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淘宝：学思创想
专题17 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我
们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模
型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的
这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）..................................................................................................2
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................................................................7
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）......................................................................................13
..................................................................................................................................................18
淘宝：学思创想
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特
征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。
等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足
（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式：
（选填题非常适用）
证明：以AP 为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC 和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC ，∴∠BAP=∠P’AC ，∴
（SAS ），∴BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵
，∴
，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
注意：多线段共端点常考旋转。
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例1．（23-24 八年级下·广东深圳·期中）如图，点P 是等边三角形
内的一点，且
，
，
，则
的度数为
．
【答案】150
【分析】将
绕点B 逆时针旋转
后得到的
．首先证明
，推出
，
，所以
为等边三角形，得
，可得
，
，
，
，即可得到
为直角三角形，则
，所以
；由
此即可解决问题．
【详解】解：如图，将
绕点B 逆时针旋转
后得到的
．
∴
，∴
，
，
∴
为等边三角形，∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
为直角三角形，
∴
，∴
；故答案为：150．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股
定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点
是等边三角形
内一点，
，
，
，则
与
的面积之和为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
绕点B 顺时针旋转
得
，连接
，得到
是等边三角形，再利用勾股定理
的逆定理可得
，从而求解．
【详解】解：将
绕点
顺时针旋转
得
，连接
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵
，
，
，
，
与
的面积之和为
．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
与
的面积之和转化为
，是解题的关键．
例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，
，
都是等边三角形，将
绕点C 旋转，使得点
A，D，E 在同一直线上，连接
．若
，
，则
的长是 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是
解题的关键．根据题意证明
，即可求解．
【详解】解：
，
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
．故答案为：．
例4．（2024·安徽·一模）如图，P 是等边三角形
内的一点，且
，
，
，以
为边
在
外作
，连接
，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，
PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断
B；根据△BPQ 是等边三角形，△PCQ 是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，
可得∠QPC≠30°，即可判断C．
【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A 正确，不符合题意；
PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，所以B 正确，不符合题意；
∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ 是等边三角形，∴∠BPQ=60°，
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∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D 正确，不符合题意；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，
∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C 不正确，符合题意．故选：C．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决
本题的关键是综合应用以上知识．
例5．（24-25 九年级上·广东广州·开学考试）如图，
是正
内一点，
，
，
，将
线段BO 以点
为旋转中心逆时针旋转
得到线段
，下列结论，①
可以由
绕点
逆时
针旋转
得到；②点
与
的距离为5；③
；④四边形
面积
；⑤
，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤
B．①③④
C．①③④⑤
D．①③⑤
【答案】C
【分析】根据正三角形性质，得
，
；根据旋转的性质，得
，
，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明
，即可判断①；根据勾股定理逆
定理，得
，结合等边三角形
，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性
质，可计算得
，从而判断④；
绕点A 逆时针旋转
得到
，根据等腰三角形、勾股定理
及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．
【详解】解：连接
，如下图：∵正
∴
，
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∵线段
以点B 为旋转中心逆时针旋转
得到线段
，
∴
，
∴
为等边三角形∴
，即②错误；
∵
，
∴
和
中
∴
∴
，
可以由
绕点B 逆时针旋转
得到，即①正确；
∵
，
∴
∴
∵
为等边三角形∴
∴
，即③正确；
∵
∴
过点B 做
，交
于点N
∵
为等边三角形∴
∴
∴
∴
∴四边形
面积
，即④正确；
∵正
∴
绕点A 逆时针旋转
得到
，如下图：
∵
，
，
，
∴
为等边三角形∴
过点A 做
，交
于点G，如下图：∵
为等边三角形∴
∴
∴
∴
∵
，
，
∴
∴
∴
∴
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∴
，即⑤正确；故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋
转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC 内有一点P，满足
，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
证明：以AP 为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC 和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，
，∠AP’P=45°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC ，∴∠PAB=∠P’AC ，∴
（SAS ），∴BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵
，∴
，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
例1．（23-24 九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角
，
点P 在
内，
，
，
则PB 的长为（ ）
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A．
B．
C．5
D．5
【答案】A
【分析】先利用等腰直角
，
得到
，再证明
，接着把
绕点C
顺时针旋转
得到
，连接
，根据旋转的性质得到
，则可判
断
为等腰直角三角形，从而
，然后计算
，从而利用勾
股定理计算出AE 即可．
【详解】解∶∵等腰直角
