，
，在
中，
．
综上所述，
的长为：
或
或
．故答案为：
或
或
．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．
如图1，Rt△ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2 的△ABC 中，∠ABC＝110°，
若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是 ．
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【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，当∠BDC=90°，AD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD
时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，；
③如图，当∠ABD=90°，CD=BD 时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．
例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，A、B 两点的坐标分别为
，
，点P 是x 轴上一点，
且
为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．
【答案】
或
或
或
【分析】根据等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP 三种情况求解即可．
【详解】∵
为等腰三角形，①当
时，如图①，
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∵
，∴
，
∵
，∴
或
；
②当
时，如图② 作
于C 点，则
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．
③当
时，如图③，作
，∴
，∴
．
综上所述：点P 的坐标为
或
或
或
，
故答案为：
或
或
或
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性
质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键．
例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图，
中，
，
，
，若点
从点
出发，以每秒
的速度沿折线
运动，设运动时间为秒（
）．
(1)若点
在
上，且满足
，求此时的值；(2)若点
恰好在
的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，
为等腰三角形．
【答案】(1)
(2)
或
(3)
或
或
或3
【分析】（1）设
，则
，利用勾股定理求出
，在
中，依据
，列方程求解即可得到的值．（2）如图所示，当点P 在
上时，过
作
于
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，设
，则
，在
中，依据
，列方程求解即可得到
的值．当点
与点
重合时，点
也在
的角平分线上，此时，
．
（3）分四种情况：当
在
上且
时，当
在
上且
时，当
在
上且
时，当
在
上且
时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值．
【详解】（1）解：如图，设
，则
，
，
，
，
，
在
中，由勾股定理得
，
，解得
，
，
；
（2）解：如图所示，当点P 在
上时，过
作
于
，
平分
，
，
，
，
在
与
中，
，
，
，设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
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，解得
，
，
，
当点
与点
重合时，点
也在
的角平分线上，此时，
．
综上所述，点
恰好在
的角平分线上，的值为
或
．
（3）解：分四种情况：①如图，当
在
上且
时，∴
，
∵
，
，
，
，
是
的中点，即
，
．
②如图，当
在
上且
时，∴
．
③如图，当
在
上且
时，过
作
于
，
∵
，∴
，
在
中，由勾股定理得
，
，
．
④如图，当
在
上且
时，则
，
．
综上所述，当的值为
或
或
或3 时，
为等腰三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用．
画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
例10．（2022 春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过
的直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点
，直线
交x 轴负半轴于点D，若
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的面积为
(1)求直线
的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段
上（不与点
重合），过点P 作
x 轴的平行线交
于点E，设
的长为
，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使
为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点F 的坐标为
或
或
【分析】（1）据直线
交
轴正半轴于点
，交
轴于点
，
，设直线
解析式为
，
把
的坐标代入求得
的值，从而求得
的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出
的值，求出
的
值，从而求出
点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出
的解析式，先根据
的坐标求出直线
的解析式，将
点的横坐标代入直线
的解析式，求出
的纵坐标，将
的纵坐标代入直线
的解
析式就可以求出
的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使
为等腰直角三角形，
分三种情况分别以点
为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中
的值，就可以求出
点的坐标．
【详解】（1）解：
，∴设直线
的解析式为
，
∵直线
经过
，
，
，
∴直线
的解析式为
，
，
，
的面积为
，
，
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，
，
，
直线
的解析式为
（2）解：设直线
的解析式为
，
，
∴
，解得
．∴直线
的解析式为
；
∵点P 在
上，且横坐标为m，
，
轴，∴E 的纵坐标为
，
代入
得，
，解得
，
，
的长
；即
，
；
（3）解：在x 轴上存在点F，使
为等腰直角三角形，
①当
时，如图①，有
，
，
，
，解得
，此时
；
②当
时，如图②，有
，
的长等于点E 的纵坐标，
，
，解得：
，
∴点E 的横坐标为
，∴
；
③当
时，如图③，有
，
．
，
．作
，点R 为垂足，
，
，
．同理
，
．
∵点R 与点E 的纵坐标相同，
，∴
，解得：
，
，∴点F 的横坐标为
，
．
综上，在x 轴上存在点F 使
为等腰直角三角形，点F 的坐标为
或
或
．
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【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
模型2、直角三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性
质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角
是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt △ABC
方法：两线一圆
具体图解：①当∠BAC =90° 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）
②当∠ABC =90° 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。
