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专题12 对角互补模型（全等三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、正方形半角模型............................................................................................................1
2、等腰直角三角形半角模型............................................................................................2
3、等边三角形半角模型（60°-30°型）...........................................................................2
4、等边三角形半角模型（120°-60°型）.........................................................................2
5、半角模型（
-
型）.................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................5
对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。解决此类
问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构
造手拉手全等。常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、60°-120°对角互补模型、2α-（180°-
2α）对角互补模型。
1、“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝
OC，③
.
专题目录
模型解读
常见类型讲解
证明示例：
（证法一）如图（中），过点C 作CM⊥OA 于点M，CN⊥OB 于点N.
∵OC 平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在正方形MONC 中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋
∠DCN＝90º，
又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN，
∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；
∵四边形MONC 为正方形，∴OM＝ON＝
OC，
又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝
OC，∴结论②成立；
∴
，∴结论③成立.
（证法二）如图（后），过点C 作CF⊥OC 交OB 于点F，
∵OC 平分∠AOB，∴∠DOC＝∠EOC＝45°，∴△COF 是等腰直角三角形，
∴CO＝CF，∠CFO＝∠COD＝45°，
又∵∠DCO＋∠OCE＝∠ECF＋∠OCE＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，∴△COD≌△CFE，
∴OD＝EF，CD＝CE，∴结论①成立；
∵∴△COF 是等腰直角三角形，∴OF＝
OC；
又∵OD＋OE＝EF＋OE＝OF，∴OD＋OE＝
OC，∴结论②成立；
，∴结论③成立.
2、“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝
OC，③
.
证明示例：
如图，过点C 作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG 为正方形，
∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，
∴CD＝CE，结论①成立；
在正方形CFOG 中，OF＝OG＝
OC，
∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝
OC＝
OC，结
论②成立；
3、等边三角形对120°模型
如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③
.
证明示例：
如图，过点C 作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG 中，∠FCG＝60º，
∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA），
∴CD＝CE，结论①成立；
在Rt△COF 和Rt△COG 中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝
OC，
又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝
OC＝OC，结论②成
立；
，结论③成立.
4、2α 对180°-2α 模型
如图，已知∠AOB＝
，∠DCE＝
，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos
，③
.
5、蝴蝶型对角互补模型
如图，AP=BP，∠AOB=∠APB
结论：OP 平分∠AOB 的外角。
（2021·安徽安庆·中考真题）如图，点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB
互补，若∠MPN 在绕点P 旋转的过程中，其两边分别与OA、OB 相交于M、N 两点，则以下结论：
(1)PM=PN 恒成立；(2)OM+ON 的值不变；(3)四边形PMON 的面积不变；(4)MN 的长不变。其中正
确的个数为（）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
真题演练
【详解】解：∵点
在
的角平分线上，
∴
，
如图所示，过点
作
于点
，作
于点
，
∴
，
，
，
∴在四边形
中，
，
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，故①正确；
由①正确可得，
，
∴
，故②正确；
由
可得
，
∴
，
∴四边形
的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接
，由上述结论可得，
，
，
，
，
∴
，即
的长度发生变化，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3 个，
故选：C ．
已知
，
，
是过点
的直线，过点
作
于点
，连接
．
巩固练习
(1)问题发现：如图(1)，过点
作
，与
交于点
，
、
、
之间的数量关系是什
么？并给予证明．
(2)拓展探究：当
绕点
旋转到如图(2)位置时，
、
、
之间满足怎样的数量关系？请写
出你的猜想，并给予证明．
【答案】(1)
；证明见解析
(2)
；证明见解析
【详解】（1）解：如图1，过点
作
交
于点
，
，
，
，
，
在四边形
中，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴
；
（2）
；
理由：如图
，过点
作
交
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴
；
