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专题12 数列新定义问题（典型题型归类训练）
1．（2024·甘肃定西·一模）在 个数码 构成的一个排列 中，
若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与
构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为 ，
例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ，求 的通项公式；
(3)设排列 满足
，求 ，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列 中的逆序个数， 从而得解；
（2）利用逆序数的定义得到 ，从而利用构造法推得 是等比数列，从而
得解；
（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到 ，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）在排列 中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以 .（2）由（1）中的方法，同理可得 ，
又 ，所以 ，
设 ，得 ，
所以 ，解得 ，则 ，
因为 ，
所以数列 是首项为1，公比为5的等比数列，
所以 ，则 .
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，
则称 为“等比源数列”．
(1)已知数列 为4，3，1，2，数列 为1，2，6，24，分别判断 , 是否为“等
比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列 的通项公式为 ，判断 是否为“等比源数列”，并说明理由；
【答案】(1) 是“等比源数列”， 不是“等比源数列”，理由见解析
(2) 不是“等比源数列”，理由见解析【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，
（2）假设是“等比源数列”得 ，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛
盾，即可求解.
【详解】（1） 是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以 是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以 不是“等比源数列”．
（2） 不是“等比源数列”．
假设 是“等比源数列”，因为 是单调递增数列，
即 中存在的 ， ， 三项成等比数列，
也就是 ，即 ，
，两边时除以 得 ，
等式左边 为偶数，
等式右边 为奇数．
所以数列 中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得 不是“等比源数列”．
3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列 中，若存在常数 ，使得
（ ）恒成立，则称数列 为“ 数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“ 数列”；
(2)若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，请说明理由；(3)若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，满足
求数列 的通项公式和 的值．
【答案】(1)是
(2)不是，理由见解析
(3) ，
【分析】（1）根据 数列的定义判断
（2）根据已知条件求出 即可判断；
（3）根据数列 为“ 数列”，化 为 ，
进而求得 ，作差有 ，根
据已知条件化为 ，解得 ，由此求出 ，即可求出数列
的通项公式.
【详解】（1）由题意可得 ， ， ， ，
所以1，2，3，7，43是“ 数列”；
（2）数列 不是“ 数列”，理由如下：
（ ），则 （ ），
又 （ ），
所以 （ ），
因为 不是常数，所以数列 不是“ 数列”．（3）因为数列 为“ 数列”，由 （ ），
有 （ ）①，
所以 （ ）②，
两式作差得 （ ），
又因为数列 为“ 数列”，所以 （ ），
设数列 的公比为 ，所以 （ ），
即 对 成立，
则 ，
又 ， ，得 ，
所以 ， ．
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列 ，称 为 的差数列（或一
阶差数列），称数列 的差数列为 的二阶差数列，若 .
(1)设 的二阶差数列为 ，求 的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设 ，求 的前n项和为
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助定义计算即可得；
（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】（1） ，则 ；
（2） ，
则 .
5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对 恒成立，则称数
列 为“上凸数列”．
(1)若 ，判断 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明
理由．
(2)若 为“上凸数列”，则当 时， ．
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 （ 为常数且 ），若
恒成立，求 的最小值．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）构造函数 ，利用导数研究其单调性结合
“上凸数列”定义判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令 ，利用条件及
数列求和适当放缩计算即可.
【详解】（1） 是“上凸数列”，理由如下：因为 ，
令 ，
则 ．
当 时， ，
所以 ，
所以 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为 是“上凸数列”，由题意可得对任意 ，
，
所以 ，
所以 ．
（ⅱ）解：令 ，
由（1）可得当 时， 是“上凸数列”，
由题意可知，当 时， ．
因为 ，
即．
所以
，
当且仅当 时等号成立，
所以 ．
综上所述， 的最小值为 ．
6．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列 ，我们定义：数列 为数列
的“ 比分数列”.已知数列 满足 ，且 的“ 比分数列”与
的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若 是公比为2的等比数列，求数列 的前 项和 ；
(2)若 是公差为2的等差数列，求 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前 项和即可.
