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专题30 解直角三角形模型之12345模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
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模型1.“12345”模型及衍生模型...................................................................................................................1
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模型1.“12345”模型及衍生模型
（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格交点）。
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB= ，tan∠PBA= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
12345基础模型 模型还可变式为
； 变式1： ；变式2： 。证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在
DC 上取一点 F 使得 DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故 tan∠DAF= ，tan∠BAE= ，
tan∠FEC= ，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
图1
证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，
在DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，
故tan∠DAF= ，tan∠BAE= ，tan∠FEC= ，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。
注意：下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。
（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；（5）∠α+∠β＝90°； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来
解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，
但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接
BD．若 ， ，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】法1：先根据 ， ，再由12345 模型知：∠BDC＝45°，从而可求出CD．
法2：先根据锐角三角函数值求出 ，再由勾股定理求出 过点D作 于点E，依据三
角函数值可得 从而得 ，再由 得AE=2，DE=1，由勾股定理得
AD= ，从而可求出CD．【详解】法1：∵ ， ，∴根据 12345 模型知：∠BDC＝45°，
∵ ，∴三角形BCD为等腰直角三角形，∵ ，∴CD=
法2：在 中， ， ，∴ ∴
由勾股定理得, 过点D作 于点E，如图，
∵ ， ，∴
∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ ∴ ,
在 中, ∴
∵ ∴ 故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折
至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A． B．2 C． D．3【答案】C
【分析】法1：连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt ADE≌Rt AFE，得到
DE=EF，设DE=x，在Rt CEG中利用勾股定理建立方程求解．法2：先求出△∠GAE=4△5°，再利用12345模
型的变式，求解即可。 △
【详解】解：法1：如图所示，连接AE，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD=8，∠B=∠C=∠D=90° ∵G为BC的中点∴BG=GC=4
由折叠的性质可得AF=AB=8，BG=GF=4，在Rt ADE和Rt AFE中，
∵AE=AE，AF=AD=8，∴Rt ADE≌Rt AFE（H△L）∴DE=E△F
△ △
设DE=EF=x，则EC=8-x 在Rt CEG中，GC2+EC2=GE2，即 解得 故选：C．
△
法2：由法1知：Rt ADE≌Rt AFE，∴∠DAE=∠FAE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，
△ △
∵∠DAB=90° ，∴∠GAE=45°，∵AB=8，G是BC的中点，∴ ，
由12345模型变式知： ，∵AD=8，∴DE ，故选：C．
【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解
题的关键．
例3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形 中， ， ，
，E是 上一点，且 ，则 的长度是（ ）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【答案】B
【分析】法1：过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，利用12345模型变式求解即可。
法2：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，可证明四边形ABCF是
正方形，可得DF的长，根据角的和差关系可得∠DCF=∠GCB，利用ASA可证明△DCF≌△GCB，可得
CD=CG，BG=DF，根据∠DCE=45°可知∠ECG=∠DCE=45°，利用SAS可证明△DCE≌△GCE，可得
DE=GE，根据S ABCF=S AED+2S GCE列方程可求出AE的长，进而求出GE的长即可得答案．
正方形
△ △
【详解】法1：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，
∵ ， ， ，∴四边形ABCF是正方形，DF=1，CF=4，∴ ，
由12345模型变式(即： )知：
∵BC=4，∴BE ，AE ，∵AF=4，DF=1，∴AD=3，∴DE ，故选：B．
法2：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，CG⊥CD，交AB延长线于G，
∵ ， ， ，∴四边形ABCF是正方形，DF=1，
∵∠DCF+∠BCD=90°，∠GCB+∠BCD=90°，∴∠DCF=∠GCB，在△DCF和△GCB中， ，∴△DCF≌△GCB，∴CG=CD，BG=DF=1，
∵∠DCE=45°，CG⊥CD，∴∠ECG=∠DCE=45°，
在△DCE和△GCE中， ，∴△DCE≌△GCE，
∴S GCE=S DCE，DE=GE，∴S ABCF=S AED+2S GCE，
正方形
△ △ △ △
∴ AE·AD+2× GE·BC=AB2，即 ×3AE+4（5-AE）=42，解得：AE=1.6，∴DE=GE=5-AE=3.4．故选：
B．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题
关键．
例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，连接
，点 是线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】．法1：过点作AH//FM，交DC于点H，先求出∠HAE=45°，再用12345模型的变式，求解即可。
法2：连接 交 于N，过点F作 于H，由正方形的性质得 ， ，
， ，由勾股定理得 ，再证明 ，得
，从而求得 ， ，继而求得 ， ，，然后证明 ，得 ，即 ，从而求得 ，继
而求得 ，最后证明 ，得∴ ，即 ，从而可求得 ．
【详解】法1：过点作AH//FM，交DC于点H，
∵正方形 ，∴ ，∴四边形AFMH为平行四边形。∵ ，∴
∵点 ， 分别为 ， 的中点， ，∴BE=AF=HM=2，∴ ，
∵ ，由12345模型变式知： ，∵AD=4，∴ ，∴ ，
法2：连接 交 于N，过点F作 于H，如图，
∵正方形 ，∴ ， ， ， ，
∴ ，∵点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ， ，∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，故答案为： ．【点睛】本题词考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似
三角形判定与性质是解题的关键．
例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若
√5
AE= ∠EAF=45°，则AF的长为 .
