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专题09. 三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型
赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，
相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久
远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中
数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大
能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点
问题。
模型1、弦图模型
（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD 中，AE⊥BF 于点E，BF⊥CG 于点F，CG⊥DH 于点G，
DH⊥AE 于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S 正方形ABCD=4S△EAB+S 正方形EFGH。
图1 图2 图3
（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD 中，E，F，G，H 分别是正方形ABCD 各边上的点，且四
边形EFGH 是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S 正方形ABCD=4S△EAB+S 正方形EFGH。
（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFGH= S 正方形ABCD+S 正方形PQMN.
例1．（2023 秋·湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标其原
型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面
积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且
，那么图中小正方形的面积是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
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【分析】根据大正方形的面积即可求得
，利用勾股定理可以得到
，然后根据
求得即可求得
的值，结合
即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是16，∴
，∴
，
∵
，∴
，∵小正方形的边长为：
，
∴
．故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解题关键．
例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其
为“赵爽弦图”，如图，大正方形
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若
，
，则
的面积为（ ）
A．24
B．6
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．
【详解】解：如图：
∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∴∠AEF＝∠ABF，
∵AF⊥BE，∴EF＝BF＝
BE，∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，
∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，
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∵AD＝
，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4，
．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的，若
，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到
图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意∠ACB 为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD 的长，进一步求得风车的外围周长．
【详解】解：依题意∠ACB 为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，
由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．
【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如
果两条直角边分别为a 和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
例4．（2022·杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为
“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方
形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是
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（）
A．S1＝2
B．S2＝3
C．S3＝6
D．S1+S3＝8
【答案】D
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，得出
，
，再根据三个正方形面积公式列式相加：
，求出
的值，从而可以
计算结论即可．
【解析】解：
八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据
已知得出
是解决问题的关键．
例5．（2023·广东·九年级专题练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了
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“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2 方式摆放围成正
方形
，记空隙处正方形
，正方形
的面积分别为
，
，则下列四个判断：①
②
；③若
，则
；④若点A 是线段
的中点，则
，其中正确的序号是
【答案】①②③
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为
，较长直角边为
，斜边为，则小正方形的边
长为
，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，由正方形
面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为
，较长直角边为
，斜边为，则小正方形的边
长为
，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，
∴
，
，
．∴
．
∴
．故①正确；
∵
，∴
．
∴
．∴
．故②正确；
∵
，
，∴
．即
．∴
．∴
．故③正确；
∵点A 是线段
的中点，∴
．即
．∴
．
∴
．∴
．故④不正确；故答案是①②③．
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【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边
为
，较长直角边为
，斜边为，用
表示出相关线段的长度，从而解决问题．
模型2. 勾股树模型
例1．（2022·福建·八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，如果正方形
、
、
、
的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形
的面积是___．
【答案】30
【分析】根据勾股定理可得：正方形
的面积
正方形
的面积
正方形
的面积，正方形
的面积
正
方形
的面积
正方形
的面积，从而得到正方形
的面积
正方形
的面积
正方形
的面积，即可求
解．
【详解】解：如图，
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由勾股定理得，正方形
的面积
正方形
的面积
正方形
的面积
，
同理，正方形
的面积
正方形
的面积
正方形
的面积
，
正方形
的面积
正方形
的面积
正方形
的面积
．故答案为：30
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边
的平方是解题的关键．
例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，
，分别以AB，BC，CD，
DA 为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4 个正方形的面积之间的关系．
例3．（2022·河南八年级期末）如图，正方形
的边长为2，其面积标记为
，以
为斜边作等腰直
角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为
，…按照此规律继续下
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去，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出
，写出部分
的值，根据数的变化找出变化规律“
”（n≥3），依此规律即可得出结论．
【详解】解：在图中标上字母
，如图所示．
∵正方形
的边长为2，
为等腰直角三角形，
∴
，
，∴
．
观察，发现规律：
，
，
，
S，…，
∴
．当
时，
，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律
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“
”，解决该题目时，写出部分
的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