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③当∠ACB =90° 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。
例1．（2023 春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4 和5，要使其成为直角三角形，则第三
边的长为 ．
【答案】3 或
/
或3
【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角
三角形，再分5 为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边．
【详解】解：当较大的数5 为斜边时，第三边
，
当第三边为斜边时，第三边
，故答案为：3 或
．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角
形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键．
例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图，
是
的角平分线，
是
的高，
，
，点F 为边
上一点，当
为直角三角形时，则
的度数为 ．
【答案】
或
【分析】分情况讨论：①当
时，②当
时，根据角平分线和三角形高线的定义分别
求解即可．
【详解】解：如图所示，当
时，
∵
是
的角平分线，
，
∴
，∴
中，
；
如图，当
时，
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同理可得
，∵
，∴
，
∴
，
综上所述：
的度数为
或
．故答案为：
或
．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想
是解题的关键．
例3．（2022 秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4 的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在
网格中再找一个格点C，使得△ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC
其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的C 点有0 个；
②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有3 个．
∵
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
都是等腰直角三角形，故共有3 个点，故选C．
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【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形
结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2
，0）、B（2，0）、C（0，
2）．点P 在x 轴上运动，当点P 与点A、B、C 三点中任意两点构成直角三角形时，点P 的坐标为________．
【答案】（0，0），（
，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B 在x 轴上，所以P、A、B 三点不能构成三角形．再分Rt△PAC 和Tt△PBC 两种情况
进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B 在x 轴上，∴P、A、B 三点不能构成三角形．
设点P 的坐标为（m，0）．当△PAC 为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P 在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，
，解得，m＝
，∴点P 的坐标为（
，0）；
当△PBC 为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P 在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P 的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P 的坐标为（0，0），（
，0），（﹣2，0）．
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【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗
漏的进行分类．
例5．（2022 秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC 为一边，在
△ABC 外作等腰直角△ACD，则线段BD 的长为 ．
【答案】或
或
【分析】根据题意分类讨论，①
，②
，③
，分别作出图形，再结合已
知条件勾股定理求解即可．
【详解】①如图，当
时，
是等腰直角三角形，
,
②如图，当
时，过点
作
，交
的延长线于点
，
，
是等腰直角三角形，
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，
又
是等腰直角三角形
在
中，
在
中，
在
中，
③如图，当
时
，
是等腰直角三角形，
，
在
中，
在
中，
综上所述，
的长为：或
或
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
例6.（2023 春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形
中，
，
，点
为射线
上的一个动点，若
与
关于直线
对称，若
为直角三角形，则
的长为
．
【答案】2 或18
【分析】分点
在线段
上，点
在线段
的延长线上两种情况讨论，由题意可得
，
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，
，
，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求
的长．
【详解】解：若点
在线段
上，
若
与△
关于直线
对称，
，
，
，
△
为直角三角形，
，
，
，
，
，
点
，点
，点
共线，
在
中，
．
，
，
若点
在线段
的延长线上，且点
在
上，
若
与△
关于直线
对称，
，
，
在
△
中，
，
，
，
，且
，
，
△
，
，
，故答案为：2 或18．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性
质解决问题是本题的关键
例7.（2023 秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在
中，
，
，点D 是边
上的点，将
沿
折叠得到
，线段
与边
交于点F．若
为直角，则
的长
是 ．
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【答案】
/
【分析】过点A 作
于点G，根据等腰三角形的性质可得
，从而得到
，
进而得到
，再由折叠的性质可得
，从而得到
，进而得到
，
即可求解．
【详解】解：如图，过点A 作
于点G，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵将
沿
折叠得到
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知
识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
例8．（2023 秋·河南商丘·八年级校考期中）如图，
中，
cm，现有两点M、N 分别
从点A、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为
，点N 的速度为
．当点N 第
一次到达B 点时，M、N 同时停止运动．
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(1)点M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？(2)点M、N 运动几秒后，可得到等边三角形
？
(3)当点M、N 在
边上运动时，能否得到以
为底边的等腰三角形
？如存在，请求出此时M、N
