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淘宝：学思创想
专题19 全等与相似模型之一线三等角（K 字）模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.一线三等角模型（全等模型）...........................................................................................................2
模型2.一线三等角模型（相似模型）.........................................................................................................11
..................................................................................................................................................19
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
淘宝：学思创想
模型1.一线三等角模型（全等模型）
一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线
段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角
条件：
，AE=DE； 结论：
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K 型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
，AE=DE； 结论：
，AB-CD=BC。
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1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴
，
∴
，
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
，∠AED=∠AEB+∠CED，
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴
，
∴
，
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角
中，
，
，D 为直线
上任意一
点，连接
．将线段
绕点D 按顺时针方向旋转
得线段
，连接
．
【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段
上时，线段
与
的数量关系为________；
【类比探究】（2）当点D 在线段
的延长线上时，先在图2 中补全图形，再探究线段
与
的数量关
系并证明；
【联系拓广】（3）若
，
，请直接写出
的值．
【答案】（1）
；（2）
，补图及证明见解析；（3）
或
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
（1）过点
作
延长线于点
，利用一线三垂直全等模型证明
，再证明
即可；（2）同（1）中方法证明
，再证明
即可；
（3）分两种情况讨论：过点
作
延长线于点
，求出
，
即可．
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【详解】解：（1）如图，过点
作
延长线于点
，
由旋转得
，
，∴
，
∵
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，故答案为：
；
（2）补全图形如图：
，理由如下：过点
作
交
于点
，
由旋转得
，
，∴
，
∵
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
；
（3）如图，当
在
的延长线上时，过点
作
于点
，连接
，
由（2）得
，
，∴
，
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∴
，∴
．
当
在
的延长线上时，过点
作
于点
，如图，连接
，
同理可得：
，∴
，
，∴
，
∴
，∴
；综上：
或
例2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点D 在线段BC 上运动（点D
不与点B、C 重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC 于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形
状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2 时，利用
∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出
△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．
【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）当DC=2 时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，
在△ABD 和△DCE 中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，
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∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE 的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA 的度数为80°时，∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE 的形状是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等
知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
例3．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知
和
，
，
，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型应用】（2）如图2，在正方形
中，点E，F 分别在对角线
和边
上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】（3）如图3，在正方形
中，点E 在对角线
上，点F 在边
的延长线上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
，理由见详解，（2）
，理由见详解，（3）
，理由见详解
【分析】（1）直接证明
，即可证明；（2）过E 点作
于点M，过E 点作
于点N，先证明
，可得
，结合等腰直角三角形的性质可得：
，
，即有
，
，进而可得
，即可证；（3）过A 点作
于点H，过
F 点作
，交
的延长线于点G，先证明
，再结合等腰直角三角形的性质，即可证
明．
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【详解】（1）
，理由如下：
∵
，
，
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
，
∴
，∴
；
（2）
，理由如下：过E 点作
于点M，过E 点作
于点N，如图，
∵四边形
是正方形，
是正方形的对角线，∴
，
平分
，
，
∴
，即
，
∵
，
，∴
，∵
，∴
，∴
，
∵
，
，
，
，∴四边形
是正方形，
∴
是正方形
对角线，
，∴
，
，
∴
，
，
∴
，即
，
∵
， ∴
，即有
；
（3）
，理由如下，过A 点作
于点H，过F 点作
，交
的延长线于点
G，如图，∵
，
，
，∴
，
∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∵在正方形
中，
，∴
，
∴
，∴
是等腰直角三角形，∴
，∴
，
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∵
，
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的
性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数
量关系，是解答本题的关键．
例4．（23-24 八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，
，射线
在这个角的内部，点B、C
分别在
的边
、
上，且
，
于点F，
于点D．求证：
；
（2）如图②，点B、C 分别在
的边
、
上，点E、F 都在
内部的射线
上，
、
分别是
、
的外角．已知
，且
．求证：
；
（3）如图③，在
中，
，
．点D 在边
上，
，点E、F 在线段
上，
．若
的面积为17，求
与
的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，三角形外角的性质，余角的性质，