例4．（2023 春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再
以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好
似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理
作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023 代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【答案】2024
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为
，再一次求出第二代、第三代勾股树中
所有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a 和b，斜边长为c，
根据勾股定理可得：
，
∵
,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为
；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为
；
第三代勾股树中所有正方形的面积为
；
第n 代勾股树中所有正方形的面积为
；
∴第2023 代勾股树中所有正方形的面积为2024．故答案为：2024．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律．
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例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以
的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面
积分别为
、
，
的面积
．若
，
，则
的值为 ________ ．
【答案】12
【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得
的值．
【详解】解：设Rt△ABC 的三边分别为a、b、c，则
，
观察图形可得：
，即
，
∵
，∴
=
，∴
=4+8=12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
例6．（2022 春·浙江温州·九年级校考开学考试）如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股
树”．如图2，在Rt△ABC 中，
，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB 分别交
GF，AH 于点N，K，连接KN 交AG 于点M，若
，则
为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先证明
，设
，则
，根据
，面积比等
于相似比的平方可得
，根据
，表示出
，又
，根据
可得
，解一元二次方程即可求得
的值，即
的值．
【详解】解：∵四边形
，
是正方形
，
，
设
，则
，
即
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即
解得
或
（舍）即
故选B
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，正切，掌握相似三角形
的性质与判定是解题的关键．
例7．（2023·贵州遵义·统考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定
理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2 中，
，分别以
的三条边为边向外
作正方形，连接
，
、
，交
于点Q ，若
，
，则四边形
的面积是
．
【答案】
/
【分析】先利用含30 度角的直角三角形的性质求得
，再证明
求得
，再利用梯形和三
角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在
中，∵
，
，
，
∴
，则
，
∵四边形
是正方形，∴
，
，
∴
，∴
，即
，解得
，
∴四边形
的面积为
．
【点睛】本题考查正方形的性质、含30 度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、
梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键．
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例8．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国
家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代
数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400 多种方法，请从下列几种
常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）
【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三
角形，这三个图形中面积关系满足
的有 个；
（4）如图7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分
别为
、
，直角三角形面积为
，请判断
、
、
的关系并说明理由．
【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证
明见解析；（3）3；（4）
【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案；
（2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案；
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（3）设面积为
的正方形边长为a，面积为
的正方形边长为b，面积为
的正方形边长为c；根据题意
得：
，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；
（4）结合题意，首先分别以a 为直径的半圆面积、以b 为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面
积，再根据阴影部分面积（
+
）=以a 为直径的半圆面积+以b 为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角
形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平
方；
（2）如图2
大正方形面积为：
小正方形面积为：
四个直角三角形面积之和为：
∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和
∴
∴
，满足直角三角形勾股定理；
（3）设面积为
的正方形边长为a，面积为
的正方形边长为b，面积为
的正方形边长为c；
根据题意得：
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如图4：
，
，
∴
；
如图5：
，
，
∵
∴
；
如图6：
，
，
∵
∴
；
∴三个图形中面积关系满足
的有3 个 故答案为：3；
（4）以a 为直径的半圆面积为：
以b 为直径的半圆面积为：
非阴影部分去除三角形后的面积为：
∵阴影部分面积（
+
）=以a 为直径的半圆面积+以b 为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面
积∴
结合（1）的结论：
∴
∴
．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定
理的性质，从而完成求解．
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课后专项训练
1．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图（1）中共有3 个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4 个正方形，图（3）在
图（2）的基础上增加了8 个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的
正方形的个数是（ ）
A．12
B．32
C．64
D．128
【答案】C
【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4 个正方形，图（3）比图（2）多出8 个正
方形，图（4）比图（3）多出16 个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．
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【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4 个正方形，
图（3）比图（2）多出8 个正方形，
；
图（4）比图（3）多出16 个正方形，
；
图（5）比图（4）多出32 个正方形，
；
照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：
故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：
；故答案为：C．
【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些
部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规
律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．（2022·浙江初三期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记
载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图
的方式放
置在最大正方形内．若图
中阴影部分的面积为
，且
，则
的长为（ ）
图1 图2
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c 根据勾股定理得到c2＝a2＋b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积
公式计算即可求解．
