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淘宝：学思创想
专题19 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8 字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X）字模型．
A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行
线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大
题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角
相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形
中，点E，F，G，H 分别是
，
，
，
上的点，且
，若菱形的面积等于24，
，则
．
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【答案】6
【分析】连接
，交
于点O，由题意易得
，
，
，
，则有
，
然后可得
，设
，则有
，进而根据相似三角形的性质可进
行求解．
【详解】解：连接
，交
于点O，如图所示：
∵四边形
是菱形，
，∴
，
，
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，同理可得
，
设
，则有
，
∵
，∴
，∴
，即
，∴
，
同理可得
，即
，∴
，∴
；故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质
与判定是解题的关键．
例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形
中，点D、E 分别在边
、
上，
，
，
，
．(1)求证：
；(2)若
的平分线交
于点F，交
于点G，
求
．
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【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）证明
，
，可得
，结合
，从而可得结论；
（2）由（1）可得
，可得
，证明
，可得
，再利
用相似三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵
，
，
，
，
∴
，
．∴
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
．
（2）由（1）可得
，∴
，又∵
平分
，∴
，
∴
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键．
例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在
中，点F、G 在
上，点E、H 分别在
、
上，
四边形
是矩形，
是
的高．
，那么
的长为____________．
【答案】
##4.8
【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出
，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为
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△AEH 的高，可得出
，再将数据代入即可得出答案．
【详解】∵四边形EFGH 是矩形，∴
，∴
，
∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，
∴
，∴
，
∵
，代入可得：
，解得
，
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在
中，D，E，F 分别为
上的点，
交
于点G，求证：
．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接
．若
，求
的值．
(3)如图3，在
中，
与
交于点O，E 为
上一点，
交
于点G，
交
于点F．若
平分
，求
的长．
【答案】(1)证明见详解(2)
(3)
【分析】（1）利用
，证明
，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得
，
，得出
是等腰三角形，利用三角形相似即可求出
的值；
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（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长
交
于点M，连接
，作
，垂足为N．构造
出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出
、
的值，即可得出
的长．
(1)解：∵
，∴
，
∴
，∴
．∵
，∴
．
(2)解：由（1）得
，∵
，∴
．
∵
，∴
．∵
，∴
．∴
．
(3)解：如图，延长
交
于点M，连接
，作
，垂足为N．
在
中，
．∵
，∴由（1）得
，
∵
，∴
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
∵
平分
，∴
，∴
．
∴．在
中，
．
∵
，∴
，∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，
遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边BC、AB、CA 上，且DE∥CA，
DF∥AB．（1）若点D 是边BC 的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC 于D，且BD＝
CD，求证：四边形AEDF 是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求
+
的值．
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【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△ABC 的中位线，进而可得DE＝FC，
同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线
合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，
进而可得EA＝ED，即可解答；（3）根据A 字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从
而可得
＝
，
＝
，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵点D 是边BC 的中点，DE∥CA，
∴点E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE＝
AC，
∵点D 是边BC 的中点，DF∥AB，∴点F 是AC 的中点，
∴FC＝
AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；
（2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF 是平行四边形，
∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF 是菱形；
（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴
＝
，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，
∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴
＝
，∴
+
＝
+
＝
＝1，
∵四边形AEDF 是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，
∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴
+
＝1，∴
+
的值为1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式
的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A 字模型相似三角形的关键．
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模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2）反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3）平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形
