文档内容
专题 7.6 平行线中的常见四大模型
【人教版2024】
【模型1 “猪蹄”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD，O是平行线间的一点，连接OB,0C,且两条线段凹进去
图示
结论 ∠BOC=∠B+∠C(已知角之间的数量关系，则平行也成立)
讲解二：结论证明
(方法1)如图,过点O作 OE//AB，∴∠B=∠1.
∵AB//CD，OE//AB，∴OE//CD，∴∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B+∠C
(方法 2)如图，延长 BO 交 DC 于点E.
∵AB//CD，∴∠B=∠BEC.
∵∠BOC=∠C+∠BEC，∴∠BOC=∠B+∠C
也可以延长 CO,方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
∠O₁+∠O₂+∠O₃+…+∠0n= (n-1) · 180°+
结论 ∠O₁+∠O₂=180°+(∠B+∠C)
(∠B+∠C)
1．（23-24七年级·甘肃张掖·期末）如图，直线l ∥l ，∠EAB=125°,∠FBA=85°，则∠1+∠2=
❑1 ❑2
1
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司( )
A．30° B．35° C．36° D．40°
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定
于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得
∠BAE=∠1+∠3=125°，∠ABF=∠2+∠4=85°，再根据平行线的性质可得∠3+∠4=180°，即可
求解．
【详解】解：如图，
根据题意可得：
∠BAE=∠1+∠3=125°，∠ABF=∠2+∠4=85°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=125°+85°=210°，
∵l ∥l ，
❑1 ❑2
∴∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=210°−180°=30°，
故选：A．
2．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，a∥b，∠3=70°，∠1−∠2=10°，则∠1的度数是（ ）
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
【答案】B
【分析】作c∥b，根据平行线的判定和性质可得∠1+∠2=70°，结合∠1−∠2=10°，两式相加即可求
出∠1．
【详解】解：如图，作c∥b，
∵a∥b，
∴a∥c∥b，
∴∠4=∠1，∠5=∠2，
∴∠4+∠5=∠1+∠2=70°，
∵∠1−∠2=10°，
∴2∠1=80°，
∴∠1=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出∠1+∠2=70°是解题的关键．
3．（23-24七年级·北京昌平·期末）如图，AB∥DE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】过C作CQ∥AB，得出AB∥DE∥CQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，
∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项．
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：过C作CQ∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CQ，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，
∵∠ACE=110°，
∴∠ECQ=110°-30°=80°，
∴∠E=180°-80°=100°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
4．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，AB∥EF，∠C=90°，则α，β和γ的数量关系是 ．
【答案】∠α+∠β−∠γ=90°
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
分别过点C，D作CM∥AB,DN∥EF，可得CM∥AB∥DN∥EF，根据平行线的性质可得
∠BCM=∠α,∠DCM=∠CDN,∠EDN=∠γ，从而得到∠β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠γ①，
∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠α+∠DCM②，由①−②，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点C，D作CM∥AB,DN∥EF，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥EF，
∴CM∥AB∥DN∥EF，
∴∠BCM=∠α,∠DCM=∠CDN,∠EDN=∠γ，
∴∠β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠γ①，
∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠α+∠DCM②，
由①-②得：∠β−∠BCD=∠γ−∠α，
∵∠BCD=90°，
∴∠α+∠β−∠γ=90°．
故答案为：∠α+∠β−∠γ=90°．
5．（23-24七年级·江苏镇江·期中）如图，a∥b，∠3=65°，∠1=∠2+15°，则∠2= °．
【答案】25
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过∠3的顶点作c∥a，则a∥b∥c，由平行线的性质得
到∠5=∠1，∠4=∠2，进而得到∠1+∠2=80°，再结合已知条件即可求出答案．
【详解】解：如图，过点A作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，
∴∠5=∠1，∠4=∠2，
5
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵∠BAC=∠5+∠4=65°，
∴∠1+∠2=65°，
又∵∠1=∠2+15°，
∴∠2=25°，
故答案为：25．
6．（23-24七年级·辽宁鞍山·期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为 ．（用含n的式子表示）
1
【答案】40°+ n°
2
【分析】首先过点E作EF∥AB，由平行线的传递性得AB∥CD∥EF，再根据两直线平行，内错角相等，
1
得出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分线的定义得出∠ABE= n°，
2
1
∠EDC=40°，再由两直线平行，内错角相等得出∠BEF=∠ABE= n° ∠FED=∠EDC=40°，由
2
∠BED=∠BEF+∠FED即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，
∵AB∥CD
，
∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
1 1
∴∠ABE= ∠ABC= n°，
2 2
1 1
∠EDC= ∠ADC= ×80°=40°，
2 2
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥EF∥CD，
1
∴∠BEF=∠ABE= n° ，
2
∠FED=∠EDC=40°，
1
∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+ n°，
2
1
故答案为：40°+ n°．
2
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和
角平分线的定义．
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直
线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【答案】230°
【分析】过点O作OC//a，利用平移的性质得到a//b，可得判断OC//b，根据平行线的性质得
∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，可得到∠1+∠2+∠3=360°，从而得出∠2+∠3的度数．
【详解】解：过点O作OC//a，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴a//b，
∴OC//b，
∴∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠2+∠3=360°−∠1=230°．
故答案为：230°．
7
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
8．（23-24七年级·江苏·周测）如图，AB∥CD，∠1+∠2=110°，求∠G的度数．
【答案】110°
【分析】过点G作GM∥AB，根据AB∥CD，GM∥AB∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EGF
的度数．
【详解】解：过点G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴GM∥AB∥CD，
∴∠1=∠EGM，∠2=∠FGM，
∴∠EGF=∠EGM+∠FGM=∠1+∠2=110°，
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解
决问题．
9．（23-24七年级·北京西城·阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解
决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
9
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)240∘
(2)51∘
【分析】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，根据平行线的性质得EM∥AB∥FN∥CD，所以
∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘，然后利用等量代换计算∠B+∠F+∠C=240∘；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABG和∠DCG
分别表示出∠H和∠G，从而可找到∠H和∠G的关系，结合条件可求得∠H=51∘．
【详解】（1）作EM∥AB，FN∥CD，如图，且AB∥CD
∴EM∥AB∥FN∥CD
∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=180∘
∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∘，
∵∠BEF=60∘，
∴∠B+∠CFE+∠C=60∘+180∘=240∘；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
1 1
∴∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，
2 2
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥RS∥MN
1 1
∴∠RHB=∠ABE= ∠ABG，∠SHC=∠DCF= ∠DCG，
2 2
∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∘，
1
∴∠BHC=180∘−∠RHB−∠SHC=180∘− (∠ABG+∠DCG)，
2
∠BGC=180∘−∠NGB−∠MGC=180∘−(180∘−∠ABG)−(180∘−∠DCG)=∠ABG+∠DCG−180∘
∴∠BGC=360∘−2∠BHC−180∘=180∘−2∠BHC，
∵∠BGC=∠BHC+27∘，
∴180∘−2∠BHC=∠BHC+27∘，
∴∠BHC=51∘．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，
注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦
然．
10．（23-24七年级·江苏常州·期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
11
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
【详解】（1）解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，
∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
13
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【模型2 “铅笔头”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD,点0在平行线之间，连接OB,0C,且两条线段凸出来
图示
结论 ∠ +∠ +∠ = °
BOC B C 360
讲解二：结论证明
(方法1:过拐点作平行线)
如图，过点0作OE//AB.