，
∴
，
∵
，∴
，
如下图，把
绕点C 顺时针旋转
得到
，连接
，
∴
，∴
为等腰直角三角形，
∴
，∴
，
∴
，故选∶A．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离
相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是解
题的关键．
例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形
外取一点E，连接
，
，
，过点
作
的垂线交
于点P，若
，
则下列结论：①
；②
；
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③点C 到直线
的距离为
；④
其中结论正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点
作
的延长线于点
，利用勾股定理求出
，
，再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到
，进而得到正
方形面积，即可判断④．
【详解】解：
四边形
为正方形，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故②正确；
过点
作
的延长线于点
，如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误；
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，
，
，
，
，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方
形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．
例3．（2023 年湖北省武汉市中考一模）如图，
中，
，
，
．点P 为
内一点，且满足
．当
的长度最小时，则
的面积是 ．
【答案】
【分析】取
中点O，连接
，
，由
即可得到
，再由
，
可得当点P 在线段
上时，
有最小值，然后利用直角三角形的性质可得
，
即可推出
，则
是等边三角形，求得
的面积，根据
可得
．
【详解】解：如图，取
的中点O，连接
，
，
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∵
，∴
，∴点P 在以
为直径的圆上运动，
在
中，
，∴当点P 在线段
上时，
有最小值，
∵点O 是
的中点，
，∴
，
∴
，∴
，∴
是等边三角形，
∴
，∵
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直
角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题．
例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形
内有一点P，
，
，
，求
的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是
将
绕点B 逆时针旋转
，得到了
（如图2），然后连结P P
'．
【解决问题】请你通过计算求出图2 中
的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形
内有一点P，且
，
，
．
（1）
的度数为 ；（2）直接写出正六边形
的边长为 ．
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【答案】（1）
；（2）
；
．
【分析】解决问题：由旋转的性质可得
，
，
，
，
然后证明
得到
，则
；
（1）仿照【分析】中的思路，将
绕点B 逆时针旋转
，得到了
，连接P P
'．如图所示，根
据旋转的性质可得：
，从而得出
为等腰三角形，
，，由
，得到
，可以求得
，
由勾股定理的逆定理就可以求出
，从而得出结论；
（2）延长
，作
于点G，在
中，
，就可以得出
，
，，则
，在
中，根据勾股定理得
．
【详解】解决问题：由旋转的性质可得
，
，
，
，
∴
，
，∵
，
，
，
∴
，∴
，∴
；
（1）仿照【分析】中的思路，将
绕点B 逆时针旋转
，得到了
，连接P P
'．如图5，
∴
，∴
，∴
为等腰三角形，
∵
，∴
，作
于G，∴
．
∵
，∴
，∴
∴
，
在
中，∵
，
，
，∴
，
，
，
∴
∴
是直角三角形，∴
．
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∴
．故答案为：
（2）延长
，作
于点G，如图6，
在
中，
，∴
，
∴
，
，∴
，
在
中，根据勾股定理得
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30 度
角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P 在等边三角形ABC 外，若
，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P 在等腰直角三角形ABC 外，若
，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非
常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
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模型1）证明：以AP 为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC 和三角形ADP 都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴
（SAS），∴BP=CD；
∵
，∴
，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP 为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC 和三角形APD 都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，
，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴
（SAS），∴BP=CD；
∵
，∴
，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1．（2024 九年级上·重庆·专题练习）如图，
是等边三角形
外一点，
，
，
，求
的度数．
【答案】
【分析】由等边三角形的性质可知，
，
；将
绕点
顺时针旋转
得
，
连
，首先证明
为等边三角形，可确定
，由勾股定理的逆定理可证明
为直角三
角形，且
，然后计算
的度数即可．
【详解】解：∵
为等边三角形，∴
，
，
可将
绕点
顺时针旋转
得
，连
，如下图，
淘宝：学思创想
∴
，
，
，
，∴
为等边三角形，∴
，
在
中，
，
，
，∴
，∴
为直角三角形，且
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知
识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键．
例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P 为等边三角形
外一点，连接
，
，若
，
，
，则
的长是 ．
【答案】
【分析】把
绕点B 顺时针旋转
，连接
，
，可证
是等边三角形，利用
证明
，得出
，在
中，利用勾股定理求出
，即可求解．
【详解】解：把
绕点B 顺时针旋转
，连接
，
，如图所示：
淘宝：学思创想
则
，
，∴
是等边三角形，∴
，
，
∵
是等边三角形，∴
，
，∴
，
∴
，∴
，∵
，∴
，
又
，
，∴
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全
等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
例3．（23-24 八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD 中，AD=5，CD=3，
∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，
淘宝：学思创想
在△BAD 与△CAD′中，
，∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=
，∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
，故选D．
例4．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图
1，在四边形
中，
，
，
，
，
，求CD的长．”经过小
组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将
绕点B 逆时针旋转60°到
，连接DE．则
是等边三角形，所以
，导角可得
，所以
．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在
中，
，
．D 为
外一点，且
，
，求
的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在
中，
，
，
于D，M 为AD上一点，连
接BM，N 为BM上一点，若
，
，
，连接
，请直接写出线段
的长______．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）3
【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是
本题解题的关键．（1）题意补全图形即可；（2）将
绕点A 逆时针旋转得到
，连接
，作
于F，根据含30 度的直角三角形的性质及勾股定理求得
，推出
，据此求
解即可；
淘宝：学思创想
（3）延长
构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出
，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：（1）补全图形，如图，
；
（2）将
绕点A 逆时针旋转得到
，连接
，作
于F，
由旋转的性质知
，
，
，
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，
