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专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型
特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并
且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在
处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三
角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论
情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15
..................................................................................................................................................26
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模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型
1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶
角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底
和腰的原理相同。
2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰
上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
例1．（24-25 九年级上·山东·期末）若等腰
内接于
，
，
，则
底角
的度数为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，那么这个
等腰三角形的顶角等于（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
例3．（2023 春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y 满足
，则以，的值为两边长的
等腰三角形的周长是（ ）
A．20 或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
例4．（2024 八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为
，
，
，则等腰三角形的周
长为（ ）
A．10 B．7 或10 C．7 或4 D．10 或7 或4
例5．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为
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和
两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ．
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型
1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
等腰三角形的两种分类讨论方法
方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。
如图：已知A ，O 两点是定点，在坐标轴上找一点P 构成等腰△OAP 。
①以已知线段OA 为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2 个）；
②以已知线段OA 为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以O 为圆心的有4 个，
以A 为圆心的有2 个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用
“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。
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例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，点
的坐标为
，若
为
轴
上一点，且使得
为等腰三角形，则满足条件的点
有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割
线．如图1，Rt△ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2 的△ABC 中，∠ABC＝
110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是 ．
例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，
中，
，
，射线
从射线
开始
绕点C 逆时针旋转
角
，与射线
相交于点D，将
沿射线
翻折至
处，射
线
与射线
相交于点E．若
是等腰三角形，则
的度数为 ．
例4．（2023 春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P
是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，
中，
于D，且
，
(1)试说明
是等腰三角形；(2)已知
，如图2，动点M 从点B 出发以每秒
的速度沿线
段
向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段
向点C 运动，当其中一点到达终点时整
个运动都停止．设点M 运动的时间为t（秒），①若
的边与
平行，求t 的值；②若点E 是边
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的中点，问在点M 运动的过程中，
能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过
的
直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点
，直线
交x 轴负半轴于点D，若
的面积为
(1)求直线
的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段
上（不与点
重合），过点P 作
x 轴的平行线交
于点E，设
的长为
，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使
为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
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模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2 或2.5
B．5 或
C．2.5 或
D．2.5 或
例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图，
是
的角平分线，
是
的高，
，
，点F 为边
上一点，当
为直角三角形时，则
的度数为 ．
例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在
中，
，
，
，点D 是
的中
点，点E 是斜边
上一动点，沿
所在直线把
翻折到
的位置，
交
于点F，若
为直角三角形，则
的长为 ．
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，
如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
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“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B 和直线l，在l 上求点P，使△PAB 为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A 为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A 作AB 的垂线，与已知直线l 的交点P1即为所求；
②以B 为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B 作AB 的垂线，与已知直线l 的交点P2即为所求；
③以P 为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB 的中点Q 为圆心，QA 的长为半径画圆，与已知直线l 的交点
P3，P4即为所求．
代数法计算：分别表示出点A，B，P 的坐标，再分别表示出AB，AP 和BP 的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②
AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况
不存在。
几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角
形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
例1．（2023 九年级·广东·专题练习）如图，已知
，C 为坐标轴上一点，且
是直角
三角形，则满足条件的C 点有( )个．
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A．6
B．7
C．8
D．9
例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知
，以
为一边在
外部作等腰直角
．则点
的坐标为 ．
例3．（22-23 八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在
中，
，点
是射线
上的一个动点．（1）当
为直角三角形时，
的长为 ．
（2）若点
在边
的下方，当
为直角三角形时，
的长为 ．
例4．（23-24 九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边
的边长为
，点Q 是
的中点，若动点
P 以
的速度从点A 出发沿
方向运动，设运动时间为t 秒，连接
，当
是直角三角
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形时，则t 的值为 秒．
例5．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(0，2)，△ABO 为
等边三角形，P 是x 轴上的一个动点（不与O 点重合），将线段AP 绕A 点按逆时针旋转60°，P 点的对应
点为点Q，连接OQ，BQ。(1)点B 的坐标为 ；(2)①如图①，当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：
∠ABQ=90°；
②当点P 在x 轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；
(3)在点P 运动的过程中，若△OBQ 是直角三角形，直接写出点P 的坐标.