，
【答案】
√5
【解析】根据 AB=2，AE= ，∠B=90°得到：BE=2，可得 tan∠BAE= ，
∵∠FAE＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，
根据 12345 模型知：tan∠DAF= ，∴DF= ，
再根据勾股定理求得：AF= ，故答案为：
例6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于
两点，已知点 ，点 为线段 的中点，连结 ，若 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】法 1：由 12345 模型求解；法 2：构造相似三角形 ，对 的取值分析进行讨论，
在 时，点 在 轴的负半轴，而此时， ，不合题意；故 ．由相似比求得边
的相应关系．
【详解】法 1：∵一次函数 的图像分别交x、y轴于点A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠PAO=α，∠OPC=β，
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
∵点P为线段OB的中点，∴P（0， ），PO= ，可得 tanα= ，
根据 12345 模型知：tanβ= ，∴3OC=OP，∵C（2,0）∴OP=6，∴OB=OA=12，m=12．
法 2：作 ，连接 ．则 ， ,如图，
由 可得 ．∴ ， ∴ ．
当 时， ，
所以，此时 ，故不合题意．∴ ．
∵ ，∴ ，即 ，∴ ，∵点 为线段 的中点，∴ ， ∴ ，即 解得 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形．
例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为 6，E 为BC的中点，将△ABE沿直
线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．
A D
G
F
B E C
【答案】
【解析】∵E 为BC的中点，AB=6，∴BE=3，可得 tan∠BAE= ，由翻折知：tan∠FAE= ，
根据 12345 模型知：tan∠GAD= ，过点 G 作 GH⊥AD，∵ABCD是正方形，∴DH=GH
设AH=4x，则GH=DH=3x，AG=5x，AD=7x，故 AB=AF=7x，GF=2x。
∵AB=6，∴7x=6，x= ，GH= ，故答案为： 。
8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片 的边 斜着向 边对折，使点 落
在 上，记为 ，折痕为 ；再将 边斜向下对折，使点 落在 边上，记为 ，折痕为 ，， ．则矩形纸片 的面积为 ．
B′ F
A D
E
D′
B C
【答案】
【分析】根据折叠性质和勾股定理求得 和 的长，或者利用相似三角形的判定与性质求出相应线段长，
再由勾股定理解方程，然后根据矩形的面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：方法1：由题意，BC＝B'C，CD＝C'D，∠BCE＝∠B'CE，∠DCF＝∠D'CF．
∵∠BCD＝90°，∴∠ECF＝∠B'CE＋∠D'CF＝45°．
∵BE＝ ，∴tan∠BCE＝ ，由12345模型变式知∴tan∠D'CF＝ ，tan∠B'CB＝ ．
∵AD∥BC，∴∠FB'D'＝∠B'CB，∴tan∠FB'D'＝ ，
∴DF＝D'F＝ BD’＝ ，∴CD＝CD'＝2D'F＝3，
∴BC＝B'C＝B'D'＋CD'＝2＋3＝5，∴S矩形ABCD ＝BC·CD＝5×3＝15．
解：方法2：设 ，则 ，由题意可得 ， ， ，
， ， ， ，
， ，
， ，解得 或 ，
当 时， ， ， 时不符合题意，舍去；
当 时， ， ， 矩形纸片 的面积为 ，故答案为： ；
方法3：设 ，则 ， ， ，由题意可得△ ， ，
， ， ， ， ，
在 中，由勾股定理可得 ，即 ，解得 ， （舍去）， 矩形纸片 的面积为 ，故答案：
．
【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键
是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用翻折的性质和矩形的面积公式解答．
例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射
线 ，过点C作 的垂线分别交 于点M，N，则 的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【简证】易知 ，故
【详解】解：如图，设 与 交于点O，与 交于点R，作 于点Q，
α
α
α
矩形 中， ， ， ．由作图过程可知， 平分 ， 四边形 是矩形， ，
又 ， ，在 和 中， ， ，
， ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ， ． ．
， ．
， ， ，
，即 ，解得 ．
例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于
点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则
， ．
【答案】 2
【简证】易知 ， ，接下来对△AME分析，如图易知 ，过M作AE的垂线段，设EM=5x，则 ， ，则
M
5x
4x
E 3x 12x-2 H 2 A
【常规法思路】如图，证明 ，得到 ，勾股定理求出 的长，等积法求出 的
长 ， 证 明 ， 相 似 比 求 出 的 长 ， 证 明 ， 求 出 的 长 ， 证 明
，求出 的长，再利用勾股定理求出 的长．
【常规法】解：∵正方形 的边长为 ，点 是 的中点，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
故点 作 ，则： ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
1．（23-24广东汕头·模拟预测）如图，正方形 中， ， 是 的中点．将 沿 对折