中，E 为
的中点，连接
交
于点F．若
，则
的面积为___________．
【答案】3
【分析】由正方形的性质可知
，
，则有
，然后可得
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，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
，
∴
，
，∴
，∴
，
∵E 为
的中点，∴
，
∴
，
，∴
，∴
；故答案为3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，
，
，
分别交
于点G，
H，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB CD
∥
∴
，∴A 选项正确，不符合题目要求；
∵AE DF
∥
，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴
，∴
，
∵AB CD
∥
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴B 选项正确，不符合题目要求；
∵AB CD
∥
，AE DF
∥
，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴AF=DE，
∵AE DF
∥
∴
，∴
； ∴C 选项正确，不符合题目要求；
∵AE DF
∥
，∴△BFH∽△BAG，∴
，
∵AB＞FA，∴
∴D 选项不正确，符合题目要求． 故选D．
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【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式
是解此题的关键．
例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形
中，
是对角线
的
中点，联结
并延长交边
或边
于E．
（1）当点E 在边
上时，①求证：
；②若
，求
的值；
（2）若
，求
的长．
【答案】（1）①见解析；②
；（2）
或
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，
，由此可得
；
②若
，那么在
中，由
．可得
，作
于H．设
，那么
．根据
所对直角边是斜边的一半可知
，由此可得
的值．
（2）①当点E 在
上时，可得四边形
是矩形，设
，在
和
中，根据
，列方程
求解即可．
②当点E 在
上时，设
，由
，得
，所以
，所以
；
由
得
，所以
，解出x 的值即可．
【详解】（1）①由
，得
．
由
，得
．
因为
是
斜边上的中线，所以
．所以
．
所以
．所以
．
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②若
，那么在
中，由
．可得
．
作
于H．设
，那么
．
在
中，
，所以
．
所以
．所以
．
（2）①如图5，当点E 在
上时，由
是
的中点，可得
，
所以四边形
是平行四边形．又因为
，所以四边形
是矩形，
设
，已知
，所以
．已知
，所以
．
在
和
中，根据
，列方程
．
解得
，或
（ 舍去负值）．
②如图6，当点E 在
上时，设
，已知
，所以
．
设
，已知
，那么
．
一方面，由
，得
，所以
，所以
，
另一方面，由
是公共角，得
．
所以
，所以
．
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等量代换，得
．由
，得
．
将
代入
，整理，得
．
解得
，或
（舍去负值）．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的
关系列方程是解题的关键．
例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形
中，对角线
与
相交于点O，记
的
面积为
，
的面积为
．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若
与
不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．（3）拓展应用：如图③，在
上取一点E，使
，过点E 作
交
于点F，
点H 为
的中点，
交
于点G，且
，若
，求
值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D 作AE⊥AC 于E，过点B 作BF⊥AC 于F，求出
，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A 作
交OB 于M，取BM 中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到
OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到
，设
，则
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，证明△OGF∽△OHN，推出
，
，则
，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE⊥AC 于E，过点B 作BF⊥AC 于F，
∴
，∴
，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴
；∴
；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE⊥AC 于E，过点B 作BF⊥AC 于F，
∴
，∴
，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴
；∴
；
（3）如图所示，过点A 作
交OB 于M，取BM 中点N，连接HN，
∵
，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，
∵
，∴△OEF∽△OAM，∴
，
设
，则
，
∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，
∴
，∴△OGF∽△OHN，∴
，
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∵OG=2GH，∴
，∴
，
∴
，
，∴
，
由（2）可知
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中
位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：
.
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC,
；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为
边
上任一点，
交
于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵
，
∴
，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A 不符合题意；
∴
，
，故B 不符合题意，C 符合题意；
∴
，故D 不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与
判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，
与
交于点O，
，E 为
延长线
上一点，过点E 作
，交
的延长线于点F．
（1）求证
；（2）若
，求
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE 和DC 的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
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【详解】解：（1）∵
，
又∵
，∴
；
（2）∵
，
∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
的长为
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，
解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的
几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
例3. （2022·重庆九年级期中）如图，AD 与BC 相交于点E，点F 在BD 上，且AB∥EF∥CD，
求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴＝.
又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.∴＋＝.
