文档内容
专题15.2 分式（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·吉林长春·八年级期中）在 ， ， ， 这四个代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·山西太原·八年级统考期末）要将 化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公
因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河北邢台·八年级校考期中）在对分式 约分时，公因式可以是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）要使分式 的值扩大4倍， 的取值可以如何变化
（ ）
A． 的值不变， 的值扩大4倍 B． 的值不变， 的值扩大4倍
C． 的值都扩大2倍 D． 的值都扩大4倍
5．（2022上·河北邢台·八年级统考期中）在化简
……①
……②
其中步骤①、②的运算依据分别属于（ ）
A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分
6．（2021下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）如果 ，那么m为（ ）
A．y2 B．﹣xy2 C．﹣axy2 D．axy27．（2023·河北廊坊·校考三模）若分式 ，则（ ）
A． B．
C． D．不存在 ，使得
8．（2022上·湖南娄底·八年级统考期末）根据分式的基本性质填空： ，括号内应
填（ ）
A． B． C． D．
9．（2021下·山西晋中·八年级统考期末）若A，B为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）
A． （E为整式） B． （E为整式）
C． D．
10．（2023下·山西长治·八年级统考阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2
小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天
她打字用的时间是（ ）分钟
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023下·河南南阳·八年级统考阶段练习）请写出一个有意义的条件是 的分式 ．
12．（2023下·浙江·七年级专题练习）填空： ，横线上应填
13．（2023上·八年级课时练习）当 ， 满足 时， ．
14．（2022下·七年级单元测试）已知 ，则 ．
15．（2022·广东中山·统考一模）实数m满足 ，且 ，那么 ．16．（2021下·山西太原·八年级山西实验中学校考期末）今年5月1日，历时8年修复的太原古县城
正式开城迎客．统计结果显示，太原古县城第一时段 天内共接待游客 万人次，第二时段 天内共接待
游客 万人次，则这两个时段内平均每天接待游客 万人次．
17．（2021上·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）代数式 的最
大值是 ．
18．（2022上·广东广州·八年级广州市天河中学校考期末）已知 ， 是平面直角坐标系中
的两点，规定 ．若 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·上海·七年级假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为
最简分式．
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）将下列各分式通分：
（1） 与 ； （2） 与 ．
21．（10分）（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试）已知 ．
（1）求c的值（用含a，b的代数式表示）．
（2）若 ，求k的值．22．（10分）（2023上·全国·八年级课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当 取哪些整
数时，分式 的值是整数？
小芳的解答如下：当 ，即 ，3，5时，分式 的值是整数．
小芳的解答对吗？如果不对，请改正．
23．（10分）（2022·安徽合肥·校考模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______________________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：______________________________（用含n的等式表示），并证明．
24．（12分）（2023下·江苏常州·八年级统考期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，
从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途
径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分
式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法
为分离常数法．
示例：将分式 分离常数．（1）示例中， ______；
（2）参考示例方法，将分式 分离常数；
（3）探究函数 的性质：
①x的取值范围是______，y的取值范围是______；
②当x变化时，y的变化规律是______；
③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数 图像上所有“整
数点”的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
解：A． 是分式，故此选项符合题意；
B． 是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
C． 是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
D． 是整式，不是分式，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查分式的定义：一般地，如果 、 表示两个整式，且 中含有字母，那么式子 就
叫做分式，其中 称为分子， 称为分母．能熟记分式的定义是解题的关键，判断一个代数式是分式的关
键是看分母中含有字母．
2．B
【分析】公因式：取分子、分母的系数的最大公约数及相同字母（或因式）的低次幂作为公因式的因
式，即可求解．
解： 与 的公因式为 ，故选：B．
【点拨】本题考查了分式约分中公因式的求法，掌握求法是解题的关键．
3．B
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解： ，
所以公因式是 ，
故选：B
【点拨】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分子及分母的公因式．
4．D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解：A． 的值不变， 的值扩大4倍，
∴原式 ，
∴分式 的值扩大了16倍，不符合题意；
B． 的值不变， 的值扩大4倍
∴原式 ，
∴分式 的值缩小为原来的 ，不符合题意；
C． 的值都扩大2倍
∴原式 ，
∴分式 的值扩大了2倍，不符合题意；
D． 的值都扩大4倍
∴原式 ，
∴分式 的值扩大了4倍，符合题意；故选：D．
【点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质．
5．C
【分析】根据分式的化简方法，公式法，因式分解法即可求解．
解： 这是提公因式； 这是用完全平方公式分解因式，
最后一步是分式的约分化简，
故选： ．
