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专题17 全等与相似模型-对角互补模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋
转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60° 对角互补模型、 2α-（180°-2α）对角互补模型。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝
OC，③
.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC 平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK]
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝
OC，③
.
3）“等边三角形对120°模型”（1）
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条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③
.
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC 平分∠AOB，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③
.
5）“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。 结论：①PB+PC=
PA；
6）“2α 对180°-2α 模型”
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条件：四边形ABCD 中，AP=BP,∠A+∠B=180° 结论：OP 平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP 平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。
7）“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB 结论：OP 平分∠AOB 的外角。
例1．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC 中，AB=AC，点D 为BC 中点．∠MDN=90°，∠MDN 绕
点D 旋转，DM、DN 分别与边AB、AC 交于E、F 两点．下列结论：①(BE+CF)=
BC，②
，
③
AD·EF，④AD≥EF 其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【详解】解: Rt
ABC
△
∵
中，AB=AC，点D 为BC 中点．∠MDN=90°，
AD =DC
∴
，∠EAD= C=45°
∠
，∠EDA= MDN
∠
－∠ADN =90°－∠ADN= FDC
∠
．
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EDA
FDC
∴△
△
≌
（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF= BE+ AE=AB．
在Rt
ABC
△
中，根据勾股定理，得AB=
BC．∴(BE+CF)=
BC．∴结论①正确．
设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b．
∴
．
∴
．∴结论②正确．
如图，过点E 作EI AD
⊥
于点I，过点F 作FG AD
⊥
于点G，过点F 作FH BC
⊥
于点H，ADEF 相交于点O．
∵四边形GDHF 是矩形，△AEI 和△AGF 是等腰直角三角形，
EO≥EI
∴
（EF AD
⊥
时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF AD
⊥
时取等于）=AG．
EF=EO
∴
＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误．
EDA
FDC
∵△
≌△
，∴
．∴结论③错误．
综上所述，结论①②正确．故选C．
例2．（2022 辽宁九年级期末模拟）已知∠AOB＝90°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个三角板
的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝
OC；
当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成
立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
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【答案】图②中OD＋OE＝
OC 成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE－OD＝
OC
【分析】当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，易得△CKD
CHE
≌△
，进而可得出证明；判断出结果，
解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC 与OD、OE 的关系；最后转化得到结论．
【详解】解：图②中OD＋OE＝
OC 成立．
证明：过点C 分别作OA，OB 的垂线，垂足分别为P，Q
有△CPD
CQE
≌△
，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝
OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝
OC，∴OD＋OE＝
OC．
图③不成立，有数量关系：OE－OD＝
OC 过点C 分别作CK OA
⊥
，CH OB
⊥
，
OC
∵
为∠AOB 的角平分线，且CK OA
⊥
，CH OB
⊥
，∴CK=CH，∠CKD= CHE=90°
∠
，
又∵∠KCD 与∠HCE 都为旋转角，∴∠KCD= HCE
∠
，
CKD
CHE
∴△
△
≌
，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=
OC，∴OD，OE，OC 满足OE-OD=
OC．
【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，
两组对应点连线的交点是旋转中心．
例3．（2022 秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知
，
，
是过点
的直线，
过点
作
于点
，连接
．
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(1)问题发现：如图(1)，过点
作
，与
交于点
，
、
、
之间的数量关系是什么？并
给予证明．(2)拓展探究：当
绕点
旋转到如图(2)位置时，
、
、
之间满足怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并给予证明．
【答案】(1)
；证明见解析(2)
；证明见解析
【分析】(1)过点
作
，得到
，判断出
，确定
为等腰直角三
角形即可得出结论；(2)过点
作
于点
，判断出
，确定
为等腰直角三角形，
即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，过点
作
交
于点
，
，
，
，
，
在四边形
中，
，
，
，∴
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，∴
；
（2）
；理由：如图
，过点
作
交
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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，
是等腰直角三角形，
，
，∴
；
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，构造全等三角
形是解题的关键．
例4．（2022 四川宜宾八年级期末）如图1，
，
平分
，以
为顶点作
，
交
于点
，
于点E. （1）求证：
；（2）图1 中，若
，求
的长；
（3）如图2，
，
平分
，以
为顶点作
，交
于点
，
于点
.若
，求四边形
的面积．
【答案】（1）见解析；（2）OD+OE =
；（3）
【分析】（1）过点C 作CG OA
⊥
于G,CH OB
⊥
于H，然后根据题意利用AAS 定理进行证明△CDG CEH
≌△
，从
而求解；（2）根据全等三角形的性质得到OD+OE =2OH，然后利用勾股定理求OH 的值，从而求解；
（3）过点C 作CG OA
⊥
于G,CH OB
⊥
于H，然后根据题意利用AAS 定理进行证明△CDG CEH
≌△
，从而求得
=
=2
，然后利用含30°的直角三角形性质求得OH=
,CH=
从而求得三角形面积，
使问题得到解决．
【详解】解：（1）如图,过点C 作CG OA
⊥
于G,CH OB
⊥
于H，
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∵
平分
∴CG =CH ∵
,
CDO+ CEO=180
∴∠
∠
︒
CDG+ CDO=180
CDG = CEO
∵∠
∠
︒∴∠
∠
在△CDG 与△CEH 中
∴△CDG CEH(
≌△
AAS)∴
(2)由（1）得△CDG CEH DG=HE
≌△
∴
由题易得△OCG 与△OCH 是全等的等腰直角三角形，且OG=OH
∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH 设OH=CH=x，在Rt
OCH
△
中，由勾股定理，得:
OH2+CH2=OC2∴
∴
(舍负) OH =
∴
OD+OE =2OH=
∴
（3）如图,过点C 作CG OA
⊥
于G,CH OB
⊥
于H，
∵
平分
∴CG =CH ∵
,
CDO+ CEO=180
∴∠
∠
︒
CDG+ CDO=180
CDG = CEO
∵∠
∠
︒∴∠
∠
在△CDG 与△CEH 中
∴△CDG CEH(
≌△
AAS) DG=HE
∴
由题易得△OCG 与△OCH 是全等的直角三角形,且OG=OH
OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH
∴
∴
=
=2
在Rt
OCH
△
中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=
,CH=
∴
∴
=2
=
【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题，
掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键.
