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专题29 解直角三角形模型之新定义模型
解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试
题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数
学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对
学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这
方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.新定义模型...........................................................................................................................................1
..................................................................................................................................................17
模型1.新定义模型
新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、
面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用
初中数学知识证明。
若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；
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图1 图2 图3
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
1）正弦定理：如图1， （其中R是三角形外接圆的半径）。
证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径 ，连接 ，如图2，
则 ， ，∴ ，∴ ，
同理， ， ，∴ ；
1 1 1
S = absinC= bcsinA= acsinB
Δ 2 2 2
2）正弦面积公式：如图1， .
证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在 中， ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ．∴ ．
同理可得 ．因此有 ．
3 ） 余 弦 定 理 ： 如 图 2 ，
．
证明：如图3，在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， 过点A作 于点 ，
则 ，即 ，于是 ．
在 中， ，在 中， ，
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，整理得 。
同理： ； 。
图4 图5
4）同角三角函数的基本关系式: ， 。
证明：如图4，设∠A= ，∵在Rt ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。
△
又∵ ， ，∴ ； 。
5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：
; （已证）.
; .
（已证）.
证明：如图4，在 中，在Rt ABC中，∠C=90°，设∠A= 。
△
如图5，取 的中点 ，连接 ，即： ，过点 作 于点 ，则 ，
利用锐角三角函数在 中表示 ， 。
∵ （等面积），即 ；
在 中， ，则 。
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例1．（2024·山西大同·三模）阅读与思考
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角 中， ， ， 的对边分别是a，b，c，过C作 于E（如图1），则
， ，即 ， ，于是 ，即 ．同理有
， ，所以 ．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等．
运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知
元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在 中， ， ， ，则
______；
(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间
后，到达位于灯塔北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）
(3)在（2）的条件下，试求 的正弦值．（结果保留根号）
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键．
（1）由题意根据正弦定理即可得到结论； （2）由题意得到 ，根据正弦定理即可得
到结论； （3）先求出 以及 的长，根据正弦定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可知： ，
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∵ ， ， ，∴ ，即 ，∴ ，故答案为： ．
（2）解：如图：由题意可知， ， ， 海里， ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴B处与灯塔的距离为 海里，故答案为： ．
（3）解：如图：由题可知， 海里， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，在 中， 海里， 海里，
在 中， 海里，∴ 海里，
由前面定理可知： ，则 ，
∴ ，∴ 的正弦值 ．
例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设 的对边分别为a，
b，c，过点A作 ，垂足为D，会有 ，则 =
，即 ，同理 ， ．有以上三式可得：
正弦定理： ，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理
如图2，在 中，设 的对边分别为a，b，c，则①
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② ③ 用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角 中，设 的对边分别为a，b，c，且 ，求 ；
（2）如图3，在 中， ， ，求 的面积与周长．
【灵活应用】（3）如图4，在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， 的面积
为 ，设 为 的中点，且 ，求 的周长．（参考数据： ）
【答案】（1） ；（2） 的面积为 ，周长为18；（3）
【分析】本题考查三角形的性质、锐角三角函数，理解题中新定义并灵活运用是解答的关键．
（1）利用题意正弦定理得到 ，进而得到 ，利用特殊角的三角函数值可求解；