，
由勾股定理得，
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
；
（3）延长
交
于
，延长
到
，使
，连接
，如图，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过
作
于
，过
作
于
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
，
，
，
，
，∴
．故答案为：3．
1．（2024 九年级·重庆·期中）如图，在等边
内有一点
，使得
，那
么以
，
，
的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ．
【答案】5：3：4
【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关
键．将
绕点B 顺时针旋转
得到
，连结
，可证得
是等边三角形，从而得到
，
，所以
就是以
，
，
的长度为边长的三角形，进一步求出
的内角度数，即得答案．
【详解】将
绕点B 顺时针旋转
得到
，连结
，
则
，
，
，
是等边三角形，
淘宝：学思创想
，
，
就是以
，
，
的长度为边长的三角形，
，
，
，
，
，
，
，
以
，
，
的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为
．故答案为：
．
2．（23-24 九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条
件相对集中，以达到解决问题的目的．
【发现问题】如图①，在等边三角形
内部有一点
，
，
，
，求
的度数．
解：如图①，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，
．
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，即
．请你补充完整解答过程．
淘宝：学思创想
【应用问题】如图②，在正方形
内有一点
，若
，
，
，则
．
【拓展问题】如图③，在正方形
中，对角线
，
相交于点
，在直线
上方（包括直线
）有一点
，
，
，连接
，则线段
的最大值为 ．
【答案】发现问题：
，应用问题：
，拓展问题：
【分析】发现问题∶由
可判定
，由全等三角形的性质得
，
，
由勾股定理的逆定理得
是直角三角形，即可求解；
应用问题：将
逆时针旋转
，连接
、
，由勾股定理得
，同理可证
是
直角三角形，即可求解；拓展问题：将
顺时针旋转
得
，连接
、
，同理可证
，由全等三角形的性质得
，
即可求解．
【详解】发现问题∶证明：补充如下：如图，
在
和
中
，
(
)，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
；
应用问题：解：如图，将
逆时针旋转
，连接
、
，
，
，
，
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
在
和
中
，
(
)，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
；故答案：
；
拓展问题：解：如图，将
顺时针旋转
得
，连接
、
，
，
，
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
在
和
中
，
(
)，
，
，
，
，
的最大值为
，故答案：
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定及
性质，正方形的性质等，能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键．
3．（23-24 九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形
ABC 内有一点P，且
，
，
，求
的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造
，连接
，得到两个特殊的三角形，
从而将问题解决．
(1)请你计算图1 中
的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形
内有一点
，且
，
，
，求
的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将△APB 逆时针旋转60°得到△AP′C，根据旋转的性质可知△ABP≌△ACP′，求证△APP′为等
边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠APB=150°；
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（2）将△APB 绕点A 顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知
是等腰直角三角形，求证∠APP′=45°，
用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．
【详解】（1）（1）如图2，把
绕点A 逆时针旋转60°得到
，
由旋转的性质，
，
，
，
，
∴
是等边三角形，∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
；∴
；
（2）如图3，把
绕点
逆时针旋转90°得到
，
由旋转的性质，
，
，
，
∴
是等腰直角三角形，∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等
三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.
4．（23-24 九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在
中，
，
，点
在
内部，点
在
外部，满足
，且
．求证：
．
（2）已知如图2，在等边
内有一点
，满足
，
，
，求
的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）150°
【分析】（1）先证∠ABD =∠CBE，根据SAS 可证△ABD≌△CBE；
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（2）把线段PC 以点C 为中心顺时针旋转60°到线段CQ 处，连结AQ．根据旋转性质得△PCQ 是等边三角
形，根据等边三角形性质证△BCP≌△ACQ（SAS），得BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC，根据勾股定理逆定
理可得∠AQP=90°，进一步推出∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°.
【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥BE
∴∠ABC=∠DBE=90°即∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE∴∠ABD =∠CBE．
又∵AB=CB，BD=BE∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）如图，把线段PC 以点C 为中心顺时针旋转60°到线段CQ 处，连结AQ．
由旋转知识可得：∠PCQ =60°，CP=CQ=3，∴△PCQ 是等边三角形，∴CP=CQ=PQ=3．
又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°=∠PCQ，BC=AC，
∴∠BCP+∠PCA=∠PCA+∠ACQ，即∠BCP=∠ACQ．
在△BCP 与△ACQ 中
∴△BCP≌△ACQ （SAS）∴BP=AQ=4，∠BPC=∠AQC．
又∵PA=5，∴
．∴∠AQP=90°
又∵△PCQ 是等边三角形，∴∠PQC=60°∴∠BPC=∠AQC=∠AQP+∠PQC=90°+60°=150°∴∠BPC=150°．
【点睛】考核知识点：等边三角形，全等三角形，旋转，勾股定理.根据旋转性质和全等三角形判定和性质
求出边和角的关系是关键.
5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形
是正方形，点
为平面内一点，
(1)若点
在正方形内，如图1，
，求
的度数；
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(2)若点
在正方形外，如果
，如图2，且
，求
的长．（用
表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题
的关键是掌握旋转的性质．(1) 把
绕点A 顺时针旋转 90°得到
， 连接
与
重合，
旋转到
的位置，证
为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定理逆定理求
出证出
，即可得出结果．(2) 把
绕点A 顺时针旋转90°得到
，连接
，
与
重合，
旋转到
的位置，证
为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，结合勾股定
理求出
，即可得出结果．
【详解】（1）解：把
绕点A 顺时针旋转 90°得到
， 连接
与
重合，
旋转到
的位置，如图1，
∴
，∴
为等腰直角三角形，∴
，
，
∵
，∴
，∴
；
（2）解：把
绕点A 顺时针旋转 90°得到
，连接
，
与
重合，
旋转到
的位置，
如图2， ∴
，∴
为等腰直角三角形，
∴
，∴
，
在
中，
，∴
∴
．
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6．（23-24 九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18 页有这样一个题目：已
知，如图一，P 是正方形ABDC 内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB 的长.
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC 绕点A 顺时
针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB
的长为 .
【方法迁移】：已知：如图二，△ABC 为正三角形，P 为△ABC 内部一点，若PC=1，PA=2，PB=
,求
∠APB 的大小.