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例5．（2022 湖北省宜城市八年级期末）如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将
一个60°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA、OB 相交于点D、E．
（1）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理
由；（2）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说
明理由；（3）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给
于证明；若不成立，线段OD、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由详见解析；（3）（1）中结论不成立，结论
为OE﹣OD=OC，证明详见解析.
【分析】(1)根据OM 是∠AOB 的角平分线，可得∠AOB=60°，则∠OCE=30°，再根据30°所对直角边是斜边
的一半，得出OD=
OC，同理：OE=
OC，即可得出结论；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根据AAS
证明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，则OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出结
论.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根据等量代换可得OE﹣OD=OC.
【详解】(1)∵OM 是∠AOB 的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=
∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD 中，OD=
OC，同理：OE=
OC，∴OD+OE=OC，
(2)(1)中结论仍然成立，理由：过点C 作CF⊥OA 于F，CG⊥OB 于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=
OC，OG=
OC，∴OF+OG=OC，
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∵CF O
⊥A，CG⊥OB，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；
(3)(1)中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，
理由：过点C 作CF⊥OA 于F，CG⊥OB 于G，如图，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=
OC，OG=
OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.正确作辅助线是
解题的关键.
例6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，△ABC 是边长为4 的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，
∠EDF=120°，把∠EDF 绕点D 旋转，使∠EDF 的两边分别与线段AB、AC 交于点E、F．（1）当DF AC
⊥
时，
求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.
【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA=90°，根据“AAS”可判定△BDE
CDF
≌△
，即可证
BE=CF；
（2）过点D 作DM AB
⊥
于M，作DN AC
⊥
于N，如图2，易证△MBD
NCD
≌△
，则有BM=CN，DM=DN，进而
可证到△EMD
FND
≌△
，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=
BC=2.
【详解】（1）∵△ABC 是边长为4 的等边三角形，点D 是线段BC 的中点，
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B= C=60°
∴∠
∠
，BD=CD，∵DF AC
⊥
，∴∠DFA=90°，
A+ EDF+ AFD+ AED=180°
∵∠
∠
∠
∠
，∴∠AED=90°，
DEB= DFC
∴∠
∠
，且∠B= C=60°
∠
，BD=DC，∴△BDE
CDF
≌△
（AAS）
（2）过点D 作DM AB
⊥
于M，作DN AC
⊥
于N，
则有∠AMD= BMD= AND= CND=90°
∠
∠
∠
．
A=60°
∵∠
，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
EDF=120°
∵∠
，∴∠MDE= NDF
∠
．
在△MBD 和△NCD 中，
，∴△MBD
NCD
≌△
（AAS）BM=CN，DM=DN．
在△EMD 和△FND 中，
，∴△EMD
FND
≌△
（ASA）∴EM=FN，
BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=
∴
BC=2.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知
识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN 是解决本题的关键．
例7．（2022 山东省枣庄市一模）如图，已知
，在
的角平分线
上有一点
，将一
个
角的顶点与点
重合，它的两条边分别与射线
相交于点
.
（1）如图1，当
绕点
旋转到
与
垂直时，请猜想
与
的数量关系，并说明理由；
（2）当
绕点
旋转到
与
不垂直时，到达图2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理
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由；
（3）如图3，当
绕点
旋转到点
位于
的反向延长线上时，求线段
与
之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】（1）
，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝
OC，同OE＝
OC，即可得
出结论；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝
OC，再判断出△CFD
CGE
≌△
，得出DF＝EG，最后等量代换即
可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】解：（1）
是
的角平分线
在
中，
，同理：
（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点
作
于
，
于
由（1）知，
，且点
是
的平分线
上一点
（3）结论为：
.
理由：过点C 作CF OA
⊥
于F，CG OB
⊥
于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
AOB
∵∠
＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝
OC，OG＝
OC，∴OF＋OG＝
OC，
CF
OA
∵
⊥
，CG OB
⊥
，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，
CF
∴
＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，
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CFD
CGE
∴△
△
≌
，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，
OF
∴
＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝
OC．
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，
正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．
例8．（2022 秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，
（
是常量）．点P 在
的平分线上，
且
，以点P 为顶点的
绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中，
的两边分别与
，
相交于M，N 两点，若
始终与
互补，则以下四个结论：①
；②
的值不
变；③四边形
的面积不变；④点M 与点N 的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．②③
【答案】B
【分析】如图作
于点E，
于点F，只要证明
，
即可
一一判断．
【详解】解：如图所示：作
于点E，
于点F，
，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
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在
和
中，
，
，
，故①正确，
，
定值，故③正确，
定值，故②正确，
的位置是变化的，
之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会
添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
模型2.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向
两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝∠EOF＝90°，点O 是AB 的中点，
辅助线：过点O 作OD⊥AC，垂足为D，过点O 作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；②
（思路提示：
）.
2）对角互补相似2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝
.