解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，
，
，
，
，
．
（1）根据
证明三角形全等即可；（2）证明
，得出
，
，即可
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得出结论；（3）根据
的面积为17，
，得出
的面积是：
，由
，得出
，根据
，即可求出结果．
【详解】证明：（1）∵
，
，
，∴
，
∴
，
，∴
，
在
和
中，
，∴
；
（2）∵
，
，
，
，
∴
，
，
在
和
中，
，∴
；
∴
，
，∴
；
（3）∵
的面积为17，
，∴
的面积是：
，
根据解析（2）同理可证
，∴
，
∴
．
例5．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A 在y 轴正半轴，
点C 在x 轴正半轴，
交y 轴于点E．(1)如图1，若点B 坐标为
，直接写
出点A 的坐标 ，点C 的坐标 ；(2)如图2， 若点B 坐标为
，过点B 作
交x 轴于点D，设
的长为d，请用含m 的式子表示d；(3)如图3，若点 B 为第三象限内任意一点，过点
B 作
交x 轴于点 D，判断
和
的数量关系，并给出证明．
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【答案】(1)
，
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】（1）过点 B 作
轴于点H，证明
，可得
，即可；（2）过点B
作
轴于点H，
轴于点 G， 连接
，则
，证明
，可得
，由（1）得：
，
，
，然后
根据
，可得
，即可求解；（3）在
上取
，连
接
，证明
，可得
，从而得到
，过点 B 作
交y 轴于点G，可证明
，可得
．再根据
，
可得
，即可．
【详解】（1）解：过点 B 作
轴于点H，
在
中，
，∵
，∴
，
∵点B 坐标为
， ∴
，
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又∵
，
， ∴
，∴
，
，∴
，
；
（2）解：过点B 作
轴于点H，
轴于点 G， 连接
，则
，
∴
，∵
，∴
，∴
，
∵点B 坐标为
，∴
，∴
，∴
，
由（1）得：
，∴
，
，
，
，
，
，即
；
（3）解：
，证明如下：如图，在
上取
，连接
，
∵
，
，∵
，
，∴
，
∵
， ∴
，∴
，
∴
，
∵
，∴
，
，
过点 B 作
交y 轴于点G，∴
，
∴
，∴
，
又∵
， ∴
，∴
．
又 ∵
， ∴
，∴
，
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形等知识，得到全
等三角形是解题的的关键．
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模型2.一线三等角模型（相似模型）
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，
再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定
理也可），从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2 ，∴∠CBE=∠EAD （等角的补角相等），∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3 ，
∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
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图1
图2
图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C 为AB 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB （外角定理），∠1=∠2 ，∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3 ，
∴△ACE∽△BED。
∴
，∵C 为AB 的中点，∴AE=EB ，∴
，∴
，∵∠2=∠3 ，
∴△BED∽△ECD
②一线三直角变异型1 ：条件：如图2 ，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结论：
△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，
为等边三角形，点
，
分别在边
，
上，
，若
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】证明
，根据题意得出
，进而即可求解．
【详解】解：∵
为等边三角形， ∴
，
∵
，
，∴
，∴
∴
∵
，∴
，∴
∵
∴
，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是
解题的关键．
例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操
作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形
，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕
，如图②．
根据以上的操作，若
，
，则线段
的长是（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得：
，
，
，设
，则
，利用勾股定理求出
，再证明
，得
，求解即可．
【详解】解：如图，过点
作
，交
于点
，
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在
和
中，
设
，则
，
，即：
，解得：
，
，
，
，
，
，
，故选：C．
【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并
能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．
例3．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，
中，
，
，直
线过点
，过点
、
分别作
于点
，
于点
，则
（不用证明）．
(1)【类比探究】如图2，在
中，
，且
，上述结论是否成立？若
成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在
中，
，且
，猜想线段
、
、
之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1 的
中，
，
，并将直线绕点
旋转一定角度后与斜边
相交，分
别过点
、
作直线的垂线，垂足分别为点
和点
，请在备用图上画出图形，并直接写出线段
、
、
之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
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【答案】(1)成立，见解析 (2)①
，见解析；②
或
【分析】（1）易证
，则有
，
，从而可得
；
（2）①易证
，则有
，从而可得
，
，即可得到
；②同①可得
，
．由于直线在绕着点
旋转过程中，点
到
直线的距离
与点
到直线的距离
大小关系会发生变化，因此需分情况讨论（如图4、图
，然后
只需结合图形就可解决问题．
【详解】（1）猜想
．理由：如图2，
，
．
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
；
（2）①猜想：
．理由：如图3，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
；
②
或
．同①可得：
，
．
如图4，
；如图5，
．
【点睛】本题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角
和定理、平角的定义等知识，考查了探究能力，渗透分类讨论的思想以及特殊到一般的思想，是一道好题．
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例4．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P 是
内部一点，在射线
上取点D、E，使得
．求证：
；
【尝试应用】如图2，在
中，
，
，D 是
上一点，连接BD，在BD上取点
E、F，连接
，使得
．若
，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在
中，
，
，D 是
上一点，连接BD，在BD上取
点E，连接CE．若
，
，求
的正切值．
【答案】【基础巩固】见解析 【尝试应用】
【拓展提高】
【分析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可
得
，
,再推导
，然后利用等腰三角形的性质得到
，计算解题；【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使
，作
于点
，则可得到
，即
，
，进而证明
，得到
，设
，可以求出
解题即可．
【详解】【基础巩固】证明：∵
,
，∴
,
又∵
,
,
，∴
,∴
.