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE⊥BC，求证：OE＝
CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O 作EF∥AB 分别交BC、AD 于点E、F．求证：
＝2．
（3）如图③，若OC 平分∠AOB，D、E 分别为OA、OB 上的点，DE 交OC 于点M，作MN∥OB 交OA 于
一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN 长度．
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【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；
（2）由△DFO∽△DAB，得
，同理
，
，
，利用等式的性质将比例式相加，
从而得出结论；（3）作DF∥OB 交OC 于点F，连接EF，可知△ODF 是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由
△DMF∽△EMO，可得EM＝
，由△DMN∽△DOE，得
，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴O 是AC 中点，AB⊥BC，
∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E 是BC 中点，∴OE＝
；
（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴
，
同理
，
，
，∴
＝
，
∴
，即
；
（3）解：作DF∥OB 交OC 于点F，连接EF，
∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，
∴△ODF 是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，
∴
，∴EM＝
，∴
，
∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴
，∴
，∴MN＝
．
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【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
对比例式进行恒等变形是解题的关键．
课后专项训练
1. （2021·山东淄博·中考真题）如图，
相交于点
，且
，点
在同一条直线上．
已知
，则
之间满足的数量关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意易得
，
，则有
，
，然后可得
，
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进而问题可求解．
【详解】解：∵
，∴
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，即
；故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023 秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形
中，
，对角线
与
相交于
点E，
，
，
，
，则对角线
与
的长分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】过点B 作
交
于点O，证明
，可求得
，
，根据勾股
定理求出
的长，进而可求出
的长，再根据勾股定理求出
的长，进而求出
的长．
【详解】过点B 作
交
于点O，如图所示：
∵
，
，∴
．
∵
，∴
，∴
．
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∵
，∴
．∵
，∴
，∴
．
∵
，
，∵
，∴
，∴
．
在
中，
，即
，解得：
，∴
．
∵
，
，∴
，∴
，
∴
．故选D ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，勾股
定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE 的长度．
3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在
骨架设计中，两条侧翼的长度设计
，风筝顶角
的度数为
，在
上取D，
E 两处，使得
，并作一条骨架
．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，
C 两点间的距离大约是（ ）（参考数据：
）
A．41
B．57
C．82
D．143
【答案】C
【分析】设
与
交于点
，连接
，交
于点
，根据已知易证
，然后利用相似
三角形的性质可得
，从而可得
，进而可得
，再利用等腰三角形的三线
合一性质可得
，
，最后在
中，利用锐角三角函数的定义求出
的
长，即可解答．
【详解】解：设
与
交于点
，连接
，交
于点
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
两点间的距离大约是
，故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出△AOB 和△COD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再
根据外径的长度解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB 的长．
5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D、E 分别是AB、AC 的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC
＝_____．
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【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC，
，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性
质求解．
【详解】解：∵D、E 分别是AB、AC 的中点，则DE 为中位线，
所以DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC∴
∵S△ADE=2，∴S△ABC=8 故答案为：8．
【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知
识点的掌握．
6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在
中，点
在
上，点
分别在
、
上，四边形
是矩形，
，
是
的高，
，
，那么
的长为 ．
【答案】6
【分析】通过四边形
为矩形推出
，因此
与
两个三角形相似，将
视为
的高，可得出
，再将数据代入即可得出答案．
【详解】解：设
与
交于点M．
∵四边形
是矩形，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
和
分别是
和
的高，∴
，
∴
，
∵
，代入可得：
，解得
，
∴
，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在
中，
，D 是
上一点，点E 在
上，连接
交于点F，若
，则
＝ ．
【答案】2
【分析】过D 作
垂直
于H 点，过D 作
交BC 于G 点，先利用解直角三角形求出
的长，
其次利用
，求出
的长，得出
的长，最后利用
求出
的长，最后得出
答案．
【详解】解：如图：过D 作
垂直
于H 点，过D 作
交
于G 点，
∵在
中，
，∴
，
又∵
，∴
，∴在等腰直角三角形
中，
，∴
，
在
中，
，
∵
， ∴
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，即
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，又∵
，∴
，
又
，∴
，∴
，故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做