（2）根据题中面积公式和余弦定理求解即可；
（3）延长 ，使得 ，连接 ，证明 得到 ， ，则
，进而得到 ， ，利用题中正弦定理和余
弦定理求得 ， ， ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，∴ ；
（2）∵在 中， ， ，∴ ，
，∴ （负值舍去），
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∴周长 ；
（3）∵在 中， ， 的面积为 ，
∴ ，则 ，延长 ，使得 ，连接 ，
∵ 为 的中点，∴ ，又 ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，则 ，
∴在 中， ，∴ （负值舍去），
∵ ,∴ （负值舍去），
∴ 的周长为 ．
例3．（2024·广东·二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．
探究一：如图1，在 中， ， ， ， ，求 的面积．
在 中， ， ． ．
探究二：如图2， 中， ， ， ，求 的面积（用含 、 、 代数式
表示），写出探究过程．
探究三：如图3， 中， ， ， ，求 的面积（用 、 、 表示）写出探
究过程．
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问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．
问题应用：如图4，已知平行四边形 中， ， ， ，求平行四边形 的面积
（用 、 、 表示）写出解题过程．
问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用 、 、 、 、 、 表
示），其中 ， ， ， ， ， ．
【答案】 ，见解析； ，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；
；
【分析】探究二：如图2中，作 于 ．求出高 ，即可解决问题；
探究三：如图3中，作 于 ．求出高 ，即可解决问题；
问题解决： （ ）是a、b两边的夹角）；
问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高 ，即可解决问题；
问题拓广：如图5，连接 ，由探究三的结论可得出答案．
【详解】解：探究二：如图2中，作 于 ． ， ， ， ，
在 中， ， ， ， ．
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探究三：如图3中，作 于 ．
在 中， ， ．
问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．
问题应用：如图4中，作 于 ．
在 中， ， ．
问题拓广：连接 ，由探究三的结论可得： ．
． ．
【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
例4．（2023·云南昆明·二模）【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三
角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是 ，记
，那么三角形的面积为： ，在 中， ， ， 所对的
边长分别为 ，若 ， ， ，则 的面积为6；
【问题探索】如图一，在 中，设 ， ， ， ， 是 的内切圆，
分别与 的延长线、 的延长线以及线段 均只有一个公共点， 的半径为 ， 的半径为
．
(1)分析与证明：如图二，连接 ，则 被划分为三个小三角形，用 表示 的面积，
即 ．那么 是否成立？请证明你的结论．
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(2)理解与应用：当 ， ， 时，求 的面积．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【分析】（1）根据题意得到 、 、 ，再结合材料给出的面积公式即可解答；
（2）根据角平分线的判定得到 是 的角平分线，再利用锐角三角函数得到 ，最
后根据切线长定理得到 即可解答．
【详解】（1）解： 成立，理由如下：∵ ，
∴ ，∵ ，∴ ．
（2）解：连接 ，连接 ，
∵ 与 相切于点 ， 与 相切于点 ，∴ ， ，∴ 是 的角平分
线，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 的半径为 ，∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，锐角三角函数，切线长定理，掌握锐角三角函数
是解题的关键．
例5．（2024·山东济宁·一模）关于三角函数有如下的公式：
①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
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③tan（α+β）＝ ．
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan（45°
+60°）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
（1）求cos75°的值；（2）如图，直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为
60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
【答案】（1） ﹣ ；（2）建筑物CD的高为84米．
【分析】（1）根据cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ可求cos75°的值；
（2）先求出俯角β的正切值，进而根据BC求得AB，再求出俯角α的正切值，进而根据BC求得A、D两
点垂直距离，最后CD的长即可求得．
【详解】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°＝ ﹣ ；
（2）∵β＝75°，BC＝42米，
∴AB＝BC•tanβ＝42tan75°＝42× ＝42× ＝42（ +2）米，
∵α＝60°，BC＝42米∴A、D垂直距离为BC•tanα＝42 米，
∴CD＝AB﹣42 ＝84米．答：建筑物CD的高为84米．
【点睛】本题是阅读材料题，考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三
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角函数并结合图像解直角三角形．
例6．（2024·重庆·校考一模）材料一：证明： ．
证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB于点E ，
∵在Rt ADE中，DE2+AE2=AD2
△
∵∠BAC=∠a ∴ ．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道
直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度
数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三
角形的第三条边一定可以求出来.
