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淘宝：学思创想
专题20 全等与相似模型之手拉手模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知
识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，
熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.手拉手模型（全等模型）...................................................................................................................2
模型2.手拉手模型（相似模型）.................................................................................................................12
..................................................................................................................................................26
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.手拉手模型（全等模型）
将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，
也叫旋转型全等。其中：公共顶点A 记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为
“左手”，第二个顶点记为“右手”。
等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进
行解决。SAS 型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C 作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
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（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
证明： ∵△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C 作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN 平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF 平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C 作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
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又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF 平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG，ED 交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C 作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP
（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN 平分∠BND。
例1．（23-24 八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，B，C 在同一条直线上，
，
均为等边三
角形，连接
和
，
分别交
、
于点M，P，
交
于点Q，连接
，
，下面结论：①
；②
；③
为等边三角形；④
平分
；⑤
．其中结论
正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质即可证得
故①正确；根据
结合三角形外角性
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质即可得出
，故②正确；根据等边三角形的性质易证
，得到
结合
即可得到
为等边三角形，故③正确；根据全等三角
形性质，得到点
到
，
的距离相等，，从而可得点
在
的角平分线上，故④正确；已有的
条件无法求
的度数，故⑤错误；从而解题．
【详解】解：
、
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在
和
中，
，
，
，
为等边三角形，故③正确；
，
，
点
到
，
的距离相等，即
边上的高相等，
点
在
的角平分线上，即
平分
；故④正确；
已有的条件无法求
的度数，故⑤错误；综上所述：正确的结论有4 个；故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆的性质，三角形外角
性质，角度的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰
中，
，
，点
，
分别
在
，
上，
，连接
，
，取
中点
，连接
．
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(1)求证：
，
；(2)将
绕点
顺时针旋转到图2 的位置．
①请直接写出
与
的位置关系：___________________；②求证：
．
【答案】(1)见解析(2)①
；②见解析
【分析】（1）先证明
得到
，
，根据直角三角形斜边中线性质得到
，根据等边对等角证明
，进而可证明
；
（2）①延长
到点
，使
，连结
，延长
到
，使
，连接
并延长交
于
点
．同（1）证明
得到
，然后利用三角形的中位线性质得到
，
则
，进而证明
即可得到结论；
②延长
到点
，使
，连接
．先证明
，得到
，
，进
而
，
．证明
得到
即可得到结论．
【详解】（1）证明：在
和
中，
，
，
，
，
，
．
是
斜边
的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：①
；理由如下：延长
到点
，使
，连结
，延长
到
，使
，
连接
并延长交
于点
．证明
（具体证法过程跟②一样）．
，
是
中点，
是
中点，
是
中位线，
，
，
，
，
，
．故答案为：
；
②证明：延长
到点
，使
，连接
．
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
．
，
．在
和
中，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角
形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与
运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
例3．（2023·山东·九年级专题练习）已知，
为等边三角形，点
在边
上．
【基本图形】如图1，以
为一边作等边三角形
，连结
．可得
（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点
是
边上一点，以
为一边作等边三角
．求证：
．
【类比探究】如图3，点
是
边的延长线上一点，以
为一边作等边三角
．试探究线段
，
，
三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析．
【分析】基本图形：只需要证明
得到
，即可证明；
迁移运用：过点
作
，交
于点
，然后证明
得到
，即可推出
；类比探究：过点
作
，交
于点
，然后证明
，得
到
，再由
，即可得到
．
【详解】基本图形：证明：∵
与
都是等边三角形，
∴
，
，
，
，
∴
，
，∴
，
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在
与
中，
，∴
，
∴
，∴
，∵
，∴
；
迁移运用：证明：过点
作
，交
于点
，
∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
，
，
又∵
，∴
为等边三角形，∴
，
∵
为等边三角形，∴
，
，
∵
，
，∴
，
在
与
中
，∴
，∴
，∴
；
类比探究：解：
，理由如下：过点
作
，交
于点
，
∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
，
，
又∵
，∴
