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第7章 相交线与平行线单元提升卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24七年级·山东菏泽·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD+∠BOC=260°，
则∠AOC的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质和邻补角的性质，根据对顶角相等求出∠AOD=∠BOC的度数，根据
∠AOD+∠BOC=180°，求出∠AOC=130°，再由邻补角的性质求出∠AOC的度数即可，掌握对顶
角相等，邻补角之和等于180°是解题的关键．
【详解】解：∵∠AOD=∠BOC，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=∠BOC=130°，
∵∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠AOC=50°，
故选：B．
2．（3分）（2024·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B． C．
1
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学科网（北京）股份有限公司D．
【答案】C
【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一
条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题．
【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；
C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；
D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）（23-24七年级·江苏镇江·期末）如图所示，下列说法错误的是( )
A．∠A与∠1是同位角
B．∠3与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠A与∠C是同旁内角
【答案】B
【详解】分析：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，可得答案．
【解答】解：A、∠A与∠1是同位角，故A正确；
B、∠1与∠3是同旁内角，故B错误；
C、∠2与∠3是内错角，故C正确；
D、∠3与∠B是同旁内角，故D正确；
故选B．
点睛：本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据定义解题是解题关键．
4．（3分）（23-24七年级·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠4=∠5；
2
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学科网（北京）股份有限公司④∠2+∠4=180°中，能判断直线c∥d的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定
理是解题的关键
【详解】解：∵∠1=∠3，∴根据内错角相等两直线平行可得c∥d，故①符合题意；
∠2=∠3不能证得c∥d，故②不符合题意；
∵∠4=∠5，∴根据同位角相等两直线平行可得c∥d，故③符合题意；
∵∠2+∠4=180°，∴根据同旁内角互补两直线平行可得c∥d，故④符合题意；
故选：C
5．（3分）（23-24七年级·云南曲靖·期末）如图，已知AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点
Q，E，QF平分∠EQG，FG⊥FQ交AB于G，若∠MEC=54°，则∠GFE的度数为（ ）
A．144° B．117° C．126° D．63°
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的定义、与角平分线有关的计算、平行线的性质，由平行线的性质得出
1
∠MQA=∠MEC=54°，由角平分线的定义得出∠GQF= ∠MQA=27°，再由平行线的性质得出
2
∠EFQ=∠GQF=27°，由垂线的定义得出∠GFQ=90°，即可得解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠MQA=∠MEC=54°，
∵QF平分∠EQG，
1
∴∠GQF= ∠MQA=27°，
2
3
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学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，
∴∠EFQ=∠GQF=27°，
∵FG⊥FQ，
∴∠GFQ=90°，
∴∠GFE=∠GFQ+∠EFQ=117°，
故选：B．
6．（3分）（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图所示，下列说法不正确的是( )
A．线段BD是点B到AD的垂线段 B．线段AD是点D到BC的垂线段
C．点C到AB的垂线段是线段AC D．点B到AC的垂线段是线段AB
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离的意义对各个选项一一判断即可得出答案．
【详解】解：A、线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确；
B、线段AD是点A到BC的垂线段，故B错误；
C、点C到AB的垂线段是线段AC，故C正确；
D、点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的意义是解题关键．
7．（3分）（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，点E、F为长方形ABCD边AD、AB上的一点，连接
EB，FC，EB与DF、CF分别交于点P和点M，四边形AEPF的面积为S ，△DEN的面积为S ，
1 2
△BFM的面积为S ，图中阴影部分的面积是（ ）
3
A．S +S +S B．S +S −S C．S +S D．S +S +2S
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3
4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积
公式证明S +S =S 是解题的关键．
△ABE △ECD △CDF
【详解】解：由题意得，CD=AB，AD⊥CD，AB∥CD，
1
∴S = CD⋅AD，
△CDF 2
1 1
∵S = AE⋅AB，S = DE⋅CD，
△ABE 2 △ECD 2
1 1 1
∴S +S = AE⋅AB+ DE⋅CD= AD⋅CD，
△ABE △ECD 2 2 2
∴S +S =S ，
△ABE △ECD △CDF
∴S +S +S +S +S =S +S +S ，
四边形AEPF △PFM △BFM △EDN △CDN 阴影 △CDN △PFM
∴S +S +S =S
四边形AEPF △BFM △EDN 阴影
∴S=S +S +S ．
1 2 3
故选：A．
8．（3分）（23-24七年级·黑龙江双鸭山·期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点
F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG=118°，则
∠FPG的度数为（ ）
A．54° B．55° C．56° D．57°
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质得到∠FEH=∠EFB，∠EHG=∠HGC，然后由折叠的性质得到
∠PFE=∠BFE，∠HGC=∠PGH，然后根据∠FEH+∠EHG=118°得到
∠BFE+∠PFE+∠HGC+∠PGH=236°，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AD∥BC
∴∠FEH=∠EFB，∠EHG=∠HGC
∵沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，