【解析】如图2：
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设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a＋b＝8，c2＝a2＋b2，HG＝c−b，DG＝c−a，
则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c−b）（c−a）＝2，
∵（a＋b）
2＝a2＋b2＋2ab＝64，∴ab＝32−
，∴S＝c2−c（a＋b）＋ab＝c2−8c＋32−
＝2，
解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
3．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，分别以△ABC 的三边为边作正方
形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI 交CF 于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四
边形BGFJ 的面积为S1，四边形CHIJ 的面积为S2，若S1
S
﹣2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG 的面积为（
）
A．16
B．18
C．20
D．22
【答案】C
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S 正方形BCFG﹣S 正方形ACHI＝16，即a2
﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解．
【详解】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S 正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S 正方形ACHI
S
﹣△ACJ，
∴S1﹣S2＝S 正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S 正方形ACHI+S△ACJ＝S 正方形BCFG
4
﹣﹣S 正方形ACHI＝12，
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∴S 正方形BCFG﹣S 正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，
∵Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（负值已舍去），
∴S△ABC＝
bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，
∴正方形BCFG 的面积为20，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得a2﹣b2＝16 是解题的关键．
4．（2023 春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为
，较短直角边长为
．若
，大正方形的面积为
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答．
【详解】解：∵三角形较长直角边长为
，较短直角边长为
，∴四个三角形的面积为
，
∵
，大正方形的面积为
，∴小正方形的面积为
，
∴小正方形的边长为，∴
，故选
．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的
面积减去四个三角形的面积是解题的关键．
5.（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有
记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜
边上的两顶点旋转得到图2．则图2 中阴影部分面积等于（ ）
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A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．最大正方形与直角三角形的面积和
D．较小两个正方形重叠部分的面积
【答案】D
【分析】根据勾股定理得到
，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，
由勾股定理可得，
，阴影部分面积
，
较小两个正方形重叠部分的面积
，
∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积．故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．
6．（2023 春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着
中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一
个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形
的面积的大小为（ ）
A．144
B．100
C．49
D．25
【答案】C
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【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的
面积．
【详解】解：如图，
根据勾股定理，得
．所以
．
所以正方形
的面积为：
．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．
7．（2023 春·湖北武汉·八年级统考期末）大约公元222 年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时
介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形
，中空的
部分是小正方形
，连接
相交于点O，
与
相交于点P，若
，则直角三角形
的边
与
之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先证明
，得出
，再根据已知条件
，结合等腰三角形的性质、
正方形的性质求得
，进而证明
，得出
，设
，得到
，进而求解.
【详解】解：∵四边形
、
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
淘宝：学思创想
∵四个全等的直角三角形拼成大正方形
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
设
，则
，∴
，
∴
，∴
；故选：C.
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关
图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键.
8．（2023 春·江苏泰州·七年级统考期末）大约在公元222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了
“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：
为
等边三角形，
、
、
围成的
也是等边三角形．已知点
、
、
分别是
、
、
的
中点，若
的面积为14，则
的面积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】连接
，由题意知
，再由点
、
、
分别是
、
、
的中点，可得
淘宝：学思创想
，
，即可得出
即可求解．
【详解】解：连接
，如图所示：
点
、
、
分别是
、
、
的中点，
，
，
为等边三角形，
也是等边三角形，
，
，
是
的一个外角，
，
是
的一个外角，
，
，
在
和
中，
，
，
同理，可得
，
，
，
，
，
，解得
，故选：B．
【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形
外角性质，正确作出辅助线，得出
是解题的关键．
9．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定
理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2 中，
，分别以
的三条边为边向
外作正方形，连接
，
，
交
于点Q．若
，
，则四边形
的面积是
（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用含30 度角的直角三角形的性质求得
，再证明
求得
，再利用梯形和三
角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在
中，∵
，
，
，
∴
，则
，
∵四边形
是正方形，∴
，
，
∴
，∴
，即
，解得
，
∴四边形
的面积为：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、含30 度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
理、梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键．
10．（2023·江苏扬州·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，
后人称之为“赵爽弦图”，它是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角
边长为a、b，斜边长为c，若
，则每个直角三角形的面积为 ．
淘宝：学思创想
【答案】96
【分析】由题意知，
，由
，可得
，计算求出满足要求的
，然
后求
，根据每个直角三角形的面积为
，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，
，
∵
，∴
，解得
，
（舍去），∴
，
∴每个直角三角形的面积为
，故答案为：96．
【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用．
11．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．
年
希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．
如图2，在
中，
，分别以
的三条边为边向外作正方形，连接
分别
与
相交于点
．若
，则
的值为 .