应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．
(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出
推导过程；如果不可以，说明理由．
【答案】(1) (2)能，过程见解析
【分析】(1) 过点A作 于点D，根据解直角三角形即可求得；
(2) 过点A作 于点D，根据解直角三角形即可求得．
【详解】（1）解：过点A作 于点D
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，
（2）解：如图，过点A作 于点D
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．
例7．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小
与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中
建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．
如图①：在 中， ，顶角 的正对记作 ，这时 ．容易知道一个角的大
小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
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(1) ；(2)对于 ， 的正对值 的取值范围是 ；
(3)如图②，已知 ，其中 为锐角，试求 的值．
【答案】(1)1(2) (3)
【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，
理解新定义是解此题的关键．（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答
即可；（2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）由 ，令 ， ，
则 ， ，在 上取点 ，使 ，
连接 ，作 ， 为垂足，表示出 的长，再计算出 ，最后由正对的定义即可
求解．
【详解】（1）解：根据正对定义可得：
当顶角为 时，等腰三角形底角为 ，则三角形为等边三角形，
底边 腰长 ，故答案为：1；
（2）解：当 接近 时，底边长接近0，由定义知 接近0，
当 接近 时，等腰三角形的底接近腰的 倍，由定义知 接近 ，
的正对值 的取值范围是 ，故答案为： ；
（3）解：如图：在 中， ， ，
令 ， ，则 ，
∴ ， ，
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在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ， 为垂足，
∴ ， ，
，∴ ，
．
例8．（23-24九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，
在 中， ，求 （用含 的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则
，然后利用锐角三角函数在 中表示出 ，在 中表示出 ，则可以求
出 ．
阅读以上内容，回答下列问题：在 中， ．
(1)如图③ ，若 ，则 __， _____；．
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式．（用含 的式子表示）
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【答案】(1) ； ；(2)
【分析】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角
的直角三角形．（1）根据勾股定理求得 ，再根据三角函数的定义即可求得 和 ，再根据
求解即可；（2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 ，
，在 中表示出 ，勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】（1）由勾股定理可得：
由三角函数的定义可得 ，
由材料可得： 故答案为 ； ；
（2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，如下图：
则 ， ， ，
在 中， ， 在 中， ，
在 中， ，则
则 故答案为 ．
例9．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用
研究 间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图 所示
的直角三角形 ， 是锐角，那么 ， ， ．为了
研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
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设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 轴的正半轴 ，建立直角坐标系（图 ），
在角α的终边 上任取一点 ，它的横坐标是 ，纵坐标是 ，终边 可以看作是将射线 绕点 逆
时针旋转 后所得到的， 和原点O(0,0)的距离为 （ 总是正的）然后把角α的三角函数规定
为： ， ， （其中 ， 分别是点 的横、纵坐标）我们知道，图 的三个比值
的大小与角 的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图 中四个比值的大小也仅与角α的大小有
关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点 在角α的终边位置无关．
比较图 与图 ，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列
问题．
(1)如图3，若 ，则角α的三角函数值 α、 α、 α，其中取正值的是 ．
(2)已知 α是钝角，则下列说法正确的是 ．
． ． ． α ． α>0
(3)若角α的终边与直线 重合，则 α α ．
(4)若角α是锐角，其终边上一点 且 ，试求 和 α的值．
【答案】(1) α(2)A(3) 或 (4) 的值为 ； α的值为
【分析】（1）由点P(x,y)在第四象限，推出 ，根据 ，即可判断；
（2）根据三角函数的定义分析求解即可；（3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据 α是锐角，
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终边上一点 在第一象限， ，进而得 ，进而得解得 或 （舍去），
从而即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，∴点P(x,y)在第四象限，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴取取正值的是 ，故答案为： ；
（2）解： α是钝角，则 α的终边在第二象限，∴ ， ，而 >0，
∴ ，故 正确；
∵ ， ，∴ ，故 不正确；
