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专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598 年 ~ 660 年。他
编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角
形、四边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于
月食、日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他
命名的婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆
罗摩笈多”模型。
....................................................................................................................................................2
模型1.“婆罗摩笈多”模型.............................................................................................................................2
....................................................................................................................................................8
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.“婆罗摩笈多”模型
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从
交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。
模型特征：（1）△BCP 和△ADP 是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合.
模型1）知中点证垂直
条件：分别以三角形ABC 的边AB、AC 为边，向三角形外侧外做正方形ABDE 和正方形ACFG，N 为
EG 的中点，M、A、N 三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。
证明：（倍长中线法）延长AN 到W，使NW=NA，连接EW。
在∆WEN 和∆AGN 中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知）
∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。
∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。
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∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。
∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。
在∆EWA 和∆ACB 中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。
∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。
∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。
∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。
又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。
∵∠EAW=∠ABC（∠ABC 即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。
∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。
模型2）知垂直证中点
条件：分别以∆ABC 的边AB、AC 为边，向三角形外侧外做正方形ABDE 和正方形ACFG，AM⊥BC。
结论：N 为EG 的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。
证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN 的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°，
∵∠EAB 和∠GAC 为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°，
∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN，
∵∠GAN+∠MAC =90° ，∵AM⊥BC ，∴∠MAC+∠MCA=90° ，∴∠MCA=∠GAN ，
∴∠MCA=∠EWN，
在∆ABC 和∆EAW 中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ，
∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN，
在∆WEN 和∆AGN 中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)，
∴EN=GN，即N 为EG 的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN，
∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，
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∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。
（法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN 的延长线于X，作GY⊥AN，将AN 于Y。
∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN
在Rt∆ABM 和Rt∆EAX 中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM；
在Rt∆ABM 和Rt∆EAX 中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX；
∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM；
∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN 和Rt∆GYN 中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY；
∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N 为EG 的中点；
∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY；
∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN；
∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG；
∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。
其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！
例1．（24-25 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点
的坐标为
，点
为
轴的负半轴上的一个动
点，分别以
，
为直角边在第三、第四象限作等腰
、等腰
，连接
交
轴于
点，
当点
在
轴上移动时，则
的长度为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
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例2．（2024·重庆渝中·二模）如图，以
的边
、
为边向外作正方形
和正方形
，
连接
、
相交于点
，连接
、
，取
中点
，连接
并延长交
于点
．下列结论：
①
；②
；③
平分
；④
；⑤
．其中正确的结论有
（填写编号）．
例3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰
中，
，
，点
，
分别
在
，
上，
，连接
，
，取
中点
，连接
．
(1)求证：
，
；(2)将
绕点
顺时针旋转到图2 的位置．
①请直接写出
与
的位置关系：___________________；②求证：
．
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例4．（23-24 八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，MN⊥PQ 于N，△ABC 是等腰直角三角形，
，等腰直角△ABC 的顶点C、B 分别在射线MN，射线NQ 上滑动（顶点C、B 与点N 不重合）