至 ，延长 交 于点 ，则 的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】法1：连接AE，根据正方形与轴对称的性质证明Rt AFE≌Rt ADE，得出EF＝DE，设DE＝FE
＝x，在Rt ECG中应用勾股定理求出x，进而求解．法2：先△求出∠GA△E=45°，再利用12345模型的变式，
求解即可。△
【详解】如图，连接AE，由题意知，AB＝AD＝AF，∠D＝∠B＝∠AFE＝90°，在Rt AFE和Rt ADE中， ，∴Rt AFE≌Rt ADE（HL），∴EF＝DE，
△ △ △ △
设DE＝FE＝x，则EC＝6﹣x，∵G为BC中点，BC＝6，∴CG＝3，
在Rt ECG中，由勾股定理，得： ，解得，x＝2，即DE＝2，∴GE＝3+2＝5，故选
△
A．
法2：由法1知：Rt AFE≌Rt ADE，∴∠DAE=∠FAE，EF＝DE，由翻折知：∠BAG=∠FAG，GF＝
GB， △ △
∵∠DAB=90° ，∴∠GAE=45°，∵AB=6，G是BC的中点，∴BG=3， ，
由12345模型变式知： ，∵AD=6，∴DE=2，GE＝3+2＝5，故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明
Rt AFE≌Rt ADE是解题的关键．
2．△（2024·山△东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是
AB中点，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
A．12 B．3 C．3 D．3
【答案】C
【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。
法2：将△CDF逆时针旋转 到△CBM的位置，易证△CEF与△CEM全等，设 ，表示出EF，AF
长度，解直角三角形即可求解 ，再通过勾股定理求算CF．【详解】法1：∵BC=8，E是AB中点，∴BE=4，∴ ，
∵∠ECF=45°，由12345模型变式知： ，
∵DC=9，∴DF=3，∴ ，故选：C．
法2：将 CDF逆时针旋转 到 CBM
∵∠ECF△=45°，四边形ABCD是正△方形∴ ∴ CEF≌ CEM∴
△ △
设 ，E是AB中点∴ ∴
在直角三角形AEF中： 解得： ∴ 故答案选：C．
【点睛】本题考查正方形与旋转、勾股定理综合．转化相关的线段建立等量关系是解题关键．
3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， 是边 上一点，且 ，则 的长度是（ ）
A．8 B．7.4 C．7 D．6.8
【答案】D
【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。
法2：本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作 于 ，延长
至 ，使 ，证明四边形 为正方形，得出 ， ， ，证明以及 ，得出 ，设 ，则 ，
再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】法1：如图，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于F，
∵ ， ， ，∴四边形ABCF是正方形，DF=2，CF=8，∴ ，
由12345模型变式(即： )知：
∵BC=8，∴BE ，AE ，∵AF=8，DF=2，∴AD=6，∴DE ，故选：D．
法2：解：如图，作 于 ，延长 至 ，使 ，
∵ ， ，∴四边形 为正方形，∴ ， ，
，
∵ ，∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，在 中， ，∴ ，解得： ，∴ ，故选：D．
4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x
轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m
的值是 ．
【答案】18
【分析】法 1：由 12345 模型求解；法 2：构造相似三角形 PCD∽△APB，对m的取值分析进行讨论，
在m＜0时，点A在x轴的负半轴，而此时，∠APC＞∠OBA=4△5°，不合题意；故m＞0．由相似比求得边
的相应关系．
【详解】法 1：∵一次函数y＝﹣x＋m的图像分别交x、y轴于点A、B。
∴A（m，0）B（0，m），AO=m，BO=m，∴∠ABO=45°，
∵∠CPA=∠ABO，∴∠APC=45°，设∠α＝∠PAC，∠β＝∠OPC
∵∠α+∠β+∠APC＝90°，∠APC＝45°，∴∠α+∠β＝45°，
∵点P为线段OB的中点，∴P（0， ），PO= ，可得 tanα= ，
根据 12345 模型知：tanβ= ，∴3OC=OP，∵C（3,0）∴OP=9，∴OB=OA=18，m=18．
法 2：作OD=OC=3，连接CD．则∠PDC=45°，如图，由y=-x+m可得A（m,0），B（0，m）．∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．∴m＞0．
∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，
∴△PCD∽△APB， ∴ ，即 解得m=18．故答案是：18．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题时，注意分类讨论数
学思想的应用．
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形 中，点E，F分别在边 ， 上，将矩形 沿
， 折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若 ，
， ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】法1：利用12345模型的变式，求解即可。法2：作正方形 ，先说明 ，可求
出 ，再由全等可知： ，然后根据勾股定理求出答案.