∴∠PFE=∠BFE，∠HGC=∠PGH
5
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学科网（北京）股份有限公司∴∠FEH=∠PFE，∠EHG=∠PGH
∵∠FEH+∠EHG=118°
∴∠BFE+∠PFE+∠HGC+∠PGH=236°
∴∠PFG+∠PGF=360°−236°=124°
∴∠FPG=180°−(∠PFG+∠PGF)=56°．
故选：C．
9．（3分）（23-24七年级·山西大同·阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、
CD．∠BAF=100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1
度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为
（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒 B．10秒 C．40秒 D．4或40秒
【答案】D
【分析】分情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两
直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后
根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF
与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
6
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学科网（北京）股份有限公司∴∠ACD=180°−60°−(6t)°=120°−(6t)°，∠BAC=100°−t°，
要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°−(6t)°=100°−t°，
解得t=4；
此时(180°−60°)÷6=20，
∴0<t<20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°−(6t)°−60°=300°−(6t)°，∠BAC=100°−t°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°−(6t)°=100°−t°，
解得t=40，
此时(360°−60°)÷6=50，
∴20<t<50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∴∠DCF=(6t)°−(180°−60°+180°)=(6t)°−300°，∠BAC=t°−100°，
要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°−300°=t°−100°，
解得t=40，
此时t>50，
7
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学科网（北京）股份有限公司而40<50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况
讨论．
10．（3分）（23-24七年级·安徽铜陵·期末）如图，AB∥CD 、PG平分∠EPF,∠A+∠AHP=180°，
下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④
∠BEP−∠DFP
∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则 =2，
∠GPH
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内
错角相等．
由∠A+∠AHP=180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质
以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP=180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
8
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学科网（北京）股份有限公司∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP=∠HPG+∠PHG，∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠GPH=∠HPG，∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP−∠FDG
=∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH−∠FDG
=∠A+∠FPG+∠PHG−∠EPG
=∠A+∠PHG，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠PHG=180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP−∠FPG=180°，故④正确；
∵∠BEP−∠DFP
=∠EPH−∠FPH
=(EPG+∠GPH)−∠FPH
=∠FPG+∠GPH−∠FPH
=∠GPH+∠GPH
=2∠GPH，
∠BEP−∠DFP
∴ =2为定值，故④正确．
∠GPH
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分
∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=30°，则∠EOF= ．
【答案】120°/120度
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直
定义是解题关键．
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=30°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=30°，根据
OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°即可．
【详解】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=30°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°．
故答案为：120°．
12．（3分）（23-24七年级·湖南永州·期末）在同一平面内有2023条直线a ，a ，…，a ，如果a ⊥a ，
1 2 2023 1 2
a ∥a ，a ⊥a ，a ∥a ，……，以此类推，那么a 与a 的位置关系是 ．
2 3 3 4 4 5 1 2023
【答案】a ⊥a （或垂直）
1 2023
【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行
判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可．
【详解】解：∵a ⊥a ，a ∥a ，a ⊥a ，a ∥a ，……，
1 2 2 3 3 4 4 5
∴a ⊥a ，a ⊥a ，a ∥a ，a ∥a ，a ⊥a ，a ⊥a ，a ∥a ，a ∥a ，……，
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9
∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环，
∵(2023−1)=4×505+2，
∴a ⊥a ，
1 2023
故答案为：a ⊥a （或垂直）．
1 2023
【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．
13．（3分）（23-24七年级·安徽安庆·期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比
∠B的3倍少40°，则∠B的度数为 ．
【答案】20°或55°
【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果 一个角的两边分别和另一个角的两边分别
