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专题16 一线三等角相似模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、一线三等角模型（同侧型）........................................................................................2
2、一线三等角模型（异侧型）........................................................................................2
3、一线三等角模型（变异型）........................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................6
压轴真题强化.............................................................................................................................9
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对
角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也
相等，从而得到两个三角形相似．
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、一线三等角模型（同侧型）
如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD，
结论：△ACP∽△BPD.
锐角型 直角型 钝角型
2、一线三等角模型（异侧型）
如图，∠1=∠2＝∠3；
结论：△ACP∽△BPD.
3、一线三等角模型（变异型）
类型一：
如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°；
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
类型二：
如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°；
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
类型三（中点型一线三等角）：
如图，∠1=∠2=∠3，且D 是BC 中点；
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），
是菱形
边
上一点，
是
等腰三角形，
，
交
于点
，探究
与
的数量
关系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出
的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求
与
的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若
，求
的值．
【答案】(1)
真题演练
(2)
(3)
【详解】（1）延长
过点F 作
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
（2）解：在
上截取
，使
，连接
．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
（3）解：过点
作
的垂线交
的延长线于点
，设菱形的边长为
，
．
在
中，
，
．
，由（2）知，
．
．
，
，
，
在
上截取
，使
，连接
，作
于点O．
由（2）知，
，
∴
，
∵
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
．
某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在
ABC 中，∠BAC＝90°，
＝k，直线l 经过点A，BD⊥直线I，CE 上直线l，垂
足分别为D、E．求证：
＝k．
巩固练习
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件
做以下修改：在
ABC 中，
＝k，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，
请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在
ABC 中，
沿
ABC 的边AB、AC 向外作矩形ABDE 和矩形ACFG，
＝
＝
，AH 是BC 边上的高，延
长HA 交EG 于点I．①求证：I 是EG 的中点．②直接写出线段BC 与AI 之间的数量关系：
．
【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI
【详解】（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°
∵∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，
∴△ADB∽△CEA，
∴
=
＝k；
（2）成立，证明如下：
如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°−α，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA
∴△ADB∽△CEA，
∴
=
＝k；
（3）①过点G 作GM
AE 交AI 的延长线于点M，连接EM
∵四边形AGFC 是矩形，
∴∠GAC=90°
又AH⊥BC
∴∠AHC=90°
∴∠5+∠CAH=∠4+∠CAH=90°
∴∠5=∠4
∵∠BDE=∠AHB=90°
∴∠2+∠BAH=∠1+∠BAH=90°
∴∠2=∠1
又GM
AE
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴△ABC∽△GMA
∴
又∵
∴
∴GM=AE
又∵GM
AE
∴四边形AGME 是平行四边形
∴EI=IG
故I 为EG 的中点；
②由①知
∴BC=
AM
∵四边形AGME 是平行四边形
∴AI=IM
∴AI=
AM
∴BC=AI
∴线段BC 与AI 之间的数量关系为BC=AI
故答案为：BC=AI．
一、单选题
1．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C 在同一条线上，点B 在点A，C 之间，点D，E 在直
线AC 同侧，
，
，
，连接DE，设
，
，
，
压轴真题强化
给出下面三个结论：①
；②
；③
；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【详解】解：如图，过
作
于
，则四边形
是矩形，
∴
，
∵
，
∴
，①正确，故符合要求；
∵
，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
，
∴
是等腰直角三角形，
由勾股定理得，
，
∵
，
∴
，②正确，故符合要求；
由勾股定理得
，即
，
∴
，③正确，故符合要求；
故选：D．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数
图象上的一点，连接
，
过点O 作
的垂线与反比例
的图象交于点B，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：过A 作
轴于C，过B 作
轴于D，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
（负值舍去），
故选：A．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形
的边
上有一点
，连接
，把
绕点
逆
时针旋转
，得到
，连接
