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淘宝：学思创想
专题18 全等与相似模型之十字模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐
角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD 中，若E、F 分别是BC、CD 上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD 中，若E、F、G 分别是BC、CD、AB 上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD 中，若E、F、G、H 分别是BC、CD、AB、AD 上的点，EH⊥GF；则
HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
例1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为12 的正方形纸片
的顶点A 折叠至
边上的点
E，使
，若折痕为
，则
的长为（ ）
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A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】A
【分析】过点P 作PM⊥BC 于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，
从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：过点P 作PM⊥BC 于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，
在正方形ABCD 中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC，
∴∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∴∠APQ=∠PQM，∴∠PQM=∠APQ=∠AED，
∵PM⊥BC，∴PM=AD，∵∠D=∠PMQ=90°，∴△PQM≌△ADE，∴PQ=AE，
在
中，
，AD=12，由勾股定理得：
， ∴PQ=13．故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE 是解
题的关键．
例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形
中，
，点E，F 分别在边
，
上，
与
相交于点G，若
，则
的长为 ．
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【答案】
【分析】根据题意证明
，
，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质
是解题的关键．
例3．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形
中，点E、F、H 分别是
的中
点，
交于G，连接
．下列结论：①
；②
；③
；④
．正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】利用正方形的性质找条件证明
，则
，由
得到
，则
，即可判断①；连接
，同理可得：
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，
，在
中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
，即
可判断④；可得
是等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到
，
垂直平分
，
；假设
，推出矛盾，则
，即可判断②；证明
是等腰三角形，由三线合
一可知
，由
得到
，由
得到
，
由三角形外角的性质得到
，即可判断③．
【详解】解：∵四边形
是正方形，∴
，
，
∵点E、F、H 分别是
的中点，∴
，
在
与
中，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，∴
；故①正确；连接
，如图所示：
同理可得：
，
，在
中，H 是
边的中点，
∴
，即
；故④正确；
∵
，∴
是等腰三角形，∴
，
垂直平分
， ∴
；
若
，则
是等边三角形，则
，
，
则
，而
，与
矛盾，
∴
，∴
，∴
，故②错误；
∵
，∴
是等腰三角形，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
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∴
；故③正确；正确的结论有3 个，故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的
性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
例4．（广西2022-2023 学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 为边AB 上一点（点
E 不与点AB 重合），连接DE，过点A 作
，交BC 于点F，证明：
．
（2）探究：如图②，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AB，CD 上的点（点E，F 不与正方形的顶点重
合），连接EF，作EF 的垂线分别交边AD，BC 于点G，H，垂足为O．若E 为AB 中点，
，
，求GH 的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在BC，CD 上，
，BF，
AE 相交于点G．若
，图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，则
的面积为
______，
的周长为______．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
，
【分析】感知：由正方形的性质得出AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，证得∠ADE＝∠BAF，由ASA 证得
△DAE≌△ABF（ASA），即可得出结论；
探究：分别过点A、D 作
，分别交BC、AB 于点N、M，由正方形的性质得出
，AB＝CD，∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形DMEF 是平行四边形，ME＝DF＝1，DM＝EF，证
出DM⊥GH，同理，四边形AGHN 是平行四边形，GH＝AN，AN⊥DM，证得∠ADM＝∠BAN，由ASA 证得
△ADM≌△BAN，得出DM＝AN，推出DM＝GH，由E 为AB 中点，得出AE＝
AB＝2，则AM＝AE﹣ME
＝1，由勾股定理得出DM＝
，即可得出结果；
应用：S 正方形ABCD＝9，由阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为
6，空白部分的面积为3，由SAS 证得△ABE≌△BCF，得出∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S 四边形CEGF，则
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S△ABG＝
，∠FBC+∠BEA＝90°，则∠BGE＝90°，∠AGB＝90°，设AG＝a，BG＝b，则
，2ab＝
6，由勾股定理得出a2+b2＝AB2＝32，a2+2ab+b2＝15，即（a+b）
2＝15，得出a+b＝
，即可得出结果．
【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴
，
，
∵
，∴
，
，∴
，
在
和
中，
，∴
≌
（ASA），∴
．
探究：解：分别过点A、D 作
，
，分别交BC、AB 于点N、M，如图②所示：
∵四边形ABCD 是正方形，∴
，
，
，
∴四边形DMEF 是平行四边形，∴
，
，
∵
，
，∴
，
同理，四边形AGHN 是平行四边形，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（ASA），∴
，∴
，
∵E 为AB 中点，∴
，∴
，
∴
，∴
．
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应用：解：∵AB＝3，∴S 正方形ABCD＝3×3＝9，
∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为：
×9＝6，∴空白部分的面积为：9
6
﹣＝3，
在△ABE 和△BCF 中，
，∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BEA＝∠BFC，S△ABG＝S 四边形CEGF，
∴S△ABG＝
×3＝
，∠FBC+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴∠AGB＝90°，
设AG＝a，BG＝b，则
ab＝
，∴2ab＝6，
∵a2+b2＝AB2＝32，∴a2+2ab+b2＝32+6＝15，即（a+b）
2＝15，而
∴a+b＝
，即BG+AG＝
，∴△ABG 的周长为
+3，故答案为：
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角
形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关
键．
模型2.矩形的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关
系。
如图1，在矩形ABCD 中，若E 是AB 上的点，且DE⊥AC，则
.
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如图2，在矩形ABCD 中，若E、F 分别是AB、CD 上的点，且EF⊥AC，则
.
如图3，在矩形ABCD 中，若E、F、M、N 分别是AB、CD、AD、BC 上的点，且EF⊥MN，则
.