为等边三角形，∴
，
∵
为等边三角形，∴
，
，
∵
，
，∴
，
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在
与
中
，∴
，∴
，
∵
，∴
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与
判定条件是解题的关键．
例4．（23-24 九年级上·浙江台州·期末）如图，将
绕点A 顺时针旋转得到
，并使C 点的对应
点D 点落在直线
上．(1)如图1，证明：
平分
；(2)如图2，
与
交于点F，若
，求
的度数；(3)如图3，连接
，若
，则
的
长为 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)
；(3)
．
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理的应用等知识，解答本
题的关键是掌握旋转的性质．（1）根据
绕点A 顺时针旋转得到
，可得
，即得
，故
，
平分
；（2）设
，根据旋转的性质和三角形外角的性质可得
，即可解得
；（3）过A 作
于H，由已知可得
，即可得
，从
而
，可得
，
是等腰直角三角形，故
．
【详解】（1）证明：∵
绕点A 顺时针旋转得到
，
∴
，∴
，∴
，∴
平分
；
（2）解：设
，∵
∴
，
∵
，∴
，
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∵
，∴
，解得
，∴
；
（3）解：过A 作
于H，如图：
∵
绕点A 顺时针旋转得到
，∴
，
∵
，∴
，∵
，
∴
，∴
，∵
，∴
，
，
∴
，∴
是等腰直角三角形，∴
，故答案为：
．
例5．（2022·浙江湖州·统考中考真题）已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，a，b 分别表示∠A，∠B 的对边，
．记△ABC 的面积为S．
(1)如图1，分别以AC，CB 为边向形外作正方形ACDE 和正方形BGFC．记正方形ACDE 的面积为
，正
方形BGFC 的面积为
．①若
，
，求S 的值；②延长EA 交GB 的延长线于点N，连结FN，
交BC 于点M，交AB 于点H．若FH⊥AB（如图2 所示），求证：
．
(2)如图3，分别以AC，CB 为边向形外作等边三角形ACD 和等边三角形CBE，记等边三角形ACD 的面积
为
，等边三角形CBE 的面积为
．以AB 为边向上作等边三角形ABF（点C 在△ABF 内），连结EF，
CF．若EF⊥CF，试探索
与S 之间的等量关系，并说明理由．
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【答案】(1)①6；②见解析(2)
，理由见解析
【分析】（1）①将面积用a，b 的代数式表示出来，计算，即可 ②利用AN 公共边，发现
△FAN∽△ANB，利用
，得到a，b 的关系式，化简，变形，即可得结论 （2）等边
与等
边
共顶点B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的对应边，对应角，得到：AC＝FE＝
b，∠FEB＝∠ACB＝90°，从而得到∠FEC＝30°，再利用
，
，得到a 与b
的关系，从而得到结论
【详解】（1）∵
，
∴b＝3，a＝4 ∵∠ACB＝90°∴
②由题意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∵FH⊥AB∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB∴△FAN∽△ANB
∴
∴
，得：
∴
．即
（2）
，理由如下：∵△ABF 和△BEC 都是等边三角形
∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB
∴△ABC≌△FBE（SAS）∴AC＝FE＝b ∠FEB＝∠ACB＝90° ∴∠FEC＝30°
∵EF⊥CF，CE＝BC＝a∴
∴
∴
由题意得：
，
∴
∴
【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手
全等。
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例6．（2024·黑龙江·九年级期中）已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB＝90°，F 为AB 边的中点，且
DF=EF，∠DFE＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；
（1）当D 不与C、B 重合时，如图2，CD、DB、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD、DB、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析
【分析】（1）由已知得
，连接CF，BE，证明
得CD=BE，再证明
为直
角三角形，由勾股定理可得结论；
（2）连接CF，BE，证明
得CD=BE，再证明
为直角三角形，由勾股定理可得结论．
【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2
证明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，∴
∴
连接CF，BE，如图
∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点
∴
，即
∴
，
又
∴
在
和
中
∴
∴
，
∴
∴
∵
，
∴CD2+DB2=2DF2 ；
（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接CF、BE ∵CF=BF，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°
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∴∠DFC=∠EFB∴△DFC≌△EFB ∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°
∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90° 在Rt△DBE 中，BE2+DB2=DE2 ∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关
键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
模型2.手拉手模型（相似模型）
“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样
的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。
手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2 个
三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=
，
；
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；
；∠BFC=∠BAC.
证明：∵
，∴
，∵∠BAC=∠DAE=
，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE=
，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵
，∴△ABD∽△ACE，∴
，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=
，
2）手拉手相似模型（直角三角形）
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条件:如图，
，
；
结论：△AOC∽△BOD；
，AC⊥BD，
.
证明：∵
，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵
，∴△AOC∽△BOD，∴
，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴
.
3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）
条件:
M 为等边三角形ABC 和DEF 的边AC 和DF 的中点； 结论：△BME∽△CMF；
.
证明：∵M 为等边三角形ABC 和DEF 的边AC 和DF 的中点，∴
，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴
，
条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；
.
