文档文本内容
专题20 十字形模型（相似三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
1、矩形的十字架模型........................................................................................................2
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型）.................................................................2
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）..................................................2
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）..............................................3
（3）直角三角形中的十字模型.................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................7
压轴真题强化...........................................................................................................................10
矩形的十字架模型则展示了相似的魅力。在矩形中，通过精细的构造，我们可以发现相似三角
形的存在，并且可以通过已知条件推导出其他未知量。三角形的十字架模型更是将全等与相似的概
念融为一体。在三角形中，我们可以利用十字形构造出全等或相似的三角形，从而解决各种几何问
题。通过这些模型，我们不仅可以加深对全等与相似概念的理解，还能在实际问题中灵活运用，解
决各种复杂的几何难题。
专题目录
模型解读
1、矩形的十字架模型
（1）如图，在矩形ABCD 中，若E 是AB 上的点，且DE⊥AC，则
.
（2）如图，在矩形ABCD 中，若E、F 分别是AB、CD 上的点，且EF⊥AC，则
.
（3）如图，在矩形ABCD 中，若E、F、M、N 分别是AB、CD、AD、BC 上的点，且EF⊥MN，则
.
2、三角形的十字架模型（全等+相似模型）
（1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD 和BE 夹角为60°，△ABC。
常见类型讲解
（2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）
如图2，在△ABC 中，AB=BC，AB⊥BC，①D 为BC 中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦
，以上七个结论中，可“知二
得五”。
（3）直角三角形中的十字模型
如图3，在三角形ABC 中，BC=kAB，AB⊥BC，D 为BC 中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相
似）
（2021·四川达州·中考真题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段
做了如下探究：
真题演练
【现察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别是AB，AD 上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则
的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD 中，AD＝7，CD＝4，点E 是AD 上的一点，连接CE，BD，且
CE⊥BD，则
的值为 ；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，点E 为AB 上一点，连接DE，过点C 作DE 的
垂线交ED 的延长线于点G，交AD 的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABC 中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝
，将△ABD 沿BD 翻折，点A 落
在点C 处得△CBD，点E，F 分别在边AB，AD 上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求
的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF 的长度．
【答案】（1）1；（2）
；（3）证明见解析；（4）①
；②
．
【详解】解：（1）
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
；
（2）
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；
（3）如图，过点
作
交
的延长线于点
，
∵
，
，
∴
，
∴四边形
为矩形，
∴
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（4）①过
作
于点
，连接
交
于点
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
在
中，
，
设
，则
，
∴
，即
，
∴
或
（舍去），
∴
，
，
由翻折的性质得：
，
，
∴
，
解得
，
∴
；
②由（4）①已证：
，
，
，
，
，解得
，
由翻折的性质得：
，
在
中，
，
，
在
中，
．
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】(1)如图①，在正方形
中，点
、
分别是
、
上的两点，连接
，
巩固练习
，
，则
的值为___________．
【类比探究】(2)如图②，在矩形
中，
，
，点
是边
上一点，连接
，
，且
，求
的值．
【拓展延伸】(3)如图③，在
中，
，点
在
边上，连结
，过点
作
于点
，
的延长线交
边于点
．若
，
，
，则
___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：设
与
的交点为
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，设
与
交于点
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
；
（3）解：如图，过点
作
，延长
交
于点
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
．
故答案为：
．
一、单选题
1．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形
由四个全等的直角三角形
和中间一个小正方形
组成，连接
．若
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．4
压轴真题强化
【答案】C
【详解】解：
是四个全等的直角三角形，
，
，
，
四边形
为正方形，
，
，
故选：C．
2．（2023·山东东营·中考真题）如图，正方形
的边长为4，点
，
分别在边
，
上，
且
，
平分
，连接
，分别交
，
于点
，
，
是线段
上的一个动
点，过点
作
垂足为
，连接
，有下列四个结论：①
垂直平分
；②
的最小值为
；③
；④
．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③④
C．①③④
D．①③
【答案】D
【详解】解：
为正方形，
，
，
，
，
.
