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专题04 赵爽弦图模型与勾股树模型
弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，
相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久
远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中
数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大
能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点
问题。
....................................................................................................................................................1
模型1.弦图模型...............................................................................................................................................1
模型2.勾股树模型...........................................................................................................................................9
..................................................................................................................................................17
模型1.弦图模型
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个
全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰
是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。
数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵
活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。
图1 图2 图3 图4
（1）内弦图模型：
条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点
H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
（2）外弦图模型：
条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，
结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）内外组合型弦图模型：
条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S = S +S
正方形EFGH 正方形ABCD 正方形
PQMN.
证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S 表示他们的面积。
△
∵S =S +8S ；S =S +4S ；
正方形ABCD 正方形PQMN 正方形EFGH 正方形PQMN
△ △
∴S +S =S +8S +S =2S +8S =2S
正方形ABCD 正方形PQMN 正方形PQMN 正方形PQMN 正方形PQMN 正方形EFGH
△ △
上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。
（4）半弦图模型图5 图6 图7
条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；
EA+GB=AB。
证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-
GB=AB。
证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
条件：如图7，在Rt ABE和Rt BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
证明：∵△ABE和△△BCD是R△t ，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
△
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼
就要想到用弦图的相关知识解决问题。
例1．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已
知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边 ．下列说法正确
的有（ ）
① ；② ；③ ；④A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
例2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵
爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，
现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
例3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”（如图①），图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记
图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ，若 ，则
的值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦
图”经修饰后的图形，四边形 与四边形 均为正方形，点 是 的中点，阴影部分的面积为
27，则 的长为 ．例5．（23-24八年级上·四川成都·期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等
的直角三角形围成的．在 中，若直角边， ，将四个直角三角形中边长为 的直角
边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A． B． C． D．
例6．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四
个全等的直角三角形拼接而成的．已知 ，正方形 的面积为80．连接 ，交 于点 ，
交 于点 ，连接 ．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
例7．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》
题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图 ）中的两个正方形和八个直角三角形按图 方式摆
放围成正方形 ，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ．若 ，，则正方形 的面积为（ ）
A．144 B．104 C．72 D．52
例8．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，已知 和 均是直角三角形，
， ， 于点F．
(1)求证： ；(2)若点B是 的中点， ，求 的长．
例9．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图
1所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形 ，四边形 和四边形 都是正方形．某班开展综合与
实践活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展．
(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段 之间的数量关系：
__________；
(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段 之间的数量关系：________；
(3)小明将图3中的 延长至点M，使得 ，连接 与 相交于点N，请你在图3中画出图形．
若 ，求线段 与 之间的数量关系．
模型2.勾股树模型
勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，
如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。
模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图
形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边
为元素所作图形的面积为S，S，以斜边为元素所作的图形的面积为S。 结论：S+S=S
1 2 3 1 2 3
证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S、S、S。
1 2 3
由等边三角形和勾股定理易得：S 的高为： ；
1
∴S 。同理： ； 。
1
由题意可得： ；∴S+S =S
1 2 3
由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。
条件：如图，正方形 的边长为a，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角
三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下去，结论： 。
证明：∵正方形 的边长为a， 为等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ．观察，发现规律：
， ， ， ，…，
条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两
直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．
假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，
结论：第n代勾股树中正方形的个数为： ；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有 =22-1（个），
第二代勾股树中正方形有 =23-1（个），
第三代勾股树中正方形有 =24-1（个），
由此推出第n代勾股树中正方形有 （个）。
设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得： =m2，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为 ；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第三代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第n代勾股树中所有正方形的面积为 。
例1．（2023·山西晋中·八年级校考阶段练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之
为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家
赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S =_____ ，还可以表示为_____ ，所以可得到_______ =______ ，
大正方形
化简后最终得到____ ．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月
形图案（阴影部分）的面积为______．