在滑动过程中，点A 到直线MN 的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF 中，
，且△ECF 的顶点C、F 也分别在射线
NM、射线NP 上滑动（顶点C、F 与点N 不重合），连接AE 交MN 于点D，试探究AD 与ED 的数量关系，
并证明你的结论．
（3）如图2，
，
，在△ECF 和△ABC 保持原来滑动状态的过程中，△ACE 的面积是否
有最大值？若有，请求出△ACE 的最大面积并求此时BF 的长度；若△ACE 的面积没有最大值，请说明理
由．
例5．（2024·湖北·二模）【特例发现】如图1，在△ABC 中，AG⊥BC 于点G，以A 为直角顶点，分别以
AB，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F 作射线GA 的垂线，垂足分别
为P、Q．求证：EP=FQ．
【延伸拓展】如图2，在△ABC 中，AG⊥BC 于点G，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向
△ABC 外作Rt△ABE 和Rt△ACF，射线GA 交EF 于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE 与HF 之间的
数量关系，并直接写出你的结论．
【深入探究】如图3，在△ABC 中，G 是BC 边上任意一点，以A 为顶点，向△ABC 外作任意△ABE 和
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△ACF，射线GA 交EF 于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还
成立吗？并证明你的结论．
【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ 分别与△AEF 的两边AE、AF 分别交于点M、N，
若△ABC 为腰长等于4 的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ 在旋转过程中，△EMH、△HMN 和△FNH 均相似，并直接写出线段MN 的最小值（请在答
题卡的备用图中补全作图）．
例6．（23-24 九年级上·福建厦门·期中）定义：如图13，在
中，把
绕点A 顺时针旋转
（
）得到
，把
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
．当
时，我们称
是
的“旋补三角形”，
边
上的中线
叫做
的“旋补中线”，点A 叫做
“旋补中心”．
(1)在图1 中，
是
的“旋补三角形”，
是
的“旋补中线”，若
为等边三角形，
则
与
的数量关系为：
______
．
(2) 在图2 中，当
为任意三角形时，猜想
与
的数量关系，并给予证明．
(3)如图3，在四边形
中，
，
，
，
，
．若四边形内部恰好
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存在一点P，使
是
的“旋补三角形”，请直接写出
的“旋补中线”长是____________．
1．（23-24 九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7 世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互
相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在
中，四边形
是“婆
氏四边形”，对角线
相交于点E，过点E 作
于点H，延长
交
于点F，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7 世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相
垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形
是
的内接
四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若
，则
的半径为 ．
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3．（23-24 八年级·江苏·假期作业）如图，以
的边
，
为腰分别向外作等腰直角
、
，连接
，
，
，过点A 的直线分别交线段
，
于点
，
，以下说法：①当
时，
；②
；③当直线
时，点
为线段
的中点．正确的有
．（填序号）
4．（2024·湖北黄石·模拟预测）如图，以△ABC 的边AC、BC 为边向外作正方形ACDE 和正方形BCGF，
连接AG、BD 相交于点O，连接CO、DG，取AB 中点M，连接MC 并延长交DG 于点N．下列结论：
①AG＝BD；②MN⊥DG；③CO 平分∠DCG；④S△ABC＝S△CDG；⑤∠AOC＝45°．其中正确的结论有
（填写编号）．
5．（2024·河南新乡·模拟预测）阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多定理：如图，四边形
内接于
，对角线
，垂足为M，如果直线
，垂
足为E，并且交边AD于点F，那么
．
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证明：∵
，
，∴
，
．∴
．
又∵
① ，（同弧所对的圆周角相等）
，∴
．∴
② ．…
任务：(1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______；
(2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题：
如图，已知
中，
，
，
分别交
于点D，E，连接
交
于点P．过点P 作
，分别交
于点M，N．若
，求
的长．
6．（2024·湖北·一模）问题背景：数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图（1），在
中，
，
，求
边上的中线
的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，作
关于点
中心对称的图形，其中点
的对应
点是点
．请你帮助小明完成画图和后面的解答．
尝试运用：如图（2），
是
的中线，
，
，
，试判断线段
与
的关系，并加以证明．
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迁移拓展：如图（3），
是
的中线，
，
，直接用含
的代数式
写出
与
之间的面积关系．
7．（2023 福建·模拟预测）求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长
线必平分对边．要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC 于点E，并延长EP 与AD 交于点F，不写
作法，保留作图痕迹（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程．
8．（23-24 九年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagup1a）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运
算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出
了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
布拉美古塔定理：已知：如图1，四边形
内接于
，对角线
，垂足为
，点
为
的
中点，连结
并延长，交
于点
，则
．
证明：
，
，
，
（依据），
，…
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(1)上述证明过程中的依据是指______．(2)请补全上述证明过程．
(3)请利用布拉美古塔定理完成如下问题：如图2，三角形
内接于
，
，点
是弧
的中点，
，请直接写出线段
的长度．
9．（23-24 九年级上·山西长治·期末）阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运
算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了
“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下．
婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形
内接于
，对角线
，
，
相交于点M，如果
直线
，垂足为E，并且交边
于点F，那么
．
证明：
，
，
．
．
又
_______，
，
．…
任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程．
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10．（2024·江西·模拟预测）婆罗摩芨多是公元7 世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和
负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把对角线
互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
(1)若平行四边形ABCD 是“婆氏四边形”，则四边形ABCD 是______．（填序号）①矩形；②菱形；③正
方形．(2)如图1，四边形ABCD 为
的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知