∵ ， ， ，∴ ，故 不正确； ，故 不正确；故答案为： ；
（3）解：由角α的终边与直线 重合，设角α终边上一点为 ，∴ ，
当m>0时， ， ， ，∴ ；
当 时， ， ， ，∴ ；
故答案为： 或 ；
（4）解：∵角α是锐角，∴终边上一点 在第一象限， ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 或 （舍去）；
经检验， 是原方程的解，∴ 的值为 ；∴ ，∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理
解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．
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1．（2023·四川巴中·模拟预测）规定： ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角
函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式．
【详解】解：A． ，故此结论不正确；
B． ，故此结论不正确；
C． ，故此结论正确；
D． ，故此结论不正确；
故选：C．
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2．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， ，定义：斜边与 的对边的比
叫做 的余割，用“ ”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则 ，那么下列说
法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与 的对边的
比叫做 的余割，用“ ”表示，是解题的关键．
【详解】解：A、 ，故该选项是错误的，不符合题意；
B、 ，故该选项是错误的，不符合题意；
C、 ，故该选项是正确的，符合题意；
D、 ，故该选项是错误的，不符合题意；故选：C
3．（23-24九年级·福建龙岩·自主招生）已知有公式： 且
，则锐角θ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 化成 ，再根据所提供的公式可得答案．
【详解】解：由公式： 可得，
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∵ ，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查同角三角函数的关系以及特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答
的前提．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）阅读材料：坐标平面内，把点 绕原点 逆时针旋转 度，得到点
，若已知 点坐标及 的大小，我们可根据公式 来计算点 的坐标．根据
材料完成：如图， ， ， 是 上的三点且 ，若 点坐标为 ，则 点坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】连接AO、BO， 和 分别是弧AB的圆周角和圆心角，所以 ，而且点A和点
B的关系与材料中的方程对应计算即可；
【详解】连接OA、OB，∵ ，∴ ，则 ， 点坐标为 ，
代入公式 ， ， ，
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∴ ， ，∴B ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了归纳推理的知识点，准确计算是解题的关键．
5．（2023秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦
值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦
定理是这样描述的：在 中， 、 、 所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方
等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：
； ； ；现已知在 中， ，
， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式直接解答即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，整理得， ，
解得 或 （负值舍去），故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用、解一元二次方程，正确理解公式并灵活运用是解题的关键．
6．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，
给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的 的面积为 ．
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的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则 ．下列结论中正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 即 ，
， ， 故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉 是解题的关键．
7．（2023春·九年级课时练习）阅读材料：一般地，当 为任意角时， 与 的值可
以用下面的公式求得： ： 根据以
上材料，解决下列问题：如图，在 中，AB是直径， ，点C、D在圆上，点C在半圆弧的
中点处，AD是半圆弧的 ，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．1
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【答案】D
【分析】连结OD、过点D作DF⊥AC于F，根据 是半圆弧的 ，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-
∠AOD=30°，根据 ，求出OD=OC=OA= ，利用三角函数
ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【详解】解：连结OD、OC，过点D作DF⊥AC于F，
∵ 是半圆弧的 ，∴∠AOD=60°，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵点C在半圆弧的中点处，∴ =半圆弧的一半，∴∠CAO=45°，
∵ ，∴AD=OA= ，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA= =30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（ ）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2× =1．故选择：D．
