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跟踪训练 03 空间直线、平面的平行
一．选择题（共15小题）
1．设 与 分别为圆柱上下底面圆周上的点，且位于该圆柱轴截面 同侧，下底面
圆心 在 上，若 ， ， ，则直线 与 所成角
的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：设圆柱底面半径为 ，高为 ，过 作 ，连接 ， ， ，
，
由题设弧长的数量关系知： 为边长为 的正三角形且 ， 垂直于圆柱底
面，
则 ， ，
在 △ 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ：
，
整理可得 ，
因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）．在 △ 中， ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选： ．
2．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 为
棱 的中点，点 是棱 上的一点，且 ，则直线 与 所成角的余弦值
为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ， ，
得 ，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建
立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ，所以 ， ，
所以 ，
即直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
3．在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则异面直线 与
所成角的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：取 中点 点，连接 ， ， ，作图如下：
因为 为正方体，所以易知 ，
在 中，因为 ， ，分别为 ， 的中点，所以 ，
所以 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角，
设正方体棱长为2，易知 ， ， ，
所以 为等边三角形，所以 ，
故选： ．
4．下列命题正确的是
（1）已知平面 和直线 ， ，若 ， ，则 ；
（2）已知平面 ， 和直线 ， ，且 ， 为异面直线， ， ．若直线 满
足 ， ， ， ，则 与 相交，且交线平行于 ；
（3）已知平面 ， 和直线 ， ，若 ， ， ， ，则 ；
（4）在三棱锥 中， ， ， ，垂足都为 ，则 在底面
上的射影是三角形 的垂心
A．（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
【解答】解：对于（1）：在正方体 中， 平面 ，
又 平面 ，显然 与 异面，故（1）错误；
对于（2）：假设 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 （矛盾），
故 与 相交，记交线为 ．
过直线 上点 作 ，记 ， 所在平面为 ，
因为 ， ， ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，因为 ， ， ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，
又 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，（2）正确；
对于（3）：由面面平行判定定理可知（3）错误；
对于（4）：作 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，即点 在 的 边的高上．
同理，点 在 的 边和 边的高上，
所以点 为 高的交点，即 为 的垂心，（4）正确．
故选： ．
5．如图，在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， 的中点，则
异面直线 ， 所成角的余弦值为A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ， ，设 ，连接 ．
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标
系，
则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ， ， ，所
以 ， ，
所以 ， ，
故异面直线 ， 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
6．在正方体 中，点 在 上运动（包括端点），则 与 所成角
的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：设 与 所成角为 ．
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ．
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ， ，0， ，
， ，0， ， ，
设 ，
则 ， ．
， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
此时 ， ，
当且仅当 时等号成立．．
故选： ．
7．在直三棱柱 中， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为侧棱与底面垂直，
所以以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
易得 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，3， ，
所以 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ， ．
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．故选： ．
8．如图，在直三棱柱 中， ， ，则直线 与直线
夹角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ，因为 ，所以 ，
分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
故直线 与直线 所成角的余弦值为 ．故选： ．
9．在正方体 中，异面直线 ， 所成角的大小为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 为异面直线 与 所成角的平面角，
因为△ 为正三角形，
所以 ，
即异面直线 ， 所成角的大小为 ．
故选： ．
10．如图，在正四棱台 中， ， 分别为上、下底面中心， ， 分别
为 ， 的中点，则下列结论中错误的是
A． 是直角梯形 B． 是直角梯形
C．直线 与直线 异面 D．直线 与直线 异面
【解答】解：由棱台的定义可知可将正四棱台 补全为如图所示正四棱锥，
因为 ， 分别为上、下底面中心，所以 、 、 三点共线，
