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专题28 解直角三角形模型之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角
关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为
解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、
角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直
角三角形的实际应用模型。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.背靠背模型...........................................................................................................................................2
模型2.母子模型...............................................................................................................................................6
模型3.拥抱模型.............................................................................................................................................12
..................................................................................................................................................17
【知识储备】
B B
C
c 60° a c 45° a b 1 C 20° b 10 C 5° a b 75° a
a
30° 45° 45° 60°
A b C A b C A 30° c 30° B A 30° c 45° B A c B
图1 图2 图3 图4 图5
如图1，30°-60°-90°三边比值
； 如图2，45°-45°-90°三边比值
；如图4，30°-45°-105°三边比值
如图3，30°-30°-120°三边比值
45°-60°-75°三边比值 。
如图5，
上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是
类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。
模型1.背靠背模型
背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，
其中公共边（高）CD是解题的关键。
图1 图2 图3 图4 图5
重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF；
如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。
例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该
楼顶部点 的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的
高度为 m（结果保留根号）．
【答案】 /
【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意
得 ，然后利用三角函数求解即可．
【详解】解：依题意， ．在 中， ，
在 中， ，
∴ ．故答案为： ．
例2．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽
度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得瞭望
台正对岸A处的俯角为 ，测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台 高12米（图中点 ， ，
， 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为 米．（参考数据： ，
， ， ）
【答案】74
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关
键．
根据题意可得 ，则
，再通过解直角三角形求得 和 ，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题知 ,
∴ ,在 ，∴ ,∴ ,
在 中， ,∴ ,∴ ．故答案为：74．
例3．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一
次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡 长为50米， ，在斜坡顶端C处水
平地面上以 的速度行走半分钟到达点D，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为 ．(1)水平地面 长为 米；
(2)求桥墩 的高（结果保留1位小数）．（参考数据： ， ， ，
）
【答案】(1)30；
(2) 米．
【分析】本题考查路程问题，解直角三角形的应用——仰角俯角问题，添加适当的辅助线构造直角三角形
是解题的关键．（1）根据“路程＝速度×时间”计算即可；（2）延长 交 于点H，可知
，在 中，根据特殊角的三角函数表示出 和 ，再在 中，求出
的长，进一步可得 的长．
【详解】（1）解：∵ ，∴ （米）；故答案为：30
（2）解：延长 交 于点H，
∵ ， ，∴ ， ，
∴在 中， （米），
（米），
∴ （米），∵ ，
∴在 中， （米），
∴ （米）．
例4．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小
亮解决方案中的问题．
方案
滑梯安全改造
名称
测量
测角仪、皮尺等
工具
如图，将滑梯顶端 拓宽为 ，使 ，并将原来的滑梯 改为 ，（图中所有点均在
同一平面内，点 在同一直线上，点 在同一直线上）
方案
设计
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度 ；
测量
【步骤二】在点 处用测角仪测得 ；
数据
【步骤三】在点 处用测角仪测得 ．
解决
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求 的长）
问题
（参考数据： ）
【答案】调整后的滑梯会多占 的一段地面
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作 于H，则四边
形 是矩形，可得 ，再解直角三角形求出 的长即可得到答
案．
【详解】解：如图所示，过点E作 于H，则四边形 是矩形，∴
，
在 中， ，∴ ，∴，
在 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
答：调整后的滑梯会多占 的一段地面．
模型2.母子模型
图1 图2 图3 图4