平行，那么 这两个角相等或互补．
根据平行线性质得出∠A+∠B=180°①，∠A=∠B②，再根据∠A=3∠B−40°，分两种情况分别求
出两个角的度数即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，AD∥BE，AC∥BF．
分三种情况：
（1）如图1，∠B与∠A的两边都不相交，
延长EB交AC于G，∵AD∥BE，
∴∠A=∠CGB，
∵AC∥BF，
∴∠FBE=∠CGB，
∴∠A=∠FBE；
（2）如图2，∠B与∠A的一条边相交，
∵AC∥BF，
∴∠A=∠BGD，
∵AD∥BE，
∴∠BGD+∠B=180°，
∴∠A+∠B=180°；
（3）如图3，∠B与∠A的两条边都相交，
∵AC∥BF，
∴∠A=∠BGD，
∵AD∥BE，
∴∠BGD=∠B，
∴∠A=∠B．
综上可得∠A+∠B=180°①或∠A=∠B②，
∵∠A比∠B的3倍少40°，
∴∠A=3∠B−40°③，把③代入①得：3∠B−40°+∠B=180°，
解得∠B=55°，∠A=125°；
把③代入②得：3∠B−40°=∠B，
解得∠B=20°，
11
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：20°或55°．
14．（3分）（23-24七年级·河北邢台·期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直
角三角板ABC，并将边AC延长至点P，第二步将另一块三角板CDE的直角顶点与三角板ABC的直角顶
点C重合，摆放成如图所示，延长DC至点F，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，若∠ACF=30∘，则
∠PCD= ，若重叠所成的∠BCE=n∘(0∘<n<90∘)，则∠PCF的度数 ．
【答案】 30° 180°－n°
【分析】（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【详解】解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°．
故答案为：30°，180°－n°．
【点睛】本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键．
15．（3分）（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）如图，直线AB与CD相交于点E，在∠CEB的平分线上有一
点F，FM∥AB，当∠3=20°时，∠F的度数是 ．
【答案】80°/80度
【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角定义及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键，先利用邻补角求得∠BEC=180°−20°=160°，进而根据角平分线定义得∠2=80°，进而根据平行
12
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学科网（北京）股份有限公司线的性质即可得解．
【详解】解：∵∠3=20°，
∴∠BEC=180°−20°=160°，
∵EF平分∠CEB，
∴∠2=80°，
∵FM∥AB，
∴∠F=∠2=80°，
故答案为：80°．
16．（3分）（23-24七年级·浙江·期中）如图，AC//BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射
线BC上的一个动点，若∠BAE:∠CAE=5:2，则∠CAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）．
4 360°−4α
【答案】120°− α或
3 7
【分析】根据题意可分两种情况，①若点E运动到l 上方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，
1
5
再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再由∠BAE:∠CAE= ，
2
∠BAE=∠BAC+∠CAE，列出等量关系求解即可得出结论；②若点E运动到l 下方，根据平行线的性质
1
由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再由
5
∠BAE:∠CAE= ，∠BAE=∠BAC−∠CAE列出等量关系求解即可得出结论．
2
【详解】解：如图，若点E运动到l 上方，
1
∵AC//BD，
13
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学科网（北京）股份有限公司∴∠CBD=∠ACB=α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2α，
∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−2α，
5
又∵∠BAE:∠CAE= ，
2
5
∴(∠BAC+∠CAE):∠CAE= ，
2
5
(180°−2α+∠CAE):∠CAE= ，
2
180°−2α 4
∠CAE= =120°− α
解得 5 3 ；
−1
2
如图，若点E运动到l 下方，
1
∵AC//BD，
∴∠CBD=∠ACB=α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2α，
∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−2α，
5
又∵∠BAE:∠CAE= ，
2
5
∴(∠BAC−∠CAE):∠CAE= ，
2
5
(180°−2α−∠CAE):∠CAE= ，
2
180°−2α 360°−4α
∠CAE= =
解得 5 7 ．
+1
2
14
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学科网（北京）股份有限公司4 360°−4α
综上∠CAE的度数为120°− α或 ．
3 7
4 360°−4α
故答案为：120°− α或 ．
3 7
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内
角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平
分∠AOE．
(1)求∠DOF的度数．
(2)若∠AOC:∠AOD=1:5，求∠EOF的度数．
【答案】(1)90°
(2)60°
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练
掌握角平分线的定义是解题的关键．
1 1
（1）由角平分线定义得到∠DOE= ∠BOE，∠EOF= ∠AOE，即可得到答案；
2 2
（2）由平角定义得到∠AOC=30°，由对顶角的性质得到∠BOD=∠AOC=30°，由角平分线的定义可
得∠DOE=∠BOD=30°，即可求解．
【详解】（1）解：∵ OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
1 1
∴ ∠DOE= ∠BOE，∠EOF= ∠AOE，
2 2
1
∴ ∠DOE+∠EOF= (∠BOE+∠AOE)=90°，
2
∴ ∠DOF=∠DOE+∠EOF=90°；
（2）解：∵ ∠AOC:∠AOD=1:5，∠AOC+∠AOD=180°，
∴ ∠AOC=30°，
∴ ∠BOD=∠AOC=30°，
∵ OD平分∠BOE，
15
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学科网（北京）股份有限公司∴ ∠DOE=∠BOD=30°，
∴ ∠EOF=∠DOF−∠DOE=90°−30°=60°．
18．（6分）（23-24七年级·全国·课后作业）已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是一个棋子从某一
个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内
同旁内角 内错角
角的位置上例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3有两种不同路径，路径1：
∠1 → ∠9 → ∠3
；
内错角 内错角 同位角 同旁内角
路径2： ∠1 → ∠12 → ∠6 → ∠10 → ∠3.