例1．（22·23 下·广西·九年级期中）如图，把边长为
，
且
的平行四边形
对
折，使点
和
重合，求折痕
的长．
【答案】
【分析】先证明
，得到
，求出BE 和BF，然后得到BD，DG 和MG 的长度，再
利用全等三角形的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接
与
交于点
，并补全矩形为
．
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∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∵
且
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∵
，
，
，
∴
，∴
，∴
．
【点睛】此题是折叠问题，考查折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和
性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到
，从而求出所需边的长
度．
例2．（22·23 下·河北·九年级期中）如图，在矩形
中，
、
、
、
分别为
、
、
、
边上的点，当
时，证明：
．
【答案】见解析
【分析】过点
作
于点
，过点
作
于点
，先根据余角的性质证明
，再证明
即可证明结论成立．
【详解】证明：如解图，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
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∵
，且四边形
为矩形，
∴
，∴
，∴
．
又∵
，∴
，∴
．
又∵
，∴
，
∴
．
【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判
定与性质是解答本题的关键．
例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形
中，
，
，
是
边上的一个动点，将
矩形
折叠，使点
与点
重合，点
落在点
处，折痕为
．
（1）如图1，当点
与点
重合时，则线段
_______________，
_____________；
（2）如图2，当点
与点
，
均不重合时，取
的中点
，连接并延长
与
的延长线交于点
，连接
，
，
．
①求证：四边形
是平行四边形：②当
时，求四边形
的面积．
【答案】（1）2，4；（2）①见解析；②
【分析】（1）过点F 作FH AB
⊥
，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线
的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6
x
﹣，在Rt
BCE
△
中，由勾股定理可得关于x 的方程，解方程求得x 的值，进而可得BE、DF 的长，由矩形的判定可得四边形
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DAHF 是矩形，进而可求FH、EH 的长，最后由勾股定理可得EF 的长；
（2）①根据折叠的性质可得
，进而可得
，根据已知条件可得
，从而易
证
，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；
②连接
与
交于点
，则
且
，又由①知：
，
，则
，继
而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设
，则
，根据勾股定理可得关于x 的方
程，解方程可得PE 的长，继而代入数据即可求解．
【详解】解：（1）
2 ，
4 ；过点F 作FH AB
⊥
，
∵折叠后点A、P、C 重合∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，
CD AB
CFE
∵
∥
∴∠
＝∠FEA，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE＝AE，
设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB
AE
﹣
＝6
x
﹣，
在Rt
BCE
△
中，由勾股定理可得
，即
解得： x＝4，即AE＝CE＝CF＝4 BE
∴
＝2、DF＝2，
D
∵∠＝∠A＝∠FHA＝90°∴四边形DAHF 是矩形，
FH
∴
＝
、EH＝AB
BE
AH
﹣
﹣
＝6
2
2
﹣﹣＝2
在Rt
EFH
△
中，由勾股定理可得:
＝4
（2）①证明：如图2，∵在矩形
中，
，
由折叠（轴对称）性质，得：
，∴
，
∵点
是
的中点，∴
，又
，∴
，
∴
，∴四边形
是平行四边形：
②如图2，连接
与
交于点
，则
且
，
又由①知：
，∴
，则
，
又
，∴
，∴
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在
，
，而
，∴
，
又在
中，若设
，则
，
由勾股定理得：
，则
，而
且
，
又四边形
是平行四边形，∴四边形
的面积为
．
【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判
定及其性质、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线．
例4．（2022 年四川乐山中考数学适应性试卷）解答
(1)如图1，矩形ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交AB，CD 于点E，F，GH 分别交AD，BC 于点G，H．求
证：
；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N 分别在边BC，CD 上，若
，求
的值；(3)如图3 四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N 分别在边BC，AB
上，，求
的值．
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】（1）过点A 作AP∥EF，交CD 于P，过点B 作BQ∥GH，交AD 于Q，如图1，易证AP＝EF，GH
＝BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；
（2）只需运用（1）中的结论，就可得到
，就可解决问题；
（3）过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于R，交BC 的延长线于S，如图3，易证四
边形ABSR 是矩形，由（1）中的结论可得
．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，
在Rt△CSD 中根据勾股定理可得x2+y2＝25①，在Rt△ARD 中根据勾股定理可得（5+x）
2+（10﹣y）
2＝
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100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
【详解】（1）解：过点A 作AP∥EF，交CD 于P，过点B 作BQ∥GH，交AD 于Q，如图1，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ 都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴
，∴
；
（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得
，
，∴
．
（3）过点D 作平行于AB 的直线，交过点A 平行于BC 的直线于R，交BC 的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR 是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR 是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得
．
设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD 中，x2+y2＝25①，
在Rt△ARD 中，（5+x）
2+（10﹣y）
2＝100②，由②﹣①得x＝2y
5③
﹣
，
解方程组
，得
，（舍去），或
，
∴AR＝5+x＝8，∴
．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等
知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