出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，
中，点E、F 分别在边AB、AC 上，
．若
，
，
，则
______．
【答案】
【分析】易证△AEF∽△ABC，得
即
即可求解．
【详解】解：∵∠1= 2
∠，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，
∴
，即
∵
，
，
，∴
，∴EF=
，故答案为：
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形
中，
是
边上一点，且
，
与
相
淘宝：学思创想
交于点
，若
的面积是，则
的面积是______．
【答案】27
【分析】根据矩形
的性质，很容易证明
∽
，相似三角形之比等于对应边比的平方，即
可求出
的面积．
【详解】解：
四边形
是矩形，
，
，
，
∽
，
，
，
：
：，
：
：
，即：
：，
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似
三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D，E，F 分别为BC，CA，AB 的中点，具
有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG 的面积为3，
∴△ACG 的面积为6，∴△ACF 的面积为3+6＝9，
∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积＝△BCF 的面积，
∴△ABC 的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度
远大于南北走向的最大宽度，
淘宝：学思创想
如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于
）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点
处，对其视线可及的
，
两点，可测得
的大小，如
图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度
，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点
，如图4，测得
，
；
（ⅱ）分别在
，
，上测得
，
；测得
．求解过程：
由测量知，
，
，
，
，
∴
，又∵①___________，
∴
，∴
．
又∵
，∴
②___________
．
故小水池的最大宽度为___________
．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得
用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5 次测量，求得
．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度
，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母
，
，
表示，角度用
，
，
表示；测量次数不超过4 次（测量的几何量能求出
，
且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)①
；②
(2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为
，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
淘宝：学思创想
（3）测量过程：在小水池外选点
，用测角仪在点
处测得
，在点
处测得
；用皮
尺测得
；求解过程：过点
作
，垂足为
，根据锐角三角函数的定义推得
，
，
，根据
，即可求得．
【详解】（1）∵
，
，
，
，∴
，
又∵
，∴
，∴
．
又∵
，∴
．故小水池的最大宽度为
．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得
，故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点
，如图，用测角仪在点
处测得
，在点
处测得
；
（ⅱ）用皮尺测得
．求解过程：由测量知，在
中，
，
，
．
过点
作
，垂足为
．在
中，
，
即
，所以
．同理，
．在
中，
，
即
，所以
．所以
．
故小水池的最大宽度为
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立
数学模型是解题的关键．
12．（2023 秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践
问题情境：如图1，在
中，
，
，
，点
是
上一点，将
沿直线
折叠，点
落在
上的点
，连接
．
淘宝：学思创想
独立思考(1)如图，求
的值；
问题拓展 如图
，点
是图1 中AB 上一动点，连接
，交
于点
．
(2)当点
是
的中点时，求证：
；(3)当点
是
的中点时，请你直接写出
的值．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由折叠性质可知
，利用等面积求出
长即可；
（2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；
（3）作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．
【详解】解：（1）方法一：在
中，
，
，
由折叠可知：
，∵
，
∴
，∴
，∴
，
在
中，
，
，
方法二：在
中，
，
，
由折叠可知：
，
，
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
在
中，
，∴
，
方法三：在
中，
，
，
淘宝：学思创想
由折叠可知：
，
．
，∴
，
在
中，
，
，在
中，
，
，
∴
，∴
∴
，∴
，
在
中，
，∴
，
（2）方法一：延长
到点
，使
，连接
，
∵
，
，∴
．
∴
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
方法二：过点
作
交
的延长线于点
，
∴
，
，
，
又∵
，∴
，∴
，
，∴
，
∴
，∴
．
淘宝：学思创想
方法三：作
于点
，∴
，∴
∴
∵
，
．∴
，∴
，
在
中，
，
，∴
设
，在
中，
，
．∴
，
在
中，
，
．∴
．∴
(3)如图，过
作
，交
延长线于点
，
∴
，
，∵
为
中点，∴
，
∵
，∴
，∴
，
由
得：
，∴
．
【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形，解题的关键是如何添加辅助线，熟练掌握以上知识的性质
及其应用．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知
是等边三角形，点
是射线
上的一个动点，延长
至点
，使
，连接
交射线
于点
．
(1)如图1，当点
在线段
上时，猜测线段
与
的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点
在线段
的延长线上时，
①线段
与
的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接
．设
，若
，求四边形
的面积．
【答案】(1)
，理由见解析(2)①成立，理由见解析②
【分析】（1）过点
作
，交
于点
，易得
，证明
，得到
淘宝：学思创想
，即可得出结论．（2）①过点
作
，交
的延长线于点
，易得
，
证明
，得到
，即可得出结论；②过点
作
，交
的延长线于点
，过点
作
，交
于点
，交
于点
，根据已知条件推出
，得到
，证明
，得到
，求出
的长，利用四边形
的面
积为
进行求解即可．
【详解】（1）解：
，理由如下：
∵
是等边三角形，∴
，
过点
作
，交
于点
，
∴
，
，
∴
为等边三角形，∴
，
∵
，
，∴
，
，
又
，∴
，∴
，∴
；
（2）①成立，理由如下：∵
是等边三角形，∴
，
过点
作
，交
的延长线于点
，
淘宝：学思创想
∴
，
，
∴
为等边三角形，∴
，
∵
，
，∴
，
，
又
，∴
，∴
，∴
；
②过点
