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淘宝：学思创想
专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型
近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和
定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握
的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模
型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，
这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
....................................................................................................................................................2
模型1.猪蹄模型（M 型与锯齿型）...............................................................................................................2
模型2.铅笔头模型...........................................................................................................................................3
模型3.牛角模型...............................................................................................................................................4
模型4.羊角模型...............................................................................................................................................4
模型5.蛇形模型（“5”字模型）...................................................................................................................5
....................................................................................................................................................6
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模型1.猪蹄模型（M 型与锯齿型）
先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M 模型或锯齿模型的，都是根
据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P 作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
证明：根据图1 中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
证明：由图2 的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
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例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束
与
平行射入接收天
线，经反射聚集到焦点
处，若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2024 九年级下·辽宁·学业考试）如图，
，
，则
的度
数为 ．
例3．（2023 春·河南驻马店·九年级专题练习）已知
，
，
，
若
，则
为（ ）
A．23°
B．33°
C．44°
D．46°
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们
青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进
滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺
直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
，当人脚与地面的夹角
时，求出此时上身
与水平线的夹角
的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
例5．（23-24 七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识
后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线
，直线
是直线
，
的第三条截线，
，
分别是
，
的平分线，并且相交于点K．
问题解决：（1）
，
的平分线
，
所夹的
的度数为______；
问题探究：（2）如图2，
，
的平分线相交于点
，请写出
与
之间的等量关系，
并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3 中作
，
的平分线相交于点K，作
，
的平分线相交于
点
，依此类推，作
，
的平分线相交于点
，求出
的度数．
例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G 为AB、CD 间的一点，
联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC 的度数是多少？
（2）如图（2），点G 为AB、CD 间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC 的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD 之间有何关系？直接写出结论．
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模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才
是关键。
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2 中，过P 作AM 的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2 中，过P1作AM 的平行线P1E，过点P2作AM 的平行线P2F，
∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
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证明：在图3 中，过各角的顶点依次作AB 的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n
1
﹣）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴
的光线
和
经过凸透镜的折射后，折射光线
和折射光线
交主光轴于点P，若
，
，则
°．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023 下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线
，点E，F 分别是直线
上的两点，
点P 在直线
和
之间，连接
和
的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（2023 上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形
为一张长方形纸片．如图②
所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（
、
、
），则
（度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（
、
、
、
），则
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（度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（
、
、
、
、
），
则
（度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪
刀，剪出
个角，那么这
个角的和是
（度）．
例5．（2023 下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，
探索问题的解．
(1)如图1，
，点E 为
、
之间的一点．求证：
．
(2)如图2，
，点E、F、G、H 为
、
之间的四点．则
______．
(3)如图3，
，则
______．
模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。
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图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝
，∠ABE＝
，∠CDE＝
，结论：
.
证明：如图，延长AB 交DE 于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝
，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴
；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝
，∠ABE＝
，∠CDE＝
，结论：
.
证明：如图，延长AB 交DE 于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝
，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-
，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴
；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1 是某同
学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2 的数学问题：在平面内，已知
，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P 为直线AB，CD 外一点，BF 平分∠ABP，
DE 平分∠CDP，BF 的反向延长线交DE 于点E，若∠FED＝a，试用a 表示∠P 为______．
例4．（2023 春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线
，点
为直线
，
所确定的平面内
的一点，(1)问题提出：如图1，
，
．求
的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出
，
，
之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，
，
，
，求
的值．
例5．（2023 下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，
．
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(1)如图，求证
；(2)如图
，点
在
上，
平分
，交
于点
，
探究
的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图
交
延长线于点
，求
的度数．
模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
图1 图2
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条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝
，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴
；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-
，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴
；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知
，如果
，
，那么
的度数
为 ．
例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知
，
是等腰直角三角形，
，顶点
分别在
上，当
时，
．
例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知
，
，
，则
的度数为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
例4．（23-24 七年级下·湖北武汉·期末）如图，
的角平分线
交
的角平分线的
反向延长线于点P，直线
交
于点N，若
，则
°
例5．（2023 七年级下·江苏·专题练习）已知
．
(1)如图1，求证：
；
(2)若F 为直线
、
之间的一点，
，
平分
交
于点G，
交
于点C．
①如图2，若
，且
，求
的度数；②如图3，若点K 在射线
上，且满足
，若
，
，直接写出
的度数．
模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。
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图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：在图2 中，过C 作AB 的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴
.
条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝
，∠B＝
，∠D＝
，结论：
.