证明：∵△ABC 和ADE 是等腰直角三角形，∴
，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴
，∠ACE=∠ABD=90°
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例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形
的旋转变换进行研究．
(1)[观察猜想]如图1，△ABC 是以AB、AC 为腰的等腰三角形，点D、点E 分别在AB、AC 上．且
DE∥BC，将△ADE 绕点A 逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD 与CE 的数量关系 ；
(2)[探究证明]如图2，△ACB 是以∠C 为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC 分别交AC 与AB 两边于点
E、点D．将△ADE 绕点A 逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出
证明；若不成立，请说明理由；
(3)[拓展延伸]如图3，BD 是等边△ABC 底边AC 的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE 绕点B 逆时针旋转
到△FBE，点A 落在点F 的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE 时，求出DF2的值．
【答案】(1)结论BD=CE．证明见解析；
(2)结论不成立．BD 与CE 的数量关系：BD=
CE．证明见解析；(3)28
【分析】（1）结论BD=CE．证明△ABD≌△ACE（
）；（2）结论不成立．BD 与CE 的数量关系：
BD=
CE．证明△DAB∽△EAC，可得结论；（3）根据条件可得当AB⊥BE 时，
，结合等边三角形的性质，可得
，勾股定理即可求得
．
【详解】（1）结论BD=CE．理由：如图1 中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
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∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（
），∴BD=EC．故答案为：BD=CE．
（2）结论不成立．BD 与CE 的数量关系：BD=
CE．
理由：∵△ABC，△AED 都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，
，
∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴
，∴BD=
CE
（3）如图3，BD 是等边△ABC 底边AC 的中线，AE⊥BE，AE∥BC．
，
将△ABE 绕点B 逆时针旋转到△FBE，点A 落在点F 的位置，
当AB⊥BE 时，
ABC 是等边△，等边三角形的边长为4，
，
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定
理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
例2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度
存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在
中，
，
，分别取
，
的中点D，E，作
．如图2 所示，将
绕点A 逆时针旋转，连接
，
．
(1)探究发现：旋转过程中，线段
和
的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当
所在直线首次经过点B 时，求
的长．
【答案】(1)
，证明见解析；(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转
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前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）根据中点的定义得出
，
进而得出
，易得
，通过证明
，即可得出结论；（2）根据题意推出
当所在直线经过点B 时，
，根据勾股定理
可得
，根据（1）可得
，即可求解；
【详解】（1）解：猜想
，证明如下：
在
中，
，
，
，
的中点分别为D，E，
∴
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
将
绕点A 逆时针旋转，连接
，
，根据旋转的性质可得：
，
，
，
，
；
（2）解：
，分别取
，
的中点D，E，
，
，
，
，
∴当
所在直线经过点B 时，
，
，
在
中，根据勾股定理可得：
，由（1）可得：
，
，解得：
；
例3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一
个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片
和
中，
，
，
．
【初步感知】（1）如图1，连接
，
，在纸片
绕点
旋转过程中，试探究
的值．
【深入探究】（2）如图2，在纸片
绕点
旋转过程中，当点
恰好落在
的中线
的延长线上
时，延长
交
于点
，求
的长．
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【拓展延伸】（3）在纸片
绕点
旋转过程中，试探究
，
，
三点能否构成直角三角形．若能，
直接写出所有直角三角形
的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
的值为
；（2）
；（3）直角三角形
的面积分别为4，16，12，
【分析】（1）根据
，
，
．证明
，
，继而得到
，
即
，再证明
，得到
．
（2）连接
，延长
交
于点Q，根据(1)得
，得到
，根据中线
得到
，继而得到
，结合
，得到
即
，得到
，再证明
，得证矩形
，再利用勾
股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵
，
，
．∴
，
∴
，
，
∴
即
，∵
∴
，∴
．
淘宝：学思创想
（2）连接
，延长
交
于点Q，根据(1)得
，∴
，
∵
是中线∴
，∴
，
∵
，∴
即
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴四边形
是平行四边形，
∵
∴四边形
矩形，∴
，
∴
，∴
，∴
，
设
，则
，∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，解得
；∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，解得
．
（3）如图，当
与
重合时，此时
，此时
是直角三角形，
故
；
如图，当
在
的延长线上时，此时
，此时
是直角三角形，
故
；
淘宝：学思创想
如图，当
时，此时
是直角三角形，过点A 作
于点Q，
∵
，∴
，∵
，
，
，
∴四边形
是矩形，∴
，∴
，故
；
如图，当
时，此时
是直角三角形，过点A 作
于点Q，交
于点N，
∴
，
，∴
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，解得
；
故
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全
等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩
形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
淘宝：学思创想
(1)发现问题：如图1，在
和
中，
，
，
，连接
，
，
延长
交
于点
．则
与
的数量关系：______，
______ ；
(2)类比探究：如图2，在
和
中，
，
，
，连接
，
，延长
，
交于点
．请猜想
与
的数量关系及
的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，
和
均为等腰直角三角形，
，连接
，
，且点
，
，
在一条直线上，过点
作
，垂足为点
．则
，
，
之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形
中，
，若平面内存在点
满足
，
，则
______．
【答案】(1)
，
(2)
，
，证明见解析(3)
(4)
或
【分析】（1）根据已知得出
，即可证明
，得出
，
，
进而根据三角形的外角的性质即可求解；（2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明
，根据等腰直角三角形的性质得出
，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接
，以
为直径,
的中点为圆心作圆，以
点为圆心，为半径作圆，
两圆交于点
，延长
至
，使得
，证明
，得出
，勾股定理
求得
，进而求得
，根据相似三角形的性质即可得出
，勾股定理求得
，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵
，∴
，
又∵
，
，∴
，∴
，
设
交于点
，
淘宝：学思创想
∵
∴
，故答案为：
，
．
（2）结论：
，
；
证明：∵
，∴
，即
，
又∵
，
，∴
∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
（3）
，
理由如下，∵
，∴
，即
，
又∵
和
均为等腰直角三角形∴
，∴
，∴
，
在
中，
，∴
，∴
；
（4）解：如图所示，连接
，以
为直径,
的中点为圆心作圆，以
点为圆心，为半径作圆，两圆