∵AB//CD，∴OE//AB//CD.
【链知识】平行于同一条直线的两条直线互相平行.
∴∠B+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B+∠BOC+∠C=360°
(方法2:作延长线)
如图，延长AB，CO，使其相交于点E.
∵AB//CD，∴∠E+∠C=180°
∵∠ABO+∠EBO=180°
∴.∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=360°
∵∠E+∠EBO=∠BOC，
∴∠C+∠ABO+∠BOC=360°
也可以延长 BO，DC，方法同证法2.
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
∠O₁+∠O₂+∠O₃+…+∠0n+ (∠B+∠C)=(n+1) ·
结论 ∠O₁+∠O₂+(∠B+∠C)= 3×180
180°
1．（23-24七年级·广东茂名·期中）如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（ ）
A．180° B．360° C．540° D．270°
【答案】B
【分析】过C点作直线CF∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，
然后再计算∠B+∠C+∠D即可.
【详解】
如图，过C点作直线CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴CF∥ED，
∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，
即∠B+∠BCD+∠D=360°.
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
2．（2024七年级·江苏·专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系
是（ ）
15
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
【答案】B
【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．
【详解】解：如图，作CF//ED，
∵AB//ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED//CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB//ED，ED//CF，
∴AB//CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴ β＝2α ．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．
3．（23-24七年级·浙江杭州·期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A．α+β+γ B．β+γ−α C．180°−α−γ+β D．180°+α+β−γ
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α
+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，
∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，
∴x=∠BCD+∠DCM=180°−α−γ+β，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
4．（23-24七年级·全国·课后作业）如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D= °．
【答案】540
【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，再根据两直
线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线EM∥CD，FN∥CD是解答本题的关键．
【详解】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，如图，
17
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，EM∥CD，FN∥CD，
∴AB∥FN，EM∥FN，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠≝=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠≝+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案为：540．
5．（23-24七年级·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，
其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，
CG∥EF，∠BAG=150°，∠≝=130°，则∠AGC的度数是 ．
【答案】80°/80度
【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出
∠MFA，∠EFM，进而可求出∠EFA，再根据平行线的性质即可求得∠AGC．
【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥FM，
∴∠≝+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵∠BAG=150°，∠≝=130°，
∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，
∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，
∵CG∥EF，
∴∠AGC=∠EFA=80°．
故答案为80°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
6．（23-24七年级·江苏常州·期中）如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CD∥AE，则
∠ABC+∠BCD＝ 度；
【答案】270
【详解】解：过点B作BF∥AE，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，
∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°，
即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABC+∠BCD=270°．
故答案为：270．
【点睛】本题考查了平行线的性质．作出辅助线是解此题的关键．
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直
19
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
【答案】230°
【分析】过点O作OC//a，利用平移的性质得到a//b，可得判断OC//b，根据平行线的性质得
∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，可得到∠1+∠2+∠3=360°，从而得出∠2+∠3的度数．
【详解】解：过点O作OC//a，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴a//b，
∴OC//b，
∴∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠2+∠3=360°−∠1=230°．
故答案为：230°．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
8．（23-24七年级·内蒙古·期中）综合与探究：
（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．
∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．
∵AB∥CD．∴PE∥CD．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，
∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即
可得出答案．
【详解】解：（1）过P作PE∥AB，
∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．
∵AB∥CD，
∴PE∥CD．
∴∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°−120°=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°．
（2）∠CPD=∠α+∠β，
如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
21
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线
构造内错角以及同旁内角．
9．（23-24七年级·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
10．（23-24七年级·广东汕头·期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB//CD，AB和CD都不经过点
P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．
发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5
小明是这样证明的：过点Р作PQ//AB
∴∠APQ=∠A___________
∵PQ//AB，AB//CD．
∴PQ//CD__________
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
23
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司即∠APC=∠A+∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为_____________________；
②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①
∠APC+∠A+∠C=360°；②40°；（3）∠APC=∠A−∠C，理由见解析．
【分析】（1）过点P作PQ//AB，根据平行线的性质得出∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C，即可得出答
案；
（2）①过点P作PQ//AB，根据平行线的性质得出∠APQ+∠A=180°，∠CPQ+∠C=180°，即可
得出答案；
②根据平行线的性质得出∠PEB=∠C=70°，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出∠APG+∠A=180°，求出∠APG=180°−∠A，根据PG//CD得出
∠CPG+∠C=180°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点P作PQ//AB，
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ//AB，AB//CD．
∴PQ//CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）①
解：过点P作PQ//AB，
所以∠APQ+∠A=180°，
∵PQ//AB，AB//CD．
∴PQ//CD，
∴∠CPQ+∠C=180°，
∴∠APQ+∠CPQ，∠A+∠C=360°，
即∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°；
②
解：∵AB//CD，∠C=70°，
∴∠PEB=∠C=70°，
∵∠A=30°，
∴∠P=∠PEB−∠A=40°，
故答案为：40°；
∠APC=∠A−∠C
（3）解： ．
理由是：如图4，过点P作PG//AB，
∵PG//AB，
25
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°−∠A
∵PG//AB，AB//CD，
∴PG//CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°−∠C，
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠A−∠C．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
【模型3 “锯齿”模型】
讲解一：模型特征
AB//CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至 少有两个拐
条件
点
图示
结论 ∠B+∠F=∠E+∠C
讲解二：结论证明
如图，过点E作MN//AB，过点F作 PQ//AB.
∵ AB//CD，∴ AB//MN//PQ//CD.
