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专题15 “A”字和“8”字模型（相似三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
【“A”字模型】....................................................................................................................2
1、“A”字模型............................................................................................................... 2
2、反“A”字模型........................................................................................................... 2
3、同向双“A”字模型................................................................................................... 2
【“8”字模型】.....................................................................................................................3
1、“8”字模型................................................................................................................3
2、反“8”字模型............................................................................................................3
3、平行双“8”字模型....................................................................................................3
4、斜双“8”字模型........................................................................................................4
【“AX”字模型】.................................................................................................................4
1、一“A”一“8”模型......................................................................................................4
2、两“A”一“8”模型......................................................................................................5
3、四“A”一“8”模型......................................................................................................5
真题演练.....................................................................................................................................5
【“A”字模型专练】............................................................................................................5
【“8”字模型专练】.............................................................................................................8
【“AX”字模型专练】.......................................................................................................11
巩固练习...................................................................................................................................15
A 字模型是相似三角形几何模型中的一种，得名于其基本形状与字母“A”的形状相似。在这个
模型中，两个三角形相似，且它们的一个角相等，这个相等的角被称为“ A 字角”。由于两个三角
形相似，因此它们的对应边成比例，这个比例被称为“相似比”。借助相似比，我们可以计算出三
角形中各个元素的值，从而解决各种问题。
8 字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将
两个三角形分为两个小的相似三角形。在8 字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角
专题目录
模型解读
度。
“AX”字模型（“A8”模型）型相似模型结合了A 字模型和8 字模型的特点，是一种非常灵活
的模型。
【“A”字模型】
1、“A”字模型
如图，DE//BC；
结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2、反“A”字模型
如图，∠AED＝∠B；
结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3、同向双“A”字模型
如图，EF//BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
常见类型讲解
【“8”字模型】
1、“8”字模型
如图，AB//CD；
结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2、反“8”字模型
如图，∠A＝∠D；
结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3、平行双“8”字模型
如图，AB//CD；
结论：
4、斜双“8”字模型
如图，∠DAO＝∠CBO；
结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠BAO＝∠CDO.
【“AX”字模型】
1、一“A”一“8”模型
如图，DE//BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2、两“A”一“8”模型
如图，DE//AF//BC；结论：
.
3、四“A”一“8”模型
条件：如图，DE//AF//BC,
；结论：AF=AG
【“A”字模型专练】
（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形
中，点E，F，G，H 分别是
，
，
，
上的点，且
，若菱形的面积等于24，
，则
．
【答案】6
【详解】解：连接
，交
于点O，如图所示：
真题演练
∵四边形
是菱形，
，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理可得
，
设
，则有
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
同理可得
，即
，
∴
，
∴
；
故答案为6．
（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在
中，D，E，F 分别为
上的点，
交
于点G，求证：
．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接
．若
，求
的值．
(3)如图3，在
中，
与
交于点O，E 为
上一点，
交
于点
G，
交
于点F．若
平分
，求
的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
（2）解：由（1）得