母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公
共边BC是解题的关键。
重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。
图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。例1．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合
体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，
如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 点垂直下降到 点，再垂直下降到着陆点 ，从 点测得地面 点
的俯角为 ， 米， 米．
(1)求 的长；(2)若模拟装置从 点以每秒2米的速度匀速下降到 点，求模拟装置从 点下降到 点的
时间．（参考数据： ， ， ）
【答案】(1) 的长约为8米；(2)模拟装置从 点下降到 点的时间为 秒．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．
（1）过点 作 交 于点 ，根据余弦值求出 的长即可；（2）先由勾股定理，求出 的长，
再利用正弦值求出 的长，进而得到 的长，然后除以速度，即可求出下降时间．
【详解】（1）解：如图，过点 作 交 于点 ，
由题意可知， ， ，在 中， ， 米，
， 米，即 的长约为8米；
（2）解： 米， 米， 米，在 中， ， 米， ，
米， 米，
模拟装置从 点以每秒2米的速度匀速下降到 点，
模拟装置从 点下降到 点的时间为 秒，
即模拟装置从 点下降到 点的时间为 秒．
例2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某校研究性学习小组测量学校旗杆 的高度，如图在教学楼一楼C处
测得旗杆顶部的仰角为 ，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为 ，旗杆底部与教学楼一楼在同
一水平线上，已知 米，求旗杆 的高度．
【答案】18米
【分析】该题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质和判定，解题的关键是理解题意，
正确作出辅助线．如图，过点D作 于点H，则四边形 是矩形，设 ，在
中，求出 ，得出 ， ，在 中，求出 ，根据
，求出 ，即可求解；
【详解】解：如图，过点D作 于点H，
则四边形 是矩形，设 ，在 中， ，
∴ ，∴ ， ，
在 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得， ，
∴ ，答：旗杆 的高度为 ．
例3．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数
学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 的点M处测得
潮汐塔顶端A的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为
（点 在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）
（结果精确到 ．参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
延长 交 于点C，根据题意得 ，然后在 中，利用锐角三角
函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，
最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长 交 于点C．
由题意得 ．在 中， ， ， ．
在 中， ， ，
．故选B．
例4．（2024·山西大同·模拟预测）在新农村建设中，某村依托当地区位条件，资源特色和市场需求，围绕
体验性、参与性和互动性，打造一批休闲农业类旅游景点，如图是景区五个景点A，B，C，D，E的平面
示意图，B，A在C的正西方向，D在C的正北方向，D，E在B的北偏东 方向上，E在A的东北方向
上，C，D相距 ，E在 的中点处．则景点B，A之间的距离是 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】此题考查直角三角形的问题，先求出 的长度，过 作 与 ，在 中，求得 ，
在 中，求得 ，于是得到结论，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角
三角形的常规思路．
【详解】解：由题意得， ， ， ，
， ， ，
在 的中点处， ，如图，过 作 于 ，
在 中， ，在 中， ，
，故答案为： ，例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的
同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台 上架设测角仪 ，从 处测得塔的最高点 的仰
角为 ，测出 ，台阶可抽象为线段 ， ，台阶的坡角为 ，测角仪 的
高度为 ，塔身可抽象成线段 ．(1)求测角仪 与塔身 的水平距离；
(2)求塔身 的高度．（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ，
）
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则
， ，易得 ，根据勾股定理得出 ，
最后 即可解答；（2）由（1）可知， ，根据题意得出 ，
， ，则 ， ，根据 ，即可解答．
【详解】（1）解：如图，延长 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，则 ， ，由题意可知， ， ，
，
， ，
答：测角仪 与塔身 的水平距离为 ；
（2）解：由（1）可知， ，由题意可知， ， ， ，
， ，
，答：塔身 的高度约为 ．
例6.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图1，徐州云龙山是国家5A级景区，它既有自然风光，又有人文景观．
小明沿图2所示的路线图登顶云龙山，他从山脚A出发；沿AB行走166米到达点B，再沿 到山顶点
C．已知山高CD为142米，从点A看点B的仰角 为 ，从点B看点C的仰角 为 ．求小明从山
脚点A到达山顶点C共走了多少米？（结果精确到1米）．
（参考数据： ， ， ）【答案】 ．
【分析】本题主要考查解直角三角形得应用，过点B作 ，垂足为F，过点B作 ，垂足为
G．则 ， ．在 中，利用含30度角的直角三角形的性质得 ，则可得
，在 中，求得 ，即可得 ．
【详解】解：过点B作 ，垂足为F，过点B作 ，垂足为G．如图，
则 ， ．在 中， ， ，∴ ．
∵ ，∴ ．
在 中， ．∴ ．
答：小明从山脚点A到达山顶点C共走了 ．
模型3.拥抱模型
拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
图1 图2 图3 图4
重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2024·四川·校考一模）如图，电视塔是西安市的标志性建筑之一，学习测量后，小强想测量其高度如图，他先在电视塔附近一楼房的底端 点处观测电视塔顶点 处的仰角是 ，然后爬到该楼房顶端
点处观测电视塔底部 处的俯角恰好是 ，已知楼房高 为 米，根据以上观测数据，请你求出电视
