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淘宝：学思创想
专题21 全等与相似模型之半角模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知
识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，
熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方
便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.半角模型（全等模型）.......................................................................................................................1
模型2.半角模型（相似模型）.....................................................................................................................13
..................................................................................................................................................15
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
模型1.半角模型（全等模型）
半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋
转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。
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1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD 是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋
DF；④
AEF 的周长=2AB；⑤CE、CF 分别平分∠BEF 和∠EFD。
证明：将△CBE 绕点C 逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD 是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G 共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴
AEF 的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C 作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL 证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF 分别平分∠BEF 和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件：
ABC 是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
证明：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵
ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，
∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
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条件：
ABC 是等边三角形，
BDC 是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④
AEF 的周长=2AB；
⑤DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC。
证明：将△DBE 绕点D 顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故
∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴
AEF 的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D 作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL 证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件：
ABC 是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(
BD＋EC)2+
；
证明：将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
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∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵
ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
过点F 作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=
CF=
BD，FH=
CF=
BD，
∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(
BD＋EC)2+(
BD)2；
5）任意角度的半角模型（
-
型）
条件：∠BAC=
，AB=AC，∠DAE=
；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-
。
证明：将△ABD 绕点A 逆时针
°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-
，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-
。
∵∠BAC=
，∠DAE=
，∴∠BAD+∠EAC=
，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=
，∴∠DAE=∠FAE=
，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
例1．（2023·广东广州·二模）在正方形
中，点E、F 分别在边
上，且
，连接
．
(1)如图1，若
，
，求
的长度；(2)如图2，连接
，
与
、
分别相交于点M、
N，若正方形
的边长为6，
，求
的长；(3)判断线段
三者之间的数量关系并
证明你的结论﹒
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例2．（23-24 八年级下·四川达州·阶段练习）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳
出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．
(1)【问题背景】已知：如图1，点E、F 分别在正方形
的边
上，
，连接
，则
之间存在怎样的数量关系呢？
（分析：我们把
绕点A 顺时针旋转
至
，点G、B、C 在一条直线上．）
于是易证得：
和
，所以
．
直接应用：正方形
的边长为6，
，则
的值为 ．
(2)【变式练习】已知：如图2，在
中，
，D、E 是斜边
上两点，且
，请
写出
之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，当
绕着点A 逆时针一定角度后，点D 落在线段BC 上，点E 落
在线段BC 的延长线上，如图3，此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论．
例3．（23-24 九年级上·浙江台州·期中）如图，在
中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E 都在边BC
上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，则AB 的长为 ．
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例4．（23-24 九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角
中，
，
，点D
为
边上一动点（与点B 不重合），连接
，将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，那么
之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在
中，
，
，D，E（点D，E 不与点B，C 重合）为