试一试：（1）写出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的一种路径；
（2）从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置∠8？
内错角 同旁内角
【答案】（1）
∠1 → ∠12 → ∠8
（答案不唯一）；（2）能跳到终点位置∠8.其路径为
同位角 内错角 同旁内角 同位角
（答案不唯一）
∠1 → ∠10 → ∠5 → ∠11 → ∠8
【分析】（1）根据同旁内角、内错角和同位角的定义进行选择路径即可；
（2）先判断能够到达终点位置，在根据定义给出具体路径即可.
内错角 同旁内角
【详解】（1）可以是这样的路径：
∠1 → ∠12 →
∠8.（答案不唯一）
（2）从起始位置∠1依次按同位角内错角同旁内角的顺序跳，能跳到终点位置∠8.其路径为
同位角 内错角 同旁内角 同位角
∠1 → ∠10 → ∠5 → ∠11 → ∠8
（答案不唯一）.
【点睛】本题考查的是同位角、内错角和同旁内角的定义，熟知这些角的特征是解题的关键.
19．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β=90°．
求证：AB∥CD．
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学科网（北京）股份有限公司证明：∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（ ）．
又∵DE平分∠BDC（ ），
∴∠BDC=______（ ）．
∴∠ABD+∠BDC=2∠a+2∠β=2(∠a+∠β)（ ）．
又∵∠a+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=（______）（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】角平分线的定义；已知；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换；同旁内角互补，
两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，
进行作答即可．
【详解】证明：∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠β（角平分线的定义）．
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)（等量代换）．
∵∠α+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
20．（8分）（23-24七年级·云南玉溪·期末）如图，点D，E分别是三角形ABC的边BC，AC上的点，连
接BE，DE，点F是线段BE上一点，∠1=∠C，∠2=∠A．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：DE∥AB；
(2)若AB⊥AC，∠3=30°，求∠DFE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先由∠1=∠C得到DF∥AC，然后等量代换得到∠A=∠DEC，然后根据平行线的判定定理求
解即可；
（2）首先根据垂直的定义得到∠A=90°，然后根据平行线的性质得到∠AED=180°−∠A=90°，然
后求出∠AEF=∠AED−∠3=90°−30°=60°，然后就平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵∠1=∠C
∴DF∥AC
∴∠2=∠DEC
∵∠2=∠A
∴∠A=∠DEC
∴AB∥DE；
（2）解：∵AB⊥AC
∴∠A=90°
∵AB∥DE，
∴∠AED=180°−∠A=90°
∵∠3=30°
∴∠AEF=∠AED−∠3=90°−30°=60°
∵DF∥AC
∴∠DFE=∠AEF=60°．
21．（8分）（23-24七年级·广东广州·期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分
∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
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(2)作射线OE，使∠BOE＝ ∠COE，求∠COE的度数；
3
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH
的度数．
【答案】(1)70°
(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，
2
∠BOE＝ ∠COE，利用角的和差进行计算即可；
3
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使
射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如
图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用
角的和差进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
1
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
2
2
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
3
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
2
∴ ∠COE＋∠COE＝40°，
3
∴∠COE＝24°；
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②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，
3
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
2
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
3
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
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学科网（北京）股份有限公司∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