【尝试应用】解：∵
,
∴
，
,即：
，
又∵
，
，即：
，
又
.∴
,
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又∵
，
，
∴
,∴
,∴
，∴
，故CE 的长为：
.
【拓展提高】解：如图所示，在BD上取点F，使
，作
于点
，
∵
，∴
，
.即：
，
又∵
，∴
，
又
，
，∴
，∴
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴令
，则
∴
，
又∵
∴在
中，
，∴
，
由勾股定理可得：
，
又∵
，
∴∠
，∴
，∴
，∴
，
设
，则
，
.
∴
，解得：
,∴
,
∴
故
的正切值为：
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在
中，
，
，点D 是线段
上的
一点，连接
，过点B 作
，分别交
、
于点E、F，与过点A 且垂直于
的直线相交于点
G，连接
，下列结论错误的是（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．若点D 是AB 的中点，则
C．当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，
D．若
，则
【答案】D
【分析】由
，可确定A 项正确；由
可得
，进而由
确定点F 为
的三等分点，可确定B 项正确；当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，由圆
内接四边形的性质得到
，得到
为圆的直径，因为
，根据垂径定理得到
，故C 项正确；因为D 为
的三等分点，
即
，可得
，由此
确定D 项错误．
【详解】解：依题意可得
，∴
，∴
，
又
，∴
．故A 项正确；如图，
∵
，
，∴
．在
与
中，
，
∴
，∴
，又∵
，∴
；
淘宝：学思创想
∵
为等腰直角三角形，∴
；∴
；
∵
，∴
，∴
，∴
．故B 项正确；
当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得
，
∴
是B、C、F、D 四点所在圆的直径，∵
，∴
，∴
，故C 项正确；
∵
，
，
，∴
，∴
，
，
∴
，∴
；∴
．故D 项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，
需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用．
淘宝：学思创想
1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形
的边
上有一点
，连接
，把
绕点
逆时针旋
转
，得到
，连接
并延长与
的延长线交于点
．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】过点F 作
延长线的垂线，垂足为点H，则
，证明
，则
，
设
，得到
，则
，故
，同理可求
，则
，因此
．
【详解】解：过点F 作
延长线的垂线，垂足为点H，则
，由旋转得
，
淘宝：学思创想
∵四边形
是正方形，∴
，
，
，设
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
，
设
，则
，∴
，
∴
，而
，∴
，∴
，
∵
，∴
，同理可求
，
∴
，∴
，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅
助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键．
2．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，
中，
，
，
为线段
上一动点
（不与点
，
重合），连接
，作
，
交线段
于
，以下四个结论：
①
；②当
为
中点时，
；③当
为等腰三角形时，
；
④当
时，
．其中正确的结论的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得到
，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到
；根据等腰三角形的性质得到
，根据三角形的内角和即可得到
；根据三
角形外角的性质得到
，求得
，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到
或
；根据全等三角形的性质得到
．
【详解】解：①
，
，
，
，
，故①正确；
②
为
中点，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
淘宝：学思创想
，
；或
为等腰三角形，
，
，
，
，故③错误；
④
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确，
综上所述正确的有①②④．故选：
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是
解题的关键．
3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点
，A 与
关于y 轴对称，连结
，现将线
段
以
点为中心顺时针旋转
得
，点 B 的对应点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点
作
轴
于点C，证明
，可得
，即可求解．
【详解】解：∵点
，A 与
关于y 轴对称，∴
，
如图，过点
作
轴于点C，∵将线段
以
点为中心顺时针旋转
得
，
∴
，∴
，∵
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴点 B 的对应点
的坐标为
．故选：A
4．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角
，
，
，
点D 为
外一点，
，连接CD，
，
，BC 的长为 ．
【答案】
【分析】过
作
于
，过
作
交
的延长线于
，由
，
，得到
，证出
，推出
，得到
，
，设
，
，根据勾股定理得到
，
，
，于是得到
．
【详解】解：过
作
于
，过
作
交
的延长线于
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，设
，
，
淘宝：学思创想
在
中，
，即：