【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC 中∠ACB=120°，D、E 是底边AB 上两点且∠DCE=60°，
若AD=2，BE=3，求DE 的长.
【答案】（1）6；（2）90°；（3）
【分析】如图一，根据旋转的性质可得△PAP'是等腰直角三角形，求出PP'，然后求出∠PP'B=90°，利用勾
股定理求出PB 即可；[方法迁移]：将△PAC 绕点A 顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，根据旋转的性
质可得△PAP'是等边三角形，利用勾股定理逆定理可证∠PBP'=90°，且∠BPP'=30°，问题得解；
[能力拓展]：将△CAD 绕点C 逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，易证△CDE≌△CD'E，可得
DE=D'E，然后根据旋转的性质求出∠EBD'=60°，AD=BD'=2，过点D'作D'F⊥AB 于F，根据含30°直角三
角形的性质求出BF 和D'F，然后利用勾股定理可求D'E，问题得解.
【详解】解：如图一，将△PAC 绕点A 顺时针旋转90°得到△P'AB，连接PP'，
∴PA= P'A=4，PC= P'B=2，∠PAP'=90°，∠AP'B= ∠APC =135°，∴∠PP'A=45°，
∴PP'
，∠PP'B=135°-45°=90°，∴
；
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[方法迁移]：如图二，将△PAC 绕点A 顺时针旋转60°得到△P'AB，连接PP'，
∴PA= P'A=2，PC= P'B=1，∠PAP'=60°，∴△PAP'是等边三角形，∴PP'= PA= 2，
∵
，即
，∴∠PBP'=90°，∠BPP'=30°，∴∠APB=60°+30°=90°；
[能力拓展]：如图三，将△CAD 绕点C 逆时针旋转120°得到△CBD'，连接ED'，
∴CD=CD'，AD=BD'=2，∠DCD'=120°，∵∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ECD'=60°，
又∵CE=CE，∴△CDE≌△CD'E（SAS），∴DE=D'E，
又∵∠A=∠ABC=
，∴∠A=∠CBD'=30°，∴∠EBD'=60°，
过点D'作D'F⊥AB 于F，∴BF=
，D'F=
，∴EF=2，
∴
，∴
.
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全
等三角形的判定和性质以及勾股定理及其逆定理等，解题的关键是正确运用材料中的方法，通过旋转构造
图形，运用旋转的性质求解.
7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点
是
等边三角形
内一点，
，求
的度数．为利用已知条件，不妨把
绕点
顺时针旋转60°得
，连接
，则
的长为_______；在
中，易证
，且
的度数为_____，综上可得
的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点
是等腰
内的一
点，
．求
的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形
中，
，请直接写出BD的长．
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【答案】（1）2， 30°， 90° ；（2）90°；（3）2
．
【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P 是等边三角形，由等边三角形的性质知
∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P 是直角三角形，继而可得答案．
（2）如图2，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P 是等腰直角三角形和
△AP′P 是直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3，将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACG，连接
DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG 的长，就可以得BD 的长．
【详解】解：（1）把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．
由旋转的性质知△CP′P 是等边三角形；∴P′A=PB=√3、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，
在△AP′P 中，∵AP2+P′A2=12+（√3）
2=4=PP′2；
∴△AP′P 是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=
PC，∴∠AP′P=30°；
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．故答案为2；30°；90°；
（2）如图2，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．
由旋转的性质知△CP′P 是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=√2，PB=AP'=√2，
在△AP′P 中，∵AP'2+P′P2=（√2）
2+（√2）
2=2=AP2；
∴△AP′P 是直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
（3）如图3，∵AB=AC，将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG， ∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
淘宝：学思创想
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A 作AE⊥BC 于E，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，
∴CG=
=
=2
，∴BD=CG=2
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰
三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添
加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
6．（23-24 九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共
端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．
（1）如图1，等腰直角三角形ABC 内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP
三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A 逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝
AP，△CPP'是 三角形，AP，BP，CP 三条线段的数量关系是 ．
（2）如图2，等边三角形ABC 内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究
AP、BP、CP 三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点P 在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝
135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB 的长．
【答案】（1）
，直角，
；（2）
；（3）
．
【分析】（1）由旋转的性质可得：
，
，
，
，
即可利用勾股定理得到
，然后证明
，利用勾股定理得到
即可得到
；（2）将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
，由旋转的性质可得：
，
，
，
，
，则
是等边三角形，可得
，
，然后证明
，可得
，
淘宝：学思创想
则
；（3）将△APD 绕点P 顺时针旋转90 度得到
，连接
，由旋转的性质可得：
，
，
，
，证明
，利用勾股定理求出
，然后证明
，即可得到
．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得：
，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，∴
，
是直角三角形，
∴
，故答案为：
，直角；
（2）如图所示，将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°得到
，连接
，
由旋转的性质可得：
，
，
，
，
，
∴
是等边三角形，∴
，
，
∴
，∴
，∴
；
（3）如图所示，将△APD 绕点P 顺时针旋转90 度得到
，连接
，
由旋转的性质可得：
，
，
，
，
∵PD＝PC，∠CPD＝90°，∴∠PDC=∠PCD=45°，∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
在
和
中
，∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判
定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线利用旋转的性质进行求解．
