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专题 01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8 字型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计
算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的
基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和
（双）8（X）字模型．
....................................................................................................................................................1
模型1.“A”字模型................................................................................................................................................2
模型2.“X”字模型（“8”字模型）..................................................................................................................16
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）.............................................................................................................33
..................................................................................................................................................44
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的
是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无
论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A”字模型
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相
等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC ＝＝。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△⇔ABC，∴＝＝。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB ＝＝。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝⇔＝。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC 。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△A⇔EF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边
上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM 。
证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△A⇔DG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴ 。
例1．（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图， 中， ， ， 的面积是1，那么
四边形 的面积是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
例2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在 中，点 分别是 上的点，连接 ，
， ，若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
例3.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在 中，点 分别在 上，且 ．
（1）求证： ；（2）若点 在 上， 与 交于点 ，求证： ．例4．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ，把它加工成正方
形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，若 、 、 的面
积分别为4、6、3，则求这个正方形零件的边长是 ．
变式1．（2024·湖南永州·模拟预测）如图： 中， ， ， ，把边长分别为 ，
， ，… 的n个正方形依次放在 中；第一个正方形 的顶点分别放在 的各边上；
第二个正方形 的顶点分别放在 的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的
边长 为 ．
变式2．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，．过点B作 的垂线，交 于点G，交 于点F，则 ．
模型2.“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两
个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD ＝＝。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AO⇔B∽△COD，∴＝＝。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC ＝＝。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角）⇔ ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论： 。证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴ 。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC 3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD⇔∽∠△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即
AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
例1．（2024·吉林长春·三模）如图，矩形 中， ， ，以点 为圆心，适当长为半径画
弧，分别交 ， 于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作
射线 ，过点 作 的垂线分别交 ， 于点M、N，则 的长为（ ）
A． B． C． D．5
例2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在 中， ，点 为 上一点，
过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，若 ，则线段
的长为 ．
例3.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图， 与 交于点O， 过点O，交 于点E，交 于点， ．（1）求证： ．（2）若 ，求 ．
例4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形 的边长为6， ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，连结 分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ．
变式1．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在等边 中， ，D为边 上一点， ，连接
，将 绕点D顺时针旋转 得到 ， 交 于点F，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
变式2．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：
三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 ．下面是小明证明性质的过
程．
如图，在 中，D、E分别是边 、 的中点， 、 相交于点G，求证：证明：连接 ，∵D，E是边 ， 的中点，
∴ ， （依据1）∴
∴ （依据2）∴
(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：
依据1：______________________依据2：______________________
(2)应用①如图，在 中，点G是 中的重心，连接 并延长交 与点E，若 ，求
长．
②在 中，中线 、 相交于点O，若 的面积等于30，求 的面积．
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔ 。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴ 。