【详解】根据翻折，易证：∠EAF=45°，∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
由12345模型变式(即： )知：∵ ，∴ 。
法2：如图中，在 上取一点J，使得 ，过点J作 于点T，交 于点K，连接 ，
得正方形 ，
当 时， ， ， ， ， ， ， ，
（简证）在 和 中， （ASA），
∴ ，则 ， ， ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质
和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，作出辅助线是解题的关键．
6．（2024·广东·模拟预测）在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点
G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．
【答案】
【分析解答】法1：观察发现 ，且∠GHD=45°，条件已经具备，
考虑GF可动，平移GH，将α、β、45°汇于直角处，故 ，∵ ，∴CF=3，∴DF= ．
法2：作高（如图所示求解）
7.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．
A D
F
B E C
【答案】2
【解析】∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°．
∵tan∠BAE＝ ＝ ＝ ，∴tan∠DAF＝ ，∴ ＝ ，∴DF＝ ＝2．
7.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到
△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF= ．【答案】6．
【分析】法1：过A作AM⊥DF于M，再利用12345模型的变式，求解即可。
法2：作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形的边长相等得：
AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠MAD=α，则∠EAM=α，
∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式
得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；
【详解】法1：过A作AM⊥DF于M，∴∠ADF+∠MAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∴∠FDC=∠MAD，
由折叠的性质易证：∠PAM=45°，∵P是BC的中点，∴
由12345模型变式知： ，∴ ，∵CF=2，∴DF=6．
法2：过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠ADF+∠MAD=90°，∴∠FDC=∠MAD，∵∠AMD=∠DFC=90°，∴△AMD≌△DFC，
∴DM=FC=2，由折叠得：AB=AE，BP=PE，∵AB=AD，∴AE=AD，∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，
∵P是BC的中点，∴PC= BC= AD=PE，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，
∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，∴∠PAE+∠EAM=
∠BAD=45°，过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，∴△PAH是等腰直角三角形，∴∠APH=45°，
∴∠HPE=α=∠MAD，
∵∠PGE=∠AMD=90°，∴△PGE∽△AMD，∴ ∴
∴GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，∴AH=2x﹣1，
∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案为6.
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角
形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，设未知数，并确定其等量关
系列方程解决问题．
8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都
在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
【答案】3
【解析】如图所示，取点E，设∠OAE=α，易知∠OEA=45°，tanα=
8
∵根据外角定理：∠BOD=α+45°，根据 12345 模型知：tan∠BOD=3，故答案为：3。9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、
y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB= ，tan∠BOC= ，则点A’的
坐标为____________．
【答案】（- ， ）
【解析】设∠OAB=α，过点A’作A’H⊥AB. ∵OB= ，tan∠BOC= ，∴OA=1，AB=2.
根据翻折知：∠ABO=∠BOC，∴tan∠ABO=tan∠BOC= ，A’B=AB=2.
根据 12345 模型知：tan∠ABA’= ，即BH：A’H：A’B=3:4:5，故A’H= ，BH= ，A坐标（- ， ）．
10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．
D C
M
E
A F G B
【答案】
【解析】连接DF．由题意，DE＝DC＝DA，∠DEF＝∠A＝90°．
∵DF＝DF，∴△DEF≌△DAF，∴∠EDF＝∠ADF．
∵∠CDM＝∠EDM，∠ADC＝90°，∴∠FDM＝45°．
∵tan∠CDM＝ ＝ ，∴tan∠ADF＝ ＝ ，tan∠DGA＝tan∠CDG＝ ．
∵AD＝AB＝4cm，∴EF＝AF＝ cm，∴FG＝ ＝ cm．
11．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为 ，对角线AC、BD交于点
O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 .