7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边
内部有一点P，
，
，
，求
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，连接
，则
为等边三角形．
，又
，
，
，
为 三角形，
的度数为 ．
【类比探究】如图2，在
中，
，
，其内部有一点P，若
，
，
，求
的度数．
【联想拓展】如图3，在
中，
，
，其内部有一点P，若
，
，
，求
的度数．
【答案】【尝试解决】直角，
；【类比探究】
；【联想拓展】
【分析】尝试解决：将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，连接
，根据旋转的性质，得到
，
为等边三角形，进而得到
，
，再利用勾股定理的逆定理，证明
为
直角三角形，得到
，即可求出
的度数；
类比探究：将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，连接
，根据旋转的性质，得到
，
为等腰直角三角形，进而得到
，
，再利用勾股定理的逆定理，证明
为
直角三角形，得到
，即可求出
的度数；
联想拓展：如图，以
为直角边构造直角三角形
，使得
，
，先证明
淘宝：学思创想
，得出
，进而证明
，得到
，然后利用特殊角的三角函数值，
分别求出
，
，再利用勾股定理的逆定理，证明
是直角三角形，得到
，
即可求出
的度数．
【详解】尝试解决：解：将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，连接
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
的度数为
，故答案为：直角，
；
类比探究：解：如图，将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，连接
，
由旋转的性质可知，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
；
联想拓展：解：如图，以
为直角边构造直角三角形
，使得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
在
中，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和
性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
8．（23-24 九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边
内有一点
，且
，
，
，
若把
绕着点
逆时针旋转
得到
，连接
，
．
(1)求
的度数；(2)求
的长．(3)求点
划过的路径长；
(4)当
时，如果
是由
旋转所得，求
扫过的区域的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到
是等边三角形，再由
是等边三
角形，利用等边三角形性质，结合三角形全等的判定得到
，进而有
，
，再利用勾股定理的逆定理得到
为直角三角形，且
，即可得到答案；
（2）由旋转的性质，结合等边三角形的判定即可得到
是等边三角形，从而确定
；
（3）根据题意，把
绕着点
逆时针旋转
得到
，点
划过的路径是
，利用弧长公式代值求解
淘宝：学思创想
即可得到答案；（4）由（1）的证明过程，结合旋转性质得到
扫过的区域的面积
，
根据扇形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：把
绕着点
逆时针旋转
得到
，则
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，则
，由勾股定理的
逆定理可知
为直角三角形，且
，
；
（2）解：把
绕着点
逆时针旋转
得到
，则
是等边三角形，
；
（3）解：如图所示：把
绕着点
逆时针旋转
得到
，点
划过的路径是
，
则
长度为
；
（4）解：由（1）的证明过程可知，
，点
划过的路径是
，点
划过的路径是
，如
图所示：由旋转性质可知
，
扫过的区域的面积
．
【点睛】本题考查旋转综合，涉及旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股
定理的逆定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，理解旋转的性质，灵活运用相关几何判定与性质，数形
淘宝：学思创想
结合求解是解决问题的关键．
9．（23-24 九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰
中，
，点
是
内一点，连
接
，且
，设
.
（1）如图1，若
，将
绕点
顺时针旋转
至
，连结
，易证
为等边三
角形，则
，
；（2）如图2，若
，则
，
；
（3）如图3，试猜想
和
之间的数量关系，并给予证明.
【答案】（1）
，
（2）
，
（3）
【分析】（1）将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△DAP 为等边三角形，即可
解决问题；（2）将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△DAP 为等腰直角三角形，
即可解决问题；（3）将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△BPA≌△BPD
（SSS），即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1 中，
由旋转不变性可知：
，
，
，
∵在等腰
中，
，
，
∴
，CP 为三线合一的线
∴
，
∴
在
中，
，
， ∴
为等腰直角三角形
∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴△APD 是等边三角形，∴∠ADP=∠APD=60°，
∵∠CDP=∠CPD=45°，∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，
∴∠APB=360°-105°-105°=150°，∴α=150°，β=105°，故答案为150°，105°．
（2）将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC，连结DP．
由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，∴
为等腰直角三角形∴
，
∵
，
，∴
，
，
∴△ADP 是等腰直角三角形，∴∠APD=90°，∠ADP=45°，
∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，∴∠APB=360°-135°-90°=135°，
∴α=135°，β=90°，故答案为135°，90°．
（3）将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，延长PB 交AD 与S，
由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，
∴
为等腰直角三角形∴
，∵
，∴PA=PD，
∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，∴∠ADC+∠CPS=180°，
∴∠PSD+∠PCD=180°，∴∠PSD=90°，∴PS⊥AD，
∵PA=PD，∴△ADP 是等腰直角三角形，∴SA=SD，
∴△ABP 是等腰直角三角形，∴BA=BD，
∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，∴△BPA≌△BPD（SSS），∴∠APB=∠BPD，
∴
∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，即：
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理，全等三角形的
判定和性质，特殊三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．
10．（23-24 九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边
中，点D 是等边
内一
点，连结
，
，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连结
，观察发现：
与
的数
量关系为 ，
度；
【尝试应用】：如图2，在等腰
中，
，
，点D 是
内一点，连结
，
，
，
，
，
，求
面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰
中，
，
，点D 为平面内一点，且
，
，则
的值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】【问题背景】：
，60；【尝试应用】：
；【拓展创新】：
或
；
【分析】问题背景：
是等边三角形，根据有一个角是
的等腰三角形是等边三角形判断再用等边
三角形的性质即可得出；
尝试应用：如图，将
绕点A 顺时针旋转
得到
，连接
，证明
，推出
，再证明C，D，T 共线，可得结论；
拓展创新：分两种情形：当点D 在的上方时，将线段
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，设
，则
.再求出
，
，可得结论；
当点D 在
的下方时，将线段
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，设
，则
，过点D 作
交
的延长线于点H.再求出
，
，可得结论.