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模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD 和BE 夹角为60°，△ABC。
2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC 中，AB=BC，AB⊥BC，①D 为BC 中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦
，以上七个结论中，可“知二得
五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC 中，BC=kAB，AB⊥BC，D 为BC 中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
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例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是BC、AC 上的点，且BD＝CE，
AD 与BE 相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中
正确的结论是________（填序号）
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD 与△BCE 中，
，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE 是△ABP 的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．
例2．（22·23 下·淄博·一模）如图，等边
，点E，F 分别在AC，BC 边上，
，连接AF，
BE，相交于点P．(1)求
的度数；(2)求证：
．
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【答案】(1)
；(2)见解析
【分析】（1）根据
证明
，利用三角形的外角性质即可得解；
（2）证明
，利用对应边对应成比例列式即可．
【详解】（1）解：∵
是等边三角形，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
；
（2）证明：∵
，
，∴
．
∵
∴
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条
件证明三角形全等是解题的关键．
例3．（22·23 下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6 的等边
中，
、
分别为边
、
上的点，
与
相交于点
，若
，则
＝ °；则
的周长为 ．
【答案】
【分析】根据
证
，得出
，在
上取一点
使
，则
，证
，根据比例关系设
，则
，作
延长线于
，利
用勾股定理列方程求解即可得出
和
的长．
【详解】解：
是等边三角形，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
在
上取一点
使
，则
，
，
是等边三角形，
，即
，
，
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，设
，则
，作
延长线于
，
，
，
，
，
，
在
中，
，即
，解得
或
（舍去），
，
，
的周长为
，
故答案为：
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等
知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
例4．（22·23 下·六安·一模）如图1，等边
中，点D、E 分别在
上，且
，连接
交于点
(1)求证：
；(2)如图2，连接
，若
，判断
与
的位置关系
并说明理由；(3)如图3，在
的条件下，点G 在
上，
的延长线交
于H，当
时，请
直接写出线段FH 的长．
【答案】(1)详见解析(2)
，详见解析(3)
【分析】（1）因为
为等边三角形，所以
，
，又
，即可判
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定
≌
，根据全等三角形的性质得出
，利用三角形外角性质解答即可；
（2）延长BE 至M，使
，连接
，取
的中点N，连接
，可证得
是等边三
角形，得出
，
，再证得
≌
，推出
，
，证得
∽
，推出
，结合点N 是
的中点，得出
，
是等边三角形，进而可得
，
，推出
，即
；（3）延长BE 至M，使
，连接
，取
的中点K，连接
，可得
∽
，
，推出
，再由
是
的中位线，可得
，
，
，再由
∽
，可得
，进而可得
，再证得
，得出
【详解】（1）
为等边三角形，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
；
（2）
，理由如下：
如图，延长BE 至M，使
，连接
，取
的中点N，连接
，
由
得：
，
是等边三角形，
，
，
，
，即
，
在
和
中，
，
，
，
淘宝：学思创想
≌
，
，
，
，
∴
∽
，
，
，
，
，
，即
，
，即
，
，
点N 是
的中点，
，
，
又
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，延长
至M，使
，连接
，取
的中点K，连接
，
由
知：
，
≌
，
，
，
∽
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点G 是
的中点，
，
点K 是
的中点，
是
的中位线，
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性
质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅
助线构造全等三角形和相似三角形．
例5．（22·23 上·深圳·期中）如图，在
中，
，
，点D 为
边上的中点，
连接
，过点B 作
于点E，延长
交
于点F．则
的长为 ．
【答案】
【分析】以
为邻边作正方形，延长
交
为
，先求出
，再证明出
，得出即
为
的中点，再证明
，利用相似比及勾股定理即可求解．
【详解】解：以
为邻边作正方形，延长
交
为
，如下图：
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，即
为
的中点，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利
用相似三角形的相似比来求解．
例6．（22·23 下·沧州·二模）如图，在
中，
，
，点D 是线段
上的一点，
连接
，过点B 作
，分别交
、
于点E、F，与过点A 且垂直于
的直线相交于点G，连
淘宝：学思创想
接
，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若点D 是AB 的中点，则
C．当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，
D．若
，则
【答案】D
【分析】由
，可确定A 项正确；由
可得
，进而由
确定点F 为
的三等分点，可确定B 项正确；当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，由圆
内接四边形的性质得到
，得到
为圆的直径，因为
，根据垂径定理得到
，故C 项正确；因为D 为
的三等分点，
即
，可得
，由此
确定D 项错误．
【详解】解：依题意可得
，∴
，∴
，
又
，∴
．故A 项正确；如图，
∵
，
，∴
．
在
与
中，
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
又∵
，∴
；∵
为等腰直角三角形，
∴
；∴
；
∵
，∴
，∴
，∴
．故B 项正确；
当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得
，
∴
是B、C、F、D 四点所在圆的直径，∵
，∴
，∴
，故C 项正确；
∵
，
，
，∴
，
∴
，
，∴
，∴
；
∴
．故D 项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，
需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
例7．（22·23·广东·期中）如图，在
中，
，
，
，点
为
上一点，连
接
，
为
上一点，
于点
，当
时，求
的长．
【答案】
【分析】将
补成矩形
，延长
交
于点
，可得
，结合已知可求