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辅助线：作法1：如图1，过点C 作CF⊥OA，垂足为F，过点C 作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF ；②CE ＝CD·
. （思路提示：
，CF=OG ，在Rt△COG 中，
）
辅助线：作法2：如图2，过点C 作CF⊥OC，交OB 于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·
.（思路提示：
，在Rt△OCF 中，
）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°
辅助线：过点D 作DE⊥BA，垂足为E，过点D 作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD 四点共圆。
例1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在
中，
，
，在
中，
，点P 在
上，
交
于点E，
交
于点F．当
时，
的值为
（ ）．
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】过P 作PH⊥BC 于H，PQ⊥AB 于Q，证明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC 证得
△AQP∽△ABC，得到
，设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x 值即可解决问题．
【详解】解：∵在
中，
，
，
∴AC=
，
过P 作PH⊥BC 于H，PQ⊥AB 于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH 是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，∴
，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴
，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，∴
，解得：
，AP=3，故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握
相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键．
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例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角
中，
，
，过
点
作射线
，
为射线
上一点，
在边
上（不与
重合）且
，
与
交于点
．（1）求证：
；（2）求证：
；（3）如果
，求证：
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC 得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到
∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB；
（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合
∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE 得到
∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证．
【详解】解：（1）证明：∵
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，
，∴
，
，∴
；
（2）证明：∵
∴
，即
，
∵
，∴
；
（3）∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关
系得到三角形相似．
例3．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践【问题情境】在
中，
，
，
淘宝：学思创想
，在直角三角板
中，
，将三角板的直角顶点
放在
斜边
的中点处，
并将三角板绕点
旋转，三角板的两边
，
分别与边
，
交于点
，
．
【猜想证明】如图，在三角板旋转过程中，当
为边
的中点时，试判断四边形
的形状，并说
明理由．【问题解决】如图
，在三角板旋转过程中，当
时，求线段
的长．
【答案】[猜想证明]四边形
是矩形，理由见解析；[问题解决]
．
【分析】[猜想证明]由三角形中位线定理可得
，可证
，即可求解；
[问题解决]由勾股定理可求
的长，由中点的性质可得
的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】[猜想证明]四边形
是矩形，理由如下：如图，
点
是
的中点，点
是
的中点，
是
的中位线，
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形；
[问题解决]过点
作
于
，如图
：
，
，
，
，
点
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
．
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【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等有
关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
例4．（2023 年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形
和
，其中四边形
的顶
点O 位于四边形
的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形
和
都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①
；②重叠部分的面积始终等于四边形
的
；③
．
(2)应用提升:如图2，若四边形
和
都是矩形，
，写出
与
之间的数量关
系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形
和
都是菱形，
，判断（1）中的结论是否依然成立；
如不成立，请写出你认为正确的结论（可用
表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
【答案】(1)①②③(2)关系为
，证明见解析
(3)①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形
的
；③
．证明①的过程见解析
【详解】（1）如图，在图1 中，过点O 作
于点H,
于点G
∵
于点H,
于点G∴
淘宝：学思创想
∵四边形
和
都是正方形∴
∴
∵
,
∴
在
和
中
∴
∴
故①正确
∵
∴
∴
故②正确
∵四边形
是正方形∴
∴
故③正确
（2）关系为
，证明如下：如图，在图2 中，过点O 作
于点H,
于点G
∵
于点H,
于点G∴
∵四边形
和
都是矩形∴
∵
,
∴
在
和
中
∴
∴
（3）（1）中结论，①成立，②③不成立，正确结论②重叠部分的面积始终等于四边形
的
；③
．现证明①如下：
如图，在图3 中，过点O 作
于点H,
于点G
∵
于点H,
于点G∴
淘宝：学思创想
∵四边形
和
都是菱形∴
∴
∵
,
∴
在
和
中
∴
∴
例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在Rt
ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O 在线段AB 上（点O 不
与点A，B 重合），且OB＝kOA，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM，将射线OM 绕点O 逆时针旋
转90°，交射线CB 于点N．（1）如图1，当k＝1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；（3）点P 在
射线BC 上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且
＜
，请直接写出
的值（用含k 的式子表
示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明
△DOM∽△EON；（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON 和斜△AOM，用含
的代数式分别表示
再利
用比例的性质可得答案．
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM 于D，OE⊥CB 于E，
淘宝：学思创想
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD 中，
，同理：OE＝
OB，
∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM 和Rt△EON 中，
，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
（2）如图2，作OD⊥AM 于D，OE⊥BC 于E，由（1）知：OD＝
OA，OE＝
OB，
∴
，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，∴
，∴ON＝k•OM．
（3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝
a，
∵OB＝k•OA，∴OB＝
•
a，OA＝
•
a，∴OE＝
OB＝
a，
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∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°
15°
﹣
＝30°，∴EN＝
＝
OE＝
•
a，
∵CE＝OD＝
OA＝
a，∴NC＝CE＋EN＝
a＋
•
a，
由（2）知：
，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°
∵
，∴
，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝
a，∴PN＝PE＋EN＝
a＋
•
a，
设AD＝OD＝x，∴DM＝
，由AD＋DM＝AC＋CM 得，（
＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝
（AC＋CM）＜
（AC＋
AC）＝
AC，∴k＞1∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本
题的难点是条件
得出k＞1．
例6．（2023 浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E 为AB 边上一点，连接DE，作DF⊥DE 交AC 于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC 边上中点D，连接AD，
点E 为BA 延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE 交AC 延长线于点F，求AF 的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在
ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC 边上中点D，连接AD，点
E 为射线BA 上一点（不与点A、点B 重合），连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°交射线CA 于点
F，当AE＝4AF 时，求AF 的长．
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【答案】（1）见解析；（2）4；（3）
或
或
【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；
（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；
（3）证明△EBD∽△DCF，推出
，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1 中，
∵△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD 是高，
∴BD＝CD＝AD
BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD
∠BAC＝45°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在△BDE 和△ADF 中，
，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）解：如图2 中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，
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在△BDE 和△ADF 中，
，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；
（3）解：如图3 中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
∠BAC＝60°，
∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2
，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4
4
﹣m，CF＝4﹣m，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，
∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴
，
∴
，整理得，m2
5
﹣m+1＝0，解得m
或
（舍弃），
经检验，m
是分式方程的解．
当点F 在CA 的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得
，
∴
，解得，m
或
（舍弃），经检验，m
是分式方程的解．
当点E 在射线BA 上时，BE＝4+4m，
∵△EBD∽△DCF，∴
，∴
解得，m
或
（舍弃），经检验，m
是分式方程的解．
综上所述，满足条件的AF 的值为
或
或
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直
角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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课后专项训练
1．（2022·江苏·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A,B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴
上，且OA=OB，点C 在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC 的值为_________．
【答案】
【分析】可将△OBC 绕着O 点顺时针旋转90°，所得的图形与△OAC 正好拼成等腰直角三角形BC+AC 等于
等腰三角形的斜边CD.