，
解得：
；
（不合题意，舍去）．
，
，
，
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，正确的作出辅
助线构造全等三角形是解题的关键．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知
，
，
，
，
和
都
是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．过
作
于
，得到
，根据直角三角形的性质得到
，延长
交
于
，过
作
于
，过
作
于
，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：过
作
于
，
，
，
，
，
延长
交
于
，过
作
于
，过
作
于
，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
图中阴影部分的面积
的面积
，故答案为：12．
6．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（
，
）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C 分别落在凹槽内壁上，若
，测得
，
，则该凹槽的宽度
的长为
．
【答案】48
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性
质即可得到结论．
【详解】解：∵
是等腰直角三角形，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，∴
故答案为：48．
7．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形
绕点A 逆时针旋转得到平行四边形
，使点E
落在边
上， 且点 D 巧合是
的中点， 若
则
的值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方
法是解题的关键．设
，则
，即可得到
，根据旋转得到
，即可得到
，求出
和
长即可解题．
【详解】解：在平行四边形
中，
，
，
∵平行四边形
绕点A 逆时针旋转得到平行四边形
，
∴
，
，
，设
，则
，
∵ D 是
的中点，∴
，∵
，
，
，
∴
，
，∴
，∴
，即
，解得
，
∴
，∴
，故答案为：
．
8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，将一张正方形纸片
折叠，折痕为
，折叠后，点B 的对应
点落在正方形内部的点F 处，连接
并延长交
于点G．若
，
，则
的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，过
作
于点
，过
作
于点
，由题意可知，
，
，
证明
，
，由性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：过
作
于点
，过
作
于点
，
AE
BC
2 2
AD
EG
F
H
A
M
90
C
ADM
DGC
∽
F
FH
BC
H
A
AM
GD
M
淘宝：学思创想
由题意可知，
，
，∴
，
∵
，∴
，在
中，由勾股定理得：
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
设
，在
中，由勾股定理得：
，即
，解得：
，∴
，故答案为：
．
9．（2024·四川成都·一模）已知等边
的边长为5，点M 在边
上运动，点N 在直线
上运动，将
沿着
翻折，使点A 落在直线
上的点
处，若
，则
．
【答案】
或
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，翻折变换，关键是证明
，得到
，再利用含
的式子表示
．此题要分两种情况进行讨论：①当点A 落在线段
上时；②当A 在
的延长线上时，首先证明
．根据相似三角形的性质可得
90
C
DM
FM
BG
CG
2
BG
CG
2
2
10
DG
CD
CG
ADM
FGH
2
5
AD
DM
DG
CG
2 10
5
DM
FM
FH
BC
CD
BC
DFH
DGC
∽
1
5
FH
GF
GN
CD
DG
CG
1
2
5
GH
Rt
EFH
△
2
2
2
2
1
2
2
2
5
5
x
x
2
3
EG
ABC
AB
ABC
MN
A
AN
BMA
CA N
∽
AN
BC
CB
BA
A M
BM
CN
A N
CA
AN
x
5
CN
x
BM
淘宝：学思创想
，再设
，则
，然后利用含x 的式子表示
、
，根据
列出方程，解出x 的值可得答案．
【详解】解：①当点A 落在如图1 所示的位置时，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
，由折叠知，
，
，
，
，
，
，
，设
，则
，
，
，
，
，解得
，
；
②当A 在
的延长线上时，如图2，由折叠知，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，解得：
，
故答案为：
或
10．（23-24 八年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识
之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了
一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容．“一线三垂直”模型的探索与拓展
【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为
，且它
BA
A M
BM
CN
A N
CA
AN
x
5
CN
x
BM
60
A
B
C
MA N
B
MA N
BMA
CA N
∽
A N
AN
BA
A M
BM
CN
AN
CA
5
BC
1
A B
AN
x
5
CN
x
1
5
4
A M
BM
x
x
5
BM
A M
7
2
x
CB
AM
A M
60
CA N
CNA
ACB
180
120
A BM
ABC
A BM
NCA
BA
A M
BM
CN
A N
CA
1 4
5
BA
A C
BC
：
：,
5
20
3
3
BA
CA
,
5
CN
x
5
3
20
5
3
BM
A M
x
x
5
BM
A M
5
100
5
3
5
9
5
x
x
x
65.
6
AN
65.
