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淘宝：学思创想
专题15 全等与相似模型-手拉手模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型
【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉
手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
1）双等边三角形型
条件：如图1，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF 平分∠BFD。
图1 图2
2）双等腰直角三角形型
条件：如图2，△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN 平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE，AD 交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF 平分∠AFD。
图3 图4
4）双正方形形型
条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG，ED 交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE。
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例1．（2022·北京东城·九年级期末）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP，BP，
CP，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到
，连接
．（1）用等式表示
与CP 的数量关
系，并证明；（2）当∠BPC＝120°时， ①直接写出
的度数为 ；
②若M 为BC 的中点，连接PM，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．
例2．（2022·黑龙江·中考真题）
和
都是等边三角形．
(1)将
绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD，CE 并延长相交于点P（点P 与点A 重合），有
（或
）成立；请证明．(2)将
绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD，CE
相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将
绕点A 旋
转到图③的位置时，连接BD，CE 相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC 之间有怎样的数量关系？
直接写出结论，不需要证明．
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例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知
AOB 和
MON 都是等腰直角三角形(
OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如图①，连接AM，BN，求证：
AOM≌
BON；(2)若将
MON 绕
点O 顺时针旋转，①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：
；
②当点A，M，N 在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．
例4．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角
与
有公共顶点
．
（1）如图①，当点
在同一直线上时，点
为
的中点，求
的长；
（2）如图②，将
绕点
旋转
，点
分别是
的中点，
交
于
，
交
于
．①猜想
与
的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若
为
的
中点，连接
，在
旋转过程中，线段
的最小值是多少（直接写出结果）．
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例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知
是等腰三角形，
．
（1）特殊情形：如图1，当
∥
时，
______
．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：
若将图1 中的
绕点
顺时针旋转
（
）到图2 所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？
请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点
是等腰直角三角形
内一点，
，且
，
，
，求
的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将
绕点
顺时针旋转90°得到
，连接
，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出
的度数．
例6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角
顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：如图1，若
和
是顶角相等的等腰三角形，BC，DE 分别是底边.求证：
；
(2)解决问题：如图2，若
和
均为等腰直角三角形，
，点A，D，E 在同一
条直线上，CM 为
中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB 的度数及线段CM，AE，BE 之间的数量
关系并说明理由.
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图1 图2
例7．（2022·广东广州市·八年级期中）如图，两个正方形ABCD 与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点
H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG 和CE 的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE 和CG，请问△ADE 的面积和△CDG 的面积有怎样的数量关系？并说明理由．
例8．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，ABD
和AEC
均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE 与CD 的大小关系是 ；
（2）观察图，当ABD
和AEC
分别绕点A 旋转时，BE、CD 之间的大小关系是否会改变?
（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG 都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的
猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪
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两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个
顶点,能构造出两个全等三角形？
模型2.“手拉手”模型(旋转模型)
【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点
不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形
的旋转相似三角形。
1）手拉手相似模型（任意三角形）
条件:如图，∠BAC=∠DAE=
，
； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；
.
2）手拉手相似模型（直角三角形）
条件:如图，
，
（即△COD∽△AOB）；
结论：△AOC∽△BOD；
，AC⊥BD，
.
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3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）
条件
:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点； 结论：△BME∽△CMF；
.
条件
:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE.
