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淘宝：学思创想
专题19 全等与相似模型之一线三等角（K 字）模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.一线三等角模型（全等模型）...........................................................................................................2
模型2.一线三等角模型（相似模型）.........................................................................................................11
..................................................................................................................................................19
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.一线三等角模型（全等模型）
一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线
段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角
条件：
，AE=DE； 结论：
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K 型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：
，AE=DE； 结论：
，AB-CD=BC。
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1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴
，
∴
，
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
，∠AED=∠AEB+∠CED，
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴
，
∴
，
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角
中，
，
，D 为直线
上任意一
点，连接
．将线段
绕点D 按顺时针方向旋转
得线段
，连接
．
【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段
上时，线段
与
的数量关系为________；
【类比探究】（2）当点D 在线段
的延长线上时，先在图2 中补全图形，再探究线段
与
的数量关
系并证明；
【联系拓广】（3）若
，
，请直接写出
的值．
例2．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠B=40°，点D 在线段BC 上运动（点D
不与点B、C 重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE 交线段AC 于点E．
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（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形
状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．
例3．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知
和
，
，
，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型应用】（2）如图2，在正方形
中，点E，F 分别在对角线
和边
上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】（3）如图3，在正方形
中，点E 在对角线
上，点F 在边
的延长线上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
例4．（23-24 八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，
，射线
在这个角的内部，点B、C
分别在
的边
、
上，且
，
于点F，
于点D．求证：
；
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（2）如图②，点B、C 分别在
的边
、
上，点E、F 都在
内部的射线
上，
、
分别是
、
的外角．已知
，且
．求证：
；
（3）如图③，在
中，
，
．点D 在边
上，
，点E、F 在线段
上，
．若
的面积为17，求
与
的面积之和．
例5．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A 在y 轴正半轴，
点C 在x 轴正半轴，
交y 轴于点E．(1)如图1，若点B 坐标为
，直接写
出点A 的坐标 ，点C 的坐标 ；(2)如图2， 若点B 坐标为
，过点B 作
交x 轴于点D，设
的长为d，请用含m 的式子表示d；(3)如图3，若点 B 为第三象限内任意一点，过点
B 作
交x 轴于点 D，判断
和
的数量关系，并给出证明．
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模型2.一线三等角模型（相似模型）
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，
再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定
理也可），从而得到两个三角形相似．
1）一线三等角模型（同侧型）
（锐角型） （直角型） （钝角
型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2
∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。
2）一线三等角模型（异侧型）
条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠1=∠2 ，∴∠CBE=∠EAD （等角的补角相等），∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3 ，
∴△ACE∽△BED。
∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.
3）一线三等角模型（变异型）
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图1
图2
图3
①特殊中点型：条件：如图1，若C 为AB 的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.
证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB （外角定理），∠1=∠2 ，∴∠C=∠DEB ，∵∠1=∠3 ，
∴△ACE∽△BED。
∴
，∵C 为AB 的中点，∴AE=EB ，∴
，∴
，∵∠2=∠3 ，
∴△BED∽△ECD
②一线三直角变异型1 ：条件：如图2 ，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°. 结论：
△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，
∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，
∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，
∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM
故：△ABM∽△NDE∽△NCM.
例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，
为等边三角形，点
，
分别在边
，
上，
，若
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操
作：
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第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形
，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C 恰好落在点F 处，得到折痕
，如图②．
根据以上的操作，若
，
，则线段
的长是（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
例3．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，
中，
，
，直
线过点
，过点
、
分别作
于点
，
于点
，则
（不用证明）．
(1)【类比探究】如图2，在
中，
，且
，上述结论是否成立？若
成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在
中，
，且
，猜想线段
、
、
之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1 的
中，
，
，并将直线绕点
旋转一定角度后与斜边
相交，分
别过点
、
作直线的垂线，垂足分别为点
和点
，请在备用图上画出图形，并直接写出线段
、
、
之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
例4．（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P 是
内部一点，在射线
上取点D、E，使得
．求证：
；
【尝试应用】如图2，在
中，
，
，D 是
上一点，连接BD，在BD上取点
E、F，连接
，使得
．若
，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在
中，
，
，D 是
上一点，连接BD，在BD上取
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点E，连接CE．若
，
，求
的正切值．
例5．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在
中，
，
，点D 是线段
上的
一点，连接
，过点B 作
，分别交
、