【详解】解：将△OBC 绕O 点旋转90°，
OB=OA
∵
∴点B 落在A 处，点C 落在D 处 且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD= OBC
∠
，
在四边形OACB 中∵∠BOA= BCA=90°
∠
，∴∠OBC+ OAC=180°
∠
，
OAD+ OAC=180° C
∴
∴
∠
∠
、A、D 三点在同一条直线上，
OCD
∴△
为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2
即CD2=32+32=18 解得CD=
即BC+AC=
.
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图
的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题
时需注意，一定要证明C、A、D 三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可
考虑CB y
⊥轴的情况，此时四边形OACB 刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可起到事半功倍的效果.
2．（2023.广东九年级期中）如图，
为等边三角形，以
为边向外作
，使
，再
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以点C 为旋转中心把
旋转到
，则给出下列结论：①D，A，E 三点共线；②
平分
；
③
；④
．其中正确的有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】①设∠1=x 度，把∠2=（60-x）度，∠DBC= 4=
∠
（x+60）度，∠3=60°加起来等于180 度，即可证
明D、A、E 三点共线；②根据△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE 为等边三
角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC 平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE 为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
【详解】解：如图，
①设∠1=x 度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
2+ 3+ 4=60-
∴∠
∠
∠
x+60+x+60=180 度，∴D、A、E 三点共线；故①正确；
②△
∵
BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE 为等边三角形，
∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC 平分∠BDA；故②正确；
③∠
∵BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．
∵△CDE 为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．
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【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的
不变量．
3.（2023·山西临汾·统考二模）在菱形
中，
，对角线
交于点
，
分别是
边上的点，且
与
交于点
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质及
可证
，得
，
；由
得
，
，于是
，可得
，进而求得答案．
【详解】∵
∴
∴
∵四边形
是菱形，∴
，
∴
∴
∴
，
又∵
∴
．
，
∵
∴
，
∴
．
设
，
则
，
，
；故答案为：
．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用全等及相似得
到线段间的数量关系是解题的关键．
4．（2023 青岛版九年级月考）如图，在
中，
，
，直角
的顶点
淘宝：学思创想
在
上，
、
分别交
、
于点
、
，
绕点
任意旋转．当
时，
的值为
；当
时，
为 ．（用含
的式子表示）
【答案】
,
【详解】如图，过点O 作OH AC
⊥
于H，OG BC
⊥
于G，由条件可以表示出HO、GO 的值，通过证明
△PHO
QGO
∽△
由相似三角形的性质就可以求出结论．
解答：解：过点O 作OH AC
⊥
于H，OG BC
⊥
于G，∴∠OHP= OGQ=90°
∠
．
ACB=90°
∵∠
，∴四边形HCGO 为矩形，
HOG=90°
∴∠
，∴∠HOP= GOQ
∠
，∴△PHO
QGO
∽△
，∴
．
∵
，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=
x，OG=x．
在Rt
AHO
△
中，由勾股定理，得OH=
x，∴
，∴
=
．故答案为
．
5．（2023•西城区校级期中）已知，如图，在四边形ABCD 中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD
平分∠ABC，试说明AD＝DC．
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【解答】证明：如图，过D 作DF⊥AB，交BA 的延长线于点F，
∵DE⊥BC，BD 平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，
在△ADF 和△CDE 中
∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．
6．（2023•阜新中考模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC 于点D．
（1）如图1，点E，F 在AB，AC 上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；
（2）点M，N 分别在直线AD，AC 上，且∠BMN＝90°．
①如图2，当点M 在AD 的延长线上时，求证：AB+AN＝
AM；
②当点M 在点A，D 之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM 的长．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，∵∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）①如图1，过点M 作MP⊥AM，交AB 的延长线于点P，∴∠AMP＝90°，
∵∠PAM＝45°，∴∠P＝∠PAM＝45°，∴AM＝PM，
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∵∠BMN＝∠AMP＝90°，∴∠BMP＝∠AMN，
∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN＝PB，∴AP＝AB+BP＝AB+AN，
在Rt△AMP 中，∠AMP＝90°，AM＝MP，∴AP＝
AM，∴AB+AN＝
AM；
②如图，在Rt△ABD 中，AD＝BD＝
AB＝
，
∵∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，∴∠BMD＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△BDM 中，DM＝
＝
，∴AM＝AD﹣DM＝
﹣
．
