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第二篇 解题技巧篇
技巧03 填空题解法与技巧（练）
1．（2023·陕西西安·统考一模）若抛物线 上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p
的值为______.
【答案】2或18
【分析】由抛物线的定义得点A的坐标，代入抛物线的方程求解即可.
【详解】∵设抛物线的焦点为F，则 ，准线l方程为： ，
∴由抛物线的定义知， ，
∴点A的横坐标为 ，则 ，
又∵点A在抛物线上，
∴ ，解得： 或 .
故答案为：2或18.
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）经过原点且斜率为 的直线l与双曲线C：
恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是______.
【答案】
【分析】直线l与双曲线C： 恒有两个公共点，则有直线l的斜率大于渐近线 的
斜率，即可求解.
【详解】双曲线 ： 的焦点在 轴上，
渐近线方程是 ，
结合该双曲线的图象，由直线 与双曲线 恒有两个公共点，
可得出： ，即 ，所以离心率 ，
即离心率 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（2023·全国·模拟预测）点 到曲线 在 处的切线l的距离为______.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求切线方程，结合点到直线距离公式可得结论.
【详解】 ，当 时， ，所以切点坐标为 .
求导得 ，则切线的斜率为3，
所以切线方程为 ，即 ，
所以点 到切线l的距离为 .
故答案为： .
4．（2023·高三课时练习）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，
则成绩X位于区间 的人数大约是_________．
【答案】273
【分析】由图知： ，利用 原则可求出成绩X位于区间 的概率，进而可得出大约人数.
【详解】由题意可知： ，由图象可得： ，∵ ，即 ，
∴成绩X位于区间 的人数大约是 .
故答案为：273.
5．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式
的盒装玩具，一般按系列贩售．它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买．小明购买了5个冰墩墩
单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个．
小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻．若相同摆件视为相同元素，则一共有____________种
摆放方法．
【答案】36
【分析】利用插空法计算即可.
【详解】记2个相同的“竹林春熙”为A，A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，先
摆放B，C，D，一共有 种摆放方式，再将2个A插空放入，有 种摆放方式，所以，一共有
种摆放方式．
故答案为：36.
6．（2023·全国·模拟预测）已知 是 的最小正周期，若 ，
是 的一个极大值点，则当 取得最小值时， ______．
【答案】
【分析】根据已知结合三角函数周期与诱导公式得出 ，即可得出 ，
根据 是 的一个极大值点得， ， ，即可得出 的最小值为1，则
，代入求解即可得出答案.【详解】由题意可知， ，则 ，
由 得， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
由 是 的一个极大值点得， ， ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 的最小值为1，
此时 ，
故 .
故答案为： .
7．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，
若对任意 ， 都有 成立， 则称 和 在 上是 “亲密函数”， 区间
称为 “亲密区间”．若 与 在 上是 “亲密函数”，则 的最大值______
【答案】4
【分析】首先表示出 ，令 ，即 ，解得 的取值范围，即可得解.
【详解】解：因为 ，
若 与 在 上是“亲密函数”，则 ，即 ，即 ，
解得 或 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
8．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为______．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据 以及 的展开式的通项公式可求出结果.
【详解】 ，
的展开式的通项公式为 ，
在 中，令 ，得 的展开式中 的系数为 ，
令 ，得 的展开式中 的系数为 ，
故 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
9．（2022秋·河北保定·高三校考期中）已知点 在直线 上的运动，则 的最
小值是______
【答案】 ##0.5
【分析】由题意 表示点 与 距离的平方，再由点到直线的距离即可求出
的最小值.【详解】 表示点 与 距离的平方，因为点 到直线 的距离
，所以的最小值为 .
故答案为： .
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问
题．现将正自然数中，能被3除余1且被2除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则
__________．
【答案】115
【分析】结合叙述，将两数列表示出来，找出公共项，求出通项公式，进而得解.
【详解】被2除余1的数可表示为 ， ，
被3除余1的数列可表示为 ，则 ，
故公共项为 ，则 为以首项为1，公差为6的等差数列，
， ，则 .
故答案为：115.
11．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）2022年12月某机构关于中国新国货品牌“金榜题名”颁
奖典礼准备以线上直播的形式举办，并邀请榜单中的 五家企业发言，则 在 之前发言（不一定
相邻，下同），且 在 之后发言的方法种数为__________.（用数字作答）
【答案】20
【分析】利用分步乘法原理，先考虑特殊元素A、B、C，从5个位置中选3个先排，再排D、E.
【详解】第一步：从5个位置中选3个排A、B、C，有 种排法，
第二步：剩下的2个位置排D、E，有 种排法，
根据分步乘法原理，总共有 种发言的方法.