交于点
，延长
至
，使得
，则
是等腰直角三角形，
∵
,∴
，
∵
，∴
∴
，∴
，
∵
，在
中，
，
∴
∴
过点
作
于点
，设
，则
，
淘宝：学思创想
在
中，
，在
中，
∴
∴
解得：
，则
，
设
交于点
，则
是等腰直角三角形，∴
在
中，
∴
∴
又
，
∴
∴
∴
，∴
∴
，
在
中，
∴
，
综上所述，
或
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直
径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践
问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知
和
均为等边三角
形，O 是
和
的中点，将
绕点O 顺时针旋转．
猜想证明：(1)如图①，在
旋转的过程中，当点E 恰好在
的延长线上时，
交
于点H，试判
断
的形状，并说明理由；(2)如图②，在
旋转的过程中，当点E 恰好落在边
上时，连接
，试猜想线段
与线段
的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若
，连接
，设
所在直线与
所在直线交于点M，在
旋转的过程中，当点B，F，E 在同一直线上时，在M，O
两点中的其中一点恰好是另一点与点C 构成的线段的中点，请直接写出此时
的长．
淘宝：学思创想
【答案】(1)
为等腰三角形，理由见详解(2)
，证明见详解(3)1 或2
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及外角定理得到
，则
，即可求证；
（2）连接
，证明
，则
，即
；（3）如图①，当点
在同一直线上，连接
，先证明
，继而得到
，则
，则
，可得
，故
，即可求解
；如图②，当点O 为
中点时，
，在
中，由勾股定理得
，则
，而此时
三点共
线，故点B 和点E 重合，由点M 是直线
与直线
的交点，得到
三点重合，故此时
的长为
的长．
【详解】（1）解：
为等腰三角形，理由：∵
为等边三角形，∴
，
，
∵O 是
的中点∴
，∵
是等边三角形，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
为等腰三角形；
（2）解：
，
证明如下：连接
，∵
均是等边三角形，∴
，
淘宝：学思创想
∵点O 为
的中点，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
；
（3）解：情况一，如图①，当点
在同一直线上，连接
，
∵点O 为
中点，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
∵点M 为
的中点，点O 为
中点，∴
，∴
，即
，解得：
；
情况二：∵
为等边三角形，∴
，∵点O 为
中点，
，∴
，
，
如图②，当点O 为
中点时，
，
∵等边
边长为2，∴在
中，
，∴
，
∵此时
三点共线，∴点B 和点E 重合，又∵点M 是直线
与直线
的交点，∴
三点重合，
∴此时
的长为
的长，即
，综上所述，此时
的长为1 或2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
例6．（2024·山东济南·模拟预测）
(1)问题发现：如图1，矩形
与矩形
相似，且矩形
的两边分别在矩形
的边
和
上，
，连接
．线段
F 与
的数量关系为 ；
(2)拓展探究：如图2，将矩形
绕点A 逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论
是否仍然成立，请利用图2 进行说理．
(3)解决问题：当矩形
的边
时，点E 为直线
上异于D，C 的一点，以
为边作正方形
，点H 为正方形
的中心，连接
，若
，
，直接写出
的长．
淘宝：学思创想
【答案】(1)
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3)
的长为
或
【分析】本题考查了相似多边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）延长
，交
于H，连接
，利用矩形的性质与判定可证明四边形
是矩形，得出
，
，利用相似多边形的性质得出
，进而得出
，在
中，由勾股定理得：
，即可求解；（2）如图2，连接
、
，利用相似多边形的性
质、旋转的性质可证明
，得出
，利用矩形的性质，勾股定理可求出
，
即可得出结论；
（3）分点E 在线段
上，点E 在线段
延长线上，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1，延长
，交
于H，连接
，
∵四边形
和四边形
都是矩形，∴
，
∴
，∴四边形
是矩形，∴
，
，
∵矩形
与矩形
相似，
，∴
，
∴
，即
，
在
中，由勾股定理得：
，
∴
，故答案为：
．
（2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接
、
，
淘宝：学思创想
∵矩形
与矩形
相似，∴
，由旋转可得：
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
；
（3）解：①如图3，当点E 在线段
上时，连接
、
，
∵四边形
，四边形
为正方形，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
；
②如图4，当点E 在线段
延长线上时，连接
、
，
∵四边形
，四边形
为正方形，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，综上所述，
的长为
或
．
例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角
中，
，D 为
上一点，E 为
延长
线上一点，且
，
，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助
线，构造相似三角形是解题的关键．过点E 作
，交
的延长线于点H，先证明
，
得到
，
，同时计算
，因此得到
，再证明
，即
可得到答案．
【详解】过点E 作
，交
的延长线于点H，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．故答案为：
．
淘宝：学思创想
1．（23-24 九年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在
中，
，过点C 作
于点D，
过点B 作
于点M，连接
，过点D 作
，交
于点N．
与
相交于点E，若点E
是
的中点，则下列结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的有
（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质；证
明
是等腰直角三角形，从而证明
，
，根据全等三角形的性质即可证明
结论，证明
是等腰直角三角形，可得
，
，可得
，即可证明结论．
【详解】解：∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，
，∴
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
是等腰直角三角形，∴
，∴
，故①②③正确，
过点
作
于点
，则
，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，∵点E 是
的中点，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，故④正确，故选：A．
2．（2022·湖南·中考真题）如图，点
是等边三角形
内一点，
，
，
，则
与
的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将
绕点B 顺时针旋转
得
，连接
，得到
是等边三角形，再利用勾股定理
的逆定理可得
，从而求解．
【详解】解：将
绕点
顺时针旋转
得
，连接
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∵
，
，
，
，
与
的面积之和为
．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将
与
的面积之和转化为
，是解题的关键．
3．（23-24 九年级上·辽宁大连·期中）如图，在
中，
，点D 是边
上的一个动点，连接
，过点C 作
，使
，连接
，点F 是
的中点，连接
并延
淘宝：学思创想
长，交
边所在直线于点G，若
，则
的长为 ．
【答案】
或
【分析】分点G 在
上，和在
延长线上，两种情况讨论，当点G 在
上，连接
，证明
，可得
，再由等腰三角形的性质可得
，设
，则
，由勾股定理可得
，即可求解；当点G 在
延长线上，连接
，同
理可证
，得
，
，由
是等腰直角三角形，
点是
的中点，得
到
是
的垂直平分线，推出
，设
，则
，
，利用勾股定理即可
求解．
【详解】解：如图，当点G 在
上，连接
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，
，
∴
，∴
，
∵点F 是
的中点，∴
，即
，
是等腰直角三角形，
点是
的中点，
是
的垂直平分线，
，设
，∵
，
，∴
，
∵
，∴
，解得：
，即
；
如图，当点G 在
延长线上，连接
，同理可得：
，
，
∴
，∴
，
淘宝：学思创想
是等腰直角三角形，
点是
的中点，
是
的垂直平分线，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，即
，解得：
，
，
综上，
的长为
或
故答案为：
或
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，证明
，
是解题的关键．
4.（23-24 九年级上·广东深圳·期中）如图，等腰直角
中，
，
，过点
作
，
，连接
，过点