∴∠B=∠BEN，∠EFP=∠FEN，∠PFC=∠C，
∴∠B+∠EFP+∠PFC=∠BEN+∠FEN+∠C，
∴∠B+∠EFC=∠BEF+∠C.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司图示
拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型
1．（23-24七年级·新疆克拉玛依·期末）（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结
1 2 1 2 3
果）
（2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 n
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）过点A 作AB∥l，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1
（2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，根据平行线的性质，即可求解；
2 2 1 3 3 1
（3）根据平行线的性质，即可求解；
（4）根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：（1）过点A 作AB∥l，
2 2 1
∵l∥l，
1 2
∴AB∥l∥l，
2 1 2
∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，
1 1 2 3 3 2
∴∠A+∠AAA+∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB=180°+180°=360°，
1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2
故答案是：360°；
27
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）过点A 作AB∥l，过点A 作AC∥l，
2 2 1 3 3 1
∵l∥l，
1 2
∴AC∥AB∥l∥l，
3 2 1 2
∴∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，∠BAA+∠CA A=180°，
1 1 2 4 4 3 2 3 3 2
∴∠A+∠A1AA+∠AAA+∠A＝∠A+∠AAB+∠A+∠AAB+∠BAA3+∠CA A
1 2 3 2 3 4 4 1 1 2 4 4 3 2 3 2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝180°+180°+180°+180°=720°，
1 2 3 4 5
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A+∠A+…+∠A＝（n-1）180 °，
1 2 n
故答案是：（n-1）180 °．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．
2．（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、
CD上，连接PE、EQ．
(1)如图1，直接写出∠APE、∠PEQ、∠CQE之间的数量关系；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=150°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当
∠PEQ=60°时，直接写出∠PFQ的度数．
【答案】(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由见解析
(2)∠PFQ=105°
(3)∠PFQ=150°
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学
会探究规律，利用规律解决问题．
（1）如图1，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质得到∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，等量代
换即可得到结论；
（2）如图2，过点E作EM∥AB，根据平行线的性质得到
1
∠BPE+∠EQD=360∘−(∠APE+∠CQE)=210°，根据角平分线的定义得到BPF= ∠BPE，
2
1 1
∠DQF= ∠EQD，得到∠BPF+∠DQF= (∠BPE+∠EQD)=105°，作NF∥AB，于是得到结
2 2
论；
（3）如图3，过点E作EM∥CD，设∠QEM=α，根据平行线的性质得到∠DQE=180∘−α，根据角平
1 1
分线的定义得到∠DQH= ∠DQE=90°− α，∠BPE=180°−∠PEM=180°−(60∘+α)=120°−α，
2 2
1 1
根据角平分线的定义得到∠BPF= ∠BPE=60°− α，作NF∥AB，于是得到结论．
2 2
【详解】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：
如图1，过点E作EH∥AB，
∴∠APE=∠PEH
，
∵EH∥AB，AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠CQE=∠QEH，
∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；
（2）解：如图2，过点E作EM∥AB，
29
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司同理可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=150°，
∵∠BPE=180°−∠APE，∠EQD=180°−∠CQE，
∴∠BPE+∠EQD=360°−(∠APE+∠CQE)=210°，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
1 1
∴∠BPF= ∠BPE，∠DQF= ∠EQD，
2 2
1
∴∠BPF+∠DQF= (∠BPE+∠EQD)=105°，
2
作NF∥AB，同理可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=105°；
（3）解：如图3，过点E作EM∥CD，
设∠QEM=α，
∴∠DQE=180°−α，
∵QH平分∠DQE，
1 1
∴∠DQH= ∠DQE=90°− α，
2 2
1
∴∠FQD=180°−∠DQH=90°+ α，
2
∵EM∥CD，AB∥CD，
∴AB∥EM，
∴∠BPE=180°−∠PEM=180°−(60°+α)=120°−α，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵PF平分∠BPE，
1 1
∴∠BPF= ∠BPE=60°− α，
2 2
作NF∥AB，同理可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=150°．
3．（23-24七年级·重庆九龙坡·期中）如图1，直线MN∥PQ，直线AB分别交MN、PQ于A、B点，
∠ABP<90°，点D在线段BQ上（不在端点处），点C在直线AB上，点E在直线MN上，连接CD、CE．
(1)如图1，点C在线段AB上，若EC⊥CD，∠AEC=65°，则∠CDB的度数为________；
(2)如图2，点C在线段AB上，点K为直线MN与PQ之间区域的一点，点E在线段AN上（不与端点重合），
1 1
连EK、KD．若∠ECD=60°，∠NEK= ∠CEN，∠KDQ= ∠CDQ，求∠EKD的度数；
3 3
(3)如图3，DH⊥AB于点H，EC⊥CD，点C在射线HA上运动(C不与H重合），∠AEC与∠CDB的
角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，∠FGD与∠GFD的角平
分线交于点T，直接写出∠FEN、∠CDG与∠FGT的数量关系．
【答案】(1)25°
(2)∠EKD的度数为100°；
1 1
(3)当C在线段HA上时：∠FGT= ∠FEN+ ∠CDG；当C在射线HA上时：
2 2
1 1
∠FGT= ∠FEN+ ∠CDG．
2 2
【分析】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的性质和
垂线的性质是解得关键．
（1）设EC延长线交PQ于点S，根据平行线的性质得出∠CSD=∠AEC=65°，再根据余角得出∠CDB
的度数即可；
1 1
（2）过点K作KW∥MN交AB于点W，设∠NEK= ∠CEN=a，∠KDQ= ∠CDQ=b，根据平行
3 3
31
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司线的性质得出∠EKD=a+b，根据四边形内角和为360°求出a+b的值即可；
（3）分两种情况评论，过点C作CO∥PQ交ED于点O，根据角平分线的定义和平行线的性质得出角的关
系即可．
【详解】（1）解：设EC延长线交PQ于点S，
∵ MN∥PQ ∠AEC=65°
， ，
∴∠CSD=∠AEC=65°，
∵EC⊥CD，
∴△CDS是直角三角形，
∴∠CDB=90°−∠CSD=90°−65°=25°，
故答案为：25°；
（2）解：过点K作KW∥MN交AB于点W，
∴∠ENK=∠EKW ∠EKD=∠KDQ
， ，
1 1
设∠NEK= ∠CEN=a，∠KDQ= ∠CDQ=b，
3 3
∴∠CEN=3a，∠CDQ=3b，∠EKD=a+b，
∴∠CEK=2a，∠CDK=2b，
∵∠ECD=60°，∠ECD+∠CEK+∠CDK+∠EKD=360°，
∴60°+2a+2b+a+b=360°，
即a+b=100°，
∴∠EKD的度数为100°；
（3）解：当C在线段HA上时，过点C作CO∥PQ交ED于点O，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司在四边形GDFT中，∠GTF=∠TGD+∠TFD+∠GDF，
∵∠AEC与∠CDB的角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，
∠FGD与∠GFD的角平分线交于点T，
1 1
∴∠GTF=∠TGD+∠TFD+∠GDF= ∠EGD+ ∠EFD+∠GDF，
2 2
1 1
∠GDF= ∠CDQ+ ∠CDB=90°，
2 2
∵ CO∥MN∥PQ，
∴∠ECD=∠ECO+∠OCD=∠AEC+∠CDB，
1 1
在四边形EGCD中，∠ECD=∠EGD+ ∠AEC+ ∠CDB，
2 2
1 1