【详解】问题背景：由题意可知，
是等边三角形，
，
；故答案为：
，
；
尝试应用：如图，将
绕点A 顺时针旋转
得到
，连接
.
，
,
共线，
.
拓展创新：①当点D 在
的上方时，将线段
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
，
，
，
设
，则
.
淘宝：学思创想
，
，
，
，
过点B 作
于点H ，则
，
，
，
，
，
.
②当点D 在
的下方时，将线段
绕点A 逆时针旋转
得到
,连接
，设
则
过点D 作
交
的延长线于点H.
同法可证
，
，
，
综上所述，
的值为
或
故答案为：
或
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.
11．（23-24 九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好
，
淘宝：学思创想
，
，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，旋转角设为
，连接
、
，如图1
所示．如图2，小李同学发现，当点
落在边
上时，
；
如图3，小王同学发现，当
每改变一个度数时，
的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在
中，
，
，将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，设转角
设为
，连接
、
．（1）如图2，当点
落在边
上时，求证：
；（2）如图
3，当
时，若
，求
的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰
三角形的顶角改为
，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，
中，
，
，
将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，旋转角
，连接
、
，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）由旋转的性质可得
，
，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可
得
，再根据三角形内角和定理易知
，结合
，即可证
明结论；（2）以
为边向右作等边
，连接
并延长交
于点
，由等边三角形的性质可得
，
，利用“
”证明
，由全等三角形的性质可得
，
，再利用“
”证明
，易得
，进而可得
，
，同理，
平分
；设
，则
，
，在
中，
淘宝：学思创想
利用勾股定理得
，即可获得答案；
（3）以
为边向下作等边
，连接
，
，由旋转得
，
，利用“
”证
明
，易得
，再证明
，可得
，
，进而证明
是等边三角形，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，
∴由旋转的性质可得
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，即
；
（2）解：下图，以
为边向右作等边
，连接
并延长交
于点
，
∴
，
，由旋转可得，
，
，
又∵
，∴
，∴
，
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
，
，
∴
，
，同理，
平分
，
设
，则
，
，在
中，由勾股定理得，
，∴
，∴
；
问题2：解：如下图，以
为边向下作等边
，连接
，
，
则
，
，由旋转得
，
，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
；
∵
，∴
，∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，又∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∵
，
，∴
，又∵
，∴
，
∴
，
，∴
，∴
是等边三角形，
∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、
全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．
12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集
中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形
内部有一点P，
，
，
，求
的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段
，连接
、
，则
，然后利用
和
形状的特殊性求出
的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段．
，连接
、
，
∵
，
，∴
是等边三角形，∴
，
．
∵
是等边三角形，∴
，
，
∴
，即
．
请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形
内有一点P，且
，
，
，则
______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形
中，对角线
、
淘宝：学思创想
交于点O，在直线
上方有一点P，
，
，连接
，则线段
的最大值为______．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的
条件相对集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段
，证明
，再证明
是直角三角形；
（2）将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段
，证明
，再证明
是直角三角形；
（3）将线段
绕点O 顺时针旋转
得到线段
，证明
，在
由三角形三边关系
求出
的最大值，从而求得
的最大值．
【详解】（1）解：将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段
，连接
、
，
∵
，
，∴
是等边三角形，∴
，
．
∵
是等边三角形，∴
，
，∴
，
即
．
在
中，
．
（2）解：将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段
，连接
、
，
∵
，
，∵四边形
是矩形，∴
，
，
∴
，即
．
在
中，
．故答案为：
．
淘宝：学思创想
（3）解：将线段
绕点O 顺时针旋转
得到线段
，连接
、
．
∵
，
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
．
∵四边形
是正方形，∴
，
，
∴
，即
．
在
中，
当点
在
时，
∴
的最大值为
在
中，
∴
．
的最大值为
．
13．（23-24 九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在
中，点D 为BC 边上一点，
连接AD，点P 为线段AD 上一点，连接PB、PC 得到有公共边的两个
和
，求证：
．
淘宝：学思创想
【类比迁移】如图（2），在
中，点D、E、F 分别为线段BC、AC、AB 上的点，线段AD、BE、
CF 交于点P，若
，
，则
．
【拓展迁移】如图（3），在
中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P 为
内部一点，且
，则线段AP＝ ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
．
【分析】（1）过点
作
于
，过点
作
于
，易证得
，
，从而
结论得证；（2）过点
作
与
交于
，连接
，通过
易得平行四边形
，
通过对边平行，可得
，
，所以可得
，通过
进
而求得结论；（3）过点
作
于
，
于
，
于
，通过勾股定理求得
，
已知
，利用此条件可以设参数，表示面积，进而表示各线段的值，在
与
中通过勾股定理建立方程，求得参数的值，最后代回可求得
的值．
【详解】证明：（1）过点
作
于
，过点
作
于
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
由已知得：
，
,
∴
，∴
，即
．
解：（2）过点
作
与
交于
，连接
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，∴
，
∴四边形
为平行四边形，∴
，
，
，
∴
，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，即
，故答案为：
．
（3）过点
作
于
，
于
，
于
，
，
，
，
∵
，∴设
，
，
，
在
中，
，∵
，
，∴
，
∴
，
，
，∴
，
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴四边形
为矩形，
∴
，
，∴
，
，
∴
，∴
，
在
与
中，
,
∴
，解得：
，∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，即
．故答案为：
．
【点睛】本题是与三角形有关的综合问题，通过面积法求得线段的比，利用相似三角形转化线段比例关系，
利用勾股定理建立方程求得参数，是解题的关键．
14．（23-24 九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问
题：如图1，在等边△ABC 中，点P 在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB 的长．经过同学们
的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到
△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC 三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下
面问题：
【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，P 为△ABC 内一点，PA＝5，PC＝2
，
∠BPC＝135°，求PB 的长；
【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC 中，∠ACB＝120°，D、E 是底边AB 上的两点且∠DCE＝60°，若
AD＝2，BE＝3，求DE 的长．
【答案】阅读材料：5；学以致用：3；能力拓展：
【分析】阅读材料：由∠ABC=60°，将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，则