、
，再由
即可求出CE．
【详解】解：如解图，补成矩形
，延长
交
于点
，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
，∴设
，则
，
又∵在矩形
中，
，∴
，
∴
，即
，解得
．∴
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性
质，证明
是本题的关键．
例8．（22-23 下·深圳·一模）如图①，在Rt
中，
，
，点D 为
边上的一点，
连接
，过点C 作
于点F，交
于点E，连接
．
(1)若
，求证：
；(2)如图②，若
，
，求
的值．
【答案】(1)答案见详解(2)
【分析】（1）要证
，过点B 作
，交
的延长线于H，证得
，得出
与
的数量关系，再证得
，得出
根据线段间关系，即可求证；（2）要求
的值，
淘宝：学思创想
根据角度间的转化，得出
，即可求出
的值，根据
，推出
，即可得到
最后结果．
【详解】（1）证明：如图，过点B 作
，交
的延长线于H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，
．
（2）解：
，
，
，
，
由（1）可知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
,
，
解得
（舍去），
，
，
又
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求证三角形相似和全等，正确做出辅助线，利用直角三角形特殊
三角函数求角，是解本题的关键．
例9．（22·23 上·长春·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做
了如下探究：
淘宝：学思创想
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形
中，点
、
分别是
、
上的两点，连接
，
，
，则
的值为___________．【类比探究】(2)如图②，在矩形
中，
，
，点
是边
上一点，连接
，
，且
，求
的值．【拓展延伸】(3)如图③，在
中，
，点
在
边上，连结
，过点
作
于点
，
的延长线交
边于点
．若
，
，
，则
___________．
【答案】(1) (2)
(3)
【分析】（1）设
与
的交点为
，根据正方形的性质可证明
，得
，即
可得出答案；（2）利用△DEC∽△ABD，则
；（3）过点
作
，延长
交
于点
，证明
，进而求得
的长，证明
，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：设
与
的交点为
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，在
与
中，
，
，
，
，故答案为：；
（2）解：如图，设
与
交于点
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
；
（3）解：如图，过点
作
，延长
交
于点
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
．故答案为：
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性
质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．
课后专项训练
1．（22·23 下·杭州·一模）如图，在等边
的AC，BC 边上各取一点M，N 使
，AN，BM 相
交于点O．若
，
，则BO 的长是（ ）
淘宝：学思创想
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【分析】证明△ABM≌△ACN （SAS），得出∠ABM=∠CAN，证明△AMO∽△BMA，得出
，可求
出BM，即可得解．
【详解】∵△ABC 是等边三角形∴∠BAM=∠ACN=∠ABN，AB=AC=BC
∵在△ABM 和△ACN 中
，∴△ABM≌△ACN （SAS），∴∠ABM=∠CAN，，
∵∠AMO=∠BMA，∴△AMO∽△BMA，∴
，
∵
，
，∴
，解得
，∴BO=BM-OM=8-2=6，故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E
处，折痕为MN．若CE 的长为7cm，则MN 的长为（ ）
A．10
B．13
C．15
D．无法求出
【答案】B
【详解】试题分析：作NF AD
⊥
，垂足为F，连接AE，NE，∵将正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD
淘宝：学思创想
上的E 点，折痕为MN，∴∠D= AHM=90°
∠
，∠DAE= DAE
∠
．∴△AHM
ADE
∽△
．∴∠AMN= AED
∠
．
在Rt
NFM
△
和Rt
ADE
△
中，
，∴△NFM
ADE
≌△
（AAS），∴FM=DE=CD
CE=5cm
﹣
，
又∵在Rt
MNF
△
中，FN=AB=12cm，∴根据勾股定理得：MN=
=13．故选B．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
3．（2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP，过点B 作BE AP
⊥
于点E，延长CE 交AD 于点F，过点C 作CH BE
⊥
于点G，交AB 于点H，连接HF，下列结论正确的是
（ ）
A．CE=
B．EF=
C．cos CEP=
∠
D．HF2=EF•CF
【答案】D
【分析】首先证明AH=HB，推出BG=EG，推出CB=CE，再证明△CBH≌△CEH，Rt△HFE≌Rt△HFA，
利用全等三角形的性质即可一一判断．
【详解】连接
．
淘宝：学思创想
四边形ABCD 是正方形，∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CG⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形
是平行四边形，∴CP = AH，
∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE 中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A 错误，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△CBH≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA， ∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF 中，有22+(2-x)2=(2+x)2，∴x=
，∴EF=
∴，故B 错误，
∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH=
=
，故C 错误．
∵HF=
，EF=
，FC=
∴HF2=EF·FC，故D 正确，故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．（黑龙江省牡丹江市2021 年中考数学真题试卷）如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，
BE＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF 的面积为（
）
A．2
B．2
C．6
D．5
【答案】D
【分析】作FH⊥AB 于H，交AE 于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE 中求出x，在Rt△ABE 中求出AE，再证
明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S 四边形AGEF=S△AGF+S△EGF 求解即可
【详解】解：作FH⊥AB 于H，交AE 于P，则四边形ADFH 是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，
AE⊥GF，AO=EO．设AG=GE=x，则BG=3-x，
在Rt△BGE 中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=
．
淘宝：学思创想
在Rt△ABE 中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE=
．
∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，
∵四边形ADFH 是矩形，∴AB=AD=HF．