6
淘宝：学思创想
们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在
全等三角形．
例如：如图1，
，过点C 作任意一条直线m，
于点D，
于点E，则三个直角的
顶点都在同一条直线m 上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果
，那么由
，可得
，又因为
，所以可得
．
【模型应用】问题1：如图2，在
中，
，
，点D 为
上一点，连接
．
过点B 作
于点E，过点C 作
交
的延长线于点F．若
，
，求
的长．
问题2：如图3，在平面直角坐标系中，
，
．若
是以
为腰的等腰直角三角形，请
直接写出所有满足条件的点P 的坐标．
【模型迁移】问题3：如图4，已知
为等边三角形，点D，E，F 分别在三边上，且
，
．求证：
是等边三角形．
【答案】问题1：4；问题2：点P 的坐标为
或
或
或
；问题3：证明过程见解析
【分析】问题1：利用等量代换得
，证明
，可得
，
，再根据
求解即可；问题2：如图，由题意可得
，
，分类讨论：当
时，当
时，根据三角形全等的判定与性质求解即可；
问题3：根据等边三角形的性质可得
，再利用等量代换可得
，证得
淘宝：学思创想
，可得
，再根据等边三角形的判定定理即可得证．
【详解】解：问题1：由题意得，
，
∵
，
，∴
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，
，∴
；
问题2：如图，∵
，
，∴
，
，
当
时，过点
作
轴于点C，∵
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
，
∴
，∴
，过点
作
轴于点D，
∵
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，
，∴
，
又∵
，∴
，
∴
，
，∴
，∴
，
当
时，过点
作
轴于点E，同理可证，
，
∴
，
，∴
，∴
，
过点
作
轴于点F，同理可证，
，
∴
，
，∴
，∴
，
综上所述，点P 的坐标为
或
或
或
；
淘宝：学思创想
问题3：∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，
在
和
中，
，∴
，∴
，
又∵
，∴
是等边三角形．
【点睛】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判
定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，
请根据以下问题，把你的感知填写出来：
淘宝：学思创想
①如图1，
是等腰直角三角形，
，AE=BD，则
_______；
②如图2，
为正三角形，
，则
________；
③如图3，正方形
的顶点B 在直线l 上，分别过点A、C 作
于E，
于F．若
，
，则
的长为________．
【模型应用】（2）如图4，将正方形
放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为
，
则点C 的坐标为________．
【模型变式】（3）如图5 所示，在
中，
，
，
于E，AD⊥CE 于D，
，
，求
的长．
【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）
（3）2cm
【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF；
②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD；
③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；
（2）分别过A、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得
△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE 的长，进而得到点C 的坐标；
（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．
【详解】①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90゜
∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜
∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD
在△AED 和△BDF 中
∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF；
②∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜
∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF
淘宝：学思创想
在△BDE 和△CFD 中
∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD；
③∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜
∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF
在△ABE 和△BCF 中
∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3；
（2）分别过A、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示
∵四边形OABC 是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜
∵AD⊥x 轴，CE⊥x 轴∴∠CEO=∠ADO =90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD
在△COE 和△OAD 中
∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD
∵
∴OD=1，
∴CE=1，
∵点C 在第二象限∴点C 的坐标为
故答案为：
；
（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜
∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD
在△BCE 和△CAD 中
∴△BCE≌△CAD(AAS)
∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)
【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．
淘宝：学思创想
12．（2024·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点
C 作CE⊥MN 于点E，过点B 作BF⊥MN 于点F．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A 顺时针旋转至图2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A 顺时针旋转至图3 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE 仍成立 (2)AF-BF=2CE
【分析】（1）过B 作BH⊥CE 于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B 作BG⊥CE，交CE 的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
（1）解：图2，AF+BF=2CE 仍成立，
证明：如图，过B 作BH⊥CE 于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE 中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE 之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B 作BG⊥CE，交CE 的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE 中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
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【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2024·浙江·校考一模）（1）探索发现：如图1，已知
中，
，
，直线l
过点C，过点A 作
，过点B 作
，垂足分别为D、E．求证：
．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板
放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为
，求点M 的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线
与y 轴交于点P，与x 轴交于点Q，
将直线
绕P 点沿逆时针方向旋转
后，所得的直线交x 轴于点R．求点R 的坐标．
【答案】（1）见详解；（2）点M 的坐标为（1，3）；（3）R（
，0）
【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出
结论；（2）过点M 作MF⊥y 轴，垂足为F，过点N 作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，
n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q 作QS⊥PQ，交PR 于S，过点S 作SH⊥x 轴于H，先求出
OP=4，由y=0 得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，
进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M 作MF⊥y 轴，垂足为F，过点N 作NG⊥MF，交FM 的延长线于G，
淘宝：学思创想
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，
∴MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，
∵点N 的坐标为（4，2）∴
解得
∴点M 的坐标为（1，3）；
（3）如图3，过点Q 作QS⊥PQ，交PR 于S，过点S 作SH⊥x 轴于H，
对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0 得y＝4，
∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0 得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），
设直线PR 为y＝kx+b，则
，解得
．∴直线PR 为y＝
x+4．
由y＝0 得，x＝
，∴R（
，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形
是解本题的关键．
14．（2024·北京校考·一模）已知梯形
中，
∥
，且
，
，
．
⑴如图，P 为
上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP 的长；
⑵如果点P 在
边上移动（点P 与点
不重合），且满足∠BPE=∠A，
交直线
于点E，同时交直
线DC 于点
．①当点
在线段DC 的延长线上时，设
，CQ=y，求
关于
的函数关系式，并写出
自变量
的取值范围；②写CE=1 时，写出AP 的长（不必写解答过程）
淘宝：学思创想
【答案】⑴
的长1 或4;⑵①
;②
或3-
【分析】（1）当∠BPC=∠A 时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此
∠ABP=∠DPC，此时三角形APB 与三角形DPC 相似，那么可得出关于AP，PD，AB，CD 的比例关系式，
AB，CD 的值题中已经告诉，可以先用AP 表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP 的长．
（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC 换成了DQ，那么只要用DC+CQ 就能表示出DQ 了．然后按得
出的关于AB，AP，PD，DQ 的比例关系式，得出x，y 的函数关系式．
②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ 和CEQ 相似，根据CE 的长，用AP 表
示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE 的比例关系用AP 表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可．
【详解】解：⑴
，
，
，
又
梯形
中，
，
，
，
，
设
，
，
，解得
，
，
的长1 或4;
⑵①由⑴易得
（如图），
，即
，
②当CE=1 时，∵△PDQ∽△ECQ，∴
,
或
，
，解得：AP=2 或3−
.