运动的时间．(4)点M、N 运动______________________后，可得到直角三角形
．
【答案】(1)6(2)2(3)存在，此时M、N 运动的时间为8 秒(4)
或
或
或9 秒
【分析】（1）首先设点M、N 运动x 秒后，M、N 两点重合，表示出M、N 的运动路程，N 的运动路程比
M 的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）根据题意设点M、N 运动t 秒后，可得到等边三角形
，然后表示出
，
的长，由于
，所以只要
，
就是等边三角形；
（3）首先假设
是等腰三角形，可证出
，可得
，设出运动时间，表示出
、
、
的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N 在
、
、
上运动的三种情况，
再分别就是
和
，列方程求解可得．
【详解】（1）解：设点M、N 运动x 秒后，M、N 两点重合，
则
，解得：
，即当点M、N 运动6 秒后，M、N 两点重合；
（2）解：设点M、N 运动t 秒后，可得到等边三角形
，如图1，
，
，
，
，
∵
，当
时，
是等边三角形，∴
，解得
，
∴点M、N 运动2 秒后，可得到等边三角形
；
（3）解：当点M、N 在
边上运动时，可以得到以
为底边的等腰三角形，
由（1）知6 秒时M、N 两点重合，恰好在C 处，
如图2，假设
是等腰三角形，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
是等边三角形，∴
，
在
和
中，∵
，
，
，
∴
（AAS），∴
，∴
，解得
，符合题意，
所以假设成立，当点M、N 运动8 秒时，可以得到以
为底边的等腰三角形；
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（4）解：当点N 在
上运动时，如图3，
，
，
，
，
若
，∵
，
，∴
，
∵
，∴
，即
，解得
；
如图4，若
，由
得
，解得
；
当点N 在
上运动时，点M 也在
上，此时A、M、N 不能构成三角形；
当点N 在
上运动时，如图5，
当点N 位于
中点处时，由
是等边三角形知
，即
是直角三角形，
则
，解得
；
如图6，当点M 位于
中点处时，由
是等边直角三角形知
，即
是直角三角形，
则
；
综上，当
，
，
，9 时，可得到直角三角形
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，
理清线段之间的数量关系．
例9．（2023 秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形
中，D、E 分别是
、
边上的点，
，
与
相交于点P，
，Q 是射线
上的动点．
(1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若
为直角三角形，求
的值．
【答案】(1)2，证明见解析(2)2 或8
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【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及
证明
即可；
（2）分
为直角，两种情况，结合30 度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：图中有2 组全等，
；
证明：∵等边三角形
，∴
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
；
在
和
中，
，∴
；
（2）解：∵
，∴
，
∴
，
∵Q 是射线
上的动点，当
为直角三角形时：
①当
时，如图，则：
，∴
；
②当
时，如图，则：
，∴
．
综上：
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形．熟练掌握等边
三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-4，4），点B
的坐标为（0，2）．（1）求直线AB 的解析式；（2）以点A 为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC 交x 轴的负
半轴于点C，射线AD 交y 轴的负半轴于点D．当∠CAD 绕着点A 旋转时，OC-OD 的值是否发生变化？若不
变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和N（2，0）是x 轴上的两个
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点，点P 是直线AB 上一点．当△PMN 是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P 的坐标．
【答案】（1）直线AB 的解析式为：y=-
x+2；（2）（2）不变．理由见解析；（3）点P 的坐标为（-4，
4）或（2，1）或（-
，
+2）或（
，-
+2）．
【分析】（1）设直线AB 解析式为y=kx+b，把A 与B 坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k 与b 的
值，即可确定出直线AB 解析式；（2）当∠CAD 绕着点A 旋转时，OC-OD 的值不变，理由为：过A 作AE 垂
直于x 轴，AF 垂直于y 轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A 的坐标得到AE=AF，再由已知直
角相等，利用ASA 得到三角形AEC 与三角形AFD 全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD，进而求出
OC-OD 的值即可；（3）分三种情况考虑：①当M 为直角顶点时；②N 为直角顶点时；③P 为直角顶点时；
分别求出P 坐标即可．
【详解】（1）设直线AB 的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点A（-4，4），点B（0，2）在直线AB 上，
∴
，解得：
．∴直线AB 的解析式为：y=-
x+2；
（2）不变．理由如下：过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E，F（如答图1），可得
∠AEC= AFD=90°
∠
，
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又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+ DAF=90°
∠
，
CAD=90°
∵∠
，即∠DAE+ CAE=90°
∠
，∴∠CAE= DAF
∠
，∵A（-4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，
在△AEC 和△AFD 中，
，∴△AEC
AFD
△
≌
（ASA），∴EC=FD，
OC-OD=
∴
（OE+EC）-（FD-OF）=OE+OF=8，则OC-OD 的值不发生变化，值为8；
（3）①当M 为直角顶点时，点P 的横坐标为-4，
∵点P 在直线AB 上，将x=-4 代入y=-
x+2 得，y=4，∴点P 的坐标为P（-4，4）；
②当N 为直角顶点时，点P 的横坐标为2，
∵点P 在直线AB 上，将x=2 代入y=-
x+2 得，y=1，∴点P 的坐标为P（2，1）；
③当P 为直角顶点时，∵点P 在直线AB 上，可设点P 的坐标为（x，-
x+2），
则MP2=（x+4）
2+（-
x+2）
2，NP2=（x-2）
2+（-
x+2）
2，
在Rt△PMN 中，MP2+NP2=MN2，MN=6，∴（x+4）
2+（-
x+2）
2+（x-2）
2+（-
x+2）
2=62，
解得：x1=-
，x2=
，∴P（-
，
+2）或（
，-
+2），
综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为（-4，4）或（2，1）或（-
，
+2）或（
，-
+2）．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
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课后专项训练
1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，点
，
，若点C 在x 轴上，
且
为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】分为
、
，