【点睛】本题考查弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握弧与圆心角，
圆周角的关系，等边三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键．
8．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式：
，
，
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（其中： ）
例如： ．利用上述公式计算下列
三角函数：① ，② ，③ ，④
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由 ， ， ，再结合给出的新定义公式进行计算即可．
【详解】解：①
，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③正确；
④ ，
∴ ，故④错误；
所以正确的个数为：3个，故选：C．
【点睛】本题考查的是新定义运算，特殊角的三角函数值的混合运算，理解题意，按照运算公式准确的进
行计算是解本题的关键．
9．（2023·湖南·统考一模）已知 ， （其中 和 都表示角度），
比如求 ，可利用公式得 ，又如求 ，可利用公式得
，请你结合材料，若 （ 为锐角），则 的度
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数是 ．
【答案】
【分析】设 ，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的
正切函数值即可得出答案．
【详解】设 由题意得：
解得 经检验， 是分式方程的根即
为锐角 故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．
10．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图， 是 的角平分线， 、 分别是边 ， 上的点，
与 交于点 ，若 ， ， ， ，则 ．（提示三角形面积公式：
．）
【答案】
【分析】先根据线段的和差求出 ，再根据角平分线的定义得出 ，
然后利用三角形面积公式分别求出AM、AF的长，由此即可得．
【详解】 ， ， ，
是 的角平分线 设 ，则
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即 解得 同理可得：
则 故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的定义、正弦的应用等知识点，正确利用题干中的三角形面积公式是解题关键．
11．（2024·山东临沂·校考一模）规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，cos(x+y)＝cosxcosy﹣sinxsiny，
给出以下四个结论：(1)sin(﹣30°) ；(2)cos2x＝cos2x﹣sin2x；(3)cos(x﹣y)＝cosxcosy+sinxsiny；
(4)cos15° ．其中正确的结论的个数为 ．
【答案】
【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：(1) ，故此结论正确；
(2) ，故此结论正确；
(3) ，故此结论正确；
(4)
，故此结论错误．所以正确的结论有 个，故答案为： ．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，
理解题中公式．
12．（2024·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与
两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建
立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（ ）．如果 中，
，那么顶角A的正对记作 ，这时 = ．容易知道一个角的大小与这个角的正对
值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果 的正弦函数值为 ，那么 的值为
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___________．
【答案】
【分析】过点 作 于 ，利用 的正弦函数值，设出 的长，根据勾股定理求出
，最后根据 的规定求值即可．
【详解】解：过点 作 于 ，如图所示，
， 设 ， ，
， ， ， ；故答案为： ．
【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾
股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．
13．（23-24九年级上·吉林白城·阶段练习）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长
度的“会圆术”．如图， 是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是 的中点． ．“会圆
术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当 ， 时，利用“会圆术”给
出的公式计算 的弧长l的值为 ．
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【答案】 /
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，弧长的计算，二次根式的混合运算等知识，
求出弧长l的近似值计算公式所需线段是解题关键．连接 ，证明 是等边三角形，进而得到
， ，由余弦函数求出 ，再证明 、 、 三点共线，得出 ，
最后利用弧长l的近似值计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ， , 是等边三角形， ，
N是 的中点， ， ， ，
， 、 、 三点共线， ， ，
，故答案为：
14．（23-24九年级·福建泉州·阶段练习）如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利用和的正弦公式
来求已知两角的正弦值，其公式为：sin( + )= sin cos + cos sin ，请利用这个公式，解决下列问
题：(1)计算sin75°的值；(2)利用公式证明：sin2 =2 sin cos ；并在已知sin = 的条件下，求sin2 的
值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）将75°写成30°+45°，运用题中公式计算；
（2）通过题中所给公式进行证明，然后根据sin = 可得cos = ，代入所证公式计算.
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【详解】解：(1)sin75°= sin(30°+45°)= sin30°cos45° + cos30°sin45°=
(2)sin2 =sin( + )= sin cos + cos sin =2 sin cos
∵sin = ,∴ cos = ,
∴sin2 = 2sin cos = .