∴∠AEC+∠CDB=∠EGD+ ∠AEC+ ∠CDB，
2 2
1 1
即∠EGD= ∠AEC+ ∠CDB=∠FEN+∠CDG，
2 2
1 1 1
∴∠FGT= ∠EGD= ∠FEN+ ∠CDG，
2 2 2
1 1
即∠FGT= ∠FEN+ ∠CDG；
2 2
当C在射线HA上时，过点C作CO∥PQ交ED于点O，
∠GTF=∠GTR+∠RTF=∠TGD+∠TDG+∠TFD+∠TDF=∠TGD+∠TFD+∠GDF，
∵∠AEC与∠CDB的角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，
∠FGD与∠GFD的角平分线交于点T，
1 1
∴∠GTF=∠TGD+∠TFD+∠GDF= ∠EGD+ ∠EFD+∠GDF，
2 2
1 1
∠GDF= ∠CDQ+ ∠CDB=90°，
2 2
∵ CO∥MN∥PQ，
33
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠ECD=∠OCD−∠ECO=∠CDB−∠AEC，
1 1
在△CSE和△DSG中，∠ECD+ ∠AEC=∠EGD+ ∠CDB，
2 2
1 1
∴ ∠CDB−∠AEC+ ∠AEC=∠EGD+ ∠CDB，
2 2
1 1
即∠EGD= ∠CDB− ∠AEC=∠CDG−∠FEN，
2 2
1 1 1
∴∠FGT= ∠EGD= ∠CDG− ∠FEN，
2 2 2
1 1
即∠FGT= ∠FEN+ ∠CDG．
2 2
4．（23-24七年级·湖北黄冈·开学考试）如图，AB∥CD．
(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知∠A=24°．
①如图2，若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
【答案】(1)∠AEC+∠C−∠A=180°．理由见解析
1
(2)①284°；②∠EGC+ ∠F=168°
2
【分析】（1）过点E作EM∥AB，结合AB∥CD，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可．
（2）①过点F作FN∥AB，结合AB∥CD，得到AB∥FN∥CD，利用平行线的性质，结合（1）的结
论变形计算即可．
②过E作EH∥AB，而AB∥CD，则HE∥CD，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∠A，∠AEC，∠C三个角之间的数量关系是：∠AEC+∠C−∠A=180°．
理由如下：
过点E作EM∥AB，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD
，
∴AB∥EM∥CD，
∴∠AEM=∠A，∠MEC+∠C=180°，
∴∠AEM+∠MEC+∠C=∠A+180°，
即：∠AEC+∠C−∠A=180°．
（2）解：①过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥FN∥CD，
∴∠C+∠NFC=180°，
∴∠C=180°−∠NFC，
由（1）得：∠E+∠EFN−∠A=180°，
∴∠E=180°−∠EFN+∠A，
∴∠C+∠E=180°−∠NFC+(180°−∠EFN+∠A)，
即：∠C+∠E=360°−(∠NFC+∠EFN)+∠A=360°−∠EFC+∠A，
∵∠EFC=100°，∠A=24°，
∴∠C+∠E=360°−100°+24°=284°．
1
②解：∠EGC与∠F的数量关系是：∠EGC+ ∠F=168°．
2
理由如下：
∵EG为∠AEF的平分线，CG为∠DCF的平分线，
∴∠AEF=2∠GEF，∠DCF=2∠GCF，
过E作EH∥AB，而AB∥CD，
∴HE∥CD，
35
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司则∠AEH=∠A=24°
设∠HEG=x°，∠GEF= y°
则∠G=x°+ y°，∠HEF+∠F+∠FCD=360°
故2x°+24°+∠F+2y°=360°，
∴2∠G+∠F=336°
1
故∠EGC+ ∠F=168°．
2
5．（23-24七年级·四川宜宾·期末）已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交
CE于点B．
(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；
(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延
长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50°，求∠MPA+∠PQF的度
数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)230°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质和角平分线定义
是解题的关键．
（1）由平行线的性质得出∠A=∠ABE，∠A=∠ADF，即可得出结论；
1 1
（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG=∠BAG= ∠BAD，∠ABM= ∠ABE，
2 2
1
∠ADN= ∠ADF，证出∠ABM=∠DAG=∠BAG=∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可
2
得出结论；
（3）设∠GAQ=∠QAD=x，则∠DAC=50°−x，∠GAC=50°+x=∠GCA，得出∠BAD=100°，
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∠BAQ=100°+x，由平行线的性质得出∠BAC=∠GCA=50°+x，求出
∠BAP=180°−∠BAQ=80°−x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出
∠MPH=∠ABM=50°，∠HPA=∠PAB=80°−x，∠QAC=∠IQA=50°，
∠FQI=∠FCA=50°+x，求出∠MPA=∠MPH+∠HPA=50°+8°−x=130°−x，
∠PQF=∠IQA+∠FQI=50°+50°+x=100°+x，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，
∴∠A=∠ABE，∠A=∠ADF，
∴∠ABE=∠ADF；
（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：
1
则∠DAG=∠BAG= ∠BAD，
2
∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，
1 1
∴∠ABM= ∠ABE，∠ADN= ∠ADF，
2 2
∵∠ABE=∠ADF=∠BAD，
∴∠ABM=∠DAG=∠BAG=∠ADN，
∴BM∥AG，DN∥AG，
∴BM∥DN；
（3）解：∵AQ平分∠GAD，
∴∠GAQ=∠QAD，
设∠GAQ=∠QAD=x，则∠DAC=50°−x，∠GAC=50°+x=∠GCA，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAQ=100°+x，
∵AB∥CF，
∴∠BAC=∠GCA=50°+x，
∵∠BAP+∠BAQ=180°，
37
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠BAP=180°−∠BAQ=80°−x，
过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：
∵AD∥EC
，
1
∴∠BAD=∠ABE=100°，∠ABM= ∠ABE=50°，
2
∴∠MPH=∠ABM=50°，∠HPA=∠PAB=80°−x，∠QAC=∠IQA=50°，
∠FQI=∠FCA=50°+x，
∴∠MPA=∠MPH+∠HPA=50°+80°−x=130°−x，
∠PQF=∠IQA+∠FQI=50°+50°+x=100°+x，
∴∠MPA+∠PQF=130°−x+100°+x=230°．
6．（23-24七年级·山东济南·期末）如图，已知AB∥DE．
(1)感知与探究：
如图1，已知∠B=45°,∠BCD=110°,请求出∠CDE的度数；
(2)问题迁移：
如图2，BG、DF分别是∠ABC、∠CDE的角平分线，BG的反向延长线与DF相交于点F，猜想∠F与
∠BCD之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若∠BCD=100∘，则∠F的度数是_____________．
【答案】(1)115°
(2)2∠F+∠BCD=180°，
(3)40°
【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（1）过点C作CM∥AB，根据平行线的性质易得∠B=∠BCM=45°，∠CDE+DCM=180°，以此
即可求解．
（2）过点F作FM∥AB，过点C作CN∥AB，由平行线的性质得
1
∠B=∠BCM=45°，∠CDE+DCM=180°，由角平分线的性质得∠EDF= ∠EDC，
2
1
∠ABG= ∠ABC，于是∠CDE−∠ABC=2∠BFD①，再由角平分线的性质得
2
∠CDE+∠DCN=180°，∠BCN=∠ABC，以此可得∠CDE=∠ABC+180°−∠BCD②，结合
①②即可得2∠BFD+∠BCD=180°．
（3）利用（2）中的结论求解即可．
【详解】（1）如图，过点C作CM∥AB，
则CM∥AB∥DE，
∴∠B=∠BCM=45°，∠CDE+DCM=180°，
∴∠DCM=∠BCD−∠BCM=110°−45°=65°，
∴∠CDE=180°−65°=115°．
（2）2∠F+∠BCD=180°．理由如下：
如图，过点F作FM∥AB，过点C作CN∥AB，
则FM∥AB∥CN∥DE，
∴∠DFM=∠EDF，∠BFM=∠ABG，
∵DF平分∠CDE，BG平分∠ABC，
1 1
∴∠EDF= ∠EDC，∠ABG= ∠ABC，
2 2
39
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1
∴∠BFD=∠DFM−∠BFM = (∠CDE−∠ABC)，
2
∴∠CDE−∠ABC=2∠BFD①，
∵∠CDE+∠DCN=180°，∠BCN=∠ABC，
∴∠CDE+∠DCN+∠BCN=180°+∠ABC，
∴∠CDE+∠BCD=180°+∠ABC，
∴∠CDE=∠ABC+180°−∠BCD②，
由①②可得2∠BFD=180°−∠BCD，即2∠BFD+∠BCD=180°．
（3）由（2）知，2∠BFD+∠BCD=180°，
∵∠BCD=100°，
180°−100°
∴∠BFD= =40°．
2
故答案为：40°．