．求证：四边形ABCD 是“婆氏四边形”．
(3)如图2，在
中，
，以AB 为弦的
交AC 于点D，交BC 于点E，连接DE，AE，
BD，
，
，若四边形ABED 是“婆氏四边形”，求DE 的长．
11．（23-24 九年级上·河南新乡·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在
ABC 中，∠BAC＝90°，
＝k，直线l 经过点A，BD⊥直线I，CE 上直线l，垂足分别
为D、E．求证：
＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下
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修改：在
ABC 中，
＝k，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α 为
任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在
ABC 中，沿
ABC 的边AB、AC 向外作矩形ABDE 和矩形ACFG，
＝
＝
，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG
于点I．①求证：I 是EG 的中点．②直接写出线段BC 与AI 之间的数量关系： ．
12．（23-24 八年级下·江苏镇江·期中）【方法回顾】如图1，在
中，D，E 分别是边
的中点，
小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长
到点F，使
，连接
，证明
，再证四边形
是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明
的依据是（ ）
A．
B．
C．
D．
②证明四边形
是平行四边形的依据是______；
【类比迁移】（2）如图2，
是
的中线，
交
于点E，交
于点F，且
，求证：
．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长
至点G，使
，连接
，…请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】（3）如图3，四边形
与四边形
均为正方形，连接
、
，点P 是
的中点，
连接
．请判断线段
与
的数量关系及位置关系，并说明理由：
（4）如图4，四边形
是一片草坪，
、
是等腰直角三角形，
，
为锐角，已知
m，
的面积为
．计划修建一条经过点A 的笔直小路
，其中
点G 在
边上，
的延长线经过
中点F．若小路每米造价500 元，则修建小路的总造价为______元．
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13．（2024·重庆·校考一模）我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）
得到AB'，把AC 绕点A 逆时针旋转β 得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC 的
“旋补三角形”，△AB'C 边B'C'上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．
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(1)[特例感知]在图2，图3 中，△AB'C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC＝6 时，则AD 长为 ．
②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7 时，则AD 长为 ．
(2)[猜想论证]在图1 中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没
有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B'A，…）
(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD 中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD 为边在四边形ABCD 内
部作等边△PCD，连接AP，BP．若△PAD 是△PBC 的“旋补三角形”，请直接写出△PBC 的“旋补中
线”长及四边形ABCD 的边AD 长．
14．（2024·广东·校考一模）情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如
图1 所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B 在同一条直线
上，如图2 所示．观察图2 可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究：如图3，△ABC 中，AG⊥BC 于点G，以A 为直角顶点，分别以AB、AC 为直角边，向△ABC
外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP 与FQ 之
间的数量关系，并证明你的结论.
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拓展延伸：如图4，△ABC 中，AG⊥BC 于点G，分别以AB、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形
ACNF，射线GA 交EF 于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践：数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断
变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．
(1)基础题：如图1，
于点B，
于点D，P 是
上一点，
．
①若
，则
与
的关系为 ．②若
，且
，则
．
(2)构造应用①如图2，点E 是正方形
边
上一点，
与
交于点G，连
接
，请直接写出
°．
②如图3，沿
的边
向外作矩形
和矩形
，
，连接
是
边上的高，延长
交
于点K，求证：K 是
中点，并直接写出
与
的数量关系：
．
(3)综合应用：如图4，在矩形
中，
，点E 是边
上的动点（点E 不与点A、D 重
合），连接
，过点E 作
，交
于点F，连接
，过点B 作
，垂足为G，点M 是
边的中点．请直接写出当
值最小时
的值为： ．
16．（24-25 九年级上·广东深圳·阶段练习）综合与实践
【问题情境】我们定义：如图（a），在
中，把
绕点
顺时针旋转
得到
，把
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绕点
逆时针旋转
得到
，连接
．当
时，我们称
是
的“旋补三角
形”，
的边
上的中线
叫做
的“旋补中线”，点
叫做“旋补中心”．
【特例感知】（1）在图（b）和图（c）中，
是
的“旋补三角形”，
是
的“旋补
中线”．
①如图（b），当
为等边三角形时，
与
的数量关系为
__________
；
②如图（c），当
，
时，则
长为__________．
【猜想论证】（2）如图（a），当
为任意三角形时，猜想
与
的数量关系，并给予证明．
【拓展应用】（3）如图（d），在四边形
中，
，
，
，
，
．在四边形内部是否存在点
，使
是
的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求出
的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
17．（2024·山西太原·三模）请阅读下面的材料，并解答问题．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598 年生，约660 年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆
罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名
的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形
的对角线
与
垂直相交于M，过点M
的直线与边
分别相交于点F、E．则有下两个结论：
如果
，那么
；如果
，那么
．
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数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究．
证明：
，
，即
，
，
，
在
中，
，
……
请解答以下问题：(1)请完成所给材料的证明过程；(2)请证明结论（2）；
(3)应用：如图圆O 中，半径为4，A，B，C，D 为圆上的点，
，连接
交于点
F，过点F 作
于E，延长
交
于G，则
的长度为______．
18．（23-24 九年级下·重庆·阶段练习）如图1，等腰
和等腰
中，
，
，
，点
、
、
、
在一条直线上．当点
和点
重合时，等腰
静止
不动，等腰
从
出发，沿线段
方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，当
点与
点重合时，
停止运动．设运动时间为
秒
．1）请填空：当
、12、14 秒时，
的长度分别为 、 、
；
2）在等腰
的运动过程中，设等腰
和等腰
重叠部分的面积为，请直接写出与
的函数关系式和相应的自变量
的取值范围；
3）如图2，当
点与
点重合时，将等腰
绕点
顺时针转
角（
），连接
、
，过点
作
，延长
．①求证：
；②若
，求
的长度．