【点睛】本题给出两角和的三角函数公式，进而推导二倍角公式，考查了三角函数的恒等变换等知识以及
推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想．
15．（23-24九年级·湖南怀化·期末）阅读材料：在 中， ， ，求 的值．
解题思路：在 上截取 ，再连接AD，可证 为等腰三角形，设 ，则
，．．．．．．．，则 ， ．
【答案】 / /
【分析】本题考查的是解直角三角形、求特殊角的三角函数值，构造特殊角解直角三角形是关键，当
时，分别在 上截取 ，再连接AD；当 时，在 上取点D，连接 ，使
；分别构造特殊直角三角形，解直角三角形即可解决．
【详解】解：当 时，在 上截取 ，连接AD，
， ， ，
，设 ，则 ，
；
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当 时，在 上取点D，连接 ，使 ，
， ， ，
，设 ， ， ，
；故答案为： ， ．
16．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）定义：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，则存在余
弦定理： ， ， ，即三角形一边的平方等
于另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍．
例如：在图1中， ，∴AC＝
请你利用余弦定理解答下列问题：(1)应用新知：在图2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，则c＝______；
②若 ， ， ，求∠A；
(2)迁移发散：如图3，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向上，在A处看灯塔B在客轮的北偏
西30°方向距离 海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°距离6
海里处，求此时C处到灯塔B的距离．
【答案】(1)① ；②∠A=60°(2)C处到灯塔B的距离为 海里
【分析】（1）根据给出的公式和已知条件计算即可；
（2）求出 的度数，得到 ，代入公式计算即可．
【详解】（1）解：①由余弦定理得： ， ；
②根据题意，由余弦定理得： ，
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∴ ，∴ ；
（2）解： ， ，
， ，
答： 处到灯塔 的距离为 海里．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．
17．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）关于三角函数有如下的公式： ；
； ，利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函
数转化为特殊角的三角函数来求值
如：
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求 的值；(2)激光测速是目前道路测速方法中最为精准的一种，它是对被测车辆进行两次有特定时
间间隔的激光测距，取得该一时段内被测车辆的移动距离，从而得到该车辆的移动速度．如图，在一条限
速为80千米/小时的国道边上有一个激光测速仪P，该测速仪与车道中心的垂直距离 米，在某一时刻
测得某辆汽车从点A到点B的时间间隔为0.5秒，而第一次的点A在点P的北偏东75°，第二次的B点在点
P的北偏东45°，请问该汽车是否超速？为什么？（ 1.732）
【答案】(1) (2)该汽车没有超速，理由见解析
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【分析】（1）利用所给公式运算即可；
（2）构建直角三角形，解直角三角形求出 长，然后计算出汽车的速度比较解题即可.
【详解】（1）
（2）该汽车没有超速.理由如下：
由题意，得 ,
，
在 中, ∴
在 中, ∴ .
∴
∴该汽车的速度为
∵ ,所以该汽车没有超速.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形利用三角函数计算是解题的关键.
18．（2023·福建厦门·统考模拟预测）阅读理解：如图，Rt 中， ， ， 分别是 ， ，
的对边， ，其外接圆半径为 根据锐角三角函数的定义： ， ，可得
，即： ，（规定 ）．
探究活动：如图，在锐角 中， ， ， 分别是 ， ， 的对边，其外接圆半径为 ，试证
明： ．
学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔 的高度，在 处用测角仪测得塔顶 的仰
角为15°，又沿古塔的方向前行了 到达 处，此时 ， ， 三点在一条直线上，在 处测得塔顶
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的仰角为45°，求古塔 的高度（结果保留小数点后一位）．（ ， ）
【答案】（1）见详解；（2）36.6m
【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，由锐角三角函数的定义以及圆周角定理可
得sinA＝sinD，sinD＝ ，进而即可得到结论；
学以致用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30°，利用（1）的结论可得 ，进而即可求解．
【详解】探究活动：证明：如图，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，
∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝ ，∴ =2R，
同理可证： ＝2R， ＝2R，∴ ＝ ＝ ＝2R；
学以致用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100m，∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝xm，则BC＝ xm，
∵ ，∴ ，即：
∴x＝25 ( )＝50( −1)≈50×0.732＝36.6（m），∴古塔高度约为36.6m．
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【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角
三角形，是解题的关键．
19．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）（1）如图，已知三角形 ， ， .
① ， _______② ， _______（2）正弦定理证明_ ；
（3）在 中， ① _______ ；②当 时， 的最大值为_______.