三种情况画图判断即可．
【详解】解：如图所示：当
时，符合条件的点有2 个；当
时，符合条件的点有1 个；
当
，即当点C 在
的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．符合条件的点C 有4 个．故选：
D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题
的关键．
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2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标为
，若
为
轴
上一点，且使得
为等腰三角形，则满足条件的点
有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【分析】分别以O、A 为圆心，以OA 长为半径作圆，与x 轴交点即为所求点M，再作线段OA 的垂直平分
线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，满足条件的点M 的个数为2．故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在
中，
，
，
．若点P 为直线
BC 上一点，且
为等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AB，分为三种情况：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．
【详解】解：在△ABC 中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，
由勾股定理的：
，
如图，以点A 为圆心，以10 为半径画圆，交直线BC 于两点，即点B 和点P1；
以点B 为圆心，以10 为半径画圆，交直线BC 于两点，即点P2和P3；
作线段AB 的垂直平分线交直线BC 与一点，即点P4；即共4 个点，故选：D
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【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．
4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C 为原点，C 所在直
线为y 轴，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M 使△MAB 为等腰三角形，符合
条件的 M 点有（ ）
A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同
一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】解：如图，
①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M1，M2，交BC 有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M5，M4，交AC 有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB 的垂直平分线交AC 一点M7（MA＝MB），交直线BC 于点M8；∴符合条件的点有8 个．故选：C．
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【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，
思考要全面，做到不重不漏．
5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是
，则底角是 ．
【答案】
或
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形的内部、三角形的边上、三角形的外部，
根据条件可知第二种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论即可得解．
【详解】解：①当高在三角形内部时，如图：
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
；
②当高在三角形外部时，如图：
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．
∴综上所述，底角是
或
．故答案是：
或
．
【点睛】本题主要考查了与三角形的高有关的计算、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质三角形的
分类以及等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键．
6．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等
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腰三角形的“特征值”，记作k．若
，则该等腰三角形的顶角为 度．
【答案】90
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵
，∴设顶角
，则底角
，∴
，
∴
，∴该等腰三角形的顶角为
，故答案为：90．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，
中，
，
，
的平分线与线段
交
于点
，且有
，点
是线段
上的动点（与A、
不重合），连接
，当
是等腰三角形
时，则
的长为___________．
【答案】4 或
【分析】现根据已知条件得出
，再根据BC=6，分别求出AB、AC、BD、
AD、CD 的长，然后分类讨论即可．
【详解】解：∵
ABC 中BD 平分
ABC，∴
CBD=
ABD，
∵BD=AD，∴
ABD=
BAD，∴
CBD=
ABD=
BAD，
∵
ACB=90°，∴
CBD+
ABD+
BAD=90°，∴
CBD=
ABD=
BAD=30°,
∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=
，
∵
，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，
∴CD=
， BD=
= AD；
（1）当BE=BD=
时，如图：
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（2）当BE=DE，如图：∵BE=DE，∴
EDB=
ABD=30°，∴
AED=
EDB+
ABD=60°，
∴
ADE=180°-
AED-
A=180°-60°-30°=90°，∴
ADE 为直角三角形，
又∵
且AD=
，∴DE=4，∴BE=4；
（3）当BD=DE，时，点E 与A 重合，不符合题意；
综上所述，BE 为4 或
．故答案为：4 或
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，30°直角三角形的性
质的应用，按三种不同的情况进行讨论是解题的关键．
8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个
动点，分别连接BP 和PQ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形
都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．
【答案】7
【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ 时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC 时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ 时；
④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC 时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：如图所示，共有9 种情况，∠C 的度数有7 个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，
50°．
①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ 时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC 时，