作
，垂足为
，连接
，则
长为 ．
【答案】
/
【分析】利用勾股定理及等面积法求得
，
，
，过点
作
交
于
，由等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理可证得
，
，
，易知
，可得
，
，则
，进而由等腰三角形的性
质可得
．
【详解】解：∵
，
，
，∴
，
∵
，则
，∴
，
则
，过点
作
交
于
，则
，
淘宝：学思创想
∵
是等腰直角三角形，∴
，
∵
，
，则
，∴
，
又∵
，则
，则由三角形内角和可知：
，
∴
，∴
，∴
，
，则
，
∵
，则
，∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识，添加辅助
线构造全等三角形是解决问题的关键．
5．（2024·河南周口·模拟预测）如图，
是等边三角形，
，点E 是
的平分线
上的一
动点，连接
，将点E 绕点C 顺时针旋转
得到点F，连接
，
．若
是直角三角形，则线
段
的长为
【答案】
或
【分析】根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得
，
，再根据旋转的性质可得
，
，利用等量代换可得
，证得
，可得
，
，
，由
是直角三角形，分类讨论：
或
进行求解即可．
【详解】解：∵
是等边三角形，
平分
，∴
，
，
∵将点E 绕点C 顺时针旋转
得到点F，∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，
，∴
，
∴
，∴
，
，
，
∵
是直角三角形，当
，在
中，
，∴
，
当
时，在
中，
，即
，∴
，
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、
勾股定理、锐角三角函数及旋转的性质，熟练掌握相关定理证得
，进行分类讨论是解题的
关键。
6．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转得到矩形
，点A、C、D 的对应点分别
为
、
、
．如图，当
过点C 时，若
，
，则
的长为 ．
【答案】
/
【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接
，根据勾股定
淘宝：学思创想
理求出
，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：如图，连接
，
由题意得，
，
，由勾股定理得，
，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，即
，解得，
．故答案为：
．
7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将
绕点A 逆时针旋转到
的位置，使点
落
在
上，
与
交于点E 若
，则
（从“
”中选择
一个符合要求的填空）；
．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据旋转的性质得出
，即可推出
；通过证明
，得出
，求出
，设
，
，则
，
，证明
，得出
淘宝：学思创想
，则
，即可求解．
【详解】解：∵将
绕点A 逆时针旋转得到
，∴
，
∴
，即
，
∵将
绕点A 逆时针旋转得到
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，即
，解得：
，
∵四边形
是平行四边形，
，∴
，∴
，
设
，
，则
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
整理得：
，把
代入
解得：
故答案为：
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握
相关性质定理，掌握相似三角形对应边成比例．
8．（2024·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，点D 为斜边BC 上一
点，且BD=3CD，将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B′，则sin∠CB′D= ．
【答案】
/
【分析】先证明A、B′、C、D 四点共圆，推出∠CB′D=∠CAD，过点D 作DE⊥AC 于点E，利用平行线分
线段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=
，再由正弦函数即可求解．
【详解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，
淘宝：学思创想
由折叠的性质得∠AB′D=∠B=45°，∴∠AB′D=∠ACD=45°，∴A、B′、C、D 四点共圆，
∴∠CB′D=∠CAD，
过点D 作DE⊥AC 于点E，∵∠CAB=90°，∴DE∥AB，∵BD=3CD，∴AE=3CE，
∵∠ACB=45°，∴△DEC 是等腰直角三角形，∴DE=CE，设DE=CE=a，则AE=3CE=3a，
在Rt△ADE 中，AD=
，
∴sin∠CB′D= sin∠CAD=
． 故答案为：
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件．
9．（23-24 九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图
1，
和
是等边三角形，点B、C、E 不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出
结论________________；（写出一对即可）
上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．
【类比分析】（2）如下图，已知四边形
中，
，
，
是
的
平分线，且
．将线段
绕点E 顺时针旋转
得到线段
．当
时，连接
，试判断线
段
和线段
的数量关系，并说明理由；①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段
和线段
的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；
淘宝：学思创想
②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件
，则
，再通过“手拉手”
模型，合理添加辅助线，构造与
全等的三角形来解决问题．
请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．
【拓展延伸】（3）如下图，
中，当
时，点D、E 为
、
上的点，
，
，若
，
，求线段
的长．
【答案】（1）
；（2）
，理由见解析；（3）
【分析】（1）利用
证明
即可；（2）过点
作
平分
交
于
，先证明四
边形
是平行四边形，可得
，再证明
是等边三角形，推出
，再证得
即可；（3）设
，以
、
为边作
，连接
，将
绕点
逆时
针旋转
得
，连接
，可得
是等边三角形，
，
，再得出
，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：（1）
．理由如下：如图1，
和
是等边三角形，
，
，
，
，即
，
在
和
中，
，
；
（2）如图2，过点
作
平分
交
于
，
四边形
中，
，
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
平分
，
，
，
是等边三角形，
，
，
淘宝：学思创想
，
，即
，由旋转得：
，
，
，
，
；
（3）如图3，以
、
为边作平行四边形
，连接
，
则
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
又
，
是等边三角形，将
绕点
逆时针旋转
得
，连接
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，即
，
，即
的长为
．
【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角
形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键．
10．（23-24 九年级下·四川达州·开学考试）已知，
与
都是等腰直角三角形，
，
，连接
，
．
(1)如图，求证
；(2)如图
，点
在
内，
，
，
三点在同一直线上，过点
作
的高
，证明：
；(3)如图，点
在
内，
平分
，
的延长线与
交
于点
，点
恰好为
中点，若
，求线段
的长．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)
【分析】本题是三角形的综合问题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角
形的性质和直角三角形斜边中线的性质等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“
”可证
，可得
；（2）同理知：
，先根据等腰三角形三线
合一的性质得
，再由直角三角形斜边中线的性质得
，最后由线段的和可得结论；
（3）连接
，设
，则
，
，
，由（1）知
，得
淘宝：学思创想
，证明
，得
，计算
，列方程即可解
答．
【详解】（1）证明：
与
都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
，
，
，
，
，
，由（1）可知：
，
点
在
内，
，
，
三点在同一直线上，
（3）解：如图，连接
，
平分
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，由（1）知
，
，
，
，
，
，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
11．（2023·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△ABC 中，AB＝AC，