且 底面 ， 底面 ， 底面 ， 底面 ，
所以 ， ，
又 ，且 ，所以 是直角梯形，故 正确；
因为 ， 分别为 ， 的中点， 与△ 均为等腰三角形，且 ，
，
所以 ， ，
又 ， ，所以 是直角梯形，故 正确；
因为 ， ，所以直线 与直线 异面，故 正确；
由 ，所以直线 与直线 相交于点 ，故 错误．
故选： ．
11．在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点，
，则 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．【解答】解：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，1， ，
，0， ， ，1， ，
设 与 所成角为 ，
则 ，
与 所成角的余弦值为 ．
故选： ．
12．已知正三棱柱 的所有棱长均相等，点 为 的中点，则异面直线
与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：取 中点 点，连接 ，根据题意作图如下：因为 ， 分别是 和 的中点，所以 ，且 ，
故四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 即为 与 所成的角，
设正三棱柱 的棱长为2，
易 知 ， ， ，
，
在△ 中，根据余弦定理得 ．
故选： ．
13．四棱柱 中，侧棱 底面 ， ，底面 中满
足 ， ， ， 为 上的动点， 为四棱锥 外
接球的球心，则直线 与 所成角的正弦值的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为在四棱柱 中，侧棱 底面 ，所以四棱柱 为直四棱柱，所以 ， ，
因为 ，所以 ， ， 两两垂直，
所以以 为原点，以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
因为 ， ， ，
所以 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ，
球心 在平面 的投影坐标为 ，则设球心 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
设 ，0， ， ， ，则 ，0， ， ，
所以 ，
设 ， 则
所以当 ，即 时， 有最大值 ，
此时直线 与 所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为 ．
故选： ．14 ． 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 中 ， ，
，则直线 与直线 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解答】解：在平行六面体 中， ， ，
，
则 ， ，
又 ， ，
则 ，
又 ，
即 ，又 ，
则 ．
故选： ．
15．若 ， 表示两条不重合的直线， ， ， 表示三个不重合的平面，下列命题正确
的是
A．若 ， ，且 ，则
B．若 ， 相交且都在 ， 外， ， ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【解答】解： ， 表示两条不重合的直线， ， ， 表示三个不重合的平面，
对于 ，若 ， ，且 ，则 与 相交或平行，故 错误；
对于 ，若 ， 相交且都在 ， 外， ， ， ， ，
设 ， 确定一个平面 ，则 ， ， ，故 正确；
对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 错误．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．如图，在三棱柱 中，已知点 ， 分别在 ， 上，且 经过△
的重心，点 ， 分别是 ， 的中点，且 、 、 、 四点共面，则下列
结论正确的是A． B． 平面
C． D．平面 平面
【解答】解：对于 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，平
面 平面 ，
所以 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ， ，
所以 ，所以 正确；
对于 ，由选项 可知 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 正确；
对于 ，因为 ， ，
所以 ，
因为 经过△ 的重心，
所以 ，
因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 正确；
对于 ，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以四边形 为梯形，且 与 为腰，
所以 与 必相交，
因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 与平面 相交，所以 错误．
故选： ．
17．在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中
点， 为正方体表面上的一个动点，下列说法正确的是 ．
A． 平面
B．平面 截正方体所得的截面面积为
C．满足 平行于平面 的点 的轨迹总长度为D．异面直线 与 所成角的正弦值为
【解答】解：连接 ， ， ，
， 分别为 ， 的中点，
，
又 ，
， ， ， ， 四点共面，
连接 ， ， ， ，
，
，
与 不垂直，
与平面 不垂直，故 错误；
平面 截正方体所得的截面 ，为等腰梯形，
，梯形的高为 ，
截面 面积为 ，故 正确；取 的中点 ，则 ，
又 ，
， ， ， ， 四点共面，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理， 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
平面 平面 ，
由题意知，满足 平行于平面 的点 的轨迹为等腰梯形 ，
，
则点 的轨迹总长度为 ，故 正确；
，
为异面直线 与 所成的角，，
由余弦定理得， ，
则 ，
即异面直线 与 所成角的正弦值为 ，故 正确．
故选： ．
18．在正方体 中，点 、 、 分别为棱 、 、 的中点，下
列命题中正确的是
A．
B． 平面
C． 平面
D．异面直线 、 所成角的大小为
【解答】解：如图，．连接 ，则 ，而 ，则 ，故 正确；
． ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 正确；
． ， ， ， 平面 ，故 正确；
． ， 为异面直线 、 所成角，连接 ，可得△ 为等边
三角形，则 ，
即异面直线 、 所成角的大小为 ，故 错误．
故选： ．
19．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ，侧面 为正三
角形，且平面 平面 ，则下列说法正确的是
A．在棱 上存在点 ，使 平面
B．异面直线 与 所成的角的余弦值为
C．直线 与平面 所成的角为D． 平面
【解答】解：对于 ，取 中点 ，连接 ， ， ，
四边形 为菱形， ， 为等边三角形，
又 为 中点， ； 为等边三角形， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