例6．（2023 秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】
如图，将含有
的三角板的直角顶点放在直线l 上，过两个锐角顶点分别向直线l 作垂线，这样就得到了
两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这
模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，①则
_________；②C，D 是正比例函数
图像上的两个动点，连接AD，BC，若
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，则AD 的最小值是_______；(2)如图2，一次函数
的图像与y 轴，x 轴分别交
于A，B 两点．将直线
绕点A 逆时针旋转
得到直线l，求直线l 对应的函数表达式；
【模型拓展】(3)如图3，点A 在x 轴负半轴上，
，过点A 作
轴交直线
于点B，P
是直线
上的动点，Q 是y 轴上的动点，若
是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角
形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．
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1．（2023 秋·广东八年级课时练习）若
是等腰三角形，
，则
的度数是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
或
2．（2024·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
关于
轴的对称
点
，点
是
轴上的一个动点，当
是等腰三角形时，值个数是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（23-24 九年级上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系
中，过原点
及点
、
作长
方形
，
的平分线交
于点
.点
从点
出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线
方向
移动；同时点
从点
出发，以每秒2 个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为秒，当
为直角三角形时为（ ）
A．2 或
B．2 或
C．
或
D．2 或
或
4．（23-24 八年级下·江西九江·期末）如图，在
中，
，将一块足够大的直角三角尺
（
，
）按如图放置，顶点P 在边AC 上滑动，三角尺的直角边
始终经过点B，斜
边
交
于点D，若点P 在滑动中恰能使
与
均为等腰三角形，则∠C 的度数为 ．
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5．（2023 春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
，则等腰三角形的
底角的度数是 ．
6．（23-24 九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在
中，
，点
分
别是
的中点，在射线
上有一动点
，若
是直角三角形，则
的长为 ．
7．（2024·河南郑州·三模）在矩形
中，
，
为CD的中点，取
的中点
，连接
，
当
为直角三角形时，
的长为 ．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，点
是
的中
点，点
是边
上一动点，沿
所在直线把
翻折到
的位置，
交
于点
，若
为直角三角形，则
的长为 ．
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9.（2024·江西南昌·模拟预测）在
中，
，
，
，点
为平行四边形
边
上的动点，且满足
是直角三角形，则
的长度是 ．
10．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，
的顶点
，
的坐标分别为
，
，点
绕点
顺时针旋转
到点
，连接
，
，若
为直角三角形，则点
到
轴的距离为 ．
11．（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片
中，
，
，点
是
的中点，点
是
边上的一个动点，将
沿
所在直线翻折，得到
，连接
，
，则
当
是等腰三角形时，
的长是 ．
12．（2023 春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为
的等腰三角形，它的一个内角是
，则以它
的腰长为边的正方形的面积为 ．
13．（2023·安徽·九年级专题练习）在矩形
中，
，
，点
，
分别为
，
上的两
个动点，将
沿
折叠，点
的对应点为
，若点
落在射线
上，且
恰为直角三角形，
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则线段
的长为 ．
14．（2023 春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，
，点
在边
上，
，点
为边
上一动点，连接
，
与
关于
所在的直线对称，点
，
分别为
，
的中点，
连接
并延长交
所在直线于点
，连接
，当
为直角三角形时，
的长为
15．（23-24 八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1 条线段将一个三角形分割成2 个等腰三角形，我
们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2 条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把
这2 条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，
是
的“双等腰线”，
、
是
的“三等腰线”．
(1)请在图2 三个图中，分别画出
的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
①
；②
，
；③
，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3，
中，
，
．画出
所有可能的“三等腰线”，使得对
取值范
围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补
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充）
16．（2024·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系中有矩形
，
，
，连接
，
点
从顶点
出发以1.5 个单位/秒的速度在线段
上向
点运动，同时点
从顶点
出发以1 个单位/秒
的速度在线段
上向
点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点
作
，交
于点
，连接
，设运动时间为秒．（1）当
时，
______．
（2）设
的面积为，写出关于的函数表达式，并写出
的面积最大时点
的坐标；
（3）直接写出运动过程中，
为等腰三角形时的值．
17．（2023 春·重庆渝中·八年级校考期末）如图，
中，以
，
为边，分别在各自的上方作等边
三角形
，等腰三角形
，
，
，连接
，
；
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(1)如图1，若
，
，求
的面积
(2)如图2，点
为
中点，求证：
(3)如图3，
，
，点
为直线
上的动点，连接
，作
关于
所在直线
的对称图形，记作
，连接
，
，当
直角三角形时，请直接写出
的度数．
18．（2023·八年级重庆校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴交于点
，与
轴
交于点
.点
的坐标为
，点
在
轴上，
.
（1）点
在
上，其横坐标为
，点
、
分别是
轴、
轴上的动点，连接
，将
沿
翻折得
，点
是直线
上的一个动点，当
最大时，求
的最小值；
（2）将
绕点
逆时针旋转90°得直线
，点
、
分别是直线
与直线
上的动点，当
是以
为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点
的坐标.