，D 为BC 边
上一点（不与点B，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE，则：
淘宝：学思创想
(1)①∠ACE 的度数是 ；②线段AC，CD，CE 之间的数量关系是 ．
拓展探究：(2)如图2，在△ABC 中，AB＝AC，
D 为BC 边上一点（不与点B，C 重合），将
线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE 的度数及线段AD，BD，CD 之间得数量
关系，并说明理由；
解决问题：(3)如图3，在Rt△DBC 中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A 满足AB＝AC，∠BAC＝
90°，请直接写出线段AD 的长度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，见解析(3)AD＝
或AD＝4
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到
BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作AE⊥CD 于E，连接
AD，根据勾股定理得到BC=
=
，推出点B，C，A，D 四点共圆，根据圆周角定理得到
∠ADE=45°，求得△ADE 是等腰直角三角形，得到AE=DE，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根据旋转性质得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE 中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）解：作AE⊥CD 于E，连接AD，∵在Rt△DBC 中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝
淘宝：学思创想
，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝
，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D 四点共圆，∴∠ADE＝∠ABC=45°，
∴△ADE 是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）
2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝
或AD＝4
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
12．（2024·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在△ABC 中，AB＝AC，
，D 为BC 边
上一点（不与点B，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE 的度数是 ；②线段AC，CD，CE 之间的数量关系是 ．
拓展探究：(2)如图2，在△ABC 中，AB＝AC，
D 为BC 边上一点（不与点B，C 重合），将
线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE 的度数及线段AD，BD，CD 之间得数量
关系，并说明理由；
解决问题：(3)如图3，在Rt△DBC 中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A 满足AB＝AC，∠BAC＝
90°，请直接写出线段AD 的长度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，见解析(3)AD＝
或AD＝4
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到
淘宝：学思创想
BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作AE⊥CD 于E，连接
AD，根据勾股定理得到BC=
=
，推出点B，C，A，D 四点共圆，根据圆周角定理得到
∠ADE=45°，求得△ADE 是等腰直角三角形，得到AE=DE，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根据旋转性质得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 和△CAE 中，
，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE 中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）解：作AE⊥CD 于E，连接AD，
∵在Rt△DBC 中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝
，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴AB＝AC＝
，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D 四点共圆，
∴∠ADE＝∠ABC=45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）
2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝
或AD＝4
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
淘宝：学思创想
13．（2024·浙江绍兴·校考一模）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB、AC 为边向外作
等腰直角△ABE 和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想
BD 与CE 的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD 中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的
值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD 全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请
你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，
则CD＝
．
【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS 即可证明△EAC≌△BAD，根据全等
三角形的性质即可证明；（2）在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，
AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE 中利用勾股定理
即可求解；
（3）先证明△ABC 是等边三角形，再把△ACD 绕点C 逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则可得
△CDE 是等边三角形，再证△BDE 是直角三角形，运用勾股定理求出DE 的长，从而可得CD 的长．
【详解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC 和△BAD 中，
， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、
EB、EC．
淘宝：学思创想
∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝
∠BAD，
在△EAC 和△BAD 中，
，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5， ∴BE＝
，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴
，∴
．
（3）如图，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC 是等边三角形，
把△ACD 绕点C 逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则BE＝AD，△CDE 是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°， ∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE 中，DE＝
＝
＝8， ∴CD＝DE＝8．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题目之间的联系，构造全等三角形是解决本题关键．
14．（2024·江西·中考真题）综合与实践：如图，在
中，点D 是斜边
上的动点（点D 与点A
不重合），连接
，以
为直角边在
的右侧构造
，
，连接
，
．
淘宝：学思创想
特例感知（1）如图1，当
时，
与
之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移（2）如图2，当
时，猜想
与
之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用（3）在（1）的条件下，点F 与点C 关于
对称，连接
，
，
，如图3．已知
，
设
，四边形
的面积为y．①求y 与x 的函数表达式，并求出y 的最小值；②当
时，请
直接写出
的长度．
【答案】（1）
，
（2）
与
之间的位置关系是
，数量关系是
；
（3）①y 与x 的函数表达式
，当
时，
的最小值为
；②当
时，
为
或
.