棱 上存在点 ， 为 中点，使得 平面 ， 正确；
对于 ， ， 直线 与 所成角即为 ；
由 知：若 为 中点，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平
面 ，又 平面 ， ，
设 ，则 ， ，
又 ， ，
即直线 与 所成角的余弦值为 ， 正确；
对于 ，由 知：若 为 中点，则 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 即为直线 与平面 所成角，
又 ， ， ，
即直线 与平面 所成角为 ， 正确；
对于 ，取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ， ，
假设 平面 ， 平面 ， ；
由 知： 平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，又平面 平面 ， 假设错误， 错误．
故选： ．20．已知 ， ， 是不同的平面， ， ， 是不同的直线，则下列命题正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则 ， ， 两两平行
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【解答】解；对于 中，若 ， ，则 或相交或异面，所以 不正确；
对于 中，若 ， ， ，则 ， ， 两两平行或相交于一点，
所以 不正确；
对于 中，如图所示，设 ， ，
在平面 取一点 ，过点 分别作 ， ，
因为 ， ， 且 ，所以 ，同理可证 ，
又因为 ，即 ， ，所以 ， ，因为 且 ， 平面 ，所以 ，所以 正确；
对于 中，由 ， ， ，根据面面平行的性质，可得 ，所以
正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知直三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， ， 分别是 和 的中
点，那么异面直线 和 所成角的余弦值等于 ．
【解答】解：直三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， ， 分别是 和
的中点，
连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，所以异面直线 和 所成角就是 ，
设棱长为2，可得 ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．22．在如图所示的直四棱柱 中， ， ，点 在侧面
内（含边界）运动，若点 到直线 与直线 的距离相等，则直线 与直线
所成角的正弦值的最大值为 ．
【解答】解：由题意，设 于 ， 于 ， 于 ，如图连接，
由题意 ， ，即 ，
以 为坐标原点，在平面 上建立如图所示的平面直角坐标系，
由 ，可得 的轨迹方程为 ，即双曲线 在正方形中的部分，
由双曲线 的一条渐近线为 ，即对角线 ，
故当 在 上时， 取最大值，此时 最大， ，
，
，又 ，故直线 与直线 所成角为 ，
即直线 与直线 所成角的正弦值的最大值为 ．
故答案为： ．
23．三棱锥 中， ， ， 两两垂直且相等，点 ， 分别在线段 和
上移动，且满足 ，则 和 所成角余弦值的取值范围是
．
【解答】解：由直线 ， ， 两两垂直且相等，分别以 ， ， 为 ， ，轴建立空间直角坐标系．
如图所示，不妨取 ．则 ，2， ， ，0， ．
设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
则 ， ， ， ， ， ， ，
解得 ， ． ， ， ．
设 ，0， ， ，则 ，
又 ， ．
设 ，则 ，
所以 ，
由 ，则 ， ，则 ，
当 ， 时， ， 同时达到最小值，此时 取得最小值
，
所以 有最大值 ，即此时 ，2， ， ，0， ．当 ， 时， ， 同时达到最大值，此时 取得最大值
，
所以 有最小值 ，即此时 ，1， ， ，0， ．
综上可得， 和 所成角余弦值的取值范围是 ．
故答案为： ．
24．在如图直四棱柱 中，底面 为菱形， ，
，点 为棱 的中点，若 为菱形 内一点（不包含边界），满足
平面 ，设直线 与直线 所成角为 ，则 的最小值为 ．
【解答】解：分别取 、 中点 、 ，连结 、 、 ，
点 为棱 的中点， ， ，， ， 平面 平面 ，
为菱形 内一点（不包含边界），满足 平面 ，
点 的运动轨迹是线段 ，（不含端点 和 ，
， 直线 与直线 所成角就是 与 所成角，
平面 ， 当 与 中点 重合时， 取最小值，
此时， ， ，
的最小值为：
．
的最小值为 ．
故答案为： ．
25．已知体积为6的四面体 满足 ， ， ，则异面直线 与 所成的角的大小为 或 ．
【解答】解：如图过点 作 且 ，连接 ， ，
所以 为异面直线 与 所成的角或其补角，
由题可知 是正方形，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
过 作 于 ，由 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为四面体 体积为6，
则四棱锥 的体积为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 或 ，
当 时， 为等边三角形， ，
在 中， ， ，
当 时， ， ，
在 中， ， ，
所以异面直线 与 所成的角的大小为 或 ．故答案为： 或 ．
四．解答题（共3小题）
26．如图所示，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 为正三角形，
为线段 上一点， 为 的中点．
（1）当 为 的中点时，求证： 平面 ．
（2）当 平面 ，求出点 的位置，说明理由．
【解答】证明：（1）在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 为正
三角形，
取 中点为 ，连接 ， ，
在 中， 为 的中点， 为 中点，
，
在平行四边形 中， 为 的中点，
，
， ，
四边形 为平行四边形，
， 面 ， 面 ，
平面 ；解：（2）连接 ， ，相交于 ，连接 ，
面 ，面 面 ， 面 ，
，
即存在点 ， 为 上靠近 点的三等分点．
27．如图，平行六面体 的底面是菱形，且 ，
， ．
（1）用空间的一个基底 表示 ，并求 的长；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【解答】解：（1）由 ， ， ， 构成空间的一个基底．
因为 ，
所 以
，
所以 ．
（2）由 ， ，所以 ，
，
异面直线 与 所成的角为 ，余弦值为0．
28．如图，在圆柱 中， 是底面圆 的直径， 为半圆弧 上一点， 是圆柱的
母线．已知 ，圆柱的体积为 ．
（1）求圆柱 的表面积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
【解答】解：（1）在圆 中，由 ，得 ，
圆柱的底面半径为 ，设圆柱的高为 ，由 ，得 ．
则圆柱 的表面积为 ；
（2）由题意知 ，则异面直线 与 所成角即为 ，
又 ，
在△ 中，又 ， ，
．则异面直线 与 所成角的大小为 ．