淘宝：学思创想
【答案】
/
【分析】先用已知条件利用
的三角形全等的判定定理证出
，之后利用全等三角形的性
质定理分别可得
，
，
，然后设
，继而可分别求出
，
，所以
；证明
，从而得
，然后代入所求数据即可得
的值．
【详解】解：
在
和
中 ，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
；
在
和
中，
，
，
，
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30 度角直角三角形的性质，解
题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（2022 春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图①，在Rt△ACB 中∠ACB=90°，分别
以AC、BC、AB 为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问
题：
淘宝：学思创想
（1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ．
（2）现将△ABF 向上翻折，如图②，若阴影部分的S 甲=6、S 乙=5、S 丙=4，则
= ．
【答案】 S1+S2=S3 7
【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明．
（2）设△ACB 面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到S 甲+a+ S 乙+b= S 丙
+a+b+S，整理之后即可代值求解．
【详解】解：（1）在
中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，
如图，在等边
中，
边上的高
同理：S2=
BC，S3=
AB，∴S1+S2=S3；
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（2）设
面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b；
∵S1+S2=S3，∴S 甲+a+ S 乙+b= S 丙+a+b+S，∴S 甲+ S 乙= S 丙+S，∴S=6+5-4=7．
故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算．熟练应用勾股定理、正确计算
等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键．
13．（2023·湖北孝感·统考三模）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形
的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．
假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾
股树中正方形的个数为 ．
【答案】
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有
（个），
第二代勾股树中正方形有
（个），第三代勾股树中正方形有
（个），
由此推出第五代勾股树中正方形有
（个）故答案为：
．
【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．
14．（2022·山东临沂·统考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有
独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆
方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD 的面积为1，如果把它的各边分别延
长一倍得到正方形A1B1C1D1（如图1），则正方形的面积为 ；再把正方形A1B1C1D1的各边分别
延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为 （用
含n 的式子表示，n 为正整数）．
淘宝：学思创想
【答案】 5
【分析】利用正方形ABCD 的面积为1，求出其边长为1，可求出正方形A1B1C1D1的边长为：
，
面积为：
，再求出正方形A2B2C2D2的边长为：
，面积为：
，正方形
A3B3C3D3的边长为：
，面积为：
，正方形A4B4C4D4的边长为：
，面积为：
，依次可推出：正方形AnBnCnDn 的面积为：
．
【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为1，∴其边长为1，
∵把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，∴正方形A1B1C1D1的边长为：
，
∴正方形A1B1C1D1的面积：
；
∵正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2，
∴正方形A2B2C2D2的边长为：
，∴正方形A2B2C2D2的面积为：
；
同理可得：正方形A3B3C3D3的边长为：
，∴正方形A3B3C3D3的面积为：
；
正方形A4B4C4D4的边长为：
，∴正方形A4B4C4D4的面积为：
；
淘宝：学思创想
依次可推出：正方形AnBnCnDn 的面积为：
．故答案为：5；
【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是求出每一个正方形的边长，即可求出其
面积．
15．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的
正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．