，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
（3）解：如图，延长
交
于点M，连接
，作
，垂足为N．
在
中，
．
∵
，
∴由（1）得
，
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
平分
，
∴
，
∴
．
∴．在
中，
．
∵
，
∴
，
∴
．
【“8”字模型专练】
（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形
中，对角线
与
相交于点O，记
的
面积为
，
的面积为
．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若
与
不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成
立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使
，过点E 作
交
于点F，点H
为
的中点，
交
于点G，且
，若
，求
值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE⊥AC 于E，过点B 作BF⊥AC 于F，
∴
，
∴
，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴
；
∴
；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D 作AE⊥AC 于E，过点B 作BF⊥AC 于F，
∴
，
∴
，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴
；
∴
；
（3）如图所示，过点A 作
交OB 于M，取BM 中点N，连接HN，
∵
，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵
，
∴△OEF∽△OAM，
∴
，
设
，则
，
∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，
∴HN 是△ABM 的中位线，
∴
，
∴△OGF∽△OHN，
∴
，
∵OG=2GH，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
由（2）可知
．
【“AX”字模型专练】
（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），
中，
，
是
的中点，延长
至点
，使
，延长
交
于点
，探究
的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当
时，直接写出
的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在
中，
，
是
的中点，
是边
上一点，
，延长
至点
，使
，延长
交
于点
．直接写出
的值（用含
的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1）
；（2）见解析
(2)[问题拓展]
【详解】（1）[问题探究]：（1）如图，
中，
，
是
的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取
的中点
，连接
．
∵
是
的中点，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
（2）[问题拓展]如图，取
的中点
，连接
．
∵
是
的中点，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴
．
∴
．
．
（2021·江苏南京·中考真题）如图，
与
交于点O，
，E 为
延长线
上一点，过点E 作
，交
的延长线于点F．
（1）求证
；（2）若
，求
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】解：（1）∵
，
又∵
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
的长为
．
1、如图，在
中，点
在
上，点
分别在
、
上，四边形
是矩形，
，
是
的高，
，
，那么
的长为 ．
【答案】6
【详解】解：设
与
交于点M．
∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
，
∵
和
分别是
和
的高，
∴
，
∴
，
∵
，
代入可得：
，
解得
，
∴
，
巩固练习
故答案为：
．
2、如图，在三角形
中，点D、E 分别在边
、
上，
，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
的平分线交
于点F，交
于点G，求
．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）解：∵
，
，
，
，
∴
，
．
∴
，
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
（2）由（1）可得
，
∴
，
又∵
平分
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
3、如图，在矩形
中，
是
边上一点，且
，
与
相交于点
，若
的
面积是，则
的面积是______．
【答案】18
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
故答案为：18．
4、如图，在梯形
中，
是对角线
的中点，联结
并延
长交边
或边
于E．
（1）当点E 在边
上时，①求证：
；②若
，求
的值；
（2）若
，求
的长．
【答案】（1）①见解析；②
；（2）
或
【详解】（1）①由
，得
．
由
，得
．
因为
是
斜边上的中线，所以
．所以
．
所以
．
所以
．
②若
，那么在
中，由
．可得
．
作
于H．设
，那么
．
在
中，
，所以
．
所以
．
所以
．
（2）①如图5，当点E 在
上时，由
是
的中点，可得
，
所以四边形
是平行四边形．
又因为
，所以四边形
是矩形，
设
，已知
，所以
．
已知
，所以
．
在
和
中，根据
，列方程
．
解得
，或
（ 舍去负值）．
②如图6，当点E 在
上时，设
，已知
，所以
．
设
，已知
，那么
．
一方面，由
，得
，所以
，所以
，
另一方面，由
是公共角，得
．
所以
，所以
．
等量代换，得
．由
，得
．
将
代入
，整理，得
．
解得
，或
（舍去负值）．
5、在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE⊥BC，求证：OE＝
CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O 作EF//AB 分别交BC、AD 于点E、F．求证：
＝2．
（3）如图③，若OC 平分∠AOB，D、E 分别为OA、OB 上的点，DE 交OC 于点M，作MN∥OB 交
OA 于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN 长度．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴O 是AC 中点，
．
∵
，
∴
，
，
又
，
，
，
∴E 是BC 中点，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
∴
，
同理
，
，
，
∴
，
∴
，
即
；
（3）设
，
，
，
，
，即
，
，
即
，
故
的长度为
．
6、问题背景：如图1，在四边形
中，点F，E，G 分别在
上，
，
，求证：
尝试应用：如图 2，
是
的中线，点E 在
上，直线
交
于点G，直线
交
于
点F，若
，求
的值．
迁移拓展：如图3，在等边
中，点D 在
上，点E 在
上，若
，
，
直接写出
的值．（用含m 的式子表示）
【答案】问题背景：见解析；尝试应用：
；迁移拓展：
【详解】问题背景：如图（1），证明：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
尝试应用：如图（2），
解：延长
至D，使得
，连接
，
∵
是
的中线，
∴
，
∵
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
由图（1）得，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
迁移拓展：如图（3），
过点E 作
，交
于点M，交
于点N，
∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
也是等边三角形，
∴
∴
，
又∵
∴
∴
，即
，
∴
由图（1）可得
，
设
，则
，
∴
，
∴
，
∴
．