在△ABE 和△FHG 中，
，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE=
，
∴S 四边形AGEF=S△AGF+S△EGF=
=
=
=
=5．故选
D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定理等知
识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
5．（22·23 下·东营·中考模拟）如图，在Rt
ABC
△
中，∠ABC=90°，AB=BC，点D 是线段AB 上的一点，连结
CD，过点B 作BG CD
⊥
，分别交CD、CA 于点E、F，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G，连结DF，给
出以下四个结论：①
；②若点D 是AB 的中点，则AF=
AB；③当B、C、F、D 四点在同一个圆
上时，DF=DB；④若
，则
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
淘宝：学思创想
【答案】C
【详解】试题分析：∵∠ABC=90°，∠GAB=90°，AB=BC，
AG//BC
∴
，∴△AFG
CFB
∽△
，∴
，故①正确；
又∵∠BCD+ EBC= EBC+ ABG=90°
∠
∠
∠
，∴∠BCD= ABG
∠
，∵AB=BC，∴△CBD
BAG
≌△
，∴AG＝BD，
BD
∵
＝
AB，∴AG：BC＝１：２，∴AF：FC＝１：２，∴AF：AC＝１：３，
AC
∵
＝
AB，∴AF＝
AB，故②正确；
当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，∵∠DBC＝90°，∴CD 是直径，∴∠CFD＝90°，
BF
CD
∵
⊥
，∴BE＝EF，∴BD＝DF，故③正确；
若
，则有BD：BC＝1：3，∵∠BEC＝∠DEB＝９０°，∠BCD= ABG
∠
，
BDE
CBE
∴△
△
∽
，∴DE：BE＝BE：CE＝BD：BC＝１：３，
DE
∴
：CE＝１：９，∴S△BDF：S△BFC＝１：９，即S△ＢＣＦ＝９Ｓ△BDF，故④错误；故选C.
考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质.
6．（22·23 下·江门·模拟预测）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC．点D 是线段BC 上的一点，连
接AD，过点C 作CG⊥AD，分别交AD、AB 于点G、E，与过点B 且垂直于BC 的直线相交于点F，点D 是
BC 的中点，连接DE．则
= ；
【答案】
【分析】先证
，得到
，再通过证明
，
为等腰直角三角形
淘宝：学思创想
得出
，即可求解．
【详解】
CG⊥AD
∠ACB=90°
又
，
为等腰直角三角形
，
点D 是BC 的中点
故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性
质，熟练掌握知识点并能灵活运用是解题的关键．
7．（22·23 下·山西·一模）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AE 是BC 边上的中线，过点
B 作AE 的垂线BD，垂足为H，交AC 于点D，则AD 的长为 ．
【答案】
【分析】过点C 作FC BC
⊥
于C，延长BD 交CF 于F，证明△ABE
BCF
≌△
（ASA），得BE＝CF，再证明
△ABD
CFD
∽△
，列比例式可得结论．
【详解】过点C 作FC BC
⊥
于C，延长BD 交CF 于F，
ABC
∵∠
＝∠BCF＝90°，∴∠ABC+ BCF
∠
＝180°，∴AB CF
∥
，
淘宝：学思创想
AE
BD
∵
⊥
，∴∠AHB＝∠BAH+ ABH
∠
＝90°，∵∠ABH+ CBF
∠
＝90°，∴∠CBF＝∠BAH，
在△ABE 和△BCF 中，
，∴△ABE
BCF
≌△
（ASA），∴BE＝CF，
AE
∵
是BC 边上的中线，∴BE＝
BC＝1，∴CF＝1，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：AC＝
＝
＝2
，
AB CF
∵
∥
，∴∠BAD＝∠DCF，∠ABD＝∠DFC，∴△ABD
CFD
∽△
，
∴
，即
，解得：AD＝
．故答案为：
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质．熟练运用相似三角形的判定和性质是关键．
8．（山东2022-2023 学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形ABCD 中，点E、F、H 分别是AB、
BC、CD 的中点，CE、DF 交于G，连接AG、HG．下列结论：①AG=AD；②AG⊥GH；③∠DAG=60°；
④∠AGE=∠BCE．其中正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】由“SAS”可证△BEC≌△CFD，可得∠BCE=∠CDF，由“AAS”可证△AEP≌△BCE，可得AP=BC，由
直角三角形的性质和全等三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：如图，延长DA，CE 交于点P，
∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD，
淘宝：学思创想
∵点E、F、H 分别是AB、BC、CD 的中点，∴BE=AE=BF=CF=CH=DH，
在△BEC 和△CFD 中，
，∴△BEC≌△CFD（SAS），∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，∴∠BCE+∠CFD=90°，∴∠CGF=90°=∠DGE，∵AD 与BC 平行，∴∠P=∠BCE，
在△AEP 和△BEC 中，
，∴△AEP≌△BCE（AAS），∴AP=BC，∴AP=AD，
又∵∠DGE=90°，∴AG=AP=AD，故①正确；∴∠AGD=∠ADG，
∵CH=DH，∠DGC=90°，∴GH=DH=CH，∴∠HDG=∠HGD，
∵∠ADG+∠HDG=∠ADC=90°，∴∠AGD+∠DGH=90°，∴∠AGH=90°，∴AG⊥GH，故②正确；
∵AG=AP=AD，∴∠P=∠AGE，∴∠AGE=∠BCE，故④正确；
∵CD=2CF，∴DF≠2DF，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，
∴∠DAG≠60°，故③错误，故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
9．（江西2023-2024 学年九年级月考数学试题）在矩形纸片
中，
，
，将纸片折叠．
(1)如图1，若沿
对折，使点C 恰好落在
上得到点E，求
的长．
(2)如图2，若沿对角线
折叠，使点C 落在点F 处，
与
交于点E，求
的长．
(3)如图3，若沿
折叠，使点C 与点A 重合，求折痕
的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠的性质得
，再用勾股定理解
即可；
（2）由折叠的性质得
，进而证明
，推出
，再用勾股定理解
即可；（3）连接
，连接
交
于点O，由折叠的性质可证四边形
是菱形，用勾股
定理解
，求出菱形的边长，再利用菱形的面积公式列式求解．
淘宝：学思创想
【详解】（1）解：
四边形
是矩形，
，由折叠知
，
；
（2）解：
沿对角线
折叠，
，
矩形
中，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接
，连接
交
于点O，
由折叠的性质可知
垂直平分
，
，
，
沿
折叠，
，
矩形
中，
，
，
，
，
，
四边形
是菱形，
在
中，
，
，
，解得
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠的
性质，即折叠前后对应边相等、对应角相等．
10．（2023 年成都市中考三模数学试题）已知正方形
的边长为6，动点
分别在边
上运
动，连接
．
淘宝：学思创想
(1)如图1，过
作
交边
于点
，交
于点
．i）若
为
的中点，
为
的中点，求
的长；ⅱ）探索线段
之间的数量关系，写出你的结论并证明．(2)如图2，将四边形
沿
翻折得到四边形
与
相交于点
，调整点
和点
的位置使得线段
始终经过顶点
．
i）若点
到
的距离
，求
的长；ⅱ）点
到
的距离是否存在最大值？若存在，请直接
写出这个最大距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)i）
；ⅱ）