故答案为：20.12．（2023·云南曲靖·统考一模）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ， 是椭
圆 与抛物线 的公共点， ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧， ，则椭圆 的离
心率的最大值为______．
【答案】
【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得 或 ，再分 和 两种情况讨论，当 时
求出 、 的坐标，由 ，即可得到关于 的不等式，解得即可.
【详解】解：联立抛物线 与椭圆 的方程消去 整理得到 ，解
得 或 ．
① 时，代入 解得 ，已知点 位于 轴右侧，取交点 ，则 ，
此时 ，与 矛盾，不合题意．
② 时，代入 解得 ．已知点 ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧，取交点 、
，
已知 ，则 轴， ．
此时 ，即 ，两端同除以 可得： ，解得
．因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
13．（2023·山西临汾·统考一模）设 是曲线 上的动点，且 .则 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】由当PA垂直于 在点P处的切线时， 取得最小值列式 可得 ,代入
中解不等式即可.
【详解】∵ ，∴ ，
设点 ，则 在点P处的切线斜率为 ，
∵ ，即：当且仅当PA垂直于切线时， 取得最小值 ，
又∵ ，
∴ ，即： ，①
∴ ，即： ，②
∴由①②得： ，解得： 或 ，
又∵由①知， ，
∴ ，即： ，解得： ，
∴ .
故答案为： .14．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的
都有 ，当 时， ，则 _________
【答案】
【分析】依题意可得 ，即可得到 是周期为 的周期函数，即可得到 ，
，再根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.
【详解】解：根据题意， 满足对任意的 都有 ，
所以 ，则 是周期为 的周期函数，
则 ， ，
又由 为定义在 上的奇函数，则 ，
又由 时， ，则 ，
则 ， ，则
故答案为：
15．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在等比数列 中， ，记数列 的前 项
和､前 项积分别为 ，则 的最大值是______.
【答案】8
【分析】结合题意求出数列 的首项与公比，进而求出前 项和､前 项积分别为 ， ，然后表示出，结合函数的性质即可判断.
【详解】因为 ， ，所以公比 ，所以 ，所以 ，
， ，
，因为 ，所以 或 时， 取最大值 .
故答案为：8
16．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）过直线 上一点 作圆 的两条切线 ，切
点分别为 ， ，则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【分析】设 ，利用 与圆 的关系，得到 ， ，进而得到点 均在以 为直径的圆
上，进而得到圆 的方程，则直线 为两圆的公共弦，进而可求出直线 以及该直线所过的定点，即可
求得 的最小值
【详解】设 ，则有 ①，又由圆 的圆心 为 ，直线 ， 是圆的两条切线， 为切点，则 ， ，
则点 均在以 为直径的圆上，设 的中点为 ，
则圆 的方程为 ，
化简得 ；
直线 即为两圆的公共弦，所以对于 和 ，
两式相减可得直线 的方程为 ，
由①可得， ，整理得 ，
由 得
故直线过定点 ，
因为 ，说明 在圆 内，
当 时，此时 最小，为
故答案为：
17．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设抛物线 的焦点是 ， 直线
与抛物线 相交于 、 两点， 且 ， 线段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ， 则
的最小值为_____________【答案】3
【分析】设 ， ， 过点 、 分别作抛物线的准线的垂线， 垂足分别为 、 ，则 到抛
物线 的准线的距离为 ，利用余弦定理求出 ，则 ，利用基本不等式得
到 ，从而求出 的最小值.
【详解】解：设 ， ， 过点 、 分别作抛物线的准线的垂线， 垂足分别为 、 ， 则
， ，
因为点 为线段 的中点，由中位线定理可得， 到抛物线 的准线的距离为 ，
因为 ， 在 中， 由余弦定理可得， ，
所以 ，
因为 ， 则 ， 当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，故 的最小值为 ．故答案为：
18．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知椭圆E： （ ），F是E的左焦点，过E的
上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 ， 的面积为 ，则E的标准方程为______.
【答案】
【分析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，并作出图，根据 ，直线AB的斜率为 ，得到
，结合椭圆的性质得到 ， ，从而设直线 的方程： ，联立直线
的方程和椭圆方程解得 的坐标，再根据 的面积为 ，即可求解.
【详解】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：由题意知： ，直线AB的斜率为 ，即 ，
所以 ， .
由椭圆的性质知： ， ，则 ，所以 ， ，
则 ，故直线AB的方程为 .
联立 ，解得： 或 ，
所以 ，故 ，
则 ，解得： .
又 ，所以 ，即 ，则E的标准方程为 .
故答案为： .