手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
例1．（2022·山西长治·九年级期末）问题情境：如图1，在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点D，E 分别在边
AB，AC 上，且
．数学思考：(1)在图1 中，
的值为 ；(2)图1 中△ABC 保持不动，将
△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2 的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然
成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2 中，延长BD，分别交AC，CE 于点F，P，连接AP，得到图3，
探究∠APE 与∠ABC 之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图4 的位
置，连接BD，CE，延长BD 交CE 的延长线于点P，BP 交AC 于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若
成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE 与∠ABC 之间的数量关系．
例2．（2022·山东济南·八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：
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(1)问题发现：如图1，
中，
，
．点P 是底边BC 上一点，连接AP，以AP 为腰
作等腰
，且
，连接CQ、则BP 和CQ 的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，
中，
，
．点P 是腰AB 上一点，连接CP，以CP 为底边
作等腰
，连接AQ，判断BP 和AQ 的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD 中，点P 是边BC 上一点，以DP 为边作正方形DPEF，点Q 是正方
形DPEF 两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF 的边长为
，
，求正方形ABCD 的边
长．
例3．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直
角三角形
和等腰直角三角形
，按如图1 的方式摆放，
，随后保持
不动，
将
绕点C 按逆时针方向旋转
（
），连接
，
，延长
交
于点F，连接
．
该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当
时，则
_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F 重合时，请直接写出
，
，
之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F 不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在
与
中，
，若
，
（m 为常数）．保持
不动，将
绕点C 按逆时针方向旋转
（
），连接
，
，延长
交
于点F，连接
，如图6．试探究
，
，
之间的
数量关系，并说明理由．
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例4．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰
中，
，点
是
边上一点（不与点
、
重
合），连结
．（1）如图1，若
，点
关于直线
的对称点为点
，结
，
，则
________；
（2）若
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连结
．
①在图2 中补全图形；②探究
与
的数量关系，并证明；
（3）如图3，若
，且
，试探究
、
、
之间满足的数量关系，并证明．
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例5．（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出
的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且
＝
＝
．连接BD，CE．①求
的值；②延长CE 交BD 于点F，交AB 于点G．求sin∠BFC 的值．
例6.（2023·四川·成都九年级期中）如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE⊥BC，垂足为点
E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF 是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点
C 顺时针方向旋转α 角（0°＜α＜45°），如图2 所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α 角（0°＜α＜45°），如图3 所示，当B，E，F
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三点在一条直线上时，延长CG 交AD 于点H，若AG＝9，GH＝3
，求BC 的长．
课后专项训练
1．（2022·浙江·温州一模）如图，在△ABC 中以AC，BC 为边向外作正方形ACFG 与正方形BCDE，连结
DF，并过C 点作CH⊥AB 于H 并交FD 于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD 的长为（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．（2022·湖南·中考真题）如图，点
是等边三角形
内一点，
，
，
，则
与
的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·广东茂名·二模）如图，在
中，
，D 是边
上的一个动
点，连接
，并将线段
绕点A 逆时针旋转
后得线段
，连接
，在点D 运动过程中，线段
长度的最小值是_________．
4．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1，在
中，
，
，
，D 是
上
一点，且
，过点D 作
交
于E，将
绕A 点顺时针旋转到图2 的位置．则图2 中
的值为 ．
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5、（2022·重庆·九年级期末）已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形ABCD 的一边AD 的延长线上，连结
AG，CE 交于点H，若
，
，则CH 的长为________.
6．（2022 秋·江西抚州·九年级临川一中校考期中）将
绕点
按逆时针方向旋转
度，并使各边长变
为原来的
倍，得
，如图①所示，
，我们将这种变换记为
．
(1)如图①，对
作变换
得到
，则
_________；直线
与直线
所夹的锐角为_________度；(2)如图②，
中，
，对
作变换
得到
，使点B、C、
在同一直线上，连接
且
，求
和
的值；
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(3)如图③，
中，
，对
作变换
得到
，便点
在同一直线上，且
，求
和
的值．
7．（2023·辽宁丹东·统考二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形
，点E 为对角线
上一动点，
将
绕点B 顺时针旋转
到
处，得到
，连接
．填空：①
___________；②
的
度数为___________；（2）类比探究：如图2，在矩形
和
中，
，
，连接
，请分别求出
的值及
的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）
的条件下，将点E 改为直线
上一动点，其余条件不变，取线段
的中点M，连接
，
，若
，则当
是直角三角形时，请直接写出线段
的长．
8．（2023 春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1，在
中，
，点D，E 分别是边
的中点，连接
．如图2，将
绕点C 按
顺时针方向旋转，记旋转角为
．【观察发现】如图2，当
时，
_________．
【方法迁移】如图3，矩形
中，
点E，F 分别是
的中点．四边形
为矩
形，连接
．如图4，将矩形
绕点A 逆时针旋转．旋转角为α
，连接
．请探究矩
形
旋转过程中，
与
的数量关系；
【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形
改为“平行四边形
”且
，矩形
改为
“平行四边形
”，其他条件不变，如图6，在平行四边形
旋转过程中，直接写出
_________．
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9．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角