【点睛】考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键．
15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形
中，
分别在
上，将四边形
沿
翻折，
淘宝：学思创想
使
的对称点
落在
上，
的对称点为
交
于
．
(1)求证：
．(2)若
为
中点，且
，求
长．
(3)连接
，若
为
中点，
为
中点，探究
与
大小关系并说明理由．
【答案】(1)见详解(2)
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质得
，由折叠得出
，得出
，即
可证明
；（2）根据矩形的性质以及线段中点，得出
，根据
代入数值得
，进行计算
，再结合
，则
，代入数值，得
，所以
；（3）由折叠性质，得
直线
，
，
是等腰三角形，则
，因为
为
中点，
为
中点，所以
，
，所以
，则
，所以
，则
，即可作答．
【详解】（1）解：如图：∵四边形
是矩形，∴
，∴
，
∵
分别在
上，将四边形
沿
翻折，使
的对称点
落在
上，
∴
，∴
，∴
，∴
；
（2）解：如图：∵四边形
是矩形，∴
，
，
∵
为
中点，∴
，设
，∴
，
淘宝：学思创想
在
中，
，即
，解得
，
∴
，∴
，∵
，∴
，∴
，解得
，
∵
，∴
；
（3）解：如图：延长
交于一点M，连接
∵
分别在
上，将四边形
沿
翻折，使
的对称点
落在
上，
∴
直线
，
，∴
是等腰三角形，∴
，
∵
为
中点，∴设
，∴
，
∵
为
中点，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，
，
∴
，
在
中，
，∴
，∴
，
在
中，
，∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
16．（2023 年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在
中，
，
，
是线段
上的一点，连接
，过点
作
，分别交
，
于点
，
，与过点A 且垂直于
的直
淘宝：学思创想
线相交于点
，连接
(1)求证：
(2)若
是
的中点，求
的值．(3)若
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
的值为12
【分析】（1）先证明
，再利用相似三角形的性质进行证明．
（2）先证明
，求出
，再利用相似三角形的性质即可求解．
（3）利用全等和相似进行线段之间的关系转化，先求出
，再求出
，即可求
解．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，∴
，∴
，∵
，∴
，
（2）∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
是
的中点，∴
，∴
，∴
，
∵
∴
，∴
．
（3）∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
若
，∴
，
即
∵
∴
，∴
∴
；∴
．
淘宝：学思创想
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全
等三角形和相似三角形，能利用它们的性质进行线段之间的关系转化．
17．（2023 秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在
中，
，
，D 是
边上一点，F 是
边上一点，
．求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC 中，点D 是
边的中点，
，若
，
，求线段
的长．
【拓展提高】（3）在
中．
，
，以A 为直角顶点作等腰直角三角形
，点D
在
上，点E 在
上．若
，求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10
【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明
，得
；（2）如图2 中，延长
交
的延长线于点
．证明
，推出
，求出
，
，再利用勾股定理求解；
（3）过点
作
与
交于点
，使
，由（1）同理得
，可知
，
再利用
，可得答案；
【详解】（1）证明：
，
，
，
，∴
，
，
，
，
；
（2）解：如图2 中，延长
交
的延长线于点
．
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点
作
与
交于点
，使
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等
角基本几何模型是解题的关键．
18．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角
形纸片
和
叠放在一起，其中
，
，
，顶点D 与边
的中点重合，
经过点C，
交
于点G．求重叠部分（
）的面积．
ABC
DEF
90
ACB
E
8
AC
FE
DE
DF
AC
DCG
△
淘宝：学思创想
(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵
