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专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型
等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三
角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方
形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三
角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯
性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.等直内接等直模型...............................................................................................................................2
模型2.等直+高分线模型.................................................................................................................................8
..................................................................................................................................................15模型1.等直内接等直模型
等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为
原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。
条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。
结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④ ；
⑤ ；⑥ 。
（注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！）
证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点 是 的中点
同理可得： ，
，∵AB=AC，∴AE=FB；
又 是直角， 是等腰直角三角形，同理：易证 是等腰直角三角形。
∴AE+AF=FB+AF=AB，∴ 。
，∴S =S +S =S +S =S ，∴ 。
AEPF AEP APF AEP CPE APC
∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在 中， ， ， 为边 的中点，点
， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
例2．（2024·天津·模拟预测）如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P是
中点，两边 分别交 于点E、F，当 在 内绕顶点P旋转时（点E不与A、B
重合），给出下列四个结论：① 是等腰三角形；②M为 中点时， ；③ ；
④ 和 的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∠MPN为直角，使点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋
转角为θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论：
①EF＝ OE；②S ：S ＝1：4；③BE+BF＝ OA；④在旋转过程中，当△BEF与
四边形OEBF 正方形ABCD
△COF的面积之和最大时，AE＝ ；⑤OG•BD＝AE2+CF2．其中结论正确的个数是（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板 中， ，
， 为 的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点 上，得到 ，将 绕点
旋转，射线 ， 分别与边 ， 交于 ， 两点，如图1所示．
(1)操作发现：如图2，当 ， 分别是 ， 的中点时，试猜想线段 与 的数量关系是________，
位置关系是________．
(2)类比探究：如图3，当 ， 不是 ， 的中点，但满足 时，判断 形状，并说明理由．
(3)拓展应用：①如图4，将 绕点 继续旋转，射线 ， 分别与 ， 的延长线交于 ，
两点，满足 ， 是否仍然具有（2）中的情况？请说明理由；
②若在 绕点 旋转的过程中，射线 ， 分别与直线 ， 交于 ， 两点，满足
，若 ， ，则 ________（用含 ， 的式子表示）．模型2.等直+高分线模型
等直+高分线模型模型是指在等腰直角三角形过其中一个角所在顶点作另一个底角平分线的垂线。
条件：如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且 于 ，与 相交于
点 ， 是 边的中点，连接 与 相交于点 ．
结论：① ；② ；③ 是等腰三角形；④ ；⑤ ．
证明： ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
在 和 中 ， ， ．
平分 ， ，
∵ ， ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，
， 是等腰三角形． ， ， ，
平分 ， 点 到 的距离等于点 到 的距离， ，∵ ，∴ ，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴ 。
例1．（23-24九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， 于D， 平分
，且 于E，与 相交于点F，H是 边的中点，连接 与 相交于点G，以下结论
中：
① 是等腰三角形；② ；③ ；④ ．
正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，等腰 中， 于点
D， 的平分线分别交 于E、F两点，M为 的中点， 的延长线交 于点N，连接
，下列结论：① ；② 为等腰三角形；③ ；④ ，其中正确结论
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图， 中， ， 于 ， 平
分 ，且 于 ，与 相交于点 是 边的中点，连结 与 相交于点 ．（1）
说明： ；（2）说明： ；（3）试探索 ， , 之间的数量关系，并证明你的结论．
例4．（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角 中， ， ，点 为
上一点， 于点 ，交 于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
(1)若 ，求证： 垂直平分 ；(2)若点 在线段 上运动．
①请判断 与 的数量关系，并说明理由；②求证： 平分 ．1．（23-24山东威海九年级上期中）已知 中， ， ，D是 边的中点，点
E、F分别在 、 边上运动，且保持 ．连接 、 、 得到下列结论：① 是等腰
直角三角形；② 面积的最大值是2；③ 的最小值是2．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