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学科网（北京）股份有限公司④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
22．（8分）（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，AB∥CD，点O为AB上方一点，E、F为
CD上两点，连接OE、OF，分别交AB于M、N两点，OE⊥OF．
(1)如图1，求证：∠OFD−∠OMN=90°；
(2)如图2，点G为EF上一点，连接MG，作NH⊥MG垂足为H，∠NMH=∠NFG，求证：OM∥NH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接GN并延长GN到点P，连接EP，若∠NGF:∠MGF=3:5，
∠OEP:∠OEG=2:5，求∠P的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)54°
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：
（1）过点O作OQ∥AB，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据同位角相等证明MG∥NF，根据内错角相等证明OM∥NH即可；
（3）作GK∥EP，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可．
【详解】（1）证明：过点O作OQ∥AB，
∴∠QOM=∠OMN，
∵AB∥CD，
∴OQ∥CD，
∴∠QOF=∠OFD，
∴∠OFD−∠OMN=∠QOF−∠QOM=∠EOF，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠OFD−∠OMN=90°；
（2）证明：∵NH⊥MG，
∴∠NHM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠NMH=∠MGE，
∵∠NMH=∠NFG，
∴∠MGE=∠NFG，
∴MG∥NF，
∴∠EMG=∠EOF=90°，
∴∠EMG=∠NHM，
∴OM∥NH；
（3）解：∵∠NGF:∠MGF=3:5，
3
∴∠NGF= ∠MGF，
5
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学科网（北京）股份有限公司∵∠OEP:∠OEG=2:5，
3
∴∠PEG= ∠OEG，
5
∵AB∥CD，
∴∠AMG=∠MGF，∠AME=∠MEG，
∵∠AMG−∠AME=90°，
∴∠MGF−∠OEG=90°，
作GK∥EP，
∴∠P=∠PGK，∠PEG=∠KGF，
3 3 3
∴∠P=∠PGF−∠PEG= ∠MGF− ∠OEG= (∠MGF−∠OEG)=54°．
5 5 5
23．（8分）（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ ∠1=∠2， EG平分∠AEC．
(1)如图①，∠MAE=44°，∠FEG=16°，∠NCE=76°．试判断EF与CD的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，∠MAE=138°，∠FEG=28°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数；
(3)如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．
【答案】(1)EF∥CD，理由见解析
(2)82°
(3)2∠FEG+∠NCE=∠MAE，理由见解析
【分析】（1）根据∠1=∠2推出EF∥AB，进而得出∠AEF=∠MAE=44°，再根据角的和差关系、
角平分线的定义推出∠CEF=∠CEG+∠FEG=76°=∠NCE，可证EF∥CD；
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学科网（北京）股份有限公司（2）仿照（1）求出∠CEF，再根据EF∥AB，AB∥CD推出EF∥CD，根据
∠CEF+∠NCE=180°即可求解；
（3）根据∠1=∠2推出EF∥AB，根据平行线的性质可得
∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°−∠MAE+∠FEG，再根据角平分线的定义可得
∠FEC=180°−∠MAE+2∠FEG，再根据平行线的性质即可得2∠FEG+∠NCE=∠MAE．
【详解】（1）解：EF∥CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ EF∥AB，
∴ ∠AEF=∠MAE=44°，
∴ ∠AEG=∠AEF+∠FEG=44°+16°=60°，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=60°，
∴ ∠CEF=∠CEG+∠FEG=60°+16°=76°，
∴ ∠CEF=∠NCE，
∴ EF∥CD；
（2）解：∵ ∠1=∠2，
∴ EF∥AB，
∵ ∠MAE=138°，
∴ ∠AEF=180°−∠MAE=180°−138°=42°，
∴ ∠AEG=∠AEF+∠FEG=42°+28°=70°，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG=70°，
∴ ∠CEF=∠CEG+∠FEG=70°+28°=98°，
∵ EF∥AB，AB∥CD，
∴ EF∥CD，
∴ ∠CEF+∠NCE=180°，
∴ ∠NCE=180°−∠CEF=180°−98°=82°；
（3）解：当2∠FEG+∠NCE=∠MAE时，AB∥CD，理由如下：
∵ ∠1=∠2，
∴ EF∥AB，
∴ ∠FEA+∠MAE=180°，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ∠FEA=180°−∠MAE，
∴∠AEG=∠FEA+∠FEG=180°−∠MAE+∠FEG，
∵ EG平分∠AEC，
∴ ∠CEG=∠AEG，
∵ ∠FEC=∠CEG+∠FEG，
∴ ∠FEC=180°−∠MAE+∠FEG+∠FEG=180°−∠MAE+2∠FEG，
∵ EF∥AB，
∴当AB∥CD时，EF∥CD，
∴ ∠FEC+∠NCE=180°，
∴ ∠NCE=180°−∠FEC=180°−(180°−∠MAE+2∠FEG)=∠MAE−2∠FEG，
∴ 2∠FEG+∠NCE=∠MAE．
【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系
是解题的关键．
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