，理由见解析(2)i）5；ⅱ）点
到
的距离的最大值为
【分析】（1）i）根据正方形的性质证明
，结合勾股定理即可求解；
ⅱ）过点
作
于点
，证明
，可知
，由
，
，可证得结论；（2）i）连接
，延长
交
于点
，由轴对称得性质可知点
与点
关于
对称，
也垂直平分
，进而可得
，证明
，
，结合勾股定理即可求解；
ⅱ）由i）可知点
与点
关于
对称，连接
，由轴对称可知：
，
，证得
，进而可知
，
，
在同一直线上，可得
，求得
淘宝：学思创想
，作
，交
于
，延长交
于
，则
，由直角三角形斜边与直角边
的关系可得
，当
与
重合时取等号，即可求得点
到
的距离
的最大值．
【详解】（1）解：i）∵四边形
是正方形，且边长为6，∴
，
，
∵
为
的中点，∴
，由勾股定理可得：
，
∵
为
的中点，∴
，∵
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，即：
，解得：
，∴
；
ⅱ）
，理由如下：过点
作
于点
，则
∵四边形
是正方形，∴
，
，则
∵
，可知四边形
为矩形，∴
，
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
则
，∴
．
（2）i）连接
，延长
交
于点
，
淘宝：学思创想
∵
，
关于
对称，则：
，
，
∴
垂直平分
，
∵
，
为
延长线与
的交点∴
，且点
与点
关于
对称∴
也垂直平分
，
∵
，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，即：
，得：
，则
，
在
中，
，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即：
，得：
；
ⅱ）由i）可知点
与点
关于
对称，连接
，
由轴对称可知：
，
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
则
，
，
在同一直线上，
∴
，即：
，∴
，
作
，交
于
，延长交
于
，则
，
淘宝：学思创想
∴点
到
的距离为
，点
到
的距离为
，
由直角三角形斜边与直角边的关系可得：
，当
与
重合时取等
号；
综上：点
到
的距离的最大值为
．
【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性
质，轴对称的性质，添加辅助线构造全等三角形及相似三角形是解决问题的关键．
11．（四川省成都市2023-2024 学年九年级上学期10 月月考数学试题）【模型发现】如图1，在正方形
中，E 为边
上一点（不与点B、C 重合），过点D 作垂直于
的一条直线
，垂足为G，交
于点F．小明发现可以通过证明：
得
（不需证明）
【模型探究】（1）如图2，在正方形
中，P 为边
上一点（不与点B、C 重合），M 为线段
上
一点（不与C、D 重合），过点M 作
，垂足为G，交
于点N，请直接写出
与
及线段
、
、
之间的数量关系．
（2）如图3，在（1）的条件下，若垂足G 恰好为
的中点，连接
，交
于点H，连接
并延长
交边
于点I，再连接
，请探究线段
、
的数量关系；
【拓展应用】（3）如图4，若正方形
的边长为8，点M、N 分别为边
、
上的点，过A 作
，已知
，将正方形
沿着
翻折，
的对应边
恰好经过点A，连接
交
于点Q.过点Q 作
，垂足为R，求线段
的长．（直接写出结论即可）
淘宝：学思创想
【答案】（1）
，
，理由见详解（2）
，理由见详解（3）
【分析】（1）过点
作
交
于点
，证明
，即可得出结论；
（2）过点
作
于点
，先根据直角三角形的性质，得
再证明
即可得到结论；
（3）延长
交
于点
，延长
交
于点
，连接
，设
，则
，先证明
，得
，再证明
，即可得出结果．
【详解】解：（1）
，
，
理由：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
过点
作
交
于点
，如图1 所示：
四边形
为平行四边形，
，
，
,
．
，
，
在
和
中，
，
，
，
,
，
，
，
，
故
，
；
（2）解：
，理由如下：过点
作
于点
，
淘宝：学思创想
在正方形
中，
，
．
恰好为
的中点，
，
，
，
，
，即
，
；
（3）解：延长
交
于点
，延长
交
于点
，连接
，
由折叠性质知：
，
，
垂直平分
，
，
，
在
中，
设
，则
，
在
中，
，即
解得：
，即
，
，
，
由（1）中结论，
，
，
，同理可证：
，
，
，
，
，
，
，
，
且
，
，
，
，
，故线段
的长为
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
淘宝：学思创想
与性质、等腰直角三角形的判定与性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、平行线的性质等知
识；熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．
12．（成都市锦江区2022-2023 学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1，在正方形
，点
，
分别在边
，
上，
于点
，点
，
分别在边
、
上，
．
①判断
与
的数量关系：
； ②推断：
的值为：
；（无需证明）
（2）类比探究：如图（2），在矩形
中，
．将矩形
沿
折叠，使点
落在
边上
的点
处，得到四边形
，
交
于点
，连接
交
于点
．试探究
与
之间的数量关
系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3，四边形
中，
，
，
，
，点
，
分别在边
、
上，求
的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接
，若
，
，求
的长．
【答案】（1）=；1；（2）
，理由见解析；（3）
；（4）
【分析】（1）①由正方形的性质得
．所以
，又知
，得出
，于是
，可得
．
②证明四边形
是平行四边形即可解决问题．
（2）如图2，作
于
．证明：
即可解决问题．
（3）如图3，过点
作
，交
的延长线于点
，过点
作
，连接
，证明
，得出
，证明
，可得出
，由
勾股定理求出
，则可得出答案．
淘宝：学思创想
（4）过点
作
交
的延长线于
，利用相似三角形的性质求出
，
即可解决问题．
【详解】解：（1）①证明：
四边形
是正方形，
，
．
．
，
．
．
，
．故答案为：
．
②结论：
．理由：
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
．故答案为：1．
（2）结论：
．理由：如图2 中，过点
作
于
．
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
．
淘宝：学思创想
（3）如图3，过点
作
，交
的延长线于点
，过点
作
，连接
，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，且
，
，且
，
，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），
，
，
由（2）的结论可知：
．
（4）解：如图2 中，过点
作
交
的延长线于
．
，
假设
，
，
，
，
，
，
，
或
（舍弃），
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相
似三角形解决问题．
13．（22·23 下·江苏·九年级期中）平行四边形
中，
，
分别是边
、
上的点，
，G 为垂足．（1）如图1，当
，
时，求证：
（2）如图2，当
，
，
，求
的最小值
（3）如图3，当
，
，E 为
的中点，直接写出
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）
【分析】（1）利用正方形的判定与性质得到
，
，再通过倒角得到
，根据全等三角形的判定与性质即可得证；
（2）设
，则
，利用矩形的判定与性质得到
，再通过倒角得到
，根据相似三角形的判定与性质得到
，利用勾股定理得到二次函数，利用二次函
数的性质即可求解；
（3）过点A 作
于K，交BC 的延长线于H，通过证明
∽
得到
淘宝：学思创想
，设
，则
，
，
，由
，得到
，设
，则
，
，根据
，得到
，即可求解．
【详解】解：（1）∵平行四边形
中，
，
，
∴四边形ABCD 是正方形，∴
，
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
≌
，∴
；
（2）∵
，
，∴
，设
，则
，
∵平行四边形
中，
，∴四边形ABCD 是矩形，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