（1）如图2 摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ；
（2）如图3 摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为
．
【答案】
【分析】（1）根据勾股定理求得Ⅲ的面积，根据图形面积相减即可求得图2 的Ⅲ中有水部分的面积；
（2）根据正方形的中心对称的性质可知，过中心
的线将正方形的面积平分，据此即可求得图3 的Ⅱ中有
水部分的面积
【详解】
已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水
Ⅲ的面积是
Ⅰ的面积为AC
Ⅱ的面积为
（1）如图2 摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，
Ⅲ中有水部分的面积为
故答案为：
（2）如图3 摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），
根据正方形是中心对称图形，经过点
的直线将正方形的面积平分，
则Ⅲ中有水部分的面积为Ⅲ的面积的一半，
Ⅱ中有水部分的面积
故答案为：
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它
为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中
，
，连接
，若
与
的面积相等，则
．
【答案】
【分析】根据题意得出
，即
，解方程得出
（负值舍去）代入进行计算即
可求解．
【详解】解：∵图中
，
，∴
∵
与
的面积相等，∴
∴
∴
∴
∴
解得：
（负值舍去）
∴
，故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于
的方程是解题的关键．
17．（2023·江苏徐州·统考二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形
与
正方形
．连接
，若
平分
，且正方形
的面积为2，则正方形
的面积为
．
淘宝：学思创想
【答案】
/
【分析】根据正方形
的面积为2，可得
，根据
平分
，全等三角形的判定和性质
可得
，根据相似三角形的判定和性质可得
，即
，即可求出
的值，即可求
得则正方形
的面积．
【详解】如图，令
与
的交点为
，
∵
平分
，
是直角三角形，
，∴
，∴
，
∵正方形
的面积为2，∴
，
∵
平分
，
，∴
，
，
∴
，∴
即
，故
，
解得
（不符合题意，舍去）或
，∴
，
，
根据勾股定理可得
，
即正方形
的面积为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟
练掌握相似三角形的判定和性质．
18．（2023·陕西渭南·统考二模）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾
淘宝：学思创想
自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形
、四边形
和四边形
都是正方形，
交
于E，若
，
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得到
，根据相似三角形的性质得到
，根据勾股定理即可得
到结论．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19．（2022·宁夏吴忠·统考一模）2002 年8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家
赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图
1），且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三
角形按如图2 的形式摆放，则图2 中最大的正方形的面积为31．试求图1 中小正方形的面积是为 ．
淘宝：学思创想
【答案】3
【分析】根据题意得出a2+b2=17，图2 中大正方形的面积为：
，然后利用完全平方公式的变形
求出
即可．
【详解】解：由题意可得在图1 中：a2+b2=17，图2 中大正方形的面积为：
，
∴
∴ab=7，∴
，
即图1 中小正方形的面积是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
20．（2023·山东济宁·统考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉
斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：
如果直角三角形的两条直角边分别为
，
，斜边为，那么
．
(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足
的有______个；
(2)如图5 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为
，
，直角三角形面积为
，请判断
，
，
的关系并证明；
淘宝：学思创想
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6 所示的“勾股树”．在如图所示的勾股树的某部分图形中，设大正方形
的边长为定值
，四个小正方形
，
，
，
的边长分别为
，
，，
，已知
，
则当
变化时，回答下列问题：（结果可用含
的式子表示）
①
；②
与的关系为
，
与
的关系为______．
【答案】(1)3(2)
，详见解析(3)①
，②
，
．
【分析】（1）根据题意，设直角三角形的三边分别为
、
、，利用面积相等的方法，分别求出面积的
关系，即可得到答案；（2）根据半圆面积和勾股定理即可证明
；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，
；
②由
，则
，同理可得
，利
用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．