，D 是
的中点，∴
．∴
． （依据：
______________________）
又∵
，∴
．∴
．∴_____________________．
∴
．∴
．又∵
，∴G 是
的中点，∴
为
中位线．
∴
，
．∴
．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将
绕点D 旋转，使
交
于点H，
交
于点
G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：
；②求出重叠部分（
）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将
绕点D 旋转，
，
分别交于点M，
N，当
是以
为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（
）的面积是________．
【答案】(1)等边对等角，
(2)①证明见解析；②
(3)
或
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得
；由
，得到角
相等，进而证得
，从而求解；（2）①利用
证明
即可；
②证明
可得出
，证明
可得出
，则点
为
的中点，利用勾股定理求
出
，证明
，可求出
，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可；
（3）分
，
，
三种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
，D 是
的中点，
∴
．∴
．（依据：等边对等角）
又∵
，∴
．∴
．
∴
．∴
．∴
．
又∵
，∴G 是
的中点，∴
为
中位线．
∴
，
．
∴
．故答案为：等边对等角，
；
（2）①证明：∵
，
，∴
，又
，∴
；
②如图，∵
，∴
，∵
，
，
∴
，
，∴
，∴
，∴
．
∵
，
，∴
．∴
．∴
．∴点
为
的中点．
AB
DC
DB
DA
FDE
B
90
AGD
ACB
DC
DA
DG
ACD
1
1
8
4
2
2
CG
AC
1
1
6
3
2
2
DG
BC
DEF
DE
AB
DF
AC
AHD
ABC
△
∽△
DGH
DE
DF
DMN
DM
∥
DG
BC
75
16
9
2
DC
DB
DA
ABC
FDE
△
≌△
DG
AC
AA
1
2
GH
GD
3
A
G
AH
ADH
ACB
∽
△
△
15
4
DH
MN
DN
90
ACB
AB
DC
DB
DA
B
DCB
ABC
FDE
△
≌△
FDE
B
FDE
DCB
∥
DG
BC
90
AGD
ACB
DG
AC
DC
DA
AC
DG
ACD
1
1
8
4
2
2
CG
AC
1
1
6
3
2
2
DG
BC
1
1
4 3
6
2
2
DCG
S
CG DG
∥
DG
BC
DE
AB
90
C
A
A
ABC
FDE
△
≌△
1
B
ED
AB
A
B
+
90
2
B
GH
GD
2
90
A
1+
3=90
3
A
AG
GD
AG
GH
G
AH
淘宝：学思创想
在
中，
．∵
是
中点，
．
在
与
中，∵
，
，
∴
．∴
．∴
，∴
．
∴
；
（3）解：当
时，过D 作
于H，则
，
∵
，
，∴
．∴
．∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，设
，则
，
在
中，
，∴
，解得
，∴
；
当
时，过D 作
于H，则
，
同理：
，∴
，∴
，∴
，
设
，则
，在
中，
，
Rt
ABC
△
2
2
2
2
8
6
10
AB
AC
BC
AB
1
5
2
AD
AB
ADH
A
A
90
ADH
ACB
AD
DH
AC
CB
5
8
6
DH
1
1
1
1
15
75
5
2
2
2
4
4
16
DGH
ADH
S
S
DH AD
△
MN
MD
DH
MN
90
AHD
ACB
AHD
ACB
△
∽△
5
10
6
DH
MND
B
DHN
ACB
∽
△
△
3
8
6
NH
MN
MD
x
Rt
DMH
△
2
2
2
9
3
4
x
x
1
1
25
75
3
2
2
8
16
DMN
S
MN DH
DH
MN
NMD
MDN
B
DH
HM
AC
CB
9
4
MH
9
4
NH
x
2
2
2
DN
DH
NH
淘宝：学思创想
∴
，解得
，∴
；
当
时，过D 作
于H，过M 作
于G，则
，
又
，∴
，∴
，即
，∴
，
设
，则
，
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，即
，∴
，∴
，∴
，
综上，
的面积是为
或
．故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与
性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
19．（22-23 九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是
中线，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC、BC 的延长线相交，交点分别为点