塔的高度 （结果精确到 米）（参考数据： ， ， ， ）
【答案】电视塔的高度 约为 米
【分析】爬到该楼房顶端 点处观测电视塔底部 处的俯角是 ，得到 ，根据 ，
即 ，得到 ，根据在电视塔附近一楼房的底端 点处观测电视塔顶点 处的仰角是 ，
得到 ，得到结果．
【详解】解： 爬到该楼房顶端 点处观测电视塔底部 处的俯角是 ， ，
在 中， ， ，即 ，解得， ，
在电视塔附近一楼房的底端 点处观测电视塔顶点 处的仰角是 ， ．
在 中， ．
答：电视塔的高度 约为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用正切定义计算．
例2．（23-24九年级上·福建漳州·期末）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下：
活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．【步骤二】准备测量工具
筷子，皮尺和测倾器，如图3．皮尺的功能是直接测此任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅
锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射
角等于入射角，法线 ， ），如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求
解过程如下：
测量过程：小明将镜子放在距离旗杆 底部 的点C处，然后看若镜子沿直线 来回移动，直至看到
旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得 ，小明的眼睛离地面的高度
．
求解过程：由测量知， ， ， ．
法线 ， ，
①______， ．
，即 ．
②______（ ）．故旗杆的高度为③______ ．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角 ．量出测点D到旗杆的
距离 ，量出测倾器的高度 ．
(1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容；(2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)① （或 ）；② ；③ (2)旗杆的高度 约为
【分析】（1）本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意证明 ，再利用相似三角形对
应边成比例，建立等式求解，即可解题．（2）本题考查解直角三角形，根据题意得出 、 ，利用
，求得 ，再根据 ，即可解题．
【详解】（1）解：由测量知， ， ， ，
法线 ， ， ， ， ，
，即 ， （ ），故旗杆的高度为 ．故答案为： （或 ）； ； ；
（2）解：由题知， ， ， ， ， ， ，
， ，即 ，解得 （ ），
（ ）， ， 旗杆的高度 约为 ．
例3．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡 的
坡度 ， ，在 处测得电线塔 顶部 的仰角为 ，在 处测得电线塔 顶部 的仰
角为 ．(1)求点 离水平地面的高度 ．(2)求电线塔 的高度（结果保留根号）．
【答案】(1) ；(2)电线塔 的高度 ．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．（1）由斜坡 的坡度 ，求得 ，
利用正切函数的定义得到 ，据此求解即可；（2）作 于点 ，设 ，先解
得到 ，解 得到 米，进而得到方程 ，解方程即
可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡 的坡度 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（2）解：作 于点 ，则四边形 是矩形， ， ，设 ，在 中， ，∴ ，
在 中， ，在 中， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 答：电线塔 的高度 ．1．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房 的高度（如图），他们
在A处仰望楼顶，测得仰角为 ，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为 ，那么这栋楼的高度
为（人的身高忽略不计）（ ）
A． 米 B．25米 C． 米 D．50米
【答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
设 米，在 中，利用锐角三角函数定义表示出 ，在 中，利用锐角三角函数定义
表示出 ，再由 列出关于 的方程，求出方程的解得到 的值即可．
【详解】解：设 米，
在 中， ，
，即 ，
整理得： 米，
在 中， ，
，即 ，
整理得： 米，
∵ 米，
∴ ，即 ，解得： ，
侧这栋楼的高度为 米．
故选：A．
2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角
为 ，小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形 、
、 是矩形，再设 ，表示 ，然后在 以及
运用线段和差关系，即 ，再求出 ，
即可作答．
【详解】解：如图：延长 交 于一点 ，
∵
∴四边形 是矩形
∵∴四边形 是矩形
同理得四边形 是矩形
依题意，得 ，
∴ ，
∴
∴设 ，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴
故选：A
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，
秋千底部距离地面 米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面 米，那么小孩从最低位置达到最
高位置秋千底部所经过的路径长为（ ）．A．2米 B．π米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】本题考查了求弧长，过点A作 于点C，得出 ，求出
，则 ，最后根据弧长公式，即可解答．
【详解】解：过点A作 于点C，
∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面 米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面 米，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴秋千底部所经过的路径长 ，
故选：C．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向
80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B
处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数
据： ， ， ）【答案】58
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得： 海里， 然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三
角函数的定义求出 的长，从而求 的长．
【详解】解：由题意得： （海里），
在 中， 海里，
∴ （海里）
（海里），