【点拨】本题主要考查分式的化简，掌握分式化简中提取公因式法，公式法，约分等知识是解题的关
键．
6．C
【分析】直接利用分式的性质，分式的分子与分母同乘以（﹣ax），进而得出答案．
解：
＝
＝ ．，
故m＝﹣axy2．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了分式的性质，正确掌握分式的基本性质是解题关键．
7．D
【分析】根据题意可得 ，此方程组无解．
解：根据题意可得：
，
解得： ，
故无解，故选：D．
【点拨】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是
解题的关键．
8．B
【分析】把分式的分母与分子同时除以（x+1）即可得出结论．
解：∵分式的分母与分子同时除以（x+1）得， ，
∴括号内应填x-1．
故选：B．
【点拨】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，
分式的值不变是解答此题的关键．
9．C
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
解：A、 有可能等于0，则此项不一定成立，不符合题意；
B、 可能为0，则此项不一定成立，不符合题意；
C、不论 取何值， ，则此项成立，符合题意；
D、 有可能等于0，则此项不一定成立，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
10．B
【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可．
解：由题意，得：第二天她打字用的时间是： （分钟）；
故选B
【点拨】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键．
11． （答案不唯一）
【分析】根据分式有意义的条件 ，得出 ，将 作为分母即可．
解：要使分式有意义的条件 ，
，可用 其中 均可作为分母，
取一个简单的分式： ．
故答案： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，掌握有意义的条件是解题的关键．
12．1
【分析】根据分式的基本性质，约分处理．
解：
故答案为：1．
【点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
13．
【分析】根据分式的基本性质，即可求解．
解：当 ， 满足 时， ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
14．
【分析】等式两边都乘以 ，变形得 ，然后把t的系数系数化为1即可．
解：等式两边都乘以
得
∴
∴
∵
∴ ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了等式的性质，以及分式的知识，根据等式的性质变形是解答本题的关键．
15．
【分析】由题意易得 且 ，进而分类讨论求解即可．
解：∵实数m满足 ，且 ，
∴ 且 ，
当 时，则有： ，
当 时，则有： ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查分式的值，解题的关键是得到m的范围及分类讨论思想．
16．
【分析】根据平均数的定义，列出分式，即可．
解：由题意得：（m+3m）÷（a+b）= ，
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查根据题意列分式，掌握平均数的定义和分式的概念，是解题的关键．
17．2021
【分析】将分母凑成2个完全平方式，再根据完全平方的非负性和分式的性质即可求得最大值
解：
故答案为：
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，分式的性质，掌握完全平方公式是解题的关键．
18．6
【分析】先根据新定义得到 ，再根据完全平方公式得到 ，据此即可得到答案．解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为；6．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值，新定义，正确得到
是解题的关键．
19．（1）不是最简分式，化简见分析；（2）不是最简分式，化简见分析
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解.
（1）解： ；
则 不是最简分式；
（2）解： ．
则 不是最简分式．
【点拨】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、
分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行
约分．
20．（1） ， ；（2） ，
【分析】（1）根据已知分式得到最简公分母是 ，而后根据分式的基本性质把两个分式化成分母
是 的分式；（2）根据已知分式得到最简公分母是 ，而后根据分式的基本性质把两个分式化成分母是
的分式，注意分子分母结果去掉括号，化成多项式的形式．
解：（1） 与 ，
最简公分母是 ，
∴ ， ．
（2） 与 ，
最简公分母为 ，
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查了通分，解决问题的关键是熟练掌握确定最简公分母，分式的基本性质．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）由 ，得 ，然后求出 即可；
（2）把 代入 化简求值即可．
（1）解：由 ，得 ，
，
．
（2）解：把 代入，得．
【点拨】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，准确计算．
22．小芳的解答不对．改正见分析
【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而 的值是 ， ， ，故可以求出 的
值．
解：小芳的解答不对，
若使分式 值是一个整数，则 一定是4的约数，4的约数有 ， ， 共6个，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ，
即 ， ，0，2，3，5时，分式 的值是整数．
【点拨】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根．
23．（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第 个等式为： ，通过对等式的左边的运算
即可证明．
（1）解：第5个等式为： ，
故答案为： ；
（2）猜想：第 个等式为： ，
证明：等式左边右边，
故猜想成立．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
24．（1）1；（2） ；（3）① ， ；②当 时，y随x的增大而减小；当 时，
y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为 、 、 、
【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①
根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求
解；③抓住“当y为整数时， 为整数”，即可求解．
（1）解：
故
（2）解： ．
（3）解：①由（2）得：
，
故： ， ．
②当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而减小．
③当y为整数时， 为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0．
∴所有“整数点”的坐标为 、 、 、 ．
【点拨】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关
性质．从题目中提炼信息是解题的关键．