∽
，
∴
，即
，∴
，
∵
，
∵
，∴EF 有最小值，最小值为
；
（3）∵平行四边形
中，
，∴四边形ABCD 是菱形，∴
，
过点A 作
于K，交BC 的延长线于H，
∵
，∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
∽
，∴
，
设
，则
，
，
，
∵
，∴
，设
，则
，
，
∵
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分
线段成比例等内容，解题中辅助线的引入是得到证明方法的主要手段，这是一道较难的几何综合题．
14．（2022 年湖北中考模拟）知矩形ABCD 中，
，点E 是BC 边上一点，
于点O，分别交
AB、CD 于点F、G．
(1)特例发现：如图1，若
，则
______；
(2)类比探究：如图2，若
，请探究
的值，并写出探究过程；
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将矩形ABCD 沿CF 折叠，使点A 恰好落在BC 边上的点E 处，
得到四边形PEFG，PE 与CD 交于点H，连接PC．已知
，
，求PC 的长
【答案】(1)1；(2)
；(3)
【分析】（1）过G 作GH⊥AB 于H，利用矩形的性质求得△GHF∽△ABE，由相似三角形的性质即可解
答；
（2）过G 作GH⊥AB 于H，同（1）的解答；
（3）过P 作PM⊥BC 延长线于M，由折叠性质可得∠GPE=∠FEP=90°，FA=FE，PE=AD；由余角关系可得
淘宝：学思创想
∠CEH=∠BFE=∠CGP；Rt△BFE 中，由tan∠BFE=
，设BE=4k，BF=3k，则AF=EF=5k；由（2）结论求得
AE=
，在Rt△ABE 中由勾股定理建立方程求得k 的值，便可求得BF，BE，EF 的长，再由
△PEM∽△EFB 求得PM，ME 的长，进而得出MC 的长利用勾股定理即可解答；
【详解】（1）：如图，过G 作GH⊥AB 于H，ABCD 是矩形，则∠C=∠B=90°，
∵∠GHB=90°，∴GHBC 是矩形，∴GH=BC，
∵∠AFG+∠HGF=90°，∠AFG+∠BAE=90°，∴∠HGF=∠BAE，
∵∠GHF=∠ABE，∴△GHF∽△ABE，∴
，即
；
（2）：如图，过G 作GH⊥AB 于H，
同（1）解答可得△GHF∽△ABE，∴
，即
；
（3）：如图，过P 作PM⊥BC 延长线于M，
淘宝：学思创想
ABCD 是矩形，由折叠性质可得∠GPE=∠FEP=90°，FA=FE，PE=AD，
△PGH 和△CHE 中，∠PGH+∠PHG=90°，∠CEH+∠CHE=90°，∠PHG=∠CHE，∴∠PGH=∠CEH，
∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠CEH=90°，∴∠CEH=∠BFE=∠CGP，
Rt△BFE 中，tan∠BFE=
，设BE=4k，BF=3k，由勾股定理可得EF=5k，则AF=EF=5k，
∵
，由（2）结论
，∴AE=
，
Rt△ABE 中，AB=8k，BE=4k，由勾股定理可得
，
解得：k=
或k=
（舍去），∴AB=
，BE=
，EF=
，BF=2，
∵
，∴BC=4，∴CE=4-
=
，PE=AD=BC=4，
∵∠PEM=∠EFB，∠PME=∠EBF，∴△PEM∽△EFB，
∴
，BE=
则PM=
，BF=2 则ME=
，∴MC=ME-CE=
，
Rt△PMC 中由勾股定理可得
=
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，三角函数，勾股定理，
等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键．
15．（成都市锦江区2022-2023 学年九年级下学期入学练习数学试题）（1）如图1，在正方形ABCD 中，
点E，F 分别是AB，AD 上的两点，连接DE，CF，若
，则
的值为______；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，
，
，点E 是AD 上的一点，连接CE，BD，若
，则
淘宝：学思创想
的值为______；
（3）如图3，在四边形ABCD 中，
，点E 为AB 上一点，连接DE，过点C 作DE 的垂线交
ED 的延长线于点G，交AD 的延长线于点F，求证：
；
（4）如图4，在
中，
，
，将
沿BD 翻折，点A 落在点C 处，得到
，点F 为线段AD 上一动点，连接CF，作
交AB 于点E， 垂足为点G，连接AG．设
，求AG 的最小值．
【答案】（1）1；（2）
；（3）见解析；（4）
【分析】（1）先证明
得到DE=CF,最后代入求值即可；
（2）先证明
得到
,即
即可；
（3）过点F 作FH⊥BC，垂足为H，先证四边形ABHF 为矩形，再证△ADE∽△GDF 和△HCF∽△GDF 得到
△ADE∽△HCF，即
,即
即可；
（4）过C 作
于H，说明CGHD 四点共圆，再证
可得
，进而
得到
；然后再运用三角函数MR、DR、AR、AM,再根据题意可得
，最
后根据三角形的三边关系求最值即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠DFC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE 和△DCF 中，∠ADE=∠DCF， AD=DC，∠A=∠FDC
∴△ADE≌△DCF（ASA）.∴DE=CF，∴
=1 故答案为1；
淘宝：学思创想
（2）∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，∴∠ADB+∠CED=90°，∠CED+∠DCE=90°，∴∠ADB=∠DCE∴△ADB∽△DCE，
∴
，即
故答案为：
；
（3）如图，过点F 作FH⊥BC，垂足为H
∵∠H=∠A=∠B=90°，∴四边形ABHF 为矩形， ∴FH=AB.
∵CG⊥EG，∴∠G=90°=∠A=∠H，∵∠ADE=∠GDF，∴△ADE∽△GDF，
∵∠GDF=∠HFC，∴△GDF∽△HCF，∴△ADE∽△HFC，
∴
,即
∴
．
（4）如图4，过C 作
于H，
∵
，∴CGHD 四点共圆，∴
，
∵
， ∴
，∴
，
∴
，
，取CD 中点M，连接AM，GM，过M 作
于R，
，
，
，
，
∵
，
，∴
，
，
当A、G、M 三点共线时，AG 取最小值
．
【点睛】本题主要考查正方形性质、三角形全等判定与性质、矩形性质、三角形相似判定与性质、翻折轴
对称性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
淘宝：学思创想
16．（2023 年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】
如图1，已知正方形
中，
，
分别是
，
边上的点，
与
交于点
．当
时，
求证：
；
【类比迁移】如图2，在菱形
中，
，
分别是
，
边上的点，
与
交于点
．若
，求证：
．
【拓展延伸】如图3，在四边形
中，
，
分别是
，
边上的点，
与
交于点
．
，
，
，
，若
，请求出
的值．
【答案】问题解决：见解析；类比迁移：见解析；拓展延伸：
【分析】问题解决：根据正方形的性质、
，利用
证
，即可得出
；
类比迁移：延长
至
，使
，连接
，根据菱形的性质、
，利用
证
，得出
，再证明
是等边三角形，得出
，即可证明
；
拓展延伸：连接
，过点
作
的垂线，交
于
，交
于
，交
于
，根据“
，
，
，
”、勾股定理计算出
、
，根据
，计算
，推理出
、
，证明
，得出
，代入计算即可．
【详解】问题解决：∵四边形
为正方形，∴
，
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
淘宝：学思创想
在
和
中，
，∴
，∴
；
类比迁移：如下图，延长
至
，使
，连接
，
∵四边形
是菱形，∴
，
，∴
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，
，∴
是等边三角形，∴
，∴
；
拓展延伸：如下图，连接
，过点
作
的垂线，交
于
，交
于
，交
于
，
∵
，
，
，
，∴
，
，
，
∵
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，
∵
，
，∴
，
，
，
∵
，
，∴
，
∴
，
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾
股定理、相似三角形等，综合性较强，熟练掌握知识点，作出辅助线推理证明是解题的关键．
17．（22·23 下·安徽·模拟预测）如图1，在等边
中，点D，E 分别在边
上，且
，连
接
相交于点F．
(1)求
的度数；(2)如图2，连接