【详解】（1）在图2 中，直角三角形的边长分别为
、
、，则
由勾股定理，得
，∴
；
在图3 中，三个扇形的直径分别为
、
、，则
，
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
；
在图4 中，等边三角形的边长分别为
、
、，则
，
，
，
∵
，
，∴
，
∴
；∴满足
的有3 个，故答案为：3；
（2）结论：
．证明如下：∵
，
∴
，∴
∴
；
淘宝：学思创想
（3）①如图：设中间两个正方形为E、F，边长分别为e、f
1
∵∠、∠2、∠3 所在的三角形为直角三角形
∴
∴
；
②∵
∴
∴
∴
；
∵
∴
∵
∴
∴
，
．
【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，掌握勾股定理
的内容以及数形结合思想成为解答本题的关键．
21．（2022·湖南·八年级课时练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜
边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知
外围轮廓（粗线）的周长24，
，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧
淘宝：学思创想
密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为
，若
，
求
．
【答案】(1)见解析(2)24(3)
【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积列等式，或者用大正方形面
积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积列出等式；
（2）设
，则三角形三边长分别为3、3+x、6-x，根据勾股定理列出等式求出x，再用总面积等于四
个三角形面积计算即可；（3）设四边形MTKN 的面积设为x，一个三角形的面积设为y，则正方形ABCD
面积为8x+y，根据
进行计算可得
，即为
的值．
(1)法一：
，
另一方面，
，即
，则
．
法二：
另一方面，
∴
整理得：
(2)
，设
，依题意有
解得
．故该飞镖状图案的面积是24．
(3)将四边形MTKN 的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为
，且
，
∴
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查了三角形和正方形面积的应用，熟练掌握三角形和面积的计算方法是解题关键．
22．（2023·广东深圳·校联考三模）中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给
出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．
年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制
作了会标，该图有
个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．
淘宝：学思创想
问题发现：如图①，若直角三角形的直角边
，斜边
，则中间小正方形的边长
______，
连接
，
的面积为______．
知识迁移：如图②，
是正方形
内一点，连接
，
，
，当
，
时，
的面积为______．
拓展延伸：如图③，已知
，以点
为圆心，适当长为半径画弧，交射线
，
分别于
，
两点．（1）已知
为线段
上一个动点，连接
，过点
作
，垂足为点
；在
上取一
点
，使
；过点
作
交
于点
，试判断三条线段
，
，
之间的数量关系，
并说明理由．（2）在（1）的条件下，若
为射线
上一个动点，
为射线
上一点；当
，
时，直接写出线段
的长．
【答案】问题发现：1，
； 知识迁移：5；
拓展延伸：（1）
，理由见解析；（2）
或
【分析】问题发现：先由
，
，
，根据勾股定理求得
，再由图
中的四个
直角三角形全等得
，则
，
；
知识迁移：将
绕点
沿逆时针方向旋转
，得到
，则
，
，
可证明
，则
与
的面积相等，由
求出
的面积即可；
拓展延伸：（1）作
于点
，先证明四边形
是矩形，则
，
，而
，
于是得
；再证明
，得
，于是得
．
（2）分为两种情况，一是点
在线段
上，设
，则
，由
，且
，列方程得
，解方程求出符合题意的
的值，再证明
，根据相
似三角形的性质求出
的值；二是点
在线段
的延长线上，则点
在线段
的延长线上，设
淘宝：学思创想
，则
，可列方程
，解方程求出符合题意的
的值，再根据相似三角
形的性质求出
的值即可．
【详解】解：问题发现：如图
，连接
，
，
，
，
，
图
中的四个直角三角形全等，
，
；
，
，故答案为：，
．
知识迁移：如图
，
四边形
是正方形，
，
， 将
绕点
沿逆时针方向旋转
，得到
，
，
，
，
，
，
，故答案为：．
拓展延伸：（1）
，理由如下：如图
，作
于点
，
淘宝：学思创想
于点
，
于点
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
当点
在线段
上，如图③，设
，
，
，
，且
，
，解得
，
不符合题意，舍去，
，
，
，
，
，
，
．
当点
在线段
的延长线上，如图④，设
，
淘宝：学思创想
点
在线段
的延长线上，且
，
，
，
解得
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，线段
的长为
或
．故答案为：
或
．
【点睛】此题重点考查勾股定理及其应用、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似
三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需
要的辅助线是解题的关键．
淘宝：学思创想