△APD 是等边三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，得出∠ADP=60°，DP=AP=3，∠PDB=90°，由勾
股定理即可得出结果；
学以致用：将△BCP 绕点C 顺时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，由旋转的性质得出∠PCP'=90°，CP′＝
CP＝2
，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，得出△CPP'是等腰直角三角形，由勾股定理可求出答案；
能力拓展：将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得到△CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE 于H．证明
△ECD≌△ECD′（SAS），推出DE=ED′，求出EH，D′H 即可解决问题．
【详解】解：阅读材料：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，
淘宝：学思创想
将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1 所示：
则△APD 是等边三角形，∠APC=∠ADB=150°，PC=DB=4，∴∠ADP=60°，DP=AP=3，∴∠PDB=90°，
∴
，故答案为：5；
学以致用：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，AC=BC，
将△BCP 绕点C 顺时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，
则∠PCP'=90°，CP′＝CP＝2
，AP'=BP，∠AP'C=∠BPC=135°，
∴∠CPP'=∠CP'P=45°，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴
，
∴∠AP'P=∠AP'C-∠CP'P=135°-45°=90°，∴
．
能力拓展：将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得到△CBD′，连接ED′，作D′H⊥BE 于H．
由旋转的性质可知：AD=BD′=2，CD=CD′，∠ACD=∠BCD′，∠A=∠CBD′，
∵∠ACB=120°，∠DCE=60°，∴∠ECD′=∠BCD′+∠ECB=∠ACD+∠BCE=60°，∴∠ECD=∠ECD′，
∵EC=EC，∴△ECD≌△ECD′（SAS），∴DE=ED′，
∵CA=CB，∠ACB=120°，∴∠A=∠CBA=30°，∴∠EBD′=∠ABC+∠CBD′=30°+30=60°，
在Rt△BHD′中，∵BD′=2，∠BHD′=90°，∠BD′H=30°，
∴BH=
BD′=1，D′H=
，EH=3-1=2，∴ED′=
，∴DE=
．
【点睛】此题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC 中，BC＝4，∠BAC＝45°，则
AB 的最大值是 ．（2）如图②，已知在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D 为△ABC 内一点，且
AD＝2
，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB 的度数．
问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝
AC．∠BAC＝120°，点A、B、C 分别是三个任务点，点P 是△ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP＝
淘宝：学思创想
30 米，打卡点P 对任务点A、B 的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P 的距离与
B、P 的距离和尽可能大，试求出AP+BP 的最大值．
【答案】（1）4
（2）135°（3）PA+PB 的最大值为
米
【分析】（1）作△ABC 的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2
，可得结论；
（2）将△ABD 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT，利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可
得结论；（3）将△ABP 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK 交PA 延长线于J，作△PJC 的外接圆
，连接OP，OC，OJ，证明PA+PB =JC，再求出JC 的最大值即可求解．
【详解】（1）如图①，作△ABC 的外接圆
，连接OA，OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC 是等腰直角三角形
∵BC=4∴OB=OC=2
=OA ∵AB≤OA+OB∴AB≤4
∴AB 的最大值为4
故答案为：4
；
（2）如图②，将△ABD 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT
由题意可得DT=
BD=2
，CT=AD=2
∵CD=6∴
∴∠CTD＝90°，
∵△BDT 是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°
淘宝：学思创想
（3）如图③，将△ABP 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK 交PA 延长线于J，作△PJC 的外接圆
，连接OP，OC，OJ ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°
∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK 是等边三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°
∵PC=30∴OP=OC=OJ=
∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤
∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB 的最大值为
米．
【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知三角形外接圆的性质、三角函数的应用、旋转
的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用及三角形的三边关系的应用．
16．（2024 山东校考二模）【操作发现】
如图①，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．
（1）请按要求画图：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°，点B 的对应点为B′，点C 的对应点为C′，
淘宝：学思创想
连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
【问题解决】如图②，在等边三角形ABC 中，AC=
，点P 在△ABC 内，且∠APC=90°，
∠BPC=120°，求△APC 的面积．
小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC 之间数量关系；
想法二：将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC 之间的数量
关系；
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）
【灵活运用】如图③，在四边形ABCD 中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，
AD=kAB（k 为常数），直接写出BD 的长（用含k 的式子表示）．
【答案】【操作发现】（1）作图见解析；（2）45°；【问题解决】S△APC=
；【灵活运用】BD=
．
【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可；【问
题解决】如图②，将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，证明∠PP′C=90°，利用勾股定理
即可得出答案. 【灵活运用】如图③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，将△ABD 绕点A 逆时针旋
转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，只要证明∠GDC=90°，可得CG=
，由此即可解决问
题；
【详解】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；
（2）连接BB′，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°，
∴AB=AB′，∠B′AB=90°，∴∠AB′B=45°，故答案为45°；
【问题解决】如图②，
淘宝：学思创想
∵将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，
∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°
90°
120°=150°
﹣
﹣
，
∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，
∴PP′=
PC，即AP=
PC，∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，即（
PC）
2+PC2=
∴PC=2，∴AP=
， ∴S△APC=
AP•PC=
×
×2=
，
【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，
∴AB=AC，将△ABD 绕点A 逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，
∵AD=kAB，∴DG=kBC=4k，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，
∴CG=
=
．∴BD=CG=
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和
性质等知识，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题关键.