7．（23-24七年级·湖北武汉·期中）已知直线AB∥CD，点P是AB上方一点，E是AB上一点，F是CD
上一点连接PE、PF．
(1)如图①，求证：∠P=∠PEB−∠PFD
(2)如图②，∠PEB，∠CFP的平外线所在直线交于点Q，若∠P=50°，求∠Q的度数．
(3)如图③，∠PEB、∠PFD的平分线交于H点，且∠P−∠H=15°，直接写出∠PFD−∠PEB=___．
【答案】(1)见详解
(2)65°
(3)30°
【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）
所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错．
（1）过点P作PQ∥AB，得AB∥CD∥PQ，得∠QPE=∠PEB,∠QPF=∠PFD，两式相减便可得
出结论；
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）中结论可得∠P=∠PEB−∠PFD,∠Q=∠CFQ−∠AEQ，设∠BEM=α,∠CFN=β，
因为EM平分∠BEP,FN平分∠CFP，所以∠PEM=α,∠PFN=β，即得
∠P=2α+2β−180°,∠Q=180°−∠CFN−∠BEM=180°−β−α，即可得解；
（3）过H作HN∥AB，得出AB∥HN∥CD，∠NHE=∠HEB,∠NHF=∠HFD，结合EH,FH分
1
别平分∠PEB,∠PFD，得出∠EHF= (∠PFD−∠PEB)，过P作PQ∥AB，同理可得
2
1
∠EPF=∠PFD−∠PEB，根据∠P−∠EHF = (∠PFD−∠PEB) =15°，即可求出
2
∠PFD−∠PEB．
【详解】（1）证明：过点P作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD
，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠QPE=∠PEB,∠QPF=∠PFD，
∴∠QPE−∠QPF=∠PEB−∠PFD，
即∠FPE=∠PEB−∠PFD；
（2）解：如图：
设∠BEM=α,∠CFN=β，
∵EM平分∠BEP,FN平分∠CFP，
41
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠PEM=α,∠PFN=β，
由（1）中结论可得∠P=∠PEB−∠PFD,∠Q=∠CFQ−∠AEQ，
∴∠P=∠PEM+∠BEM−(180°−∠CFN−∠PFN)
=α+α−(180°−β−β)=2α+2β−180°．
∠Q=180°−∠CFN−∠BEM=180°−β−α，
∴2∠Q+∠P=360°−2β−2α+2α+2β−180°=180°，
即2∠Q+∠P=180°，
180°−∠P 180°−50°
∴∠Q= = =65°；
2 2
（3）解：过H作HN∥AB，
∵AB∥CD,HN∥AB
，
∴AB∥HN∥CD，
∴∠NHE=∠HEB,∠NHF=∠HFD，
∴∠EHF=∠NHF−∠NHE=∠HFD−∠HEB，
∵EH,FH分别平分∠PEB,∠PFD，
1 1
∴∠HEB= ∠PEB,∠HFD= ∠PFD，
2 2
1
∴∠EHF= (∠PFD−∠PEB)，
2
过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD,PQ∥AB，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠QPE=∠PEB,∠QPF=∠PFD，
∴∠EPF=∠QPF−∠QPE=∠PFD−∠PEB，
1
∴∠P−∠EHF=∠PFD−∠PEB− (∠PFD−∠PEB)
2
1
= (∠PFD−∠PEB)
2
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司=15°，
∴∠PFD−∠PEB=2(∠P−∠EHF)=30°．
8．（23-24七年级·山东滨州·期末）感知发现：（1）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣
的模型图，如图1，当AB∥CD时，可以得到结论：∠BED=∠B+∠D．请你写出证明过程；
探索思考：（2）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如
图1，∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．请你写出证明过程；
综合与实线：（3）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一
个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且a∥b，在直
角△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠B=60°．“启智”兴趣小组的同学们发现
∠2=120°+∠1，说明理由；
实践探究：（4）如图3，当AB∥CD时，F是EM上一点，NE平分∠FND，FH平分∠NFE，试探究
∠NHF与∠BME之间的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）2∠NHF=180°+∠BME，证
明见解析．
【分析】（1）过点E作ET∥AB，由平行公理的推论得AB∥ET∥CD，即得∠B=∠BET，
∠D=∠DET，据此即可求证；
（2）过点E作ET∥AB，由平行线的性质可得∠B=∠BET，进而可得∠D=∠DET，得到ET∥CD，
再根据平行线的判定可得AB∥CD；
（3）由（1）可得∠1+∠3=∠B=60°，再把∠3=180°−∠2代入即可求证；
（4）过点F作FG∥AB，过点H作HP∥AB，同理（1）可得AB∥CD∥FG∥PH，根据平行线的性
质和角平分线的定义推导即可求解；
本题考查了平行线的性质和判定，平行公理的推论，邻补角的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是
解题的关键．
【详解】（1）证明：过点E作ET∥AB，
43
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥ET AB∥CD
， ，
∴AB∥ET∥CD，
∴∠B=∠BET，∠D=∠DET，
∵∠BED=∠BET+∠DET ，
∴∠BED=∠B+∠D
（2）证明：过点E作ET∥AB，
∵AB∥ET
，
∴∠B=∠BET，
∵∠BED=∠B+∠D，∠BED=∠BET+∠DET，
∴∠D=∠DET，
∴ET∥CD，
∵AB∥ET，
∴AB∥CD；
（3）证明：如图，由（1）可得，∠1+∠3=∠B=60°，
∵∠3=180°−∠2，
∴∠1+(180°−∠2)=60°，
∴∠2=120°+∠1；
（4）解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：
如图所示，过点F作FG∥AB，过点H作HP∥AB，
同（1）可得AB∥CD∥FG∥PH，
∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，
∠MFN=∠BME+∠DNF，
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵FH平分∠NFE，NE平分∠FND，
∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，
∴∠NFE=2∠NFH=180°−∠MFN=180°−∠BME−2∠DNE，
1
∴∠NFH=90°− ∠BME−∠DNE，
2
∵∠GFH+∠PHF=180°，
∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，
∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，
1
∴∠PHF=180°−2∠DNE−∠NFH=90°−∠DNE+ ∠BME，
2
1 1
∴∠NHF=∠PHN+∠PHF=∠DNE+90°−∠DNE+ ∠BME=90°+ ∠BME，
2 2
∴2∠NHF=180°+∠BME．
9．（23-24七年级·山东烟台·期中）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲
身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重
要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度
数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【答案】60°
【分析】方法1：延长AB交DE于点G，根据AB∥CD，即有∠BAF=∠AGD，∠CDE=∠AGD，进而有
45
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∠CDE=∠BAF，则有∠BAF=60°；方法2：过点B做BM∥AF，过点C做CN∥DE，依据两直线平行
内错角相等即可求解．
【详解】解：方法1：延长AB交DE于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AGD，∠CDE=∠AGD，
∴∠CDE=∠BAF，
∴∠CDE=60°，
∴∠BAF=60°，
方法2：
过点B做BM∥AF，过点C做CN∥DE，
∵AF∥DE，
∴AF∥BM∥CN∥DE，
∴∠BAF=∠ABM，∠MBC=∠BCN，∠CDE=∠DCN，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠ABC−∠MBC=∠BCD−∠BCN，
∵∠ABM=∠DCN，
∴∠BAF=∠CDE，
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠CDE=60°，
∴∠BAF=60°，
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行内错角相等、同位角相等，熟练运用平行的性质是解答本
题的关键．
10．（23-24七年级·山东德州·期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点
F，FG平分∠DFK，∠AEF=α．
(1)如图1，当α=70°时，∠GFK=________°；
(2)点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．
①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；
②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出