例2．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形
的四条边为边向外作四个正方形，若 ，则 的值是（ ）A．48 B．56 C．66 D．78
例3．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为
斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，．．．．
按照此规律继续下去，则 的值为 ．
例4．（23-24八年级下·北京·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长
出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，
变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股
树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
例5．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，
再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状
好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文
明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学
家欧几里得证明这个定理使用的图形.以 的三边 为边分别向外作三个正方形：
正方形 、正方形 、正方形 ，再作 垂足为G，交 于P，连接 ， .则
结论：① ，② ，③ ，④ .正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（2024·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中， ，分别以AB，BC，CD，DA
为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S ，S ，S ，S 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是
甲 乙 丙 丁（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·成都市八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S，以AB为斜边向外作
1
等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S，…，按照此
2
规律继续下去，则S 的值为（ ）
7
A． B． C． D．
3．（2023春·绵阳市·八年级专题练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上
生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，
生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生
长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
4．（2024·陕西渭南·八年级期末）如图，以 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩
上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如
图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的
正方形的面积和是（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．1
6．（2024·青海西宁·八年级期末）如图，直线 上有三个正方形，若 ， 的面积分别为5和11，则 的面积为（ ）
A．13 B．16 C．36 D．55
7．（2023春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着
中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一
个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形 的面积的大小为（ ）
A．144 B．100 C．49 D．25
8．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时
介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形 ，中空的
部分是小正方形 ，连接 相交于点O， 与 相交于点P，若 ，则直角三角形
的边 与 之比是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·重庆市八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其
中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是 ， ， ，则正方形D的面积
是______ ．10．（2024·福建·中考真题）如图，正方形 的面积为4，点 ， ， ， 分别为边 ， ，
， 的中点，则四边形 的面积为 ．
11．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证
明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，
那么 为 ．
12．（2024·山东临沂·校考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有
独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆
方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延
长一倍得到正方形ABC D（如图1），则正方形的面积为 ；再把正方形ABC D 的各边分别
1 1 1 1 1 1 1 1
延长一倍得到正方形ABC D（如图2），如此进行下去，得到的正方形AB C D 的面积为 （用
2 2 2 2 n n n n
含n的式子表示，n为正整数）．13．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图， 中， ， ， 是 边上的中线，
过点C作 ，垂足为点F，过点B作 交 的延长线于点D， ．
(1) 与 全等吗？为什么？(2)求 的面积．
14．（2023山西八年级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定
理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾
股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；
（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 ， ， 满足的关系是______．
（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个
月形图案（阴影部分）的面积为______．
15．（2024·广西南宁·八年级校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方
国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉
代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，
请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．
【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断 、 、 的数量关系并说
明理由．16．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）已知： 中， ， ， 是直线CB
上的一个动点，连接AD，过点 作 的垂线，垂足为点 ，过点 作 的平行线交直线 于点 ．
特例探究：（1）如图1，当点 为 中点时，请直接写出线段 与 的数量关系．并证明．
类比探究：（2）①如图2，当点 在线段 上(不与 ， 重合)，请探究线段 ，BD， 之间的数
量关系(要求：写出发现的结论，并证明)．
②如图3，当点D在线段 延长线上，请探究线段 、 与 之间的数量关系（要求：画出图形，直
接写出发现的结论，无需证明）．
17．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践
知识再现:如图 ， 中， ，分别以 、CA、AB为边向外作的正方形的面积为 、 、
．当 ， 时， ______．
问题探究:如图， 中， ．
（1）如图 ，分别以 、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为 、 、 ，则 、 、
之间的数量关系是______．（2）如图 ，分别以 、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为 、 、
，试猜想 、 、 之间的数量关系，并说明理由．实践应用:（1）如图 ，将图 中的 绕点 逆时针旋转一定角度至 ， 绕点 顺时针旋转
一定角度至 ， 、 相交于点 ．求证： ；
（2）如图 ，分别以图 中 的边 、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，
、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为 、 、 ．若 ，柱体的高 ，直接写出 的
值．
18．（2023·江苏常州·八年级校联考期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，
斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，
已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角
三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S、S、S，若S＋
1 2 3 1
S＋S＝16，则S＝ ．
2 3 219．（2023·江苏南京·八年级校考期中）在Rt ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将
Rt ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构△成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的
“△勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京
召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图
形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的
长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？
20．（23-24八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为 ， ， ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足 的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
， ，直角三角形面积为 ，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出 ， ，
的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正
方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，
设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则
__________．