上两动点，且
．求证：
．（3）如图③，在
中，
，
，
，
，
D，E（点D，E 不与点B，C 重合）为
上两动点，若以
为边长的三角形是以
为斜边的直
角三角形时，求
的长．
例5．（2024·江西·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形
中，
，
，
，
，猜想并写出线段
，
，
之间的数量关系，证明
你的猜想；
（2）【迁移推广】如图2，在四边形
中，
，
，
．请
写出线段
，
，
之间的数量关系，并证明；
（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（
处）北偏东20°的
处．舰艇乙在指
挥中心南偏西50°的
处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80
海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90 海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测
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到甲、乙两舰艇分别到达
，
处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰
艇之间的距离．
例6．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形
中，
，
，
点
，
分别在
，
上，若
，则
．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形
．已知
，
，
，
，道路
，
上分别有景点
，
，且
，
，若在
，
之间修一条直路，则路线
的长比路线
的长少
_________
（结果取整数，参考数据：
）．
模型2.半角模型（相似模型）
半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角；
半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的
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条件集中，隐蔽的关系显现）。
常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交BC、CD 边于M、N 两点，且∠EAF＝45°
结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
图1 图2
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD 是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且
；
M
N
F
E
D
C
B
A
45°
45°
A
B
C
D
E
F
N
M
图3 图4
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证明：∵ABCD 是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，
，∴∠BAM+∠MAC=45°，
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴
。
同理：△AND∽△AEC，
；即
。
结论：如图4，△AMN∽△AFE 且
．
证明：∵ABCD 是正方形，∴AB∥CD ，∴∠DFA=∠BAN ；∵∠AFE=∠AFD ，∠BAN=∠AMD ，
∴∠AFE=∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3 证明知：
，∴
。
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图5
条件：如图5，已知∠BAC＝120°，
；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②
；③
（
）。
证明：∵
，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴
，即：
，
同理：△CAE∽△CBA，∴
，即：
，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；
，
∴
，∵AD=AE=DE，∴
例1．（23-24 九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD 上的点，且
∠EAF=45°，AE、AF 分别交BD 于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN 是
等腰直角三角形；③当AE=AF 时，
；④BE+DF=EF；⑤若点F 是DC 的中点，则CE
CB．
其中正确的个数是( )
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A．2
B．3
C．4
D．5
例2．（23-24 九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，
如图1 所示，点A 为公共顶点，点D 在
的延长线上，
，
．若将
固定不动，把
绕点A 逆时针旋转a（
），此时线段
，射线
分别与射线
交于点M，N．(1)当
旋转到如图2 所示的位置时，①求证：
；
②在图2 中除
外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若
，求
的长；
(2)在旋转过程中，若
，请直接写出
的长_________（用含d 的式子表示）．
例3．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰
中，
，
，
、
在线段
上，且
，
，
，求
的长．
（2）如图，在
中，
，如果
，
在直线
上，
在
上，
在
的右侧，
，若
，
，求
的长．（3）如图，在
中，若
，
、
是线段
上的两点，
，若
，
，探究
与
的数量关系．
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例4．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形
中，
．点
，
分别在边
，
上，且
．连接
，
．（1）如图1，连接
，求证：
是等边三角形；（2）
平分
交
于点
．
①如图2，
交
于点
，点
是
的中点，当
时，求
的长．
②如图3，
是
的中点，点
是线段
上一动点（点
与点
，点
不重合）．当
，
时，是否存在直线
将
分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为
1∶3．若存在，请直接写出
的值；若不存在，请说明理由．
例5．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形
中，点N、M 分别在边
、
上，连结
、
、
．
，将
绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到
．易证：
，从而得
．
【实践探究】（1）在图①条件下，若
，
，则正方形
的边长是_________．
（2）如图②，点M、N 分别在边
、
上，且
．点E、F 分别在
、
上，
，
连接
，猜想三条线段
、
、
之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图③，在矩形
中，
，
，点M、N 分别在边
、
上，连结
，
，已知
，
，求
的长．
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1．（2024·福建南平·二模）已知正方形
的边长为6，E，F 分别是
，
边上的点，且
，将
绕点D 逆时针旋转
，得到
．若
，则
的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．6.5
2．（2024·重庆·一模）如图，正方形
中，
是
上一点，
是
延长线上一点，
，连
接
为
中点，连接
．若
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形
，点A，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴
上，
，
，
，
、
分别交
，
于点D、E，且
，则
的长为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
4．（23-24 九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4 的正方形
中，对角线
，
交于点
O，E 在线段
上，连接
，作
交
于点F，连接
交
于点H，则下列结论：①
；②
；③
；④若
，则
，正确的是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
5．（2024·山东淄博·二模）如图， 正方形
的边长为4， 点 M 在 CB 延长线上，
作
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交