此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．
【答案】(1)55
α α
(2)①∠PNC−∠BMP=90°；②∠PNF=90°− 或∠PNF=
2 2
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分
类讨论是解题的关键．
（1）由平行线的性质得∠KFC=∠FEA=α，由平角的定义得∠AFK=110°再由角平分线的定义求解即
可；
（2）①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质和等量代换即可求解；②由题意知，
分当PN∥FG时，当PM∥FG时，两种情况求解；当PN∥FG时，如图2，则∠DFK=180°−α，由
1 1
FG平分∠DFK，可得∠DFG= ∠DFK=90°− α，由PN∥FG，可得∠PNF=∠DFG；当
2 2
PM∥FG时，如图3，作PH∥AB，则PH∥CD，同理可得∠EFD=∠AEF=α，
1
∠HPE=∠AEF=α，∠HPN=∠PNF，∠KFG=∠DFG=90°− α，由PM∥FG，可得
2
47
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1 1
∠FPM=∠KFG=90°− α，则∠NPF= α，根据∠PNF=∠HPN=∠HPF−∠NPF，计算求解
2 2
即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠KFC=∠FEA=α，
∵α=70°，
∴∠KFC=70°，
∴∠DFK=180°−70°=110°，
∵FG平分∠DFK，
1
∴∠GFK= ∠DFK=55°，
2
故答案为：55；
（2）①解：过点P作PQ∥AB，如图1，则PQ∥AB∥CD，
∴∠AMP+∠MPQ=180°，∠QPM=∠BMP，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90°，即∠MPQ+∠QPN=90°，
∴∠QPN=90°−∠QPM=90°−∠BMP，
∵∠PNC+∠NPQ=180°，
∴∠PNC+(90°−∠BMP)=180°，
∴∠PNC−∠BMP=90°，
②解：由题意知，分当PN∥FG时，当PM∥FG时，两种情况求解；
当PN∥FG时，如图2，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，∠AEF=α，
∴∠EFD=∠AEF=α，
∴∠DFK=180°−∠EFD=180°−α，
∵FG平分∠DFK，
1 1
∴∠DFG= ∠DFK=90°− α，
2 2
∵PN∥FG，
1
∴∠PNF=∠DFG=90°− α；
2
当PM∥FG时，如图3，作PH∥AB，则PH∥CD，
同理可得∠EFD=∠AEF=α，∠HPE=∠AEF=α，∠HPN=∠PNF，
1 1
∠KFG=∠DFG= ∠DFK=90°− α，
2 2
∵PM∥FG，
1
∴∠FPM=∠KFG=90°− α，
2
1
∴∠NPF=∠MPN−∠FPM= α，
2
1 1
∴∠HPN=∠HPF−∠NPF=α− α= α，
2 2
1
∴∠PNF= α；
2
α α
综上所述，∠PNF的度数为90°− 或 ．
2 2
【模型4 “三角尺”模型】
讲解一：模型特征
类 型 1： 单一三角尺
49
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司类型2 ：常见角度的拼接
讲解二：模型拓展
拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接
1．（2024·云南·模拟预测）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=56°，
则∠2的度数为（ ）
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司A．30° B．34° C．42° D．58°
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解题的关键是作出辅助线，构造一
组平行线．
过点A作AB∥b，先利用平行线的性质求出∠3 ，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性
质求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AB∥b，
∴∠3=∠1=56°
，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°−∠3=34°，
∵a∥b，AB∥B，
∴AB∥b，
∴∠2=∠4=34°，
故选：B．
2．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设∠1=30°，则∠2的度
数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，平行四边形的性质，求出∠NGH的度数
51
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司是解题的关键．如图所示，过点G作GH∥CD，由平行线的性质得到∠HGB=∠1=30°，
∠2+∠NGH=180°，然后求出∠NGH的度数即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图所示，过点G作GH∥CD，
由题意得AB∥CD，∠KGN=45°，则∠NGB=135°，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠HGB=∠1=30°，∠2+∠NGH=180°，
∴∠NGH=∠NGB−∠HGB=105°，
∴∠2=180°−∠NGH=75°，
故选：C．
3．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若EF∥AC，DF交AB于点M，则∠DMB的度
数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用．先根据平行线的性质，得到∠1的度
数，再根据三角形外角性质，求得∠DMA的度数，利用邻补角即可得到∠DMB的度数．
【详解】解：∵EF∥AC，
∴∠F=∠1=60°
，
又∵∠DMA=∠1+∠A=60°+45°=105°，
∴∠DMB=180°−105°=75°，
故选：C．
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24七年级·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，
∠BAC=∠DAE=90°，∠C=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
（1）若BC⊥AD，则∠DAC的度数为 ；
（2）若将三角形ADE绕点A转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则∠DAC的度数为 ．
【答案】 60° 105°或75°/75°或105°
【分析】（1）设AD交BC于点M，由BC⊥AD，则∠BMA=90°，证明BC∥AE，然后根据平行线的
性质即可求解；
（2）根据题意，分两种情况：①当三角形ADE在线段AC左侧时，②当三角形ADE在线段AC右侧时进
行分析即可；
本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，设AD交BC于点M，
∵BC⊥AD，
∴∠BMA=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BMA=∠DAE，
∴BC∥AE，
∵∠C=30°，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠DAC=∠DAE−∠CAE=60°，
故答案为：60°；
53
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意，分两种情况：①当三角形ADE在线段AC左侧时，如图①，过点A作AP∥BC，
∵BC∥DE，
∴AP∥BC∥DE，
∴∠BAP=∠B=60°,∠DAP=∠D=45°
∴∠BAD=∠BAP−∠DAP=15°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠BAC+∠BAD=105°；
②当三角形ADE在线段AC右侧时，如图②，过点A作AQ∥BC，
∵BC∥DE，
∴AQ∥BC∥DE，
∴∠CAQ=∠C=30°，∠DAQ=∠D=45°，
∴∠DAC=∠CAQ+∠DAQ=75°，
综上所述，∠DAC的度数为105°或75°，
故答案为：105°或75°．
5．（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B， D在同一条直
线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为 度
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】15
【分析】根据平行线的性质以及三角板本身的度数即可求解．
【详解】解：∵EF//AD，
∴∠ABC=∠EFB=45°，
∴∠BFD=∠EFB−∠EFD=45°−30°=15°，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角板中角度的计算，熟知平行线的性质以及三角板的度数是解
题的关键．
6．（23-24七年级·山东济南·期末）将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为30的直角三角形的
长直角边与等腰直角三角形的斜边平行，则∠α的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】首先根据题意得出∠A=45°，∠E=60°，∠EDF=90°，DF∥AB，然后由平行线的性质得
∠CDF=∠A=45°，进而得∠EDC=45°，最后再利用三角形的内角和定理可求出∠α的度数．
【详解】解：依题意得：∠A=45°，∠E=60°，∠EDF=90°，DF∥AB，
55
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠CDF=∠A=45°
，
∴∠EDC=∠EDF−∠CDF=90°−45°=45°，
∴∠α=180°−∠E−∠EDC=180°−60°−45°=75°．
故答案为：75°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两