，当
时，求
的值；(3)如图3，在（2）的条件下，将
沿
翻折，使点C 落在点G 处，连接
并延长交
于点H，交
于点I．当
时，求
的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明
，可得
，即可求解；
（2）过点C 作
，垂足为点G，可得
，
，
，可得
，
，
．从而得到
．可证明
，即可求解；
淘宝：学思创想
（3）根据折叠的性质可得
，从而得到G，B，F，A 四点共圆，进而得到
，再证明
，可得
，再由
，
．
，再根
据
，可得
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
．∴
．
∴
．
（2）解：如图，过点C 作
，垂足为点G，∴
．
∵
，∴
．∴
．
由（1）知
，
，∴
．
在
中，
，
∴
，∴
．∴
，即
．
又∵
，∴
．∴
．∴
．
（3）解：∵
沿
翻折得到
，∴
，
．
∵
，∴
．
∴G，B，F，A 四点共圆．∴
．
在
与
中，∵
，∴
．∴
．
∵
，由（2）知
，∴
．
∴
．∵
，
∴
．∴
．∴
，即
．
淘宝：学思创想
∴
．∴
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，图形的折叠问题，圆的基本性
质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，图形的折叠的性质，圆的基本性质是解题的
关键．
18．（22·23 下·深圳·期中）课本再现
如图1，在等边
中，E 为边
上一点，D 为
上一点，且
，连接
与
相交于点F．
（1）
与
的数量关系是 ，
与
构成的锐角夹角
的度数是 ；
深入探究（2）将图1 中的
延长至点G，使
，连接
，
，如图2 所示．求证：
平分
．（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3，在等腰
中，
，D，
E 分别是边
，
上的点，
与
相交于点F．若
，且
，求
值．
【答案】（1）
，
；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）证明
，得
，
，再由三角形的外角性质得
即可得出结论．
（2）先证明
是等边三角形，再证明
，推出
，即可得证．
（3）延长
至点G，使
，连接
、
，过点D 作
于点M，
于点N，分
别证明
，得
，
，再证
，得
，
，然后证明
平分
，得
，进而证
，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵
是等边三角形，∴
，
，
淘宝：学思创想
在
和
中，
， ∴
．∴
，
，
∴
，故答案为：
，
；
（2）证明：由（1）可知，
，∴
，
∵FG＝BF，∴
是等边三角形，∴
，
，
∵
是等边三角形，∴
，
， ∴
，
∴
，即
，
∴
，∴
，
∴
，∴
， ∴
平分
．
（3）解：如图3，延长
至点G，使
，连接
、
，过点D 作
于点M，
于点N，
∵
，
， ∴
， ∵
， ∴
，
∴
，
，∴
，
即
， ∴
，∴
，
，
∵
， ∴
，∵
，
，
∴
，
，
∵
， ∴
， ∴
，∴
平分
．
∵
，
，∴
， ∵
，
，
淘宝：学思创想
∴
， 又∵
， ∴
．
方法二：如图4，过点D 作
交
于点P，则
，
，
∵
，
，
，
∴
， ∴
， ∴
， 即
，
∵
， ∴
， ∴
，
∵
， ∴
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角
形的判定与性质，角平分线的判定与性质，三角形的外角性质以及三角形面积，熟练掌握等边三角形的判
定与性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
19．（22-23 下·太原·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系．
已知：在Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是射线CB 上的一个动点，连接AD，过点C 作AD 的垂
线，垂足为点E，过点B 作AC 的平行线交CE 的延长线于点F．
独立思考：(1)如图1，当点D 与点B 重合时，小颖发现BF＝AC，请你帮她说明理由；
(2)如图2，当点D 为BC 中点时，直接写出线段BF 与AC 的数量关系；
合作交流：(3)①如图3，当点D 在线段CB 上（不与C、B 重合），请探究线段BF、BD 与AC 之间的数量
淘宝：学思创想
关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．②如图4，当点D 在线段CB 延长线上，请探究线段BF、
BD 与AC 之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）．
【答案】(1)理由见解析 (2)
（或
）
(3)①三条线段关系为：
；理由见解析；②三条线段关系为：
；理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到
，证得
，即可得到结论．
（2）根据同角的余角相等推出∠CAD=∠BCF，利用平行线的性质求出∠CBF=90°=∠ACD，进而证得
△ACD≌△CBF(ASA)，得到CD=BF，即可得到AC=2BF；
（3）①证明
，得到
，即可得到结论
；
②同法证明
，得到
，即可得到结论
．
【详解】（1）理由：∵
，∴
．
∵
，∴
，又∵
，∴
．∴
．
（2）
（或
）；
∵CE⊥AD，∴∠CED=∠ACD=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠DCE+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，∴∠ACB+∠CBF=180°，∴∠CBF=90°=∠ACD，
∵AC=BC，∴△ACD≌△CBF(ASA)，∴CD=BF，∵D 为BC 中点，∴BC=2CD，∴AC=2BF；
（3）（3）①三条线段关系为：
；
理由如下：∵
，∴
，∵
，∴
．∴
．
∵
，∴
．∴
中，
，
又∵
中，
，∴
，∴
．
∵
，∴
，∴
．∵
，∴
，
②如图，三条线段关系为：
理由如下：∵
，∴
，
∵
，∴
．∴
．
∵
，∴
，∴
中，
，
淘宝：学思创想
又∵
中，
，∴
，∴
，
∵
，∴
∴
．
∵
，∴
．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理
是解题的关键．
20．（22·23 下·渝北·阶段练习）
是等边三角形，点
、
分别在
、
上，且
，连接
、
交于点
．
(1)如图1，求
的度数；(2)如图2，以
为边作等边
，连接
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长
、
交于点
，点
在线段
上，且
，连接
交
于点
，若
，
，直接写出
的值．（提示：可过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，作
于点
．）
【答案】(1)
(2)见解析；(3)
【分析】（1）已知
是等边三角形，得到
，
，结合
，进而证
明
，即可求得
的度数；（2）在
上截取
，使得
，由（1）可知：
，得到
，已知
是等边三角形，得到
，得出
、
、
、
四点共圆，可证明
，得到
，
，进而得到
是等边三角形，
淘宝：学思创想
即可得到
；（3）过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，作
于点
，由（2）可知：
，可以得到
，根据
，得到
，可证明
，推出
，
，
，设
，则
，即可求得
．
【详解】（1）∵
是等边三角形，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
（2）在
上截取
，使得
，由（1）可知：
，∴
，
又∵
是等边三角形，∴
，∴
，
∴
、
、
、
四点共圆，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
是等边三角形，∴
，∴
．
（3）过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，作
于点
，
由（2）可知：
，∴
，∴
，∴
，
又∵
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，
设
，则
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识
点是解题的关键．
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