∴ 。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔ 。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴ 。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴ 。
，即 ，故 。
两式相加得到：
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG， 。
证明:同②中的证法，易证： ， ，
∴ ，即AF=AG，故 。
例1.（2024.湖北九年级期中）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．
例2．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图， ，如果 ， ，那么
．例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1， ， 与 相交于点E，点F在
上．求证： ；
小雅同学的想法是将结论转化为 来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2， ， ， ， 与 相交于点G，点H在 上，
．求证： ．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形 中， ，连接 ， 交于点M，过点M作 ，
交 于点E，交 于点F，连接 交于点N，过点N作 ，交 于点G，交 于点
H，若 ， ，直接写出 的长．
变式1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在 中， ， ，点D为 的中点，点M
在 边上，且满足 ， ，垂足为N，交 于点P．
（1） 的值为 ；（2） 的值为 ．变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心 的光线 ，其传播方向不变，经过焦点 的光线 经凸透镜
折射后平行于主光轴 沿 射出，与光线 交于点 ，过点 作主光轴 的垂线段 ，垂足为
，即可得出物体 所成的像 ．
【模型验证】设焦点 到光心的距离 称为焦距，记为 ；物体 到光心的距离 称为物距，记为 ；
像 到光心的距离 称为像距，记为 ．
已知 ， ，当 时，求证： ．
证明：∵ ， ，∴
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，同理可得 ，
∴ ，即 ① ，∴ ② ，
∴ ，∴ ，即 ．
请结合上述材料，解决以下问题：(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含 的代数式表示)；(2)若该凸透镜 的焦距为20 ，物
体距凸透镜 的距离为30 ，物高为10 ，则物体 所成的像 的高度为__________ ；
(3)如图2，由物理学知识知“经过点 且平行于主光轴 的光线 经凸透镜 折射后经过点 ”，小
明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线 始终经过主光轴 上一定点．若该凸透镜 的焦
距为20 ，物高为10 ，试说明这一物理现象．
1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S ADE＝2，则
△S ABC＝_____．
△
2．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，在 中，D，E分别为 ， 上的三等分点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形 中，点E是 上一点， ，连
接 交 于点G，延长 交 的延长线于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，
的延长线与 的延长线交于点 ， 与 相交于点 ．若 ，则 的长为： ．5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图．正方形 的边长为 ，点 是边 上一点，
与对角线 交于点 ，如果 ，那么线段 长为 ．
6．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉
点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．
7．（2021·江苏南京·中考真题）如图， 与 交于点O， ，E为 延长线上
一点，过点E作 ，交 的延长线于点F．
（1）求证 ；（2）若 ，求 的长．AB 1
8. （2022·浙江九年级期中）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上， = ，
CD 2
BF 1
= ．（1）求证：AB∥EF；（2）求S ：S ：S ．
ABE EBC ECD
CF 2
△ △ △
9．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C，D均在直线l的上方， 与 都是直线l的垂线段，且
在 的右侧， ， 与 相交于点O．
(1)如图1，若连接 ，则 的形状为______， 的值为______；
(2)若将 沿直线l平移，并以 为一边在直线l的上方作等边 ．
①如图2，当 与 重合时，连接 ，若 ，求 的长；
②如图3，当 时，连接 并延长交直线l于点F，连接 ．求证： ．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量
方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点 处时，乙测
得甲直立时身高 的影子 长是 ，然后甲从 出发沿 方向继续向前走 到点 处时，乙测
得甲直立时身高 的影子 长是 ．已知甲同学直立时的身高为 ，求路灯离地面的高度 ．11．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图， ， 于点D， ， 交 于点
P， ．若 ，求 的长．
12．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取
BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
13．（2024·上海市九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE
BC， ．（1）求证：DF BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6 ．求证△ADE∽△AEB．14．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比
等于夹这个角的两条边的比．
(1)【思路说明】已知：如图1， 中， 平分 交 于D．试说明： ．理由：过
点C作 ，交BA延长线于点E，易得 ______，由 ， 平分 可得
______，代入上式得 ．
(2)【直接应用】如图2， 中， ， 平分 交 于D，若 ，在不
添加辅助线的情况下直接写出 ______．
(3)如图3，若四边形 为矩形， ，将 沿 翻折得到 ，延长 、 分别
交 于M、H两点，当 时．①求 的长；②直接写出 ______；
(4)【拓展延伸】如图4，若四边形 是边长为6的菱形， ，当点E为 边的三等分点时，
将 沿 翻折得到 ，直线 与 所在直线交于点P、与 所在直线交于点Q，请直接写出
的长______．15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形 中，点F，E，G分别在
上， ， ，求证：
尝试应用：如图 2， 是 的中线，点E在 上，直线 交 于点G，直线 交 于点F，
若 ，求 的值．
迁移拓展：如图3，在等边 中，点D在 上，点E在 上，若 ， ，直接
写出 的值．（用含m的式子表示）
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重合），射线 与射线 交于点 ．(1)若 ，求 的长．(2)求证： ．(3)以点 为圆心，
长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长．
17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，
且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若 ＝2，求 的值；(3)若MN∥BE，求 的值．
18．（2024•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段
AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S ，S 和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？
ADE ABC
△ △问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式： 而根据相似三角
形面积之比等于相似比的平方．可得 ．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论： ？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得： ．借用这个结论，
请你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，
AB＝b，AE＝c，AC＝d，则 ．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，
连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d， ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线
于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2， ABCD的面积为30，则△AEF的面积是 ．
▱