直线平行同位角相等，三角形的内角和等于180°．
7．（23-24七年级·山东临沂·期末）如图，MN∥PQ．将两块直角三角尺（一块含30°，一块含45°）按
如下方式进行摆放，恰好满足∠MAE=∠CBQ．
(1)若∠NAC=16°，求∠CBQ的度数；
(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)29°
(2)AB∥DE，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
（1）先求得∠NAB=63°，再根据两直线平行、同旁内角互补求得∠ABQ即可求解；
（2）先根据平行线的性质∠MAB=∠ABQ，进而得到∠EAB=∠ABC=90°，则
∠EAB+∠AED=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠NAC=16°，∠BAC=45°，
∴∠NAB=45°+16°=61°．
∵MN∥PQ，
∴∠ABQ=180°−∠NAB=180°−61°=119°，
∴∠CBQ=∠ABQ−∠ABC=119°−90°=29°；
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（2）解：AB∥DE．
理由：∵MN∥PQ，
∴∠MAB=∠ABQ．
∵∠MAE=∠CBQ，
∴∠MAB−∠MAE=∠ABQ−∠CBQ，即∠EAB=∠ABC=90°．
∵∠AED=90°，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴AB∥DE．
8．（23-24七年级·浙江台州·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺画两条平行线．
(1)如图1，小颖用两个含30°的三角尺画出平行线a，b．那么小颖得到a∥b的直接依据是______．
(2)同桌小亮用一个含45°的三角尺和两个含30°的三角尺按如图2方式摆放，并画出平行线a，b．
请帮助小亮完成下面的证明：
由题意得∠ABC＝90°，∠1＝30°，∠2＝60°，过点B作BD∥a，
又∵∠2＝60°（已知），∴______＝∠2＝60°（______）．
∵∠ABC＝90°（已知），∴∠CBD＝______°．
又∵∠1＝30°（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴______∥______（内错角相等，两直线平行）．
∵BD∥a，∴a∥b（______）．
【答案】(1)同位角相等，两直线平行
(2)∠ABD；两直线平行，内错角相等；30；BD ∥ b；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直
线也互相平行
【分析】（1）由图形即可得到答案；
（2）过点B作BD∥a，再证明BD ∥ b，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1所示，
57
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∵∠CAB＝∠CDE＝30°，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：同位角相等，两直线平行
（2）过点B作BD∥a，
又∵∠2＝60°（已知），
∴∠ABD＝∠2＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABC＝90°（已知），
∴∠CBD＝30°．
又∵∠1＝30°（已知），
∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴BD ∥ b（内错角相等，两直线平行），
∵BD∥a，
∴a∥b（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：∠ABD；两直线平行，内错角相等；30；BD ∥ b；如果两条直线都与第三条直线平行，那么
这两条直线也互相平行
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
9．（23-24七年级·湖北襄阳·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一
起，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后OD绕点O按顺时针方向以10°/秒的速度转动．（设OD边
再次与OA边重合时停止，转动时间为t秒）
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司(1)如图（1），若∠BOD=50°，则t=______秒，∠AOC=______．
(2)如图（2），在转动过程中“AB//OD”与“OB//CD”会不会同时成立？请说明理由．
(3)将三角尺COD的OD边与OA边重合，OA绕点O按顺时针方向以m°/秒的速度与OD同时转动，在30
秒后这两块三角尺的斜边互相平行，求m的值．
【答案】(1)4；140°
(2)不会，理由见解析
(3)4.5或10.5
【分析】（1）先求出∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−50°=40°，再根据旋转时间=旋转角度÷旋转速
度即可求出t，然后根据∠AOC=∠COD+∠AOD求解；
（2）在如图2−a中，当AB//OD时，证明∠D≠∠BOD，说明OB与CD不平行；在如图2−b中，当
AB//OD时，证明∠D+∠BOD=45°+150°=195°≠180°，说明OB与CD不平行，即可得出结论；
（3）分两种情况：当m≤10时，当m>10时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵∠BOD=50°，
∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−50°=40°
∴t=40°÷10°=4(秒)，
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+50°=140°；
（2）解：在转动过程中“AB//OD”与“OB//CD”不会同时成立，
理由：如图2−a中，
当AB//OD时，∠BOD=∠B=30°
又∵ ∠D=45°，
59
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠D≠∠BOD
∴OB与CD不平行；
如图2−b中，
当AB//OD时，∠BOD=180°−∠B=150°
又∵ ∠D=45°，
∴∠D+∠BOD=45°+150°=195°≠180°
∴OB与CD不平行；
综上，在转动过程中“AB//OD”与“OB//CD”不会同时成立；
（3）解：由图可知：∠BAC=60°−45°，
当m≤10时，如图，延长A′O交C′D′于E，
由题意，得∠AOD′=360°−30×10°=60°，
∵A′B′∥C′D′，
∴∠C′EO=∠A′=60°，
∵∠C′EO=∠D′+∠D′OE，∠D′=45°，
∴∠D′OE=15°，
∴∠AOE=∠AOD′−∠D′OE=45°，
∴∠AOA′=180°−∠AOE=135°，即30m°=135°，
解得：m=4.5；
当m>10时，如图，
同理：∠AOA′=45°，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴30m°=360°−45°=315°，
解得：m=10.5；
综上，在30秒后这两块三角尺的斜边互相平行，m的值为4.5或10.5．
【点睛】本题平行线的判定和性质，角的计算．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
10．（23-24七年级·四川遂宁·阶段练习）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线
PQ，MN上）的一个动点．
(1)若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（∠A=30°，∠C=90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的
交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数；
(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连
∠GEN
接EG，且有∠CEG=∠CEM，求 的值．
∠BDF
【答案】(1)∠ACB=∠1+∠2，理由见解析
(2)60°
(3)2
【分析】（1）过C作CD∥PQ，则PQ∥CD∥MN，依据平行线的性质，即可得出∠ACB=∠1+∠2；
（2）根据（1）中的结论可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，再根据对顶角相等即可得出结论；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，得到∠GEN=180°−2x，再根据（1）中的结论可得
∠CDP=90°−∠CEM=90°−x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF=90°−x，据此可得结论．
【详解】（1）解：∠ACB=∠1+∠2，理由如下：
如图所示，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2，
61
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠ACB=∠1+∠2；
（2）解：∵∠MEC=∠AEN，∠AEN=∠A，
∴∠MEC=∠A=30°，
由（1）可知：∠C=∠PDC+∠MEC，
又∵∠C=90°，
∴∠PDC=∠C−∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°−2x=2(90°−x)，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°−∠CEM=90°−x，
∴∠BDF=90°−x，
∠GEN 2(90°−x)
∴ = =2．
∠BDF 90°−x
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，解决问题的关键是作辅助线构
造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解．
11．（23-24七年级·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DA
