技巧03填空题解法与技巧（讲）原卷版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第二篇 解题技巧篇 技巧03 填空题解法与技巧（讲） 考向 速览 热点追踪 众所周知，高考的核心功能是“立德树人，服务选才，引导教学”，特别是在发挥“立德树人”功能方面，更 加注重“五育”并举，它不但在选择题中有所体现，而且，在填空题中也屡屡出现相关背景的题目，值得我们 关注. 1.弘扬传统文化，渗透爱国教育 【典例1】（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他 把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三角形的面积 ___________． 【典例2】（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直 角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大 正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 ___________.【典例3】（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如 数列 就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________． 【综合分析】 以我国古代数学家的研究成果为背景，设计相关计算问题，考查学生的发现问题解决问题的能力、数学运算能 力，以及数学文化素养，同时，引导师生关注我国传统数学文化，将爱国主义教育融入其中，展示了数学之美， 讴歌了中国古代劳动人民的勤劳与智慧，以及为人类文明作出的突出贡献． 2.弘扬民间艺术，渗透劳美教育 【典例4】（2021·全国·高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把 纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形， 它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形， 它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次， 那么 ______ . 【典例5】（2020·海南·高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆 孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形 DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 【综合分析】 1.以学生研究民间剪纸艺术的折纸为背景设计试题，考查了数列的概念与数列的求和计算，突出了“德育为先， 立德树人”的思想理念.考查学生的逻辑思维能力、数学建模及数学运算能力. 又对学生进行了“美育”及劳动 教育. 2.以劳动教育为背景的考题，再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动， 体现了劳动教育的要求．在考查几何知识、三角知识的同时，培养学生的数学应用意识，较好地发挥高考试题 在培养劳动观念中的引导作用. 以劳动教育为背景的考题，多以社会实践、动手操作实验等为题材． 3.关注赛事规则，渗透体育教育 【典例6】（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利 时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场 取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ____________． 【综合分析】 本题以学生喜欢的体育项目为背景设计试题，情境贴近实际，倡导学生关注体育赛事，积极参加体育锻炼，体 现了数学抽象和数学运算等核心素养，凸显了“体育”教育功能． 4.立足社区生活，增强实践意识 【典例7】（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入 选的概率为____________． 【典例8】（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排 放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下 图所示. 给出下列四个结论： ①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【点评】 以社区服务为背景，引导学生关注社会实践.以污水治理为背景，结合函数图象理解平均变化率、瞬时变化率 即导数的几何意义，要求学生具备敏锐的观察力、分析问题的能力，启迪学生理解数学语言，用数学眼光认识 世界，用数学的思维思考世界，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养，有助于引导学生关注现实、增强环保 意识． 方法技巧 典例分析 01 直接法 【核心提示】 直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而 得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算 较简单的题目常用直接法.． 【典例分析】典例1.（2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）在平面直角坐标系中，已知直线 与椭圆 在第二象限交于点 ，交 轴于点 .设点 ，若 ，则 的值为__________. 典例2.（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 02 特例法 【核心提示】 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值 时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊 点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应 多取几个特例.特殊化法是“小题小做”的重要策略. 但要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求 解． 【典例分析】 典例3.（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______． ① ；②当 时， ；③ 是奇函数． 典例4.（2021·浙江·统考高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的 直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是___________， 椭圆的离心率是___________. 03 正反互推法 【核心提示】多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、 符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举 反例判断错误的命题或结论． 【典例分析】 典例5.（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）设函数 的定义域为 ，给出下列命题： ①若对任意 ，均有 ，则 一定不是奇函数； ②若对任意 ，均有 ，则 为奇函数或偶函数； ③若对任意 ，均有 ，则 必为偶函数； ④若对任意 ，均有 ，且 为 上增函数，则 必为奇函数； 其中为真命题的序号为__（请写出所有真命题的序号）． 典例6.（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给 出下列四个结论： ① 的第2项小于3； ② 为等比数列； ③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 04 数形结合法 【核心提示】 一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断， 简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形. 【典例分析】 典例7.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）三棱锥 内接于半径为 的球O，且 ，则三 棱锥 体积的最大值为________． 典例8.（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论： ①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有1个零点； ③存在负数 ，使得 恰有3个零点； ④存在正数 ，使得 恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 典例9.（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至 少有3个零点，则实数 的取值范围为______. 05 构造法 【核心提示】 构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在 观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思 维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背 景)，从而构造几何、函数、不等式、数列、向量等具体的数学模型，从而转化为自己熟悉的问题，达到快速 解题的目的. 利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根 f x fx f x gx fx f x0 gxexf x ex 据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， f x xfx f x gx xfx f x0 gx xf x x 构造 ， 构造 等. 【典例分析】 典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值 点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________． 典例11.（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分 别交于M，N两点，且 ，则l的方程为___________． 典例12.（2021·河北·沧州市一中高二阶段练习）数列 的前n项和为 ，且 ， ， 则 __________；若 恒成立，则k的最小值为__________.