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淘宝：学思创想
专题07 三角形中的重要模型-等积模型
三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的
思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三
角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应
试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型
1）等底等高的两个三角形面积相等；
如图1，当AB //
，则
； 反之，如果
，则可知直线AB //
。
图1 图2 图3
2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD 时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。
例1．（山东省临沂市2023-2024 学年八年级月考）如图，
是
边
的中线，点E 在
上，
，
的面积是3，则
的面积是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
例2．（河北省石家庄市2023-2024 学年八年级月考）如图，
是
的边
上的中线，
是
的边
上的中线，
是
的边
上的中线，若
的面积是32，则阴影部分的面积是（
）
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A．9
B．12
C．18
D．20
例3．（湖北十堰五校联考2023-2024 学年八年级月考）如图，点
为
的重心，
，
，
分别为
，
，
的中点，具有性质：
．已知
的面积为2，则
的
面积为 ．
例4．（浙江省杭州市2023-2024 学年八年级上学期10 月月考数学试题）如图，
是
的一条中线，
E 为
边上一点且
，
相交于F，四边形
的面积为6，则
的面积是 ．
例5．（2023 春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．
如图1，
是
边
上的中线，则
．
理由：因为
是
边
上的中线，所以
．
又因为
，
，所以
．
所以三角形中线等分三角形的面积．
基本应用：在如图2 至图4 中，
的面积为a．
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(1)如图2，延长
的边
到点D，使
，连接
．若
的面积为
，则
（用含a 的代数式表示）；
(2)如图3，延长
的边
到点D，延长边
到点E，使
，
，连接
．若
的
面积为
，则
（用含a 的代数式表示）；
(3)在图3 的基础上延长
到点F，使
，连接
，
，得到
（如图4）．若阴影部分的面
积为
，则
（用含a 的代数式表示）；
拓展应用：
(4)如图5，点D 是
的边
上任意一点，点E，F 分别是线段
，
的中点，且
的面积为
，则
的面积为 （用含a 的代数式表示），并写出理由．
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例6．（2023 春·上海·九年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线
，点
、
在直线
上，点
、
在直线
上，当点
在直线
上移动时，总有
______与
的面积相等．
(2)解答下题．①如图2，在
中，已知
，且
边上的高为5，若过
作
，连接
、
，则
的面积为______．
②如图3，
、
、
三点在同一直线上，
，垂足为
．若
，
，
，
，求
的面积．
(3)如图4，在四边形
中，
与
不平行，
，且
，过点
画一条直线平分四
边形
的面积（简单说明理由）．
模型2.蝴蝶（风筝）模型
蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则
四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
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蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系
如图1，结论：①
或
；②
。
梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系
如图2，结论：①
；②
；③梯形
的对应份数为
。
例1．在四边形ABCD 中，AC 和BD 互相垂直并相交于O 点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分
三角形BCO 的面积为 ．
例2、如图，S△ACB＝24 平方厘米，S△ACD＝16 平方厘米，S△ABD＝25 平方厘米，则S△COB为 平方厘米。
例3、如下图，梯形
的
平行于
，对角线
，
交于
，已知
与
的面积分
别为
平方厘米与
平方厘米，那么梯形
的面积是________平方厘米．
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35
25
O
A
B
C
D
例4、如图，梯形
中，
、
的面积分别为
和
，则梯形
的面积为 ．
O
D
C
B
A
例5、梯形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，AB 垂直AC，并且已知AO＝6 厘米，BO＝10 厘米，则三
角形DOC 的面积是 平方厘米。
例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS 的面积为
。
模型3.燕尾（定理）模型
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条件：如图，在
中，E 分别是
上的点，
在
上一点，结论：S1 S2
S3 S4
S1+S3 S2+S4
BE EC。
例1、如图，△ABC 中，M、N 分别是BC、AC 边上的三等分点，AM、BN 相交于点O，已知△BOM 的面
积为2，则四边形MCNO 的面积为 。
例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，已知点P、Q 分别在边AC、BC 上，BP 与AQ 相交
于点O，若△BOQ、△ABO、△APO 的面积分别为1、2、3，则△PQC 的面积为（ ）
A．22
B．22.5
C．23
D．23.5
例3．如下图，三角形
中，
，且三角形
的面积是，则三角形
的面积为 ．
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例4．（2023 江苏淮安九年级月考）已知
的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，若
是
的
边上的中线，则
的面积______
的面积．（填“>”“<”“=”）
(2)如图2，若
、
分别是
的
、
边上的中线，求四边形
的面积可以用如下方法，
连接
，由
得：
，同理：
，设
，
，则
，
由题意得：
，
，可列方程组为：
，解得
______，则可得四边形
的面积为______．(3)如图3，
，
，则四边形
的面积为______．(4)如图4，D，F 是
的三等分点，E，G 是
的三等分点，
与
交于O，
且
，则四边形A
的面积为______．
模型4.鸟头定理（共角定理）模型
图1 图2
共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
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如图，在
中，
分别是
上的点(如图1)或
在
的延长线上，
在
上(如图2)，则
例1、如图，在三角形ABC 中，D、E 是AB,AC 上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE 的
面积是16 平方厘米，则ABC 的面积为 。
例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解
如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等
于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，
例：在图1 中，点D，E 分别在AB 和AC 上，△ADE 和△ABC 是共角三角形，则
证明：分别过点E，C 作EG⊥AB 于点G，CF⊥AB 于点F，得到图2，
∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴
又
即
任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：
（2）在（1）的条件下，若
则AE=
．
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例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上，连接DE，
已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC 和a，b，c，d 之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：
而根据相似三角
形面积之比等于相似比的平方．可得
．根据上述这两个式子，可以推出：
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．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论：
？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH⊥BC 于H，可得：
．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，
AB＝b，AE＝c，AC＝d，则
．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，
连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，
．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E，连接DE 交BA 的延长线
于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．
模型5.金字塔与沙漏模型
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金字塔模型 沙漏模型
条件：①
；②
。
例1．（2023 秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E 分别是
边上的点，且
，面积比为
，
交
于点F．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，
中，
，
与
相交于点
．如果
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，AC 与BD 相交
于点O，则
的面积与
的面积的比为（ ）
A．1：2
B．
C．1：4
D．
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例4．（2023 春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，
是等边三角形，被一矩形所截，
被截成
三等分，
，若图中阴影部分的面积是6，则四边形
的面积为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图，
为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点
处与地面
的距离为
米，车头
可近似看成一个矩形，且满
，盲区
的长度是6 米，车宽
的长度为
米．
例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，
中，点
分别在
上，且
，
于点M，
于点N，
于点D，交
于点E，且
，连
接
，若
的面积等于75，则
的最小值为 ．
例7．（2022 秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH 内接于
（矩形各顶点在三角形边上），
E，F 在
上，H，G 分别在
，
上，且
于点D，交
于点N．
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(1)求证：
(2)若
，
，设
，则当x 取何值时，矩形
的面积最大？
最大面积是多少？
课后专项训练
1．（2023 山西八年级期末）如图在
中，
、
分别是边
、
的中点．
，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形
面积的15%，黄色三角形面积是21 平方厘米，则矩形面积为 平方厘米．
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3．（2023 安徽芜湖八年级期中）如图，在
中，
分别是
的中点，且
，则
．
4．（浙江省杭州2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）如图，
是
的一条中线，
为
边上一点且
相交于
，四边形
的面积为，则
的面积是 ．
5．（广东省宝安区文汇学校2023-2023 学年九年级上学期月考数学试题）如图，
的面积为
，
，则四边形
的面积等于
．
6. 如图，在
中，已知
、
分别在边
、
上，
与
相交于
,若
、
和
的面积分别是3、2、1，则
的面积是 ．
N
M
O
C
B
A
7. 如图，
，
，求梯形的面积．
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S 4
S 3
S 2
S 1
8. 四边形
的对角线
与
交于点
(如图所示)。如果三角形
的面积等于三角形
的面积
的
，且
，
，那么
的长度是
的长度的_________倍。
A
B
C
D
O
9.如图，△ABC 三边的中线AD，BE，CF 的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影
部分的面积是 ．
10．如图，三角形
的面积是，
是
的中点，点
在
上，且
，
与
交于点
．则四边形
的面积等于 ．
11、如图所示，在△ABC 中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC 的面积是△GHI 面积的几倍？
12、如图，S△ACB＝48 平方厘米，S△ACD＝32 平方厘米，S△ABD＝45 平方厘米，则S△COB为多少平方厘米？
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13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQHS 的面积是多
少？
14 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1 平方千米，
△BOC 面积为2 平方千米，△COD 的面积为3 平方千米，公园由陆地面积是6．92 平方千米和人工湖组成，
求人工湖的面积是多少平方千米？
O
D
C
B
A
15．（2023 春·北京西城·七年级校考期中）阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，
是
中
边上的中线，则
．
理由：
，
，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索：在如图2 至图4 中，
的面积为
．
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(1)如图2，延长
的边
到点
，使
，连接
．若
的面积为
，则
___________（用含
的代数式表示）；
(2)如图3，延长
的边
到点
，延长边
到点
，使
，
，连接
．若
的面积为
，则
___________（用含
的代数式表示），并写出理由；
(3)在图3 的基础上延长
到点
，使
，连接
，
，得到
（如图
．若阴影部分的面
积为
，则
___________；（用含
的代数式表示）
拓展与应用：(4)如图5，已知四边形
的面积是
，
、
、
、
分别是
、
、
、
的
中点，连接
交于点O，求图中阴影部分的面积？
16．（2022 秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图至图中，已知
的面积为
，
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(1)如图，延长
的边
到点
，使
，连接
若
的面积为
，则
______
用含
的代数式表示
(2)如图
，延长
的边
到点
，延长边
到点
，使
，
，连接
若
的
面积为
，则