,
,
，
，
.
平分
，
.
，
.
，
，
垂直平分
，
故①正确.
由①可知，
，
，
，
，
，
由①可知
，
.
故③正确.
为正方形，且边长为4，
，
在
中，
.
由①可知，
，
，
.
由图可知，
和
等高，设高为，
，
，
，
.
故④不正确.
由①可知，
，
，
关于线段
的对称点为
，过点
作
，交
于
，交
于
，
最小即为
，如图所示，
由④可知
的高
即为图中的
，
.
故②不正确.
综上所述，正确的是①③.
故选：D.
3．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为
“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形
中，
．
下列三个结论：①若
，则
；②若
的面积是正方形
面积的3 倍，
则点F 是
的三等分点；③将
绕点A 逆时针旋转
得到
，则
的最大值为
．其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【详解】解：在
中，
，
∴设
，则：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；故①正确；
若
的面积是正方形
面积的3 倍，则：
，
∴
，即：
，
∴
或
（舍去），
∴
，
∴点F 是
的三等分点；故②正确；
∵将
绕点A 逆时针旋转
得到
，
∴
，
∴点
在以
为直径的半圆上，
取
的中点
，连接
，则：
，
，
∴
，
∴
，
即：
的最大值为
；故③正确；
故选D．
二、填空题
4．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它
为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中
，
，连接
，若
与
的面积相等，则
．
【答案】
【详解】解：∵图中
，
，
∴
∵
与
的面积相等，
∴
∴
∴
∴
∴
解得：
（负值舍去）
∴
，
故答案为：3．
三、解答题
5．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于
不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边
形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1 所示，四边形
为“垂中平行四边形”，
，
，则
________；
________；
(2)如图2，若四边形
为“垂中平行四边形”，且
，猜想
与
的关系，并说明理
由；
(3)①如图3 所示，在
中，
，
，
交
于点
，请画出以
为
边的垂中平行四边形，要求：点
在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若
关于直线
对称得到
，连接
，作射线
交①中所画平行四边形的边于点
，
连接
，请直接写出
的值．
【答案】(1) ，
(2)
，理由见解析
(3)①见解析；②
或
．
【详解】（1）解：
，
为
的中点，
，
，
，
，
，
，即
，解得
，
，
；
故答案为：1；
；
（2）解：
，理由如下：
根据题意，在垂中四边形
中，
，且
为
的中点，
，
；
又
，
，
；
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①第一种情况：
作
的平行线
，使
，连接
，
则四边形
为平行四边形；
延长
交
于点
，
，
，
，
，
，
，即
，
为
的中点；
故如图1 所示，四边形
即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作
的平分线，取
交
的平分线于点
，延长
交
的延长线于点
，在射
线
上取
，连接
，
故
为
的中点；
同理可证明：
，
则
，
则四边形
是平行四边形；
故如图2 所示，四边形
即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
作
，交
的延长线于点
，连接
，作
的垂直平分线；
在
延长线上取点F，使
，连接
，
则
为
的中点，
同理可证明
，从而
，
故四边形
是平行四边形；
故如图3 所示，四边形
即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1 作图，
由题意可知，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P 作
于H，则
，
，
，
，
，
，
；
,
，
，
，即
∴
若按照图2 作图，
延长
、
交于点
，
同理可得：
是等腰三角形，
连接
，
，
，
，
，
；
同理，
，
，
，
，
，即
，
，
若按照图3 作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
故答案为：
或
．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形
中，点
为
边上不与端点重合的一动点，
点
是对角线
上一点，连接
，
交于点
，且
．
【模型建立】
（1）求证：
；
【模型应用】
（2）若
，
，
，求
的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形
是正方形，
，求
的值．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【详解】解：（1）∵矩形
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）延长
交
于点
，
∵矩形
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
（3）设正方形
的边长为
，则：
，
延长
交
于点
，
∵正方形
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