19．（2023·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，圆O： 与坐标轴的四个交点分别为
A，B，C，D，设动点P到A，B，C，D四点的距离分别为 ， ， ， ，若 ，则 的取值范
围为______.【答案】
【分析】设 ，根据题意得到动点P的轨迹方程为 ，结合图形 得最大值与最小值
即可.
【详解】由题意知 ， ， ， ，
设 ，则由 ，
得 ，
整理得 ，
所以动点P的轨迹方程为 .
在平面直角坐标系中作出圆 ，
如图所示，设圆心为E，半径为r，连接ED，则 ，
由图可得P点到D点的最大距离，即 的最大值为 ，P点到D点的最小距离，即 的最小值为 ，
故 .
故答案为： .
20．（2023·全国·模拟预测）已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】由函数 有两个极值点，对 求导，设出新函数 ，讨论新函数的单调性及值域，即
可得到实数a的取值范围.
【详解】由题意，
在 中， 有两个极值点，
∴ 有两个不相等的实数根，
∴关于x的方程 有两个不相等的实数根，
记 ，设 ，
则直线 与函数 的图象有两个不同的交点.
在 中， ，
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，易知 ，当 时， ，当 时， ，
作出函数 的大致图象如图所示，
数形结合可得 ，
∴实数a的取值范围是 ，
故答案为： .
21．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知曲线 与 的两条公切线的夹角正切值为 ，则
________．
【答案】
【分析】由两曲线互为反函数，结合反函数性质及正切函数倍角公式，可求得两条公切线的夹角一半的正切值，
即可求得直线AD的斜率.设点A的横坐标为 ，切点D的横坐标为 ，由导数法分别就A、D两点求同一条切
线方程，从而建立方程，化简求值.
【详解】 与 互为反函数，图像关于直线 对称，如图所示，由题意，两条公切线的夹角正切值为 ，解得 或 ，又 为锐角，所以
.
由对称性，不妨取AD直线进行研究，则直线AD的倾斜角 ， .
设点A的横坐标为 ，切点D的横坐标为 ，
则 ， ，∴ ，即 .
所以 ， ， ，即 .
∴ ，则 ，即 ，则 ，所以
，即 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：公切线问题，一般可在两曲线上设出切点，分别求出切线，利用两切线为同一条切线得出
方程，从而进一步求解.
22．（2023·全国·模拟预测）已知正六棱锥 的侧棱长为4，底面边长为2，点Q为正六棱锥
外接球上一点，则三棱锥 体积的最大值为______.【答案】
【分析】先根据锥体的结构特征求正六棱锥的高，再求其外接球的半径，再求球心到平面PAB的距离，最后
结合锥体体积公式求三棱锥 体积的最大值.
【详解】由题可得正六棱锥 的高为 ，
设正六棱锥 的外接球的球心到底面 的距离为 ，
设外接球半径为R，则 ， ，
解得 .
设外接球的球心为O，正六边形ABCDEF的中心为 ，
连接 ，则O在线段 上，
过P作 于点M，连接 ，过O作 于点N，
则ON为球心O到平面PAB的距离.
如图，在直角三角形 中， ， ， ，
，则 ，
因此点Q到平面PAB的最大距离为 ，易知 的面积 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 .
故答案为： .
23．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数 ，则函数 的所有零
点之积等于__________．
【答案】
【分析】由题意，表示出函数 解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.
【详解】求函数 的所有零点，则等价于求方程 的根，
当 时， ，则 ，解得 ；
当 且 时， ，则 ，
，可得 或 ，即 或 ，
解得 或 或 或 ；
当 时， ， ，不符合题意.
综上， ，
故答案为： .
24．（2023·云南红河·统考一模）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，若E上
存在点P，满足 ，（O为坐标原点），且 的内切圆的半径等于a，则E的离心率为
____________．【答案】 ##
【分析】由 可得 ， ，再结合双曲线的定义可得 ，化
简得 ，因为 的内切圆的半径为a，所以 ，即
，化简运算即可得E的离心率.
【详解】因为 ，所以 ， ，
又因为P在双曲线上，所以 ，联立可得 ，
，所以 ，
因为 的内切圆的半径为a，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，两边平方得 ，
即 ，两边同时除以 ，得 ， ，
因为 ，所以 ．
故答案为： .
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计
算或证明常利用正弦定理、余弦定理、 ，得到a，c的关系．
25．（2023·山西临汾·统考一模）已知双曲线 的离心率为 分别为 的左､右焦点，
点 在 上且关于坐标原点 对称，过点 分别作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，若，且四边形 的面积为6，则 的面积为__________.
【答案】
【分析】根据 确定四边形 为矩形，结合勾股定理，双曲线的定义可求出 的值，结合离心
率可求双曲线方程，再根据点到直线的距离公式和三角形的面积公式可求解.