（2）利用累乘法求通项公式即可.【详解】（1）由题意知 ，
因为 ，且 是公比为2的等比数列，所以 ，
因为 ，所以数列 首项为1，公比为4的等比数列，
所以 ；
（2）因为 ，且 是公差为2的等差数列，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则
称这个数列为“ 型数列”．
(1)若数列 满足 ，判断 是否为“ 型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列 为“ 型数列”， ，数列 满足 ， ， 是
等比数列，公比为正整数，且不是“ 型数列”，求数列 的通项公式．
【答案】(1)不是“ 型数列”，理由见解析；
(2)
【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；
（2）利用 为“ 型数列”和 是等比数列，且不是“ 型数列”可求得 的公比为 ，即可求出数列 的通项公式为 .
【详解】（1）易知当 时，可得 ，即 ；
而当 时， ，可得 ；
此时 ，不满足“ 型数列”定义，
猜想：数列 不是“ 型数列”，
证明如下：
由 可得，当 时， ，
两式相减可得 ，可得 ，
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为 ，因此 不是“ 型数列”；
（2）设数列 的公比为 ，易知 ，
又因为数列 不是“ 型数列”，可得
可得 ，即得 ；
又数列 为“ 型数列”，可得 ；
易知“ 型数列”为递增数列，因此当 趋近于正无穷大时， 趋近于 ，即可得
；
综上可得 ，即 ，可得 ；
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列；即可得 ，可得 ；
所以数列 的通项公式为 .
8．（2015高二·全国·竞赛）设数列 满足：① ；②所有项 ；③
.设集合 ，将集合 中的元素的最大值
记为 .换句话说， 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值.我们称数
列 为数列 的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设 ，求数列 的伴随数列 的前 之和；
(3)若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列 的前 项
和 .
【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3
(2)50
(3)
【分析】（1）由数列的新定义直接写出即可；
（2）由数列的新定义结合对数的运算求出即可；
（3）先由 求出 ，再由数列新定义求出 ，再分 为奇数和偶数时分别求出 .
【详解】（1）数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算对）
（2）由 ，得∴ 当 时，
当 时，
当 时，
∴
（3）∵ ∴
当 时，
∴
由 得：
因为使得 成立的 的最大值为 ，
所以
当 时：
当 时：
所以
9．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）若有穷数列 ， 是正整数），满足
， 即 是正整数，且 ，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.
(1)已知数列 是项数为7的对称数列，且 ， ， ， 成等差数列， ， ，
试写出 的每一项；
(2)对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列”，使得
依次是该数列中连续的项；当 时，求其中一个“对称数列”前19项的
和
【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2
(2)答案见解析
【分析】（1）由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；
（2）由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设 的公差为 ，则 ，解得 ，
数列 为2，5，8，11，8，5，2．
（2）若 依次是该数列中连续的项，且是对称数列，
则至少有 项，
从而所有项数不超过 的“对称数列”有：
，
，
，
，
共有4个这样的数列（2个 项的，2个 项的）；
当 时，求数列 的前 项，则
.
10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到
一个以组为单位的序列称为 的一个分群数列， 称为这个分群数列的原数列．如
， ， …， 是 的一个分群
数列，其中第k个括号称为第k群．已知 的通项公式为 ．
(1)若 的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为 ，求数
列 的通项公式；
(2)若 的一个分群数列满足第k群含有k项， 为该分群数列的第k群所有项构成的数
集，设 ，求集合M中所有元素的和．
【答案】(1)
(2)54
【分析】
（1）由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.
（2）根据该数列第k群含有k项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M中的所有元
素，求和即可.
【详解】（1）由题意知该分群数列第k群的中间一项为 ．
因为 ，所以 ，即 ．
（2）由题意知该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列前7群为 ， ，， ， ， ，
．
又 ， ，所以 ．当 时， ，当 时， 或9，
当 时， 或5或4，当 时， 或2，所以 ，
故集合M中所有元素的各为 ．