【分析】（1）先证明
，
，
，可得
；再结合全等三角形的
性质可得结论；（2）先证明
，
，结合
，可得
；再结合相似三角形的性质可得结论；（3）①先证明四边形
为正方形，如图，过
作
于
，可得
，
，再分情况结合勾股定理可得
函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接
，
，
，证明
，
可得
在
上，且
为直径，则
，过
作
于
，过
作
于
，
求解正方形面积为
,结合
，再解方程可得答案.
【详解】解：（1）∵
，∴
，
，
∵
，∴
，
，∴
；
∴
，
，∴
，
∴
，∴
与
之间的位置关系是
，数量关系是
；
（2）
与
之间的位置关系是
，数量关系是
；理由如下：
∵
，∴
，
，
∵
，∴
；∴
，
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，
∴
与
之间的位置关系是
，数量关系是
；
（3）由（1）得：
，
，
，∴
，
都为等腰直角三角形；
∵点F 与点C 关于
对称，∴
为等腰直角三角形；
，
∴四边形
为正方形，如图，过
作
于
，
∵
，
，∴
，
，
当
时，∴
，∴
，
如图，当
时，此时
，同理可得：
，
∴y 与x 的函数表达式为
，当
时，
的最小值为
；
②如图，∵
，正方形
，记正方形的中心为
，∴
，
连接
，
，
，∴
，∴
在
上，且
为直径，∴
，
过
作
于
，过
作
于
，∴
，
，
∴
，∴
，∴正方形面积为
,
∴
，解得：
，
，经检验都符合题意，如图，
综上：当
时，
为
或
.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的
淘宝：学思创想
判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难
度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A 旋转一个角度
，再将旋转后的多边形以点A 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段
的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作
顺
；若逆时针旋转，记作
逆
．
例如：如图①，先将
绕点B 逆时针旋转
，得到
，再将
以点B 为位似中心缩小到
原来的
，得到
，这个变换记作
逆
．
(1)如图②，
经过
顺
得到
，用尺规作出
．（保留作图痕迹）
(2)如图③，
经过
逆
得到
，
经过
顺
得到
，连接
．
求证：四边形AFDE 是平行四边形．(3)如图④，在
中，
，
，
．若
经
过（2）中的变换得到的四边形
是正方形，请直接写出
的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）旋转
，可作等边三角形
，
，从而得出
点和点
对应点
，
进而作出图形；
（2）根据
和
位似，
与
位似得出
，
，
，进而
推出
，从而
，进而得出
，同理可得：
，从而推出四边形
淘宝：学思创想
是平行四边形；（3）要使
是正方形，应使
，
，从而得出
，从而得出
，从而
，于是作等边
，
保证
，作直径
，保证
，这样得出作法．并求出
的长．
【详解】（1）解：如图1，1．以B 为圆心，
为半径画弧，以C 为圆心，
为半径画弧，两弧在
的上方交于点D，分别以A，C 为圆心，以
为半径画弧，两弧交于点E，
2．延长
至
，使
，延长
至
，使
，连接
，则
就是求作的三角形；
（2）证明：∵
和
位似，
与
位似，∴
，
，
，
∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，
同理可得：
，∴四边形
是平行四边形；
（3）解：如图2，证明：由上知：
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，要使
是正方形，应使
，
，
∴
，
，∴
，
∴
，∴
，
∴作等边
，保证
，作直径
，保证
，这样得出作法；
∵
，
，
，∴
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的
条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上
知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力．
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探
究：
淘宝：学思创想
(1)问题发现：如图1， 在等边
中， 点P 是边
上任意一点， 连接
， 以
为边作等边
， 连接
． 易证：
(2)变式探究：如图2，在等腰
中，
，点P 是边
上任
意一点， 以
为腰作等腰
， 使
，连接
．判断
和
的数
量关系，并说明理由：(3)解决问题：如图3，在正方形
中，点P 是边
上一点，以
边作正方形
，Q 是正方形
的中心， 连接
．若正方形
的边长为6，
则正方形
的边长为
【答案】(1)
(2)
，理由见解析(3)
【分析】（1）利用
定理证明
，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明
，得到
，再证明
，根据相似三角形的性质解答即可；（3）连接
、
，证明
，由相似三角形的性质得出
，可求出
，根据勾股定理
列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：
与
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
；故答案为：
；
（2）解：
和
的数量关系为：
；理由如下：
淘宝：学思创想
在等腰
中，
，
，
在等腰
中，
，
，
，
，
，∴
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接
、
，如图3 所示：
四边形
是正方形，
，
，
是正方形
的中心，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设
，则
，
在
中，
，即
，解得：
（舍去），
正方形
的边长
，故答案为：
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与