【答案】
【分析】先判断出∠OBF=∠CAE，从而得出 AOG≌△BOF，即可判断出 OFG是等腰直角三角形，再
根据勾股定理和射影定理求出BF，AF，AG，△即可得出FG． △
【详解】如图，作OG⊥OF交AE于G，
∴OA=OB,∠FOG=90°，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOG=∠BOF，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∵∠BAE=∠BAC−∠CAE
∴∠OBF=∠ABF−∠ABD=90°−∠BAE−∠ABD=90°−∠BAC+∠CAE−∠ABD=∠CAE，
在 AOG和 BOF中，
△ △
∴△AOG≌△BOF（ASA），
∴OG=OF，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∵CE=2BE,BC= ，
∴BE= ，
根据勾股定理得,AE= ，
在Rt ABE中，
根据射△影定理得，BF=1，AF=3，
∴AG=BF=1，
GF=AF−BF=2，
∴OF= .
故答案为 .
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定（ASA）与性质，解题的关键是掌握正方形的性质、
全等三角形的判定（ASA）与性质.12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，点A
落在 处，若 的延长线恰好过点C，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段 是
解本题的关键．先利用勾股定理求出 ，进而利用勾股定理建立方程求出 ，即可求出 ，最后用三
角函数即可得出结论．
【详解】解：由折叠知， ， ， ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
， ，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
，
在 中，
，
故答案为： ．
13．（23-24九年级·天津河西·期末）正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF
分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为 ．【答案】
【分析】根据 BNF∽△DNA，可求出AN的长；再根据 AME∽△ABF，求出AM的长，利用MN＝AN
﹣AM即可解决△． △
【详解】∵BF∥AD，
∴△BNF∽△DNA，
∴ ，
而BF＝ BC＝1，AF＝ ，
∴AN＝ ，
又∵△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠AED＝∠BFA，
∴△AME∽△ABF，
∴ ，
即： ，
∴AM＝ ，
∴MN＝AN﹣AM＝ ﹣ ＝ ，
故答案为: ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长
度．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、
y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为．
【答案】 /y=4+3x
【分析】先求出点A、B的坐标，过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，
然后由全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求出点F的坐标，再利用待定系数法，即可求
出答案．
【详解】解：∵一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B两点，
∴令 ，则 ；令 ，则 ，
∴点A为（2，0），点B为（0，4），
∴ ， ；
过点A作AF⊥AB，交直线BC于点F，过点F作EF⊥x轴，垂足为E，如图，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=AB，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AO=FE，BO=AE，
∴ ， ，
∴ ，
∴点F的坐标为（ ， ）；
设直线BC为 ，则
，解得： ，
∴直线BC的函数表达式为 ；
故答案为： ；
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及旋转的
性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数
y 的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转 ，交y轴于C点，则△ABC面积为
．
【答案】20
【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB
（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得 ，可得F（3，
1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解．
【详解】解：∵点A在反比例函数y 的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等，∴A（4，4），
过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，
∵ ，则△ABF为等腰直角三角形，
∴
在△AEF与△FDB中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，∴ 20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角
形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键．
16．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若
，则 ．
证明：设 ，∵ ，∴ ，
易证
∴ ，∴ ∴ ，
若 时，当 ，则 ．
同理：若 时，当 ，则 ．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺
时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知
．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出 的值；(3)求直线 的解析式．
【答案】(1) (2) ， (3)
【分析】（1）首先求出点 ，然后设 ，在 中，利用勾股定理求出 ，得到
，然后代入 求解即可；（2）首先根据 ， 得到 ， ，求出
， ，然后利用正切值的概念求出 ，然后证明出四边形 是矩形，
得到 ，然后由 即可求出 ；
（3）首先根据矩形的性质得到 ， ，然后利用 求出 ，进而
得到 ，然后设直线 的解析式为 ，利用待定系数法将 和 代入求解即可．
【详解】（1）将 代入 得， ，∴ ，
∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ，∴设 ，∵ ， ，∴在 中， ，
∴ ，∴解得 ， ，
∵点A的横坐标要大于点B的横坐标，∴ 应舍去，∴ ，∴ ，
∴将 代入 ，解得 ；∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵ ， ，∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是矩形，∴ ，
∵将直线 绕点 顺时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（3）∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，即 ，∴解得 ，
∴ ，∴ ，∴设直线 的解析式为 ，
∴将 和 代入得， ，∴解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
【点睛】此题考查了反比例函数，一次函数和几何综合题，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，
解题的关键是正确理解材料的内容．