作
，交
的延长线于点
，过点
作
，交
于点
，交
于点
，则：
，由①知：
为等边三角形，
，
，
∵
为等边三角形，∴
，∴
，
∵
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
设
，则：
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即：
②，
联立①②可得：
（负值已舍去），经检验
是原方程的根，
∴
，
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴四边形
的面积为
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角
淘宝：学思创想
形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似
三角形．
14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取
BE＝AB，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M，BC 和DF 交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD 为平行四边形得到
BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB 可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2=AB•AF 可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F= 4
∠，∠2= 3
∠，所
以∠3= 4
∠，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB
和比例的性质即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB， ∴BE=CD，而BE∥CD，
∴四边形BECD 为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F= 4
∠，∠2= 3
∠，∴∠3= 4
∠，
而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相
似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形
中，点F，E，G 分别在
上，
，
，求证：
尝试应用：如图 2，
是
的中线，点E 在
上，直线
交
于点G，直线
交
于点F，
若
，求
的值．
迁移拓展：如图3，在等边
中，点D 在
上，点E 在
上，若
，
，直接
写出
的值．（用含m 的式子表示）
【答案】问题背景：见解析；尝试应用：
；迁移拓展：
【分析】问题背景：根据
，
，推出
，根据对应边成比例即
可得到结论；尝试应用：延长
至D，使得
，连接
， 证得四边形
是平行四边
形，得到
，由图（1）得，
，即可得到
，利用
，得到
；迁移拓展：过点E 作
，交
于点M，交
于点N，得到
也
是等边三角形，推出
，证明
，得到
，即
淘宝：学思创想
，由图（1）可得
，设
，则
，求出
，即可得到
．
【详解】问题背景：如图（1），证明：∵
，
，
∴
，∴
，∴
；
尝试应用：如图（2），解：延长
至D，使得
，连接
，
∵
是
的中线，∴
，∵
，∴四边形
是平行四边形，
∴
，
由图（1）得，
，∴
，∴
，∵
，∴
；
迁移拓展：如图（3），过点E 作
，交
于点M，交
于点N，
∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
，∴
也是等边三角形，
∴
∴
，
又∵
∴
∴
，即
，
∴
由图（1）可得
，
设
，则
，∴
，∴
，∴
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，应用类比的方法解决问题，正确掌握相似三角形的判定和
性质及类比方法是解题的关键．
淘宝：学思创想
16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为的正方形
中，点
在边
上（不与点
，
重
合），射线
与射线
交于点
．(1)若
，求
的长．(2)求证：
．
(3)以点
为圆心，
长为半径画弧，交线段
于点
．若
，求
的长．
【答案】(1)
(2)见解析(3)
【分析】（1）证明
，利用相似三角形的对应边成比例求解；
（2）证明
，利用相似三角形的对应边成比例证明；
（3）设
，则
，
，在
中，利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：由题知，
，
若
，则
．
四边形
是正方形，
，
又
，
，
，即
，
．
（2）证明：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
．
（3）解：设
，则
，
．
在
中，
，即
，解得
．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定
理是解题的关键．
17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，点M、N 分别在AB、AD 上，
且MN⊥MC，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F．
淘宝：学思创想
(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM＝CE；(2)若
＝2，求
的值；(3)若MN∥BE，求
的值．
【答案】(1)见解析(2)
(3)
【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E 为CD 的 中点，即可证明结
论； (2)利用△BMF∽△ECF，得
，从而求出BM 的长，再利用△ANM∽△BMC ，得
，求出AN 的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF＝ ∠CMB，则tan∠CBF＝
tan∠CMB，得
，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．
(1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF＝EF，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，
∵点E 为CD 的中点，∴CE＝
CD，∵AB＝CD，∴
，∴
，∴AM＝CE；
(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴
，
∵CE＝3，∴BM＝
，∴AM＝
，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴
，∴
，∴
，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣
＝
，∴
；
淘宝：学思创想
(3)∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴
，∴
，∴
，∴
，
由（2）同理得，
，∴
，解得：AN＝
，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣
＝
，∴
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键．
18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上，连接DE，已知线段
AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d 之间会有怎样的数量关系呢？
淘宝：学思创想
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若
DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：
而根据相似三角形面
积之比等于相似比的平方．可得
．根据上述这两个式子，可以推出：
．
（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．