7、（2023.重庆九年级期中）已知：如图，在等边△ABC 中，点O 是BC 的中点，∠DOE＝120°，∠DOE
绕着点O 旋转，角的两边与AB 相交于点D，与AC 相交于点E．
(1)若OD，OE 都在BC 的上方，如图1，求证：OD＝OE．(2)在图1 中，BD，CE 与BC 的数量关系是
．
(3)若点D 在AB 的延长线上，点E 在线段AC 上，如图2，直接写出BD，CE 与BC 的数量关系是 ．
【答案】(1)见解析；(2)
；(3)
【解析】(1)证明：取AB 的中点F，连接OF．
∵△ABC 是等边三角形，∴
，
∵点O 与点F 分别是BC 与AB 的中点，∴
，
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∴△BOF 是等边三角形，∴
，
，∴
，∴
，
∵在△DOF 和△EOC 中，
，∴
，∴
．
(2)解：结论：
．理由：∵
，∴
，∴
，
∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
．故答案为：
；
(3)结论：
．理由如图2 中，取
的中点F，连接OF．
同（1）中的方法可证
是等边三角形，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
8．（2022 山西省吕梁市八年级期末）如图，已知
与
，
平分
．
(1)如图1，
与
的两边分别相交于点
、
，
，试判断线段
与
的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：
．
淘宝：学思创想
理由如下：如图1，过点
作
，交
于点
，则
，…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若
，
．
①如图3，
与
的两边分别相交于点
、
时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段
、
、
有什么数量关系？说明理由．②如图4，
的一边与
的延长线相交时，请回答(1)中的结论是
否成立，并请直接写出线段
、
、
有什么数量关系；如图5，
的一边与
的延长线相交
时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段
、
、
有什么数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4 中，(1)中的结论成立，
.在图5 中，(1)中的结论成立，
【分析】（1）通过ASA 证明
即可得到CD=CE；（2）过点
作
，
，垂足
分别为
，
，通过AAS 证明
同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点
作
，
垂足分别为
，
，通过AAS 得到
，进而得到
，利用等量代
换得到
，在
中，利用30°角所对的边是斜边的一半得
，同理得到
，所以
；方法二：以
为一边作
，交
于点
，通过ASA 证明
，得到
，所以
；②图4：以OC 为一边，
作∠OCF=60°与OB 交于F 点，利用ASA 证得△COD
CFE
≌△
，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点，利用ASA 证得△CGD
COE
≌△
，即
有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【详解】解：(1)
平分
，
，
淘宝：学思创想
又
在
与
中，
(2)如图2，过点
作
，
，垂足分别为
，
，∴
，
又∵
平分
，∴
，在四边形
中，
，
又∵
，∴
，又∵
，∴
，
在
与
中，
∴
，∴
.
(3)①(1)中的结论仍成立.
.
理由如下：方法一：如图3(1)，过点
作
，
，
垂足分别为
，
，∴
，又∵
平分
，∴
，
在四边形
中，
，
又∵
，∴
，
又∵
，∴
，在
与
中，
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
.
∴
.
在
中，
，
∴
，同理
，∴
.
方法二：如图3（2），以
为一边作
，交
于点
，
∵
平分
，∴
，∴
，
∴
，
，∴
是等边三角形，∴
，
∵
，
，∴
，
在
与
中，
∴
，
∴
.∴
.
②在图4 中，(1)中的结论成立，
.
如图，以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点
AOB=120°
∵∠
，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB= COA=60°
∠
又∵∠OCF=60°
COF
∴△
为等边三角形∴OC=OF
COF= OCD+ DCF=60°
∵∠
∠
∠
，∠DCE= DCF+ FCB=60°
OCD= FCB
∠
∠
∴∠
∠
又∵∠COD=180°- COA=180°-60°=120°
∠
∠CFE=180°- CFO=180°-60°=120°
∠
COD= CFE
COD
CFE
∴
∴
∠
∠
△
△
≌
（ASA）∴CD=CE，OD=EF OE=OF+EF=OC+OD
∴
即OE-OD=OC
在图5 中，(1)中的结论成立，
.
如图，以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点
AOB=120°
∵∠
，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB= COA=60°
∠
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又∵∠OCG=60°
COG
∴△
为等边三角形∴OC=OG
COG= OCE+ ECG=60°
∵∠
∠
∠
，∠DCE= DCG+ GCE=60°
DCG= OCE
∠
∠
∴∠
∠
又∵∠COE=180°- COB=180°-60°=120°
∠
∠CGD=180°- CGO=180°-60°=120°
∠
CGD= COE
CGD
COE
∴
∴
∠
∠
△
△
≌
（ASA） ∴CD=CE，OE=DG
OD=OG+DG=OC+OE
∴
即OD-OE=OC
【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.
9．（2022·湖北武汉·八年级校考期末）已知在四边形
中，
，
.
(1)如图1．连接
，若
，求证：
.
(2)如图2，点
分别在线段
上，满足
，求证：
;
(3)若点
在
的延长线上，点
在
的延长线上，如图3 所示，仍然满足
，请写出
与
的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据已知条件得出
为直角三角形，再根据
证出
，从而证出
；
（2）如图2，延长DC 到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA
BCK
≌△
（SAS）得到：∠1= 2
∠，BP=BK．然
后根据
证明得
，从而得出
，然后得出结论；
（3）如图3，在CD 延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA
BCK
≌△
（SAS），由
该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ= KBQ
∠
，
结合四边形的内角和是360 度可以推得：∠PBQ=90°+
ADC
∠
．
【详解】（1）证明：如图1，
淘宝：学思创想
∵
，
∴
在
和
中，
∴
∴
（2）如图2，延长
至点
，使得
，连接
∵
∴
∵
∴
∵
，
，∴
∴
，
，
∵
，
，∴
∵
，
，∴
∴
∴
（3）
如图3，在
延长线上找一点
，使得
，连接
，
∵
∴
∵
∴
在
和
中，
∴
∴
，
∴
∵
∴
在
和
中，
∴
∴
∴
∴
∴
.