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③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ 时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ 时，
⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ 时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ 时；
⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC 时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC 时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC 时．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC 中，ABAC5，BC8，E 是BC 上的一个动
点，将△ABE 沿着AE 折叠到△ADE 处，再将边AC 折叠到与AD 重合，折痕为AF，当△DEF 是等腰三角形
时，BE 的长是___________．
【答案】
或
或
．
【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．
【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF 时，如图1，
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此时DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B= C
∠，
在△ABE 和△ACF 中，
∴△ABE
ACF
≌△
，∴AE=AF，
AD
∴
垂直平分EF，∴EH=FH，
，
∴
，∴
，
设
，则
，则在直角△DHE 中，
，解得
，
当DE=EF 时，如图2，作AH BC
⊥
于H，连接BD，延长AE 交BD 于N，
可知BE=DE=EF，∵AH BC
⊥
，AB=AC，BC=8 BH=CH=4
∴
，
∴
，设
，则
，
∴
，即
AB=AD
∵
，∠BAN= DAN
∠
，∴AN BD
⊥
，BN=DN，∴
，∴
在△AHE 和△BNE 中，
∴△AHE
BNE
≌△
，∴AE=BE，
设
，则
，在直角△AEH 中，
，解得
，
当DF=EF 时，如图3，过A 作AH BC
⊥
于H，延长AF 交DC 于M，
同理
∴
故答案为：
或
或
．
【点睛】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·二模）如图，在
的纸片中，
，
，
．点
在边
上，
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以
为折痕将
折叠得到
，
与边
交于点
．若
为直角三角形，则
的长是
_______．
【答案】7 或
【分析】由勾股定理可以求出BC 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，
可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD 的长．
【详解】解：在
中，
，
（1）当
时，如图1，
过点
作
，交
的延长线于点
，由折叠得：
，
，
设
，则
，
，在
中，由勾股定理得：
，
即：
，解得：
（舍去），
，因此，
．
（2）当
时，如图2，此时点
与点
重合，
由折叠得：
，则
，设
，则
，
，
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在
△
中，由勾股定理得：
，解得：
，因此
．故答案为：7 或
．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类
的原则是不遗漏、不重复．
11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，
∠AOC＝60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为____．
【答案】
或
或1
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC= BOP=60°
∠
，易得
∠BPO=30°，易得BP 的长，利用勾股定理可得AP 的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图
1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP 为等边三角形，利用勾股定理可得
AP 的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
AOC= BOP=60°
∵∠
∠
，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=
，
在直角三角形ABP 中，AP=
；
当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，
AOC=60°
∵∠
，∴∠BOP=60°，∴△BOP 为等边三角形，∴BP=OB=1，∵AB=BC=2，∴AP=
；
情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
AOC=60°
∵∠
，∴△AOP 为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：
或
或1．
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．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜
边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
12．（2023 春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在
中，已知
，
，
．
，
在直线上．现将
在直线上进行平移，当
为直角三角形时，
的长为
．
【答案】
或或
【分析】先进行分类讨论，通过平移的性质可知
，
，最后通过
所
对直角边是斜边的一半和等边三角形答性质即可求解．
【详解】∵
，
，
，∴
，
，
如图，当
在
的左侧，且
时，
∵
为直角三角形，∴
，∴
，∴
，∴
；
如图，当
在线段
上，且
时，
即
为直角三角形，∴
，∴
；
如图，当
在线段
上，且
时，
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即
为直角三角形，∴
，∵
，∴
，
∴
为等边三角形，∴
，故答案为：
或或．
【点睛】此题考查平移和特殊三角形的性质，解题关键是熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质和判定．
13．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形
是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐
标系中，使得点
与坐标原点重合，点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，点
的坐标为
，
的坐
标为
，现将纸片沿过
点的直线折叠，使顶点
落在线段
上的点
处，折痕与
轴的交点记为
．
(1)求点
的坐标和
的大小；(2)在
轴正半轴上是否存在点
，满足
，若存在，求出
点坐标，若不存在请说明理由；(3)点
在直线
上，且
为等腰三角形，请直接写出点
的坐标．
【答案】(1)
，
；(2)
；(3)
，
，
，
．
【分析】（1）先求解
，
，可得
，
，从而可得
，如图，取
的
中点
,连接
,而
，再证明
为等边三角形，可得答案；
淘宝：学思创想
（2）先证明
，
,可得
,求解
，可得
为
，过
作
交x 轴于Q，设
， 可得
.，从
而可得答案；（3）由
为
，设
，而
,可得
,再分三种情况讨论即可.
【详解】（1）解：∵点
的坐标为
，
的坐标为
，
∴
，
，∴
，
，∴
，
如图，取
的中点
,连接
,而
，
∴
，∴
为等边三角形，∴
.