与
有公共顶点
，
，
，
．现将
绕点
旋转．
(1)如图①，当点
，
，
在同一直线上时，点
为
的中点，求
的长；
(2)如图②，连接
，
．点
为
的中点，连接
交
于点
，求证：
；
(3)如图③，点
为
的中点，以
为直角边构造等腰
，连接
，在
绕点
旋转过程中，
当
最小时，直接写出
的面积．
10．（2023 春·广东揭阳·九年级校考期中）已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直
角三角板的直角顶点放在C 处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ 绕点C 旋转(保持点P 在△ABC 内部)，连接
AP、BP、BQ．（1）如图1 求证：AP＝BQ；（2）如图2 当三角板CPQ 绕点C 旋转到点A、P、Q 在同一
直线时，求AP 长．
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11．（2022·山东·九年级专题练习）如图，正方形ABCD，将边CD 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜
90°），得到线段DE，连接AE，CE，过点A 作AF⊥CE 交线段CE 的延长线于点F，连接BF．
（1）当AE＝AB 时，求α 的度数；（2）求证：∠AEF＝45°；（3）求证：AE∥FB．
12．（2022·河南·方城县一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
(1)
ABC
△
是边长为3 的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE=1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，
如图（1）所示．则CF 的长为 ．（直接写出结果，不说明理由）
(2)
ABC
△
是边长为3 的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图
（2）所示．在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长．
思路梳理并填空：当点E 不与点A 重合时，如图，连结CF，
∵△ABC、△BEF 都是等边三角形 ∴BA=BC，BE=BF，∠ABC= EBF
∠
=60°
①
∴
ABE
∠
+ = CBF
∠
+ ；∴∠ABE= CBF
∠
∴△ABE≌△CBF ∴∠BAE= BCF
∠
=60°
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又∠ABC=60° ∴∠BCF= ABC
∠
∴②______ ______
∥
；
当点E 在点A 处时，点F 与点C 重合．
当点E 在点C 处时，CF=CA．∴③点F 所经过的路径长为 ．
(3)△ABC 是边长为3 的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN，如图
（3）所示．在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长．
(4)正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶
点作正方形BFGH，其中点F，G 都在直线AE 上，如图（4）．当点E 到达点B 时，点F，G，H 与点B 重
合．则点H 所经过的路径长为 ．（直接写出结果，不说明理由）
13．（2022·福建福州·九年级校考期中）正方形ABCD 和正方形AEFG 的边长分别为3 和1，将正方形
AEFG 绕点A 逆时针旋转．（1）当旋转至图1 位置时，连接BE，DG，则线段BE 和DG 的关系为
；
（2）在图1 中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中
BDF 的面积最大值；
（3）在旋转过程中，当点G，E，D 在同一直线上时，求线段BE 的长．
14．（2022·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△ABC 的边AB 上任取一点E（点E 不与B
重合），以EC 为边在△ABC 同侧作等边△CEN，连接AN．求证：AN
BC 且AN＝BE；
（2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB 上任取一点E（点E 不与B 重
合），以EC 为边在正方形ABCD 同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的
结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；
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15．（2023·浙江·九年级课时练习）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P 为线段CA 延长线上一动点，
连接PB，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝
60°时，求证：PA＝DC；（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA 和DC 的数量关系并说明理由．（3）当α＝
120°时，若AB＝6，BP＝
，请直接写出点D 到CP 的距离．
16.（2022·山东·九年级课时练习）如图，
和
是有公共顶点直角三角形，
，
点P 为射线
，
的交点．
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（1）如图1，若
和
是等腰直角三角形，求证：
；
（2）如图2，若
，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件
下，
，
，若把
绕点A 旋转，当
时，请直接写出
的长度
17．（2023·广东·深圳市九年级期中）（1）如图1，Rt△ABC 与Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，
，连接BD，CE．求证：
．（2）如图2，四边形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
且
，连接BC，BC、AC、CD 之间有何数量关系？
小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，即将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，并放大2 倍，
点B 对应点D．点C 落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD 之间的关系．
（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E 为线段AD 上一点，以CE 为边，在其右侧作矩形CEFG，且
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，AB＝5，连接BE，BF．求BE+
BF 的最小值．
18．（2023·绵阳市·九年级专题练习）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P 是△ABC 外一点，连接
BP，将线段BP 绕点P 逆时针旋转α 得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，
的值为 ，直线CD 与 AP 所成的较小角的度数为 °；
类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出
的值及直线CD 与AP 所成的较小角的度数；
拓展应用：（3）如图3，当α＝90°时，点E，F 分别为AB，AC 的中点，点P 在线段FE 的延长线上，点
A，D，P 三点在一条直线上，BD 交PF 于点G，CD 交AB 于点H. 若CD＝2＋
，求BD 的长．
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19．（2023·湖北·九年级专题练习）在
和
中，
，
，且
，
点E 在
的内部，连接EC，EB，EA 和BD，并且
．
【观察猜想】（1）如图①，当
时，线段BD 与CE 的数量关系为__________，线段EA，EB，EC 的
数量关系为__________．【探究证明】（2）如图②，当
时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，
请给出证明，若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E 在线段CD 上时，若
，请直接写出
的面积．
20．（2023·广西一模）如图，
和
均为等腰直角三角形，
．现将
绕点C 旋转．
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（1）如图1，若
三点共线，
，求点B 到直线
的距离；
（2）如图2，连接
，点F 为线段
的中点，连接
，求证：
；
（3）如图3，若点G 在线段
上，且
，在
内部有一点O，请直接写出
的最小值．
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