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和
公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．（2023·山东青岛·八年级统考期中）[问题]如图①，点
是
的角平分线
上一点，连接
，
，若
与
互补，则线段
与
有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若
，则
，即
，
，又因为
平分
，所以
，理由是：_______．
探究二：若
，请借助图①，探究
与
的数量关系并说明理由．
[结论]点
是
的角平分线
上一点，连接
，
，若
与
互补，则线段
与
的数量
关系是______．
[拓展]已知：如图③，在
中，
，
，
平分
．求证：
．
【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝
CD；[拓展]：见解析．
【分析】探究一：根据角平分线的性质定理解答；探究二：作
于
，作
交
的延长
线于
，证明
，根据全等三角形的性质证明结论；[理论] 根据探究结果得到答案；
[拓展]在
上取一点
，使
，作
角
的延长线于
，
于
，证明
，得到
，根据等腰三角形的性质得到
，等量代换得到
，结合图形
证明结论．
【详解】解：探究一：
平分
，
，
，
，
理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等；
探究二：作
于
，作
交
的延长线于
，
淘宝：学思创想
平分
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
；
[理论] 综上所述，点
是
的角平分线
上一点，连接
，
，若
与
互补，则线段
与
的数量关系是
，故答案为：
；
[拓展] 在
上取一点
，使
，作
角
的延长线于
，
于
，
．
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定定理和性
质定理是解题的关键．
11．（2022·陕西宝鸡·统考二模）问题提出
（1）如图1，四边形ABCD 中，
，
与
互补，
，点A 到BC 边的距离为17，
求四边形ABCD 的面积．
问题解决（2）某公园计划修建主题活动区域，如图2 所示，
，
，
，在
BC 上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE 区域为体育健身活动区域，△ECD 为文艺活动表
演区域，根据规划要求，
，
，设EC 的长为x(m)，△ECD 的面积为
，求
与
之
淘宝：学思创想
间的函数关系式，并求出△ECD 面积的最大值．
【答案】（1）255；（2）
；
【分析】（1）连接AC，过点A 作
于点H，将△ABH 绕着A 点逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，
得到△ADG，则利用
进行求解；（2）连接AD，AC，过点D 作
交BC 延
长线于点H，证明
，由此表示出
，再利用三角函数表示出高
，从而表示出
与
的函数
关系式，并求得
的最大值．
【详解】解：（1）如图，连接AC，过点A 作
于点H，将△ABH 绕着A 点逆时针旋转，使得AB 与
AD 重合，得到△ADG．
由
，得
，∵△ADG 是由△ABH 旋转得到，∴
，
∴
，
，
，
又
，
，即
，
，
三点共线．
∴
，
，
∴
．
（2）如图，连接AD，AC，过点D 作
交BC 延长线于点H．
淘宝：学思创想
∵
且
，∴△BAC 为等边三角形，
，
．
∵
，
，∴△EAD 为等边三角形，
，
．
∵
，
，∴
．
在△BAE 和△CAD 中，
，∴
，
∴
．即
．又∵
，∴
．
在Rt△DCH 中，
．
∴△ECD 的面积为：
．
当
时，y 有最大值，此时△ECD 面积最大值为：
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角函数的应用，
求二次函数的最大值，解决本题的关键是灵活运用相关性质定理．
12．（2023 山东中考模拟）如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对
角线AC，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC 所在
的直线相交，交点分别为E，F．
淘宝：学思创想
（1）当PE⊥AB，PF⊥BC 时，如图1，则
的值为 ；
（2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
的值；（3）在（2）的基础上继续
旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2 时，如图3，
的值是否变化？证明你的结论．
【答案】（1）
；（2）
；（3）变化.证明见解析.
【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF 中，解直角三角形求得
的值即可；
（2）如答图1 所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得
的
值；（3）如答图2 所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得
；然后证
明△PME∽△PNF，从而由
求得
的值.与（1）（2）问相比较，
的值发生了变化.
【详解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE 与△PCF 中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF.
在Rt△PCF 中，
，∴
；
（2）如答图1，过点P 作PM⊥AB 于点M，PN⊥BC 于点N，则PM⊥PN.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
淘宝：学思创想
∴
.由（1）知，
，∴
.
（3）变化.证明如下：如答图2，过点P 作PM⊥AB 于点M，PN⊥BC 于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，
PN∥AB.
∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.∴△APM∽△PCN.
∴
，得CN=2PM. 在Rt△PCN 中，
，∴
.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.∴
.∴
的值发生变化.