延长线于点 N，则
的长为 ．
6．（2024·吉林·二模）已知： 正方形
中，
，它的两边分别交CB，
于点
，
，
于点
， 连结
， 则下列结论 ①
； ②
； ③
； ④ 当
时，
，其中结论一定正确的序号是 ．
7．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别为，
边
上的点．若
，
，则
的长为 ．
8．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D、E 在边BC 上，∠DAE=∠B=30°，
且
，那么
的值是 ．
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9．（23-24 九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形
中，
，
，
，
，
，
绕B 点旋转，它的两边分别交
，
（或它们的延长线）于E，
F．当
绕B 点旋转到
时，如图1，易证
．（不用证明）(1)当
绕B 点旋
转到
时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当
绕B 点旋转到
时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段
，
，
又有怎样的数量关系？请给
予证明．
10．（2024·广西·模拟预测） 实践与探究：小明在课后研究正方形与等腰直角三角形叠放后各个线段间的
数量关系．已知正方形
的边长为6，等腰
的锐角顶点A 与正方形
的顶点A 重合，将
此三角形绕A 点旋转，
，
两边分别交直线
，
于M，N，旋转过程中，等腰
的边
与正方形没有交点．(1)如图1，当M，N 分别在边
，
上时，小明通过测量发现
，他
给出了如下的证明：过A 作
交
延长线于G，连接
，如图2，易证
，则有
．请你帮助小明后续证明； (2)如图3，当M，N 分别在
，
的延长线上时，请直接写出
，
，
之间的数量关系； (3) 在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形
边上的
中点P，求出此时
的长．
11．（2024·重庆市育才中学二模）回答问题
（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F 分别是BC、CD 上的点，
且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明
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△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F 分别是BC、CD 上的点，
且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E 在CB 的延长线上，点F
在CD 的延长线上，如图3 所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF 与∠DAB 的数量关系．
12．（2024·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全
等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D 为顶点作∠MDN，交边AC，BC
于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN 三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，
MN，BN 三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D 为顶点作
∠MDN，交边AC，BC 于点M，N，
，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN 三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN 绕点D 旋转，当M，N 分别在CA，BC 的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出
AM，MN，BN 三条线段之间的数量关系．
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请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
13．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形
中，
，E、F 分别是
上的点，且
，
分别交
于点M，N，连接
．(1)如图①，试探究
和
的数量关系和位
置关系；(2)如图②，若点G 是
的中点，连接
，求证：
；(3)在（2）的条件下，若
，求
的面积．
14．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】(1)如图1，在正方形
中，
，
分别是边
，
上的点，且
，探究图中线段
，
，
之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长
到点
，使
，连接
，先证明
，再证明
．①
，
，
之间的数量关系为________；
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②小亮发现这里
可以由
经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像
上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】(2)如图2，在四边形
中，
，
与
互补，
，
分别是边
，
上的点，且
，试问线段
，
，
之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】(3)如图3，在矩形
中，点
在边
上，
，
，
，求
的长．
15．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】如图1，在
中，
，
，点D、E 在边
上，且
，
，
，求
的长．
解：如图2，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
．
由旋转的特征得
，
，
，
．
∵
，
，∴
．
∵
，∴
，即
．∴
．
在
和
中，
，
，
，∴___①___．∴
．
又∵
，∴在
中，___②___．
∵
，
，
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∴
___③___．
【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】如图3，在正方形
中，点E、F 分别在边
上，满足
的周长等于正方形
的周长的一半，连结
，分别与对角线
交于M、N 两点．探究
的数量关系
并证明．
【拓展应用】如图4，在矩形
中，点E、F 分别在边
上，且
．探究
的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】如图5，在
中，
，
，
，点D、E 在边
上，且
．
设
，
，求y 与x 的函数关系式．
16．（2024·吉林长春·一模）【问题提出】如图①，在正方形
中，
、
分别是边
和对角线
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上的点，
，从而
，
______．
【思考探究】如图②，在矩形
中，
，
，
、
分别是边
和对角线
上的点，
，若
，求
的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形
中，
，对角线
，
交
的延长线于点
，
、
分别是菱形高
和对角线
上的点，
，
，直接写出
的长．
17．（2024·江西新余·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形
中，点
，
分别在边
和对角线
上，
，求证：
．
【尝试应用】（2）如图②，在矩形
中，
，
，点
，
分别在边
和对角线
上，
，
，求
的长．
【拓展提高】（3）如图③，在菱形
中，
，
，点
，
分别在边
和对角线
上，
，
，
，
的延长线交于点
，请直接写出
的长．
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18．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有
角的
三角尺放在正方形
中，使
角的顶点始终与正方形的顶点
重合，绕点
旋转三角尺时，
角的
两边
，
始终与正方形的边
，
所在直线分别相交于点
，
，连接
，可得
．
【探究一】如图②，把
绕点C 逆时针旋转
得到
，同时得到点
在直线
上．求证：
；
【探究二】在图②中，连接
，分别交
，
于点
，
．求证：
；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线
与三角尺
角两边
，
分别交于点
，
．
连接
交
于点
，求
的值．