在 中， ，
∴ （海里），
（海里），
即乙船向正东方向航行了58海里，
故答案为：58
5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的
点P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测得教
学楼顶端点B的俯角为 ，则教学楼 的高度约为 m．（精确到 ，参考数据： ，
， ）
【答案】17
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长 交直线 于点H，先用三角函数解 求
出 ，进而求出 ，再证 ，最后根据 即可求解．【详解】解：如图，延长 交直线 于点H，则 ，
由题意知 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
， ，
，
，
，
故答案为：17．
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，斜坡 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，
当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子 长为10米，则大树 的高为 米．
【答案】 /
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．
如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点 ，设 米， 米，勾股定理求出
，解直角三角形求出 ，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点 作水平地面的平行线，交 的延长线于点 ，则 ，
在 中， ，
设 米， 米，
，
，
米， 米，
，
（米），
（米），
答：大树 的高度为 米．
故答案为： ．
7．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从
C点测得杨树底端B点的仰角是 ， 长6米，在距离C点4米处的 点测得杨树顶端A点的仰角为
，求杨树 的高度（精确到 米， ， ， 在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考
数据： ．【答案】 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练
掌握勾股定理是解题的关键．分别在 表示出 ， ，在得出 ，在 中，根据等腰三
角形的性质得 ，即可得出答案．
【详解】解：过点B作 于点E，
在 中， ， 米，
∴ 米， 米，
米，
米
在 中， ，
米，
米，
，
米．
8．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高
点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离
，点P到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均在同一
平面）
(1)求 的大小及 的值；(2)求 的长及 的值．
【答案】(1) ， (2) ，
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如图，过 作 于 ，结合 ，
设 ，则 ，再建立方程求解 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ，
， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
如图，过 作 于 ，∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
9．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道
与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺
（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释
放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求
出秋千绳索 的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)秋千绳索的长度为 尺(2)能，
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点 作 ，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知， ，
， ，得出 ．在 中，由勾股定理解得 ，即可求解；
（2）由题可知， ， ．在 中，得出 ，同理，
．再根据 ，列等式即可求出 ．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知， ， ， ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得：
∴ ．
解得 ．
答：秋千绳索的长度为 尺．
（2）能．
由题可知， ， ．在 中， ，
同理， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
10．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架， 为水平固定杆，竖直固定杆 ，
活动杆 可绕点A旋转， 为液压可伸缩支撑杆，已知 ， ， ．
(1)如图②，当活动杆 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 ，且 （ 为锐角），求此时
可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作 ，垂足为E，判断四边形 为矩形，可求出 ， ，然后在 中，
根据勾股定理求出 即可；（2）过点D作 ，交 的延长线于点F，交 于点G．判断四边形 为矩形，得出
．在 中，利用正切定义求出 ．利用勾股定理求出 ，由
，可求出 ， ， ， ．在 中，根据勾股定理求出
即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作 ，垂足为E，
由题意可知， ，
又 ，
四边形 为矩形．
， ，
， ．
，
．
在 中， ．
即可伸缩支撑杆 的长度为 ；
（2）解：过点D作 ，交 的延长线于点F，交 于点G．
由题意可知，四边形 为矩形，
．在 中， ，
．
，
，
， ．
， ，
， ．
在 中， ．
即可伸缩支撑杆 的长度为 ．
11．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力
部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行
了测量，图（2）为测量示意图（点 ， ， ， 均在同一平面内， ）．已知斜坡 长为20
米，斜坡 的坡角为 ，在斜坡顶部 处测得风力发电机塔杆顶端 点的仰角为 ，坡底与塔杆底的
距离 米，求该风力发电机塔杆 的高度．
（结果精确到个位；参考数据： ， ， ， ）
【答案】32m
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点 作 于点 ，作
于点 ，先求解 ， ，再证明
，再利用锐角的正切可得 ，从而可得答案.