【答案】（1）① ，② ；（2）证明见详解；（3）①60，②
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，圆周角定理，三角形的外接圆的性质，对于“定弦定角”
类问题，构造外接圆是解题的关键．
（1）过点 作 于点 ，①②中解直角三角形即可求解；
（2）作 的外接圆记为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ， 中 的对边
分别记为 ，记半径为 ，由圆周角定理得 ， ，在 中，
，则 ，即 ，后面同理可得 ， ，即可证明；
（3）①过点 作 于点 ，在 中，求得 ，而 ，故 ，
因此在 中， ，故可求 ；②构造 的外接圆，记为 ，过点A作
于点H，过点 作 的垂线交 于点 ，则 ，当点A与点F重合时，
面积最大，解三角形得 和 ，则 ，因此 ．
【详解】解：（1）①过点 作 于点 ，
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∴在 中， ， ，
在 中， ， ，
②过点 作 于点 ，
∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ∴ ，解得： ，故答案为： ， ；
（2）证明：作 的外接圆记为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
中 的对边分别记为 ，记半径为 ，
∵ 是直径，∴ ，∵ ，∴ ，
∴在 中， ，∴ ，∴
同理可证明： ， ，∴ ， ，∴ ；
（3）①过点 作 于点 ，
在 中， ，∴ ，∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，故答案为：60；
②构造 的外接圆，记为 ，过点A作 于点H，过点 作 的垂线交 于点 ，
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则 ，∴当点A与点F重合时， 面积最大，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴
∴ ，∴ 面积的最大值为 ．故答案为： ．
20．（23-24九年级·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．
(1)求 的值；(2)填空：当 为锐角时， ______；
(3)利用上述规律，求下列式子的值： ．
【答案】(1)1(2)1(3)
【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明；（2）由（1）得出的结论解答即可；
（3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可；
【详解】（1）证明：∵在Rt ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2．
△
又∵ ，∴ ；
（2）当 为锐角时， ，故答案为 1；
（3）
=
= （44个1相加）=
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键．
21．（23-24九年级上·山西·阶段练习）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
巧用锐角三角函数的定义解题
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锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数，锐角三角函数是解直角三角形的基础．如图，在
中， ，则 ．利用锐角三角函数的定义解题，可以使计算方便简
洁．下面举例说明：在 中， ，求 的值．下面是小明的部分解答
过程：
解：设 的对边为a，斜边为c，邻边为b， ，
任务：（1）请完成剩余部分的解题过程．
（2）在 中， 的对边分别为a，b，c．求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【分析】本题考查锐角三角函数、分式的化简、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答的关键．
（1）根据锐角三角函数的定义得到 ， ，然后代入所求式子中化简即可；
（2）利用勾股定理得到 ，结合 ， ，代入所求式子的左边化简求解即可．
【详解】解：（1）设 的对边为a，斜边为c，邻边为b，
∵ ，∴ ，∵ ， ，
∴ ；
（2）∵在 中， 的对边分别为a，b，c，
∴ ， ， ，
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∴ ，即 ．
22．（2024·浙江金华·二模）【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）
至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高
度．
【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：
，利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，
如 ．
【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题：如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A
的仰角为 ，塔底B的俯角为 ，测得万佛塔与这一建筑之间的距离 为 ．
(1)求 的值．(2)根据测量结果，求万佛塔 的高度．（结果保留根号）
(3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是 ，请利用 根据本次测量结果求出万佛塔
的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
【答案】(1) (2)
(3)近似值： ；误差： ；建议：多测几次，或者选用更精密的测量工具等．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平方差公式，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用两角和的正切值公式： ，进行计算即可解答；
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（2）过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ，然后分别在 和
中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解： ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
，∴万佛塔 的高度为 ；
（3）万佛塔 的高度 ，
∵万佛塔的实际高度是 ，∴本次测量结果的误差 ，
建议：多次测量求平均值，可以减小误差．
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