2．（2024·广东汕头·二模）如图，四边形ABCD为正方形， 的平分线交BC于点E，将 绕点
B顺时针旋转90°得到 ，延长AE交CF于点G，连接BG，DG与AC相交于点H．有下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角 中， ， 于点D， 的平
分线分别交 于点E，F，M为 中点， 延长线交 于点N，连接 ，下列结论：①；② ；③ 平分 ；④ ；⑤ ，其中正
确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023·广东深圳·模拟预测）如图， ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且
BE⊥AC于点E，与CD交于F，H是BC△边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：①BF＝AC；
②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S ADC＝S CEGH；⑤DG•AE＝DC•EF中，正确结论的个数是
四边形
△
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， ， ．点 是 边上的中点，连接
，将 绕 点逆时针旋转 ，得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，
交 于点 ．现有如下四个结论：① ；② ；③ ；④
中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·江苏淮安·三模）如图， 中， ， 于 ， 平分 ，且于 ，与 相交于点 ．下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在正方形 中，对角线 相交于点O，点E在BC边上，
且 ，连接AE交BD于点G，过点B作 于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O
作 交DC于占N， ，现给出下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
8．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形 中， ， 于 ， 的平分
线分别交 、 于 、 两点， 为 的中点，延长 交 于点 ，连接 ， ．下列结论：① ；② ；③ 是等边三角形；④ ；⑤四边形 是菱形，正确结
论的序号是 （ ）
A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤
9．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知 中， ， ，直角
的顶点P是 中点，两边 、 分别交 、 于点E、F，当 在 内绕顶点P旋
转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：① ；② 是等腰直角三角形；③
；④ ；⑤ 与 的面积和无法确定．上述结论中始终正确的有
（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④
10.（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，在正方形 中， ， 相交于点O，E，F分
别为边 上的动点（点E，F不与线段 的端点重合）且 ，连接 ．在点
E，F运动的过程中，有下列四个结论：① 始终是等腰直角三角形；② 面积的最小值是2；③
至少存在一个 ，使得 的周长是 ；④四边形 的面积始终是4．其中结论正确的
有（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
11．（2024·重庆·中考模拟预测）如图，在等腰直角 ， 是斜边 的中点，点 分别在直
角边 上，且 ， 交 于点 ．则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2） 的面积等于四边形 的面积的 倍；（3）
；（4） ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在正方形 中，对角线 相交于点O，点 在
边上，且 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 并延长，交 于点
，过点O作 交 于点 ， ，以下四个结论：① ；②正方形 的
面积为9；③ ；④ ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2024·黑龙江·校考一模）如图，在面积为 的正方形 中， 是对角线 的交点，过点
作射线 分别交 于点 ，且 交于点 ．下列结论： ；
；③四边形 的面积为 ．其中结论正确的序号有（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图所示，在等腰直角∆ABC中，点D为AC的中点， DF，
DE交AB于E，DF交BC于F，若AE= ，EF=4，则FC的长是 ．
15．（2024广东九年级模拟（二模））一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别
是一个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且
满足∠CME=2∠ADE，EM= ．16．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形 中， ，对角线 、 交于点O，点
E、F分别为边 、 上的动点（不与端点重合），且 ，连接 、 、 ，则线段 的
最小值为 ．
17．（2024·山东德州·二模）如图，在等腰直角 中， ， 是线段 上一动点（与点
不重合），连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
(1)若 ，则 ______；（用含 的式子表示）；
(2)求证： ；(3)猜想线段 与 之间的数量关系，并证明．18．（23-24江苏泰州八年级上期中）在 中， ， ，将一块三角板的直角顶点放
在斜边 的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线 、 与点D、点E，
图①，②，③是旋转得到的三种图形．
(1)观察线段 和 之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；(2)观察线段 、 和 之
间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明；(3)把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线 方向移
动， 是否构成等腰三角形？若能，请直接写出 的度数；若不能，请说明理由．
19．（2023·山东菏泽·二模）【课本再现】(1)如图1，正方形 的对角线相交于点O，点O又是正方
形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 为两个正方形重叠部分，正方形
可绕点O转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．① ；② ；
③四边形 的面积总等于 ；④连接 ，总有 ．
【类比迁移】(2)如图2，矩形 的中心O是矩形 的一个顶点， 与边 相交于点E，
与边 相交于点F，连接 ，矩形 可绕着点O旋转，猜想 之间的数量关系，并进行
证明；【拓展应用】(3)如图3，在 中， ，直角 的顶点D在边 的中点处，它的两条边 和 分别与直线 相交于点E，F， 可绕着点D旋转，当
时，求线段 的长度．