【详解】解：过点 作 于点 ，作 于点由题意得： ，
在 中，
，
，
，
四边形 为矩形，
， ，
，
在 中.
，
答：该风力发电机塔杆 的高度为 .
12．（2024·重庆·中考真题）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在
的正北方向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向， 千米．
（参考数据： ， ， ）。(1)求 的长度（结果精确到 千米）；(2)甲、乙两
人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为： ．请计算说明谁选
择的路线较近？【答案】(1) 千米(2)甲选择的路线较近
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用：
（1）过点B作 于E，先求出 ，再解 得到 千米，进一步解
即可得到 千米；
（2）过点C作 于D，先解 得到 千米，则 千米，再
得到 千米， 千米，最后解 得到 千米，
千米，即可得到 千米， 千米，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作 于E，
由题意得， ，
∴ ，
在 中， 千米，∴ 千米，
在 中， 千米，
∴ 的长度约为 千米；
（2）解：如图所示，过点C作 于D，
在 中， 千米，
∴ 千米，
在 中， 千米，
千米，
在 中， ，
∴ 千米，
千米，
∴ 千米， 千米，
∵ ，
∴甲选择的路线较近．
13．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于
汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将
彩婷抽象成如图2的示意图， 是彩婷的中轴、甲同学站在 处．借助测角仪观察，发现中轴 上的点的仰角是 ，他与彩婷中轴的距离 米．乙同学在观测点 处借助无人机技术进行测量，测得
平行于水平线 ，中轴 上的点 的仰角 ，点 、 之间的距离是 米，已知彩婷的
中轴 米，甲同学的眼睛到地面的距离 米，请根据以上数据，求中轴上 的长度．（结
果精确到 米，参考数据 ， ）
【答案】中轴上 的长度为 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点 作 于点 ，分别求得 的长，根据
，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
依题意，四边形 是矩形，
∴ ，
∴
米
答：中轴上 的长度为 米．
14．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从 港出发，分别向 ， 两港运送物资，最后到达 港正东方向的 港装运新的物资．甲货轮沿 港的东南方向航行 海里后到达 港，再沿北偏东
方向航行一定距离到达 港．乙货轮沿 港的北偏东 方向航行一定距离到达 港，再沿南偏东
方向航行一定距离到达 港．（参考数据： ， ， ）
(1)求 ， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 、 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 港？请通过计算说明．
【答案】(1) ， 两港之间的距离 海里；
(2)甲货轮先到达 港．
【分析】（ ）过 作 于点 ，由题意可知： ， ，求出
， 即可求解；
（ ）通过三角函数求出甲行驶路程为： ，乙行驶路程为：
，然后比较即可；
本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
【详解】（1）如图，过 作 于点 ，
∴ ，
由题意可知： ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ （海里），
∴ ， 两港之间的距离 海里；
（2）由（ ）得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ， （海里），
∴甲行驶路程为： （海里），乙行驶路程为： （海
里），
∵ ，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达 港．
15．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海
南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿 方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航
行，如图所示．
航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西 方向上的A处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西 方向上的B处．记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里
内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东 方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)填空： ________ ， ________ ， ________海里；
(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据： ）
【答案】(1)30；75；5
(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区
【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：
（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算
出对应线段的长度；
（2）设 海里，先解 得到 ，再解 得到 海里，
海里，据此可得 ，解得 海里；证明 ，则
海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作 于D，
由题意得， ，
∴ ；
∵一艘渔船自西向东（沿 方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8
时30分到达B，
∴ 海里．
（2）解：设 海里，
在 中， 海里，在 中， 海里， 海里，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 海里，
∵ ，
∴ ，
∴ 海里；
上午9时时，船距离A的距离为 海里，
∵ ，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
16．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装
置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成
右侧示意图，已知试管 ，试管倾斜角 为 ．
(1)求试管口B与铁杆 的水平距离 的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁 ，延长 交 的延长线于点F，且 于点N（点C，D，N，
F在一条直线上），经测得： ，求线段 的长度．（结果用含非
特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角
关系是解题关键．
（1）先求出 ，再在 中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先解直角三角形可得 的长，从而可得
的长，再判断出 是等腰直角三角形，从而可得 的长，最后根据 求
解即可得．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
由题意可知， ，
在 中， ，