E、F，DF 与AC 交于点M，DE 与BC 交于点N．(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．(2)在∠EDF 绕
点D 旋转过程中：①如图2，求证：
；②若CE＝6，CF= 3，求DN 的长．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得
，然后证明
即可得出结论；
（2）①利用三角形外角的性质得出
，
，则
，结
合
，证明
，根据相似三角形对应边成比例可得结论；
②根据①中结论求出
的长度，过点
作
于点
，则DP∥CE，
，可证明
，从而得出
的长度，运用勾股定理计算即可．
25
8
x
1
1
25
75
3
2
2
8
16
DMN
S
MN DH
MD
ND
DH
MN
MG
DN
DMG
BAC
∽
6
8
10
DG
MG
DM
3
DG
a
5
DM
a
2
2
2 5
MN
MG
NG
a
MNG
DNH
MN
MG
DN
DH
3
5
10
a
1
1
9
3 3
2
2
2
DMN
S
MN DH
75
16
9
2
75
16
9
2
2
·
CD
CE CF
135
DCF
DCE
45
CDF
CFD
BCD
CFD
CDE
CFD
CDE
∽
CD
DP
BC
P
CNE
PND
∽
淘宝：学思创想
【详解】（1）证明：
在等腰直角
中，
CD 是中线，
为等腰直角三角形，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；
（2）①
，
，
，
，
，
，
；
②
，
，过点
作
于点
，
则DP∥CE，
，
，
，
，
在
中，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形以及勾股定理，
熟练掌握全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．（2024·河南周口·三模）在四边形
中，
是边
上一点，在
的右侧作
，且
，连接
．(1)如图，当四边形
是正方形时，
．
(2)如图，当四边形
是菱形时，求
（用含
的式子表示）．
(3)在（2）的条件下，且
如图，连接
交
于点
；若
为边
的三等分点，请直
接写出
的长．
90°
ACB
AC
BC
，
，
45
ACD
BCD
DCF
△DCE
(
)
DCF
DCE SAS
≌
45
CDF
CFD
BCD
45
CDF
CDE
CFD
CDE
135
DCF
DCE
CFD
CDE
∽
CD
CF
CE
CD
6,
3
CE
CF
D
DP
BC
P
CNE
PND
∽
1
2
PN
PD
CN
CE
1
1
1
3
3
PN
CP
DP
Rt DPN
ABCD
E
BC
AE
EF
AE
90
AEF
ABC
ABCD
.
DCF
DCF
AF
G
G
CD
BE
淘宝：学思创想
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
（1）作
交
的延长线于
，证出
，得到
，再根据正四边形的性质得到
，从而计算出
，即
，故
，再根据
，求出
，从而可得出结论．（2）方法1：如图，在
的延长线上取点
，使得
，
证明
，得出
，则
即可求解；方法2：如图，连接
，
，证明
，
，根据相似三角形的性质得出
，进而
即可求解；（3）作
于点
，则
，
证明
，进而根据
相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当四边形
是正方形时，作
交
的延长线于
．
，
，又
，
，
又
，且
，
，
，
，
，
，
．
（2）方法1：如图，在
的延长线上取点
，使得
，
则
，
又
，∴
∴
，
，
12
5
FH
CG
H
ABE
EHF
≌
BE
HF
EH
EC
BC
EC
CH
HF
45
FCG
G
FGE
ABC
AAS
EFG
AEB
≌
180
.
2
FG
CG
FCG
，
AF
EAF
BAC
∽
ACF
ABE
H
AH
CF
∥
AHG
FCG
∽
FH
CG
BC
H
90
AEF
90
BAE
AEB
B
EHF
ABE
EHF
≌
BC
AB
EH
EH
EC
BC
EC
CH
HF
180
90
45
2
90
90
45
45
DCF
FCH
BC
G
FGE
ABC
FEG
AEC
AEF
ABC
BAE
AEF
BAE
AAS
EFG
AEB
≌
FG
BE
淘宝：学思创想
由
，得
∴
∴
方法2：如图，连接
，
，∵
，
，
，
∴
，
∴
∴
，∴
（3）由（2）知，
，∵
，∴
，
如图所示，连接
交于点
，∵
，则
∴
∴
如图，作
于点
，则
，
，
得
则
当
，
时，
当
，
时，
综上所述，
或
EG
AB
BC
180
2
FG
CG
FCG
，
180
3
90
2
2
DCF
DCG
FCG
AF
EF
AE
AB
BC
EAF
BAC
∽
180
2
EAF
BAC
ACF
ABE
∽
180
3
90
2
2
a
ACF
ABE
DCF
ACF
ACD
，
AF
AC
CF
AC
AB
BE
,
AC BD
1
30 ,
2
BAO
BO
AB
3
CF
BE
H
AH
CF
∥
3
3 3
DH
AH
，
3 3
3
AH
HG
AH CG
CG
CF
CF
CG
HG
DG
，
3
3
CG
DG
4
CG
4
DG
3 2
6
3
4
7
BE
6
7
淘宝：学思创想