（2）解：∵折叠，
，∴
，
，
∴
，
,∴
,∴
，
设
为
，∴
，解得：
，
∴
为
，过
作
交x 轴于Q，
设
，代入
，∴
，解得：
，
得
.令
，则
∴
淘宝：学思创想
（3）解：∵
为
，设
，而
，
∴
，
当
时，
，解得：
，∴
，
当
时，∴
，解得：
，（
舍去），∴
，
当
时，∴
，解得：
，∴
或
，
综上：
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，直角三角形斜边上的中线的性质，轴对称的性质，利用待定系数法求
解一次函数的解析式，一次函数的性质，含
的直角三角形的性质，二次根式的混合运算，勾股定理的
应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，本题的综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高.
14．（2023 秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形
的
顶点A、B 分别在x 轴与y 轴上，已知
，
，点D 为y 轴上一点，其坐标为
，点P 从点A
出发以每秒1 个单位的速度沿线段
的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动．
(1)当点P 与点C 重合时，求直线
的函数解析式；(2)设运动时间为t 秒．当点P 在运动过程中，
①求
的面积S 关于t 的函数解析式；②是否存在等腰三角形
？若存在，请求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)
(2)①
；②存在等腰三角形
，点P 的坐标为
或
或
．
【分析】（1）求出
，用待定系数法可得直线
的函数解析式为
；
（2）①当
，即
在
上时，
；当
，即
在
上时，
；
②
，
，知
在
上时，
不可能是等腰三角形，当
在
上时，
，
，
，分三种情况：若
时，
，当
时，
，当
时，
，分别解方程可得答案．
【详解】（1）解：
，
，四边形
是长方形，
，
当点
与点
重合时，设直线
的函数解析式为
，
把
，
代入得：
，解得
，
直线
的函数解析式为
；
（2）解：①当
，即
在
上时，如图：
；
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当
，即
在
上时，如图：
，
；
②存在等腰三角形
，理由如下：如图：
，
，
，
在
上时，
不可能是等腰三角形，
当
在
上时，
，
，
，
若
时，
，解得
（舍去）或
，
；
当
时，
，解得
或
（舍去），
；
当
时，
，解得
，
；
综上所述，点
的坐标为
或
或
．
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分
类讨论思想的应用．
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15．（2022 春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系
中，直线
交
轴于
点
，交
轴于点
，点
是线段
上一动点（不与点
重合），过点
作
于点
．
(1)当点
是
中点时，求
的面积；(2)连接
，若
平分
，求此时点
的坐标；
(3)
平分
，在
轴上有一动点
，
横坐标为
，过点
作直线
轴，与线段
有交点，求
的取值范围；(4)
平分
，
为
轴上动点，
为等腰三角形，求
坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)点
的坐标为
或
或
或
【分析】（1）连接
，先求出点
，点
，可得
，
，由勾股定理可求
的长，
由面积法可求
的长，由勾股定理可求
的长，即可求解；（2）由“
”可证
≌
，可
得
，
，由勾股定理可求
的值，即可求点
坐标；（3）由
得，若
平分
，P（
，0），由面积法可
的长，由勾股定理可求
的长，即可得
的取值范围；
（4）分
、
、
三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接
，
直线
交
轴于点
，交
轴于点
，
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点
，点
，
，
，
，
点
是
中点，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接
，
平分
，
，又
，
，
≌
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）过点
作
轴于点
．
由
得，
＝
，
，
－
＝
，
∴
,
＝
，
＝
，
的取值范围
；
（4）设点
，过点
作
轴于点
，则
，
同理可得：
，
，
当
时，即
，解得
或
舍去；
当
时，同理可得
；当
时，同理可得
或，
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故点
的坐标为
或
或
或
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．（2023 春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长为1
个单位长度，存在线段
，端点A，B 均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出点A，B 的坐标：A（______，______）， B（______，______）；
(2)请在网格中找到点C，连接
，
，使
为等腰直角三角形，此时点C 的坐标为______；
(3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P 的横纵坐标均为整数，连接
，
，得到锐角
，且
为等腰三角形，则满足条件的点P 有_____个．
【答案】(1)0；1；1；
(2)
或
或
(3)4
【分析】（1）根据图中A、B 点的位置，写出点A、B 的坐标即可；
（2）根据题意画出图形，写出点C 的坐标即可；（3）画出图形找出符合条件的点P，得出答案即可．
【详解】（1）解：点A，B 的坐标分别为：
，
；故答案为：0；1；1；
．
（2）解：当点B 为直角顶点时，点C 的坐标为
；
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当点A 为直角顶点时，点C 的坐标为