∴ ，
答：试管口 与铁杆 的水平距离 的长度 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
答：线段 的长度为 ．
17．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳
辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量 （单位： ）和太阳
能板与水平地面的夹角 进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数
刻画．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最
大）， 为太阳能板 与水平地面 的夹角， 为支撑杆．已知 ， 是 的中点，
．在 延长线上选取一点 ，在 两点间选取一点 ，测得 ，在 两点处分
别用测角仪测得太阳能板顶端 的仰角为 ， ，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆 的长．（精
确到 m，参考数据： ， ）
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌
握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）设 关于 的函数表达式为 ，将图中的点代入即可求出答案；
（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；
（3）延长 与过点 作 的线交于点 ，令 ，根据三角函数进行计算，求出
即可得到答案．
【详解】（1）解：设 关于 的函数表达式为 ，
将 代入，
得 ，
解得 ，
；
（2）解：根据函数解析式得函数对称轴 ，
故阳能板与水平地面的夹角为 度时，日平均太阳辐射量最大；
（3）解： ，
延长 与过点 作 的线交于点 ，令 ，
， ，
，，
，
，
，
延长 交 与 点，
，
，
，
，
，
．
18．（2024·安徽合肥·三模）如图，在四边形 中， ，经测量，
，求四边形 的面积．（结果精确到 ， ，
）
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图，过点D作 的垂线交 于点E，过点B作 的垂线交 于点F，再证四边形 是矩形，
设 ，则 ， ；再根据据 可得列方程求得 ，最后根据
梯形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，过点D作 的垂线交 于点E，过点B作 的垂线交 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形．
设 ，则 ， ，
根据 可得 ，可得 ．
∴四边形 的面积 ．
19．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特
的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶AD 平行于地面 ， 天桥斜面 的坡度为 ，
CD 长 ， 天桥另一斜面 的坡角 ．
(1)求点 D到地面 的距离；
(2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为 ，则斜
面 的坡角 ，试计算此改建需占路面的宽度 的长(结果精确到 )(参考数据 )
【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ；(2)改建后需占路面宽度 的长为
【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度 坡角的正切值．
（1）作 于点 ，根据坡度的概念求出 ；
（2）过点A作 ，根据坡角 的度数和铅直高 的长求出水平宽 、 的长，进而可由
求得 的长．
【详解】（1）作 于点 ，
，
∵斜面CD的坡度为
，
,
,
答：点 到地面 的距离为 ；
（2）作 于点 ，
∵天桥斜面AB的坡角 ，
，
∵斜面 的坡角 ，
，
，
,
答：此改建需占路面的宽度 的长约为 ．
20．（2024·安徽合肥·三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教
学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF=6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到
0.1米，参考数据： =1.73、sin53°≈ 、cos53°≈ 、tan53°≈ ）
【答案】DF的长为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米
【详解】解：由题意得∠CBD=30°，∠ADB=53°，FE⊥BD，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ 米， 米，
∴ 米，
∴ 米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
21．（2021·辽宁朝阳·中考真题）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一
个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝
3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A
的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且
AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
【答案】（9＋4 ）m
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得 ，求出AH＝（8＋4 ）m，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt ACH中，∠ACH＝30°，
△
∵tan∠ACH＝ ＝tan30°＝ ，
∴BD＝CH＝ AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝（8＋4 ）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4 ）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4 ）m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构
造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．22．（23-24九年级下·安徽亳州·阶段练习）如图所示，阿进站在河岸上的 点，看见河里有一小船 沿垂
直于岸边的方向划过来．此时，测得小船 的俯角是 ．若阿进的眼睛与地面的距离是 ，
， 平行于 所在的直线，迎水坡的坡度 ，坡长 ，点
在同一个平面上，则此时小船 到岸边的距离 的长约为多少米?(参考数据： ，结果精确到
0.01)
【答案】8.36米
【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，
进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH-AE=EH即为AC长度．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．
在 中， 因为 ， 即 ，．设 ， ，则 ，由 ，得 ，
从而 ，在 中，
，
(米)．
答：小船 到岸边的距离 的长约为8．36米．
【点睛】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难
点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