17．（23-24 辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1，
为等边三角形内一点，满足
，
，
，试求
的大小.李明同学的思路是：将
绕点
逆时针旋转60°，点
的对
应点为
，画出旋转后的图形，再连接
.将求
分成求
和
的和即可.请你按照李明同
学给出的旋转的思路，求
的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形
中，
，
分别为
，
边上的点，满足
，若
淘宝：学思创想
，
，求
的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形
，
，
，
，求
的
长.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】（1）将
绕B 点逆时针旋转
得到
，连接
，则
为等边三角形，
.再由
得到
，用勾股定理逆定理得到
是直角三
角形，
，从而得到
；
（2）将
绕
点逆时针旋转
得到
，得到
，证明
得到
；
（3）证明
是等腰直角三角形，
，将
绕
点顺时针旋转
得到
，连接
，
则
为等腰直角三角形，
，再计算得
，用勾股定理得到
，从而利用全等三角形的性质得到
.
【详解】解：（1）如图，将
绕B 点逆时针旋转
得到
，连接
，则
，
，∴
为等边三角形.
淘宝：学思创想
∴
，又∵
∴
∴
是直角三角形，
，
（2）由正方形的性质得：
，
，
如图，将
绕
点逆时针旋转
得到
，
，
，
∴
，
，∵
，
，
，
（3）∵
，
，∴
是等腰直角三角形，
，
如图，将
绕
点顺时针旋转
得到
，连接
.
则
，
，
，
为等腰直角三角形.
，
又
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形
18．（23-24 九年级上·重庆江北·期末）【问题背景】如图1，P 是等边三角形
外一点，
，
则
．小明为了证明这个结论，将
绕点A 逆时针旋转
，请根据此思路完成其证明；
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形
中，
，
，点P 在
外部，且
淘宝：学思创想
，若
的面积为5.5，求
；
【拓展创新】如图3，在四边形
中，
，点E 在四边形
内部，且
，
，
，
，
，直接写出
的长．
【答案】[问题背景]见解析；[迁移应用]
；[拓展创新]
【分析】[问题背景]按题意画出图形，根据旋转的性质得到AP=AP′，PB=P′C，证明△APP′为等边三角形，
从而推出∠PP′C=90°，在△PP′C 中，利用勾股定理得到
，再利用等量代换可得结果；
[迁移应用]作线段BM 垂直于BP 交PC 的延长线于点M，连接AM，证得∠PBC=∠ABM，证明
△PBC≌△MBA（SAS），得出∠AMP=90°，由三角形的面积可求出答案；
[拓展创新]将△AED 绕点E 顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，证得∠FCE=90°，由勾股定理求出FB=
，证明△ABE≌△FBE（SAS），由全等三角形的性质得出AB=FB．
【详解】解：[问题背景]如图1，连接PP′，由旋转可得：
AP=AP′，PB=P′C，∠PAP′=∠BAC=60°，∴△APP′为等边三角形，∴∠APP′=60°，PP′=AP′=PA，
∵∠APB=30°，∴∠AP′C=30°∴∠PP′C=90°，
在△PP′C 中，
，∴
；
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[迁移应用]如图2，作线段BM 垂直于BP 交PC 的延长线于点M，连接AM，
∵∠BPM=45°，∠PBM=90°，∴△BPD 为等腰直角三角形，∴BP=BM，
∵∠ABM+∠MBC=∠ABC=90°，∠PBM=∠PBC+∠MBC=90°，∴∠PBC=∠ABM，
在△PBC 和△MBA 中，
，∴△PBC≌△MBA（SAS），
∴∠AMP=90°，∴S△PAC＝
PC•AD＝
PC2=5.5，∴PC=
（负值舍去）．
[拓展创新]如图3，将△AED 绕点E 顺时针旋转90°至△FEC，连接BF，
则AD=CF=
，AE=EF，∠ADE=∠FCE，∴∠EDC=∠ECD=45°，
∵AD∥BC，∴∠ADE+∠EDC+∠ECD+∠ECB=180°，
∵ED=EC，∠CED=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，∴∠ADE+∠ECB=90°，
∴∠FCE+∠ECB=90°，即∠FCB=90°，∴FB=
=
，
∵∠AEB=135°，∠AEF=90°，∴∠FEB=360°-135°-90°=135°，∴∠AEB=∠FEB，
在△ABE 和△FBE 中，
，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AB=FB=
．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．