证明：在图2 中，过C 作AB 的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴
.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D 三点，拐弯后与原来方向相同，
如图，若
，则
等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
例2．（23-24 七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，
，
的角平分线
的反向延长线和
的角平分线
交于点F，
，则
．
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例3．（23-24 七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点
，
，
不在同一条直线上，
．
(1)求证
；(2)如图2，
，
分别为三等分
、
所在直线，
，
，试探究
与
的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，
且有
，直线
、
交于点
，
，请直接写出
_________．
例4．（23-24 七年级下·广东广州·期末）如图，
，
．
(1)
如果
，求
的度数；
设
，
，直接写出
、
之间的数量
关系： ；(2)如图
，
、
的角平分线交于点
，当
的度数发生变化时，
的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出
的度数；
(3)在（2）的条件下，若
，点
为射线
上的一个动点，过点
作
交直线
于点
，连接
．已知
，求
的度数．
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1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若
，
，
，则
的度数是
（）
A．115°
B．130°
C．140°
D．150°
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行
若
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线
．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京
景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的
历史至少在
年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：
，
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，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若
，
，
，
，那么
的度数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 九年级上·湖北·课后作业）①如图①，
，则
；
②如图②，
，则
；③如图③，
，则
；
④如图④，直线
，点
在直线
上，则
．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④
B．③④
C．①②④
D．②③④
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若
，
，
，
则
的度数是 °．
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8．（23-24 七年级下·浙江杭州·期中）如图，
，
的角平分线
的反向延长线和
的
角平分线
交于点
，
，则
．
9．（23-24 七年级下·江苏无锡·期中）如图，
，
为
上方一点，
、
分别为
、
上的
点，
、
的角平分线交于点
，
的角平分线与
的延长线交于点
，若
，
，则
的度数等于 ．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线
、
平行，则
．
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， AB
CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4 中，∠1 与∠2、∠3 三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：（3）如图5 所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出两束光线OB、OC 经灯
碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
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12．（2023 春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B 不在同一条直线，
(1)求证：
：(2)如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究
与
的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点P，
，直接写出
．
13．（24-25 七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：
，点
在
上，点
、
在
上，点
在
、
之间，连接
、
、
，
，
，垂足为点
．
(1)如图1，求
的度数；(2)如图2，
平分
，
平分
，
、
交于点
，求
的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，
平分
交
于点
，若
，
与
所在直线交于点
，若射线
从射线
的位置开始绕着点
逆时针以每秒
的速度进行旋转，
射线
交直线
于点
，旋转时间为秒，当为何值时，
第一次与
平行？并求此时
的度
数．
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14．（24-25 八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知
，
，
，则
求
的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，
平分
，
平分
，则
的度
数．
（3）如图2，已知
，
平分
，
平分
，．当点P、M 在直线AC 同侧时，直接
写出
与
的数量关系： ；
（4）如图3，已知
，
平分
，
平分
．当点P、M 在直线
异侧时，直接写
出
与
的数量关系： ．
15．（23-24 七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线
，点
为平面上一点，连接
与
．
(1)如图1，点
在直线
之间，当
，
时，求
的度数．
(2)如图2，点
在直线
之间，
与
的角平分线相交于点
，写出
与
之间
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的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点
落在
下方，
与
的角平分线相交于点
，请直
接写出
与
的数量关系．
16．（23-24 七年级下·湖北武汉·期中）
，点E、F 分别在
、
上；点O 在直线
、
之
间，且
(1)如图1，①若
，求
的度数；
②若
，请你直接写出
________；
(2)如图2，直线
分别交
、
的角平分线于点M、N，求
的值
(3)如图3，
在
内，
；
在
内，
，直线
分别交
、
分别于点M、N，且
，直接写出m 的值
17．（23-24 七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行
线的作用．李老师给出如下问题：
，点
为
下方一点，连接
，得到
，试探究
与
的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点
作
．
（2）小明的做法是：如图3，设
交
于点
，过点
作
．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
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【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到
了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线
，点
在
之间，点
在
下方，连
．延长
至
和
的角平分线相交于点
．探究
与
的数量关系；
【学以致用】（3）如图5，
和
的角平分线相交于点
．作
平分
交
的延长线于点
，若
，求
的度数．
18．（22-23 七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，
，点P，Q 位于
两侧，连
接
，
，
，
，直接写出①
，
，
的数量关系为______；②
，
，
的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作
，
的角平分线交于点M，若
与
互补，试
写出
与
的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3，
，点M，N 位于
左侧，作
，
的角平分线交于点P，
淘宝：学思创想
；若
，直接写出
的度数是______．
19．（23-24 七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C 不在同一条直线上，
．
(1)如图①，求证：
；(2)如图②，
分别为
，
的角平分线所在
的直线，
，求
的度数．(3)如图③，
分别为
，
的角平分线所在的
直线，延长
交直线
于点P，且
，
，直接写出
的值为 ．
20．（23-24 七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②，
，点M 在如图所在位置，请分
别写出图①和②中
、
、
之间的关系并选择一个结论进行证明；
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【推广应用】（1）如图，
，
邻补角的平分线
与
的角平分线相交于点N，试探
究
、
的数量关系并写出证明过程；
（2）如图，
，
和
的三等分角线交于点M，
，
，
，求
的度数．