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．
方法运用：
如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的
直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数．
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【答案】∠1=30°．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点G做AB的平行线HI，则AB∥HI∥CD，由平行线
的性质得到∠1=∠EGI，∠CFG=∠FGI，进而得到∠1+∠CFG=90°，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点G做AB的平行线HI
∵AB∥HI，
∴∠1=∠EGI，
∵CD∥AB，
∴CD∥HI，
∴∠CFG=∠FGI，
∵∠EGI+∠FGI=90°，
∴∠1+∠CFG=90°．
∵∠CFG=60°．
∴∠1=30°．
12．（23-24七年级·全国·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，
其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
63
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存
在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①150°；②45°；
(2)∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；
(3)存在，30°,45°,120°,135°,165°．
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，
再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理；
（3）分五种情况进行讨论：当CB ∥ AD时，当EB ∥ AC时，当CE ∥ AD时，当EB ∥ CD时，
当BE ∥ AD时，分别求得∠ACE的度数．
【详解】（1）解：①∵∠ECB=90°，∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°−30°=60°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+60°=150°，
故答案为：150°；
②∵∠ACB=135°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=135°−90°=45°，
∴∠DCE=90°−45°=45°，
故答案为：45°；
（2）解：∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°；
即∠ACB+∠DCE=180°；
（3）解：存在，30°、45°、120°、135°、165°．
理由：当CB ∥ AD时，如图1所示：
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠DCB=∠D=30°
，
∴∠ACE=∠DCB=30°；
当EB ∥ AC时，如图2所示：
∴∠ACE=∠E=45°
；
当CE ∥ AD时，如图3所示：
∴∠DCE=∠D=30°
，
∴∠ACE=90°+30°=120°；
当EB ∥ CD时，如图4所示：
∴∠DCE=∠E=45°
，
65
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠ACE=90°+45°=135°；
当BE ∥ AD时，延长AC交BE于F，如图5所示：
∴∠CFB=∠A=60°
，
∵∠ECF+∠E+∠CFE=180°，∠CFB +∠CFE =180°，
∴∠ECF=15°，
∴∠ACE=180°−∠ECF=180°−15°=165°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，几何图形中的角度计算，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握
平行线的性质，数形结合是解题的关键．
13．（23-24七年级·四川成都·期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中
∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋
转，记旋转角∠CAE＝α(0°＜α＜180°)．
(1)当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值．
【答案】（1）15，作图见解析；（2）在旋转过程中，∠CAD与∠BAE之间的关系为
|∠CAD−∠BAE)=45°或∠CAD+∠BAE=45°；（3）所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司27秒或30秒．
【分析】（1）先根据平行线的性质可求出∠CAD=∠ACB=30°，再根据角的和差即可得出α的度数，
然后画图即可；
（2）分0°<α≤45°、45°<α≤90°和90°<α<180°三种情况，分别画出图形，根据角的和差即可得出结
论；
（3）分AD//BC,DE//AB,DE//BC,DE//AC,AE//BC五种情况，分别利用平行线的性质、角
的和差求出旋转角α的度数，从而可求出时间t的值．
【详解】（1）若AD//BC
则∠CAD=∠ACB=30°
∴α=∠CAE=∠DAE−∠CAD=45°−30°=15°
故答案为：15；
画图结果如下所示：
（2）依题意，分以下三种情况：
如图①，当0°<α≤45°时
α+∠CAD=45°,α+∠BAE=90°
则∠BAE−∠CAD=45°
如图②，当45°<α≤90°时
α−∠CAD=45°,α+∠BAE=90°
则∠CAD+∠BAE=45°
如图③，当90°<α<180°时
α−∠CAD=45°,α−∠BAE=90°
则∠CAD−∠BAE=45°
综上，在旋转过程中，∠CAD与∠BAE之间的关系为|∠CAD−∠BAE)=45°或∠CAD+∠BAE=45°；
67
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司（3）依题意，分以下五种情况：
①当AD//BC时
由（1）知，α=15°
α
则t= =3（秒）
5
②当DE//AB时，此时，AD与AC重合
α
则α=45°，t= =9（秒）
5
③当DE//BC时，此时，AD⊥BC
α
则α=90°−∠ACB+∠DAE=90°−30°+45°=105°，t= =21（秒）
5
④当DE//AC时，此时，AD与AB重合
α
则α=90°+∠DAE=90°+45°=135°，t= =27（秒）
5
⑤当AE//BC时
则∠BAE=∠ABC=60°，α=90°+∠BAE=90°+60°=150°
α
t= =30（秒）
5
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
【点睛】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（2），正确分三种情
况讨论是解题关键．
14．（23-24七年级·四川资阳·期末）将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C
按顺时针方向旋转，其中∠A=45°，∠D=30°，设旋转角为α，(0°”“ <”或“=”）．
(2)如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．
①当NO∥EF∥PM时，求α的度数．
②小安将三角尺PMN保持EF∥PM并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的代数式表
示）．
【答案】(1)=
1 1
(2)①60°；②30°+ α或60°− α
2 2
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，交MN于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可．
（2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．
②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解
题的关键．
【详解】（1）解：如答图1，过点P作PQ∥AB，交MN于点Q，
则∠PNB=∠NPQ.
答图1
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD=∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN.
故答案为：=.
（2）解：①∵NO∥EF∥PM，
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司∴∠ONM=∠NMP=60°.
又∵∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．
∴∠ANO=∠ONM=60°.
又∵AB∥CD，
∴∠NOM=∠ANO=60°.
又∵NO∥EF，
∴α=∠NOM=60°.
②当点N在点G的右侧时．
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α.
又∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+α.
又∵NO平分∠MNG，
1 1
∴∠ANO= ∠ANM=30°+ α.
2 2
又∵AB∥CD，
1
∴∠MON=∠ANO=30°+ α；
2
当点N在点G的左侧时，如答图2.
答图2
∵PM∥EF，∠EHD=α，
∴∠PMD=α，
∴∠NMD=60°+α.
又∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON.
又∵NO平分∠MNG，
71
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司1 1
∴∠BNO= [180°−(60°+α)]=60°− α，
2 2
1
∴∠MON=60°− α.
2
1 1
综上所述，∠MON的度数为30°+ α或60°− α.
2 2
72
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
学科网（北京）股份有限公司