淘宝：学思创想
探究二：回到最初的问题，若图1 中没有相似的条件，是否仍存在结论：
？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH⊥BC 于H，可得：
．借用这个结论，请
你解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝
b，AE＝c，AC＝d，则
．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接
DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，
．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E，连接DE 交BA 的延长线于
F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．
【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）
;（2）
；结论应用：
【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；
探究二，过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
延伸探究：（1）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
（2）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；
结论应用：取AD 的中点M，连接GM 并延长交DE 于点N，连接DG，可得
,根据题意，进而得出
,根据AM=DM,
,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4，
，可得FN=2EF，进而可得
ED=5EF，即可得出
．
【详解】解：问题解决：探究一：
淘宝：学思创想
（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴
,∴
，
∴
；
探究二：过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，
∵
，∴
,∴
,
；
延伸探究：（1）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，
∵
，∴
,∴
,
；
（2）过D、B 点分别作
,垂足分别为M、N，
淘宝：学思创想
∵
，∴
,∴
,
;
结论应用：取AD 的中点M，连接GM 并延长交DE 于点N，连接DG，
∴AM=DM，
，∵AE=2，AG=4，∴
,
∵AM=DM,
,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，
,
∴
,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性
质是解题的关键．
19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事
情：如图，在
中，
，点
和点
分别是斜边
上的动点，并且满足
，分别过点
和点
作
边的垂线，垂足分别为点
和点
，那么
的值是一个定值．
问题：若
时，
值为___________ ；
【操作探究】如图
，在
中，
；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于
任意一个直角三角形，当
时，
的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图
进行证明，并用含
和
的式子表示
的值．
【解决问题】如图，在菱形
中，
若
、
分别是边
、
上的动点，且
，作
，垂足分别为
、
，则
的值为__________ ．
【答案】【问题发现】3；【操作探究】
；【解决问题】
．
【问题发现】由
，
，得
，
，而
淘宝：学思创想
，则
，于是得到问题的答案．
【操作探究】由
，
，可证明
，
，得
，
，因为
，则
，于是可推导出
，所以
；
【解决问题】连
交
于点
，在
上截取
，作
于点
，由菱形的性质得
，
，
，可求得
，再由
，
，证明
，再证明
，得
，
，则
，由
，
，
，得
，则
．
【详解】解：【问题发现】
于点
，
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：3．
解：【操作探究】对，证明：
于点
，
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为定值，
．
解：【解决问题】如图3，连
交
于点
，在
上截取
，作
于点
，
淘宝：学思创想
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】此题重点考查直角三角形中
角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全
等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于
考试压轴题．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），
中，
，
是
的中点，延长
至点
，使
，延长
交
于点
，探究
的值．
(1)先将问题特殊化．如图（2），当
时，直接写出
的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
淘宝：学思创想
问题拓展：如图（3），在
中，
，
是
的中点，
是边
上一点，
，
延长
至点
，使
，延长
交
于点
．直接写出
的值（用含
的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1）
；（2）见解析 (2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得
，
，
根据含30 度角的直角三角形的性质，可得
，即可求解；
（2）取
的中点
，连接
．证明
，可得
，根据
，证明
，根据相似三角形的性质可得
，进而可得
；
[问题拓展]方法同（2）证明
，得出，
，证明
，得到
，进而可得
．
(1)[问题探究]：（1）如图，
中，
，
是
的中点，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取
的中点
，连接
．
淘宝：学思创想
∵
是
的中点，∴
，
．
∵
，∴
，∴
．
∵
，∴
．∴
．
∴
．∴
．∴
．
∵
，∴
．∴
．∴
．∴
．
(2)[问题拓展]如图，取
的中点
，连接
．∵
是
的中点，∴
，
．
∵
，∴
，∴
．∵
，∴
．∴
．
∴
．∴
．
，
∴
．
∵
，∴
．∴
．
∴
．∴
．
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等
角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，已知矩形
，点E 在
延长线上，点F 在
延长线上，
过点F 作
交
的延长线于点H，连结
交
于点G，
．
(1)求证：
．(2)当
，
时，求
的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据等边对等角得出
，根据矩形的性质得出
，
，
淘宝：学思创想
即可证明
，根据全等三角形的性质得出
，进而即可求解；
（2）根据
，得出
，设
，则
，
，
，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵
，
，∴
，∴
．
∵四边形
是矩形，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，即
．
（2）∵
，∴
，∴
．
∵
，∴
．设
，∵
，
∴
，
，∴
，解得
，∴
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性
质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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