13．（2022 秋·河南鹤壁·九年级统考期末）已知在
中，
，
，
，
为
边上的一点．过点
作射线
，分别交边
、
于点
、
．
（1）当
为
的中点，且
、
时，如图1，
_______：
（2）若
为
的中点，将
绕点
旋转到图2 位置时，
_______；
（3）若改变点
到图3 的位置，且
时，求
的值．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
淘宝：学思创想
【分析】（1）由
为
的中点，
结合三角形的中位线的性质得到
从而可得答案；（2）如图，过
作
于
过
作
于
结合（1）求
解
再证明
利用相似三角形的性质可得答案；（3）过点
分别作
于点
，
于点
，证明
,可得
再证明
，利用相似三角形的性质
求解
同法求解
从而可得答案．
【详解】解：（1）
为
的中点，
故答案为：
（2）如图，过
作
于
过
作
于
由（1）同理可得 ：
故答案为：
（3）过点
分别作
于点
，
于点
，
∵
，∴
．∵
，∴
．
∴
．∴
．∴
．
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
．∴
∴
．
∵
，∴
．∵
，∴
．∴
．
同理可得：
．∴
．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知
识是解题的关键．
14．（2023·浙江台州·九年级校考阶段练习）【问题情境】如图①，在
中，
，
，点
为
中点，连结
，点
为
的延长线上一点，过点
且垂直于
的直线交
的
延长线于点
.易知BE 与CF 的数量关系
．
【探索发现】如图②，在
中，
，
，点
为
中点，连结
，点
为
的延长线上一点，过点
且垂直于
的直线交
的延长线于点
.【问题情境】中的结论还成立吗？请
说明理由．【类比迁移】如图③，在等边
中，
，点
是
中点，点
是射线
上一点
（不与点
、
重合），将射线
绕点
逆时针旋转
交
于点
．当
时，
______．
【答案】问题情境：
；探索发现：成立，见解析；类比迁移：
或
【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明
即可得
；
探索发现：与图①类似，证明
即可；类比迁移：根据等边三角形的性质得到∠A= B=60°
∠
，
求得∠BDF= AED
∠
，设CE=x，则CF=2x，分两种情况讨论：点E 在线段AC 上，点E 在AC 的延长线上，证明
，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】问题情境：
，证明如下：
∵在
中，
，
，点
为
中点，
淘宝：学思创想
∴
，
∴
∵
∴
∴
在
和
中，
∴
∴
探索发现：成立，理由：∵在
中，
为
中点，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴
∵
，∴
，∴
，∴
，
在
和
中，
∴
∴
类比迁移：当点E 在线段AC 上时，如图③，
∵
是等边三角形，
，点
是
中点，
∴
，
，
设
，则
，
，
∵
是
的外角，
，∴
即
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
解得
，
（大于4，不符合题意，舍去）
当点E 在线段AC 的延长线时，如图：
淘宝：学思创想
设
，则
，
，
同理可得
∴
解得
，
（不符合题意，舍去）
综上所述，
或
．故答案为：
或
．
【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练
掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键．
15．（2023 广东中考模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB= ABC
∠
，AD，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一
点P，连结AC，BD，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；如图2，在Rt
ABC
△
与Rt
ABD
△
中，∠C= D=90°
∠
，BC=BD=3，AB=5，将Rt
ABD
△
绕着点A
顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt
AB′D′
△
（如图3），当凸四边形AD′BC 为等邻角四边形时，求
出它的面积．
【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10
或12﹣
．
【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1 所示，根据PE、PF 分别为AD、BC 的垂直平分线，得到两对
角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC= DPB
∠
，利用SAS 得到三角形ACB 与三角形
DPB 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
淘宝：学思创想
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B= D′BC
∠
时，延长AD′，CB 交于点E，如图3（i）所示，由S 四边形
ACBD′=S△ACE
S
﹣△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC= ACB=90°
∠
时，过点D′作D′E AC
⊥
于点E，如图3
（ii）所示，由S 四边形ACBD′=S△AED′+S 矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．
【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1 所示：
PE
∵
是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴PA=PD，PC=PB，
PAD= PDA
∴∠
∠
，∠PBC= PCB
∠
，∴∠DPB=2 PAD
∠
，∠APC=2 PBC
∠
，
即∠PAD= PBC
∠
， ∴∠APC= DPB
∠
， ∴△APC
DPB
≌△
（SAS）， ∴AC=BD；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B= D′BC
∠
时，延长AD′，CB 交于点E， 如图3（i）所示，
ED′B= EBD′
∴∠
∠
， ∴EB=ED′，
设EB=ED′=x， 由勾股定理得：42+（3+x）
2=（4+x）
2， 解得：x=4.5，
过点D′作D′F CE
⊥
于F， ∴D′F AC
∥
， ∴△ED′F
EAC
∽△
，
∴
，即
，解得：D′F=
，
S
∴△ACE=
AC×EC=
×4×（3+4.5）=15；S△BED′=
BE×D′F=
×4.5×
=
，
则S 四边形ACBD′=S△ACE
S
﹣△BED′=15﹣
=10
；
（ii）当∠D′BC= ACB=90°
∠
时，过点D′作D′E AC
⊥
于点E， 如图3（ii）所示，
∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3， 在Rt
AED′
△
中，根据勾股定理得：AE=
，
S
∴△AED′=
AE×ED′=
×
×3=
，S 矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣
）×3=12
3
﹣
，
淘宝：学思创想
则S 四边形ACBD′=S△AED′+S 矩形ECBD′=
+12
3
﹣
=12﹣
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角
平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本
题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．
16．（2023 年成都市中考模拟）（1）如图，Rt
ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为BC 中点，E、F 分别
为AB、AC 上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝
4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠BDF，从而得到△BDF≌△ADE，即可求证；
（2）①先证得∠BDF＝∠ADE，∠B＝∠DAE，可证得△BDF∽△ADE，即可求证；
②连接EF，根据勾股定理可得BC
5，根据三角形的面积可得AD
，从而得到DC
，再
由△ADB∽△CAB，可得
，再根据
，可得到
，从而得到△EDF∽△CAB，进而
得到EF
，可得到当DE 最小时，EF 取最小值，即可求解．
【详解】证明：（1）如图1，连接AD，
淘宝：学思创想
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，
∵∠ADB＝∠EDF＝90°，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，
在△BDF 和△ADE 中，