______
用含
的代数式表示
(3)在图
的基础上延长
到点
，使
，连接
，
，得到
（如图）若阴影部分的面积
为
，则
______
用含
的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将
各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到
如图
，此时，我们
称
向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的
的面积是原来
面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在
的空地上种
红花，然后将
向外扩展三次图
已给出了前两次扩展的图案
在第一次扩展区域内种黄花，第二次
扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即
的面积是
平方米，请你运
用上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．
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17．（2022·河南郑州·校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关
系．
如图1，
中，
为
边的中线，可得
，过点
作
于
，则
在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：
(1)如图2，矩形
中，点
，
分别为
，
上的动点，且
，
与
交于点
．连
接
．①判断
与
的面积关系；②若
，
，当点
为
的中点时，求四边形
的面积；(2)
中，
，
，点
为
的中点，连接
，将
沿
折叠，点
的对应点为点
，若
与
重合部分的面积为
面积的
，直接写出
的面积．
18．（2022 秋·浙江·九年级专题练习）如图1，点
将线段
分成两部分，如果
，那么称点
为线段
的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
，
，如果
，那么称直线为
该图形的黄金分割线．
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（1）研究小组猜想：在
中，若点
为
边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是
的黄金
分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点
任作一条直线交
于点E，再过点
作直线
，交AC
于点F，连接EF（如图3），则直线EF 也是
的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E 是
的边
的黄金分割点，过点E 作
，交
于点
，显然直线
是
的黄金分割线．请你画一条
的黄金分割线，使它不经过
各边黄金分割点．
19．（2023 春·江苏南京·七年级校考阶段练习）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重
要线段，同时，我们知道，三角形的3 条高所在直线交于同一点．
(1)①如图1，
中，
，则
的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，
中，
，已知两条高
、
，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两
点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出
的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】(2)如图3，在
中，
，
平分
，过点
作
于点
．
①若
，
，则
；②请写出
与
，
之间的数量关系 ，并
说明理由．
【拓展延伸】(3)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积
比等于对应底边的比．如图4，
中，
是
上一点，则有
．如图5，
中，
是
上一点，且
，
是
的中点，若
的面积是
，请直接写出四边形
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的面积 ．（用含
的代数式表示）
20．（2023 春·江苏盐城·七年级统考期末）【问题情境】
苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，
是
的中线，
与
的面积有怎样
的数量关系？
小旭同学在图1 中作
边上的高
，根据中线的定义可知
．又因为高
相同，所以
，于是
．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
【深入探究】（1）如图2，点
在
的边
上，点
在
上．
①若
是
的中线，求证：
；②若
，则
______．
【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形
的各边，使得点
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，依次连结
、
、
、
得四边形
．
①求证：
；②若
，则
______．
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21．（2023 秋·广西柳州·八年级校考开学考试）阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA 至A1、
B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1，求S1的
值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根
据等高两三角形的面积比等于底之比，所以
2S
ABC
△
2a，由此继续推理，从
而解决了这个问题.（1）直接写出S1
（用含字母a 的式子表示）.
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP、BP、CP 并延长分别交边BC、AC、AB 于点D、E、F，则把
△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.
（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S△APE与S△BPF的比值.
22．（2023·江苏盐城·统考二模）(1)如图1，△ABC 中，D 是BC 边上一点，则△ABD 与△ADC 有一个相同
的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为
=
(△ABD、△ADC 的面积分别用S△ABD、
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S△ADC 表示)．现有BD=
BC，则S△ABD：S△ADC= ；
(2)如图2，△ABC 中，E、F 分别是BC、AC 边上一点，且有BE：EC=1：2，AF：FC=1：1，AE 与BF 相
交于点G、现作EH ∥BF 交AC 于点H、依次求FH ：HC、AG： GE、BG：GF 的值；
(3)如图3，△ABC 中，点P 在边AB 上，点M、N 在边AC 上，且有AP=PB，AM=MN=NC，BM、BN 与CP
分别相交于点R、Q，现已知△ABC 的面积为1，求△BRQ 的面积．
23．（2023·四川成都·八年级统考期末）如图,已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,顶点D,G 分
别在边AB,AC 上,AH⊥BC 于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG 的边长和面积．
24．（2023·广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M 是AB 边的三等分点，EF∥MN∥BC．求：△AEF
的面积:四边形EMNF 的面积:四边形MBCN 的面积．
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25．（2023·河南信阳·九年级统考期末）将一副直角三角板按右图叠放．
(1)证明：△AOB∽△COD；(2)求△AOB 与△DOC 的面积之比．
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