性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形
相似是解题的关键．
17．（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，
和
为等腰直角三角形，
，
求证：
．（2）如图②，
，
，试探究线段
与
线段
的关系，并加以证明．（3）如图③，
，
，求
的最大
值．
淘宝：学思创想
【答案】（1）见解析；（2）
，见解析；（3）
【分析】（1）证明
，则
；
（2）证明
，则
，
，证明
，则
，
，
由
，可得
，即
；
（3）如图,过点C 作
，在
上取点E 使
，连接
．由（2）知：
，则
，
，由勾股定理得，
，则
，即
最大值为
，进而可求
的最大值．
【详解】（1）证明：∵
，∴
，即
，
又∵
，∴
，∴
；
（2）解：
，证明如下：
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，即
，
又∵
，∴
，∴
，
，∴
，
∴
，∴
，即
；
（3）解：如图,过点C 作
，在
上取点E 使
，连接
．
淘宝：学思创想
由（2）知：
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴由勾股定理得，
，
∵
，∴
，∴
最大值为
，∴
的最大值为
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，
三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键．
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，
，且
．
(1)如图1，若F、G 分别是
、
的中点，求证：
．
(2)如图2，若
，
，连接
，求
的值．(3)如图3，若
，
，F、G 分别
是
和
上的动点，且始终满足
，将
绕A 点顺时针旋转一周，则
的最小值为______．
【答案】(1)见解析；(2)
；(3)
．
【分析】（1）根据相似三角形的性质及判定，即可证明结论；（2）连接
，
，同（1）可得
，继而证明
，可得
，设
，计算得
，即可证明
淘宝：学思创想
，所以
，求得
，即可求得答案；（3）连接
，
，同
（2）可得：
，所以
，当
时，求得
的最小值，当D 点在
上时，求得
的最小值，即得答案．
【详解】（1）
，
，
，
又
，
，
，
；
（2）连接
，
，同（1）可得
，
，
，
，
，
，
，设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）连接
，
，同（2）可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
当
时，
最小，最小值为
，当D 点在
上时，
最小为
，
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了线段的最值问题，图形旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，直角三角
淘宝：学思创想
形的性质，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题发现：如图1，在菱形
中，
，点
是对角
线
上一动点，连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
，连接
，
．求
的度数．
（2）问题探究：如图2，在正方形
中，
，点
是对角线
上一动点，连接
，将
绕点
逆时针旋转
得到
，连接
，当
时，求
的长度；
（3）问题解决：某科技公司现有一块形如矩形
的研发基地，如图3，已知
米，
米，为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：点
是对角线
上一动点，
以
为边在
右侧作直角三角形
，满足
，
，其中将
修建成新能源研
发区，
为试验区，为保证研发效果，要使研发区（即
的面积最大，求此时试验区（即
的面积．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
平方米
【分析】（1）根据菱形的性质推出
，
，根据旋转的性质得到
，
从而推出
，即可判定
，然后根据全等三角形的性质得到
；
（2）过点
作
于
，根据正方形的性质推出
是等腰直角三角形，根据
与
之间的
数量关系求出
的长后求出
和
的长，然后根据勾股定理求出
的长，由旋转的性质可知
是等腰直角三角形，求出
的长后在
中根据勾股定理即可求出结果；
（3）过
作
于
，过点
作
，交
延长线于
，先判定
，求出
的长后根据相似三角形的性质及
与
的关系求出
的长，设
为
，用含
的代数式表示出
和
的长，用三角形面积公式列出
关于
的函数关系式，根据二次函数的最值即可求出
面积
最大时的
的值，再求出此时试验区（即
的面积．
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【详解】解：（1）
四边形
是菱形，
，
，
，
由旋转可知：
，
，
，
，
；
（2）如图2，过点
作
于
，
四边形
是正方形，
，
是对角线，
，
，
，
又
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在
中，
，
绕点
逆时针旋转
得到
，
是等腰直角三角形，
，
在
中，
，
，
；
（3）如图3，过
作
于
，过点
作
，交
延长线于
，
，
四边形
是矩形，
米，
米，
，
（米，
（米，
米，
（米，
中，
，
，
，
，
又
，
，又
，
，
，设
米，则
米，
米，
米，
米，
，
当
时，
面积最大，此时
米，
米，
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（米，
（米，
（平方米），
即研发区的面积最大时试验区的面积为
平方米．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与
性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理以及二次函数的应用等知识点，深入理解题意是
解决问题的关键．