【详解】如图，不妨设 在第一象限，
因为 ，且 为 的中点，
所以四边形 为矩形，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，又因为离心率为 所以 ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以双曲线方程为 ，
由等面积法可得 ，所以 ，
所以 ，两条渐近线方程分别为 倾斜角为
所以 到渐近线的距离为
设 相交于点 ，
又因为 ,
所以 ，
所以 ，
故答案为: .
26．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭
圆C上一点，点A在以 为直径的圆上，若 ，则 的值是______________．
【答案】15
【分析】根据椭圆方程求出 的值，根据 得到点A是线段 的中点，根据中位线求出 的值，
根据椭圆的定义求出 ，把向量
【详解】根据椭圆的方程可得 ，
焦点坐标为 ，
点A在以 为直径的圆上，设O为坐标原点，所以 ．
由 ，可知点A是线段 的中点，
故 ，则 ，
又点P在椭圆C上，
故 ，则 ．
在 中， ，即 ，
所以 ，
在 中， ．
综上， ．
故答案为：15
27．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）我国古代将四个面都是直角三角形的四面体称
作鳖臑，如图，在鳖臑 中， 平面 ， 是等腰直角三角形，且 ，则异面直线
与 所成角的正切值为______．（写出一个值即可，否则有两个答案）
【答案】 或 （写出一个值即可）【分析】分类讨论 是等腰直角三角形中, 为直角， 为直角， 为直角，三种情况即可.
【详解】解：因为 是等腰直角三角形，当 为直角时，
作正方形 ，连接 ，
则异面直线 与 所成角的平面角为 （或其补角），
又由已知有 ， ，
所以 面 ，即 面 ，即 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
即异面直线 与 所成角的正切值为 ；
因为 是等腰直角三角形，当 为直角时，
建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，则 ，
，
所以 ，
，所以 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的正切值为 ；因为 是等腰直角三角形，当 为直角时，
因为 平面 ， 是等腰直角三角形，
所以 ，
设 ，
所以 ，
所以 ，
此时 ，
所以 不可能为直角三角形，不满足题意.
综上可得异面直线 与 所成角的正切值为 或 .
故答案为： 或 .
28．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的
“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三
项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项
为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．
则对于外观数列 ，下列说法正确的有______．
①若 ，则从 开始出现数字2；
②若 （ ，2，3，…，9），则 的最后一个数字均为k；
③ 不可能为等差数列或等比数列；
④若 ，则 均不包含数字4．
【答案】②④
【分析】对①，由外观数列定义列举判断；
对②，由外观数列定义判断；
对③，取反例，如 ；对④，由反证法，结合外观数列定义判断.
【详解】对①， ，①错；
对②，由外观数列的定义，每次都是从左到右描述，故一开始的k（ ，2，3，…，9）始终在最右边，即
最后一个数字，②对；
对③，取 ，则 ，此时既为等差数列，也为等比数列，③错；
对④， ，
设数列 首次出现数字4，则 必出现了4个连续的相同数字m（ ，2，3，…，9），
而 的描述必包含“1个m，1个m”，与 的描述矛盾，故 均不包含数字4，④对.
故选：②④
29．（2023·全国·模拟预测）已知A，B，C，D为抛物线 上不同的四点，直线AB，CD交于
点 ，直线AD经过E的焦点F，若直线AD的斜率为直线BC斜率的4倍，则 ______．
【答案】2
【分析】先设过 的直线方程为 ，并与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到 ，
，再设 （ 且 ），从而可得 ，然后设直线AD的方程为
，将直线AD的方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到 ，进而可得
，由 ，结合斜率计算公式列等式，即可得p的值．
【详解】设过 的直线方程为 ，由 整理得 ，
所以 ， ，设 （ 且 ），则 ，
设直线AD的方程为 ，(由题意可知直线AD的斜率不为0)
由 整理得 ，
所以 ，则 ， ，即 ．
因为 ，所以 ，则 ，即
所以 ，
，
由 得， ，整理得 ，
因为 ，所以 ．
故答案为：2
30．（2023·全国·模拟预测）如图， ， 分别为椭圆 的左、右焦点，A，C在椭圆上且关于原点对
称（点A在第一象限），延长 交椭圆于点B，若 ，则直线AC的方程为______.【答案】
【分析】根据椭圆的对称性得出四边形 为平行四边形，则 ，设直线 的斜率为k，则直线
的方程为 ，联立直线 与椭圆方程消去 得出 ，则
，同理 ，即可根据弦长公式列式解出 ，即可得出答案.
【详解】连接 ， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
.
设直线 的斜率为k，
，直线 的方程为 .
联立方程，得 ，整理得 ，
点A在第一象限，
，同理可得 .，得 ，
，则 ，直线AC的方程为 .