，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴DE＝DF；
（2）①证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，
∵∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAE，
∴△BDF∽△ADE，∴
，∴DF•DA＝DB•DE；
②解：如图2，连接EF，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，
则BC
5，∴AD
，由勾股定理得：DC
，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB=90°， ∴△ADB∽△CAB，
∴
，∴
，由①可知，
，∴
，
∵∠EDF＝∠CAB＝90°，∴△EDF∽△CAB，
∴
，即
，∴EF
，当DE 最小时，EF 取最小值，
当DE⊥AC 时，DE 最小，此时，DE
，∴EF 的最小值为：
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2023 浙江省绍兴市九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D 为边BC 的中
点，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ=90°．
淘宝：学思创想
（1）当DP AB
⊥
时，求CQ 的长； （2）当BP=2，求CQ 的长．
【答案】（1）CQ=4；（2）当BP=2 时，CQ=
或
．
【分析】（1）首先证明DQ AB
∥
，根据平行线等分线段定理即可解决问题．
（2）分两种情形①当点P 在线段AB 上时，②当点P 在AB 的延长线上时，作DM AB
⊥
，DN AC
⊥
，垂足分别
为M、N，由△PDM
QDN
∽△
，分别求得PQ 和DN，即可求解．
【详解】（1）如图1 中，∵DP AB
⊥
，∠BAC=90°，DQ DP
⊥
，∴DQ AB
∥
，∵BD=DC，∴CQ=AQ=4；
（2）①如图2 中，当点P 在线段AB 上时，作DM AB
⊥
，DN AC
⊥
，垂足分别为M、N，
则四边形AMDN 是矩形，DM、DN 分别是△ABC 的中位线，DM=4，DN=3，
PDQ= MDN=90°
∵∠
∠
，∴∠PDM= QDN
∠
，∵∠DNQ DMP=90°
∠
，∴△PDM
QDN
∽△
，
∴
，∴QN=
PM，∵PM=BM-PB=3-2=1，∴QN=
PM=
，∴CQ=QN+CN=
；
②如图3 中，当点P 在AB 的延长线上时，同①，PM=BM+PB
，QN=
PM=
，
CQ=QN+CN
，综上所述，当BP=2，求CQ 的长为
或
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线构造相似三角形．
18．（2023·湖北·九年级专题练习）如图，四边形
是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A、C
重合），连接
，过点P 作
，交
于点E，已知
，
．设
的长为x．
淘宝：学思创想
(1)
___________；当
时，求
的值；(2)试探究：
是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，
请说明理由；(3)当
是等腰三角形时，请求出
的值．
【答案】(1)4，
(2)是，
(3)
或4
【分析】（1）作
于
交
于
．由
，推出
，只要求出
、
即可解
决问题；（2）结论：
的值为定值．证明方法类似（1）；
（3）连接
交
于
，在
中，
，代入数据求得
，进而即可求解．
【详解】（1）解：作
于
交
于
．
四边形
是矩形，
，
，
，
．
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为4，
．
淘宝：学思创想
（2）结论：
的值为定值．理由：由
，可得
．
，
，
，
，
；
（3）连接
交
于
．
，所以只能
，
，
，
，
，
垂直平分线段
，
在
中，
，
，
，
，
．综上所述，
的值为
．
【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角
形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
19．（2023 秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：（1）如图1，在等边
中，D 为
边上一点，E 为
边上一点，
，
，
，则
______．
问题解决：（2）如图2，
是等边三角形，D 是
的中点，射线
，
分别交
，
于点E，
F，且
，求证：
．（3）如图3，
，
，
，D 是
的中点，
射线
，
分别交
，
于点E，F，且
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【分析】（1）首先求出
，证明
，得到
，即可求出结果；
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（2）连接
，过D 作
于M，作
于N，根据
证明
，再根据全等三
角形的性质可得
；（3）过点
分别作
于
，
于
，根据勾股定理及中位线
的性质可得
，
，根据矩形的性质可得
，最后由相似三角形的判定与性质可
得答案．
【详解】解：（1）∵在等边
中，
，
，
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，即
，∴
；
（2）如图，连接
，过D 作
于M，作
于N，
∵
是等边三角形，D 为
的中点，
∴
是
的平分线，
，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，
∴在
与
中，
，∴
，∴
；
（3）过点
分别作
于
，
于
，
在
中，
，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
是
的中点，
是
的中位线，
是
的中位线，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形综合题．需要掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形
的判定和性质，关键是找到图中关键的相似和全等三角形，比较典型，但有点难度．
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20．（2023 广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形
的对角线相交于点
，在正方
形
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
．证明：
；
（2）【类比迁移】如图2，矩形
的对角线相交于点
，且
，
．在矩形
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
．若
，求
的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形
和四边形
都是平行四边形，且
，
，
，
是直角三角形．在
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
．当
与
重叠部分的面积是
的面积的
时，请直接写出
的
长．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质，找相等的边和角证全等即可；
（2）过点
作
的平行线交
于点
、交
于点
，过点
作
垂线交
于点
，构造相似三角
形
和
，列比例式求解算出
，最后根据
计算即可；
（3）过点
作
的垂线交
于点
，根据勾股定理算出
，根据已知条件观察推理出
，
，结合
与
重叠部分的面积是
的面积的
，设
列方程求出
，最后根据勾股定理求出
即可．
【详解】（1）
正方形
的对角线相交于点
，在正方形
绕点
旋转的过程中，边
与边
交于点
，边
与边
交于点
，
，
，
，即
，
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在
和
中
，
；
（2）如图，过点
作
的平行线交
于点
、交
于点
，过点
作
垂线交
于点
，
四边形
和四边形
都是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
；
（3）如图，过点
作
的垂线交
于点
，
设
，则
，设
，则
，
，
，
，
又
，
，
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，
，四边形
和四边形
都是平行四边形，
是直角三角形
∴
，
(有公共角且都有直角)，
，∴
，∵
，即
，
∴
，
，设
，则
，
∵
，即
，∴
，
与
重叠部分的面积是
的面积的
，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，即
，
∴
，即
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性
质、相似三角形，综合性强，熟练掌握相关知识、结合图象分析是解题的关键．
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