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专题30 解直角三角形模型之12345模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
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模型1.“12345”模型及衍生模型...................................................................................................................1
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模型1.“12345”模型及衍生模型
（19年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格交点）。
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB= ，tan∠PBA= ，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
12345基础模型 模型还可变式为
； 变式1： ；变式2： 。
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证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC上取一点E使得BE=1，在
DC 上取一点 F 使得 DF=2，根据矩形性质得：EC=3，CF=1，故 tan∠DAF= ，tan∠BAE= ，
tan∠FEC= ，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
图1
证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC上取一点E使得BE=a，
在DC上取一点F使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，
故tan∠DAF= ，tan∠BAE= ，tan∠FEC= ，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
模型变式2可借鉴变式1证明方法，自行证明即可。
注意：下面模型中 ， ，2，3， ， 均为对应角的正切值。
（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；
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（5）∠α+∠β＝90°； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来
解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，
但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在 中， ， ，点D是AC上一点，连接
BD．若 ， ，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折
至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
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A． B．2 C． D．3
例3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形 中， ， ，
，E是 上一点，且 ，则 的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别为 ， 的中点，连接
，点 是线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长为
．
例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若
√5
AE= ∠EAF=45°，则AF的长为 .
，
例6．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于
两点，已知点 ，点 为线段 的中点，连结 ，若 ，则 的值为 ．
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例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为 6，E 为BC的中点，将△ABE沿直
线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．
A D
G
F
B E C
8．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片 的边 斜着向 边对折，使点 落
在 上，记为 ，折痕为 ；再将 边斜向下对折，使点 落在 边上，记为 ，折痕为 ，
， ．则矩形纸片 的面积为 ．
B′ F
A D
E
D′
B C
例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形 中， ，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交 ， 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 长为半径画弧交于点P，作射
线 ，过点C作 的垂线分别交 于点M，N，则 的长为（ ）
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A． B． C． D．4
例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形 的边长为 ，点 是 的中点， 与 交于
点 ， 是 上一点，连接 分别交 ， 于点 ， ，且 ，连接 ，则
， ．
1．（23-24广东汕头·模拟预测）如图，正方形 中， ， 是 的中点．将 沿 对折
至 ，延长 交 于点 ，则 的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为9，点E，F分别在边AB，AD上，若E是
AB中点，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
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A．12 B．3 C．3 D．3
3．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ，
， 是边 上一点，且 ，则 的长度是（ ）
A．8 B．7.4 C．7 D．6.8
4．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x
轴，y轴于A，B两点，已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m
的值是 ．
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形 中，点E，F分别在边 ， 上，将矩形 沿
， 折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若 ，
， ，则线段 的长为 ．
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6．（2024·广东·模拟预测）在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点
G、F，连接GF交DE于H点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．
7.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．
A D
F
B E C
7.（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到
△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF= ．
8.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都
在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．
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9.（2016甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、
y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A’位置，OB= ，tan∠BOC= ，则点A’的
坐标为____________．
10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，
分别延长ME，DE交AB于点F，G，若点M是BC边的中点，则FG＝_________cm．
D C
M
E
A F G B
11．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为 ，对角线AC、BD交于点
O，点E在BC上，且CE=2BE，过B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 .
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12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，点A
落在 处，若 的延长线恰好过点C，则 的值为 ．
13．（23-24九年级·天津河西·期末）正方形ABCD的边长AB＝2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF
分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为 ．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图像与x轴、
y轴分别交于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式为
．
15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数
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y 的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转 ，交y轴于C点，则△ABC面积为
．
16．（2023年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形 是矩形， 是等腰直角三角形，记 为 、 为 ，若
，则 ．
证明：设 ，∵ ，∴ ，
易证
∴ ，∴ ∴ ，
若 时，当 ，则 ．
同理：若 时，当 ，则 ．
根据上述材料，完成下列问题：
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如图2，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．将直线 绕点 顺
时针旋转 后的直线与 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，已知
．
(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出 的值；(3)求直线 的解析式．
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