或
；
故答案为：
或
或
．
（3）解：如图所示：满足条件的点P 有4 个．故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义，
数形结合．
17．（2023 秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-1，0)，点B 是直
线
上的动点，连接AB，设点B 的横坐标为
．
(1)如图1，当
时，以AB 为直角边在AB 下方作等腰直角三角形ABC，使
，求点C 的坐标．
(2)如图2，把线段AB 绕点A 顺时针旋转
得到线段AD，当点B 在直线
上运动时，点D 也随之
运动，连接OD，求
AOD 的面积（用含
的代数式表示）．
(3)在图3 中以AB 为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E 落在直线
上时，求
的值．
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【答案】(1)
(2)
(3)
的值为
或
或−3 或8 或9
【分析】（1）如图1，过
作一条平行与
轴的直线
，作
于
，
于
，证明
，有
，
，进而可表示
的坐标；
（2）如图2，过
作一条平行与
轴的直线
，作
于
，
于
，连接
，可证
，进而可得
点坐标，表示出面积即可；（3）①当
时，
，如
图①，根据三角形全等可得
，
点坐标，将坐标代入
中，计算求解即可；当
时，
，如图②，当
时，
，如图③，求解方法同①．
【详解】（1）解 ：∵
∴
如图1，过
作一条平行与
轴的直线
，作
于
，
于
，∴
∴
，
∵
,
,∴
在
和
中∵
∴
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∴
，
∴
．
（2）解：如图2，过
作一条平行与
轴的直线
，作
于
，
于
，连接
，
∴
，
∴
，
同（1）可知
∴
，
∴
∴
当
时，
；当
时，
；
∴
．
（3）解：①当
时，
，如图①，
由（2）可知
，
将点
、
分别代入
得
和
解得
和
；
②当
时，
，如图②，
淘宝：学思创想
由（2）可知
，
将点
、
分别代入
得
和
解得
和
；
③当
时，
，如图③，
由（2）可知
，
将点
、
分别代入
得
和
解得
和
综上所述，
的值为
或
或
或 或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性
质．解题的关键在于分情况求解．
18．（2023 秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)
的直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点C，OB=OC，直线AD 交x 轴负半轴于点D，若△ABD 的面积为27．
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（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A，B 重合），过点P 作x 轴的平行
线交AD 于点E，设PE 的长为y（y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若
不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x+10；（2）y=
m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，点F 的坐标为(
，0)或(-
，0)或(-
，
0)
【分析】（1）根据直线AB 交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点C，OB=OC，设出解析式为y=-x+n，把A 的坐
标代入求得n 的值，从而求得B 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD 的值，求出OD 的值，从而
求出D 点的坐标，直接根据待定系数法求出AD 的解析式；
（2）先根据B、A 的坐标求出直线AB 的解析式，将P 点的横坐标代入直线AB 的解析式，求出P 的总坐标，
将P 点的总坐标代入直线AD 的解析式就可以求出E 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；
（3）要使△PEF 为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、F 为直角顶点，根据等腰直角三角形的性
质求出（2）中m 的值，就可以求出F 点的坐标．
【详解】（1）∵OB=OC，∴设直线AB 的解析式为y=-x+n，
∵直线AB 经过A（-2，6），∴2+n=6，∴n=4，
∴直线AB 的解析式为y=-x+4，∴B（4，0），∴OB=4，
ABD
∵△
的面积为27，A（-2，6），∴S△ABD=
×BD×6=27，
BD=9
∴
，∴OD=5，∴D（-5，0），设直线AD 的解析式为y=ax+b，
∴
，解得
．∴直线AD 的解析式为y=2x+10；
（2）∵点P 在AB 上，且横坐标为m，∴P（m，-m+4），
PE
∵
∥x 轴，∴E 的纵坐标为-m+4，代入y=2x+10 得，-m+4=2x+10，
解得x=
，∴E（
，-m+4），∴PE 的长y=m-
=
m+3；
即y=
m+3，（-2＜m＜4），
（3）在x 轴上存在点F，使△PEF 为等腰直角三角形，
①当∠FPE=90°时，如图①，
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有PF=PE，PF=-m+4PE=
m+3，∴-m+4=
m+3，解得m=
，此时F（
，0）；
②当∠PEF=90°时，如图②，有EP=EF，EF 的长等于点E 的纵坐标，
EF=-
∴
m+4，∴-m+4=
m+3，解得：m=
．∴点E 的横坐标为x=
=-
，∴F（-
，0）；
③当∠PFE=90°时，如图③，有 FP=FE，∴∠FPE= FEP
∠
．
FPE+ EFP+ FEP=180°
∵∠
∠
∠
，∴∠FPE= FEP=45°
∠
．作FR PE
⊥
，点R 为垂足，
PFR=180°- FPE- PRF=45°
∴∠
∠
∠
，∴∠PFR= RPF
∠
，∴FR=PR．同理FR=ER，∴FR=