并延长与
的延长线交于点
．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：过点F 作
延长线的垂线，垂足为点H，则
，
由旋转得
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，设
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，设
，
则
，
∴
，
∴
，而
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
同理可求
，
∴
，
∴
，
故选：A．
二、填空题
4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在
中，
，
．正方形
的边长为
，它的顶点D，E，G 分别在
的边上，则
的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点
作
，则：
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则：
，
∵正方形
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理，得：
，
∴
，解得：
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
故答案为：
．
三、解答题
5．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角
中，
，
，D 为直线
上任
意一点，连接
．将线段
绕点D 按顺时针方向旋转
得线段
，连接
．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D 在线段
上时，线段
与
的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D 在线段
的延长线上时，先在图2 中补全图形，再探究线段
与
的数量关系并证
明；
【联系拓广】
（3）若
，
，请直接写出
的值．
【答案】（1）
；（2）
，补图及证明见解析；（3）
或
【详解】解：（1）如图，过点
作
延长线于点
，
由旋转得
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：
；
（2）补全图形如图：
，理由如下：
过点
作
交
于点
，
由旋转得
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
（3）如图，当
在
的延长线上时，过点
作
于点
，连接
，
由（2）得
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
当
在
的延长线上时，过点
作
于点
，如图，连接
，
同理可得：
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
综上：
或
6．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知
和
，
，
，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形
中，点E，F 分别在对角线
和边
上，
，
．用
等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形
中，点E 在对角线
上，点F 在边
的延长线上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
，理由见详解，（2）
，理由见详解，（3）
，理由见详解
【详解】（1）
，理由如下：
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（2）
，理由如下：
过E 点作
于点M，过E 点作
于点N，如图，
∵四边形
是正方形，
是正方形的对角线，
∴
，
平分
，
，
∴
，
即
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
，
∴四边形
是正方形，
∴
是正方形
对角线，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
即有
；
（3）
，理由如下，
过A 点作
于点H，过F 点作
，交
的延长线于点G，如图，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵在正方形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
7．（2024·湖北·中考真题）在矩形
中，点E，F 分别在边
，
上，将矩形
沿
折叠，使点A 的对应点P 落在边
上，点B 的对应点为点G，
交
于点H．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，当P 为
的中点，
，
时，求
的长；
(3)如图3，连接
，当P，H 分别为
，
的中点时，探究
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
，见解析
【详解】（1）证明：如图，
四边形
是矩形，
，
，
，
分别在
，
上，将四边形
沿
翻折，使
的对称点
落在
上，
，
，
，
；
（2）解：
四边形
是矩形，
，
，
，
为
中点，
，
设
，
，
在
中，
，
即
，
解得
，
，
，
，
，即
，
，
，
．
（3）解：如图，延长
，
交于一点
，连接
，
，
分别在
，
上，将四边形
沿
翻折，使
的对称点
落在
上，
，
直线
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为
中点，
设
，
，
为
中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，即
．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3 世纪我国汉代的赵爽在
注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了
“一线三直角模型”．如图2，在
中，
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，作
交
的延长线于点
．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段
与
的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接
并延长交
的延长线于点
，若
，
，求
的面
积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接
交
于点
，则
______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线
上找点
，使
，请直接写出线段
的长
度．
【答案】(1)
(2)10
(3)
(4)
或
【详解】（1）解：∵将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，作
交
的延长线于
点
．
，
，
，
，
，
又
且
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
又
且
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图所示，过点
作
于点
，
∵
，
∴
∴
，
即
，即
，
又∵
∴
∴
，
设
，则
，
解得：
∴
；
（4）解：如图所示，当
在
点的左侧时，过点
作
于点
∵
∴
，设
，则
，
又∵
，
∴
，
∴
∴
∴
∴
，
解得：
在
中，
∴
∴
如图所示，当
在
点的右侧时，过点
作
交
的延长线于点
，
∵
∴
∵
∴
设
，则
，
，
∵
，
∴
解得：
∴
∴
综上所述，
或
．