PE．
∵点R 与点E 的纵坐标相同，∴FR=-m+4，∴-m+4=
（
m+3），解得：m=
，
PR=FR=-
∴
m+4=-
+4=
，∴点F 的横坐标为
-
=-
，∴F（-
，0）．
综上，在x 轴上存在点F 使△PEF 为等腰直角三角形，点F 的坐标为（
，0）或（-
，0）或（-
，
0）．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
19．（2023 秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为
，点B 的坐
标为
．(1)求直线
的表达式；(2)点M 是坐标轴上的一点，若以
为直角边构造
，请求
出满足条件的所有点M 的坐标；(3)如图2，以A 为直角顶点作
，射线
交x 轴的正半轴于点
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C，射线
交y 轴的负半轴于点D，当
绕点A 旋转时，求
的值．
【答案】(1)
(2)M 点的坐标为
或
或
(3)8
【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据题意进行分类讨论：①当
时，过A 作
的垂线，交y 轴于点
，交x 轴于点
，根据两点之间的距离公式以及勾股定理，列出方程求解即可；
②当
时，过点B 作
的垂线交y 轴于点
，用相同的方法即可求解；（3）过点A 分别作x
轴，y 轴的垂线，垂足分别为G，H，通过证明
，得出
，即可得出
．
【详解】（1）解：设直线
的解析式为：
，
∵
，
在直线
上，
∴
，解得：
，∴直线
的解析式为：
；
（2）解：∵
是以
为直角边的直角三角形，∴有
或
，
①当
时，如图：
淘宝：学思创想
设点
，
，∵
，
，
∴
，
，
，
，
，
在
中，根据勾股定理可得：
，
即
，解得：
，∴
，
在
中，根据勾股定理可得：
，
即
，解得：
，∴
，
②当
时，如图：
过点B 作
的垂线交y 轴于点
，设
，∵
，
，
∴
，
，
，
在
中，根据勾股定理可得：
，
即
，解得：
，∴
．
综上：M 点的坐标为：
或
或
．
（3）解：过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为G，H，如图：
淘宝：学思创想
则
，又∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查案例一次函数的图象和性质，勾股定理，两点之间的距离公式，三角形全等的判定
和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，坐标轴上点的坐标特征．
20．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
与x 轴交于点A，
与y 轴交于点B，过点B 的直线交x 轴的正半轴于点C，且
面积为10．
(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若点M 为线段BC 上一点，且满足
，求点M 的坐标；
(3)如图2，点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上任意一点，连接FG，以FG 为腰，G 为直角顶点，在FG 右
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侧作等腰直角
，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
，
【分析】（1）先求出
，
，即有
，
，再根据
，可得
，即可得
，即有
，再利用待定系数法即可求解；
（2）设M 点坐标为：
，由
，
，即可得
，问题随之得解；
（3）利用中点坐标公式求出
，设
，第一种情况：当
时，如图，点Q 落在BC 上时，
过G 作直线平行于x 轴，过点F，Q 作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明
，即有
，
，结合
，可表示出
，代入直线BC 的解析式即可求解；第二种情
况：当
时，如图，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F，Q 作该直线的垂线，垂足分
别为T，N，同理作答即可．
【详解】（1）令
，则有：
，解得
，令
，则有：
，
∴
，
，∴
，
，∵
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，设BC 的解析式为：
，∴
，
，
∴
，解得：
，∴
的解析式为：
；
（2）根据题意设M 点坐标为：
，∵
，
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，∵
，
，
，
，
∴
，解得：
，
，∴M 点的坐标为：
；
（3）∵
，
，点F 为线段AB 中点，∴
，设
，
第一种情况：当
时，如图，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F，Q 作该直线的垂线，
垂足分别为T，N，即：
轴，
，
，即：
，
∵
等腰直角三角形，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
，
，
∵
轴，∴点T 和点N 的纵坐标与G 点相等，均为n，
∵
，
，∴
，
，
∴
，
，∴
，∴
，
∵
落在直线BC 上，BC 的解析式为：
，
∴
，解得：
，∴
，
第二种情况：当
时，如图，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F，Q 作该直线的垂线，
垂足分别为T，N，即：
轴，
，
，即：
，
根据第一种情况中的方法，同理可证：
，∴
，
，
∵
轴，∴点T 和点N 的纵坐标与G 点相等，均为n，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，
，
∴
，
，∴
，∴
，
∵
落在直线BC 上，BC 的解析式为：
，
∴
，解得：
，∴
，综上：G 点坐标为：
，
．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三
角形解决问题，属于中考压轴题．
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