于点E、F，与过点A 且垂直于
的直线相交于点
G，连接
，下列结论错误的是（ ）
A．
B．若点D 是AB 的中点，则
C．当B、C、F、D 四点在同一个圆上时，
D．若
，则
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1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形
的边
上有一点
，连接
，把
绕点
逆时针旋
转
，得到
，连接
并延长与
的延长线交于点
．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，
中，
，
，
为线段
上一动点
（不与点
，
重合），连接
，作
，
交线段
于
，以下四个结论：
①
；②当
为
中点时，
；③当
为等腰三角形时，
；
④当
时，
．其中正确的结论的个数是（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点
，A 与
关于y 轴对称，连结
，现将线
段
以
点为中心顺时针旋转
得
，点 B 的对应点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，等腰直角
，
，
，
点D 为
外一点，
，连接CD，
，
，BC 的长为 ．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知
，
，
，
，
和
都
是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ．
6．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（
，
）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C 分别落在凹槽内壁上，若
，测得
，
，则该凹槽的宽度
的长为
．
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7．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形
绕点A 逆时针旋转得到平行四边形
，使点E
落在边
上， 且点 D 巧合是
的中点， 若
则
的值为 ．
8．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，将一张正方形纸片
折叠，折痕为
，折叠后，点B 的对应
点落在正方形内部的点F 处，连接
并延长交
于点G．若
，
，则
的长为 ．
9．（2024·四川成都·一模）已知等边
的边长为5，点M 在边
上运动，点N 在直线
上运动，将
沿着
翻折，使点A 落在直线
上的点
处，若
，则
．
10．（23-24 八年级下·山东滨州·期末）小明酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识
AE
BC
2 2
AD
EG
ABC
AB
ABC
MN
A
AN
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之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是他撰写了
一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助小明完成相关内容．“一线三垂直”模型的探索与拓展
【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为
，且它
们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有—组对应边长相等时，则模型中必定存在
全等三角形．
例如：如图1，
，过点C 作任意一条直线m，
于点D，
于点E，则三个直角的
顶点都在同一条直线m 上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果
，那么由
，可得
，又因为
，所以可得
．
【模型应用】问题1：如图2，在
中，
，
，点D 为
上一点，连接
．
过点B 作
于点E，过点C 作
交
的延长线于点F．若
，
，求
的长．
问题2：如图3，在平面直角坐标系中，
，
．若
是以
为腰的等腰直角三角形，请
直接写出所有满足条件的点P 的坐标．
【模型迁移】问题3：如图4，已知
为等边三角形，点D，E，F 分别在三边上，且
，
．求证：
是等边三角形．
11．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，
请根据以下问题，把你的感知填写出来：
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①如图1，
是等腰直角三角形，
，AE=BD，则
_______；
②如图2，
为正三角形，
，则
________；
③如图3，正方形
的顶点B 在直线l 上，分别过点A、C 作
于E，
于F．若
，
，则
的长为________．
【模型应用】（2）如图4，将正方形
放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为
，
则点C 的坐标为________．
【模型变式】（3）如图5 所示，在
中，
，
，
于E，AD⊥CE 于D，
，
，求
的长．
12．（2024·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点
C 作CE⊥MN 于点E，过点B 作BF⊥MN 于点F．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A 顺时针旋转至图2 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A 顺时针旋转至图3 的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
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13．（2024·浙江·校考一模）（1）探索发现：如图1，已知
中，
，
，直线l
过点C，过点A 作
，过点B 作
，垂足分别为D、E．求证：
．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板
放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为
，求点M 的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线
与y 轴交于点P，与x 轴交于点Q，
将直线
绕P 点沿逆时针方向旋转
后，所得的直线交x 轴于点R．求点R 的坐标．
14．（2024·北京校考·一模）已知梯形
中，
∥
，且
，
，
．
⑴如图，P 为
上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP 的长；
⑵如果点P 在
边上移动（点P 与点
不重合），且满足∠BPE=∠A，
交直线
于点E，同时交直
线DC 于点
．①当点
在线段DC 的延长线上时，设
，CQ=y，求
关于
的函数关系式，并写出
自变量
的取值范围；②写CE=1 时，写出AP 的长（不必写解答过程）
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15．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形
中，
分别在
上，将四边形
沿
翻折，
使
的对称点
落在
上，
的对称点为
交
于
．
(1)求证：
．(2)若
为
中点，且
，求
长．
(3)连接
，若
为
中点，
为
中点，探究
与
大小关系并说明理由．
16．（2023 年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在
中，
，
，
是线段
上的一点，连接
，过点
作
，分别交
，
于点
，
，与过点A 且垂直于
的直
线相交于点
，连接
(1)求证：
(2)若
是
的中点，求
的值．(3)若
，求
的值．
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17．（2023 秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在
中，
，
，D 是
边上一点，F 是
边上一点，
．求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC 中，点D 是
边的中点，
，若
，
，求线段
的长．
【拓展提高】（3）在
中．
，
，以A 为直角顶点作等腰直角三角形
，点D
在
上，点E 在
上．若
，求
的长．
18．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角
形纸片
和
叠放在一起，其中
，
，
，顶点D 与边
的中点重合，
经过点C，
交
于点G．求重叠部分（
）的面积．
ABC
DEF
90
ACB
E
8
AC
FE
DE
DF
AC
DCG
△
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(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵
，D 是
的中点，∴
．∴
． （依据：
______________________）
又∵
，∴
．∴
．∴_____________________．
∴
．∴
．又∵
，∴G 是
的中点，∴
为
中位线．
∴
，
．∴
．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将
绕点D 旋转，使
交
于点H，
交
于点
G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：
；②求出重叠部分（
）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将
绕点D 旋转，
，
分别交于点M，
N，当
是以
为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（
）的面积是________．
19．（22-23 九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是
中线，一个以点D 为顶点的45°角绕点D 旋转，使角的两边分别与AC、BC 的延长线相交，交点分别为点
E、F，DF 与AC 交于点M，DE 与BC 交于点N．(1)如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF．(2)在∠EDF 绕
点D 旋转过程中：①如图2，求证：
；②若CE＝6，CF= 3，求DN 的长．
AB
DC
DB
DA
FDE
B
90
AGD
ACB
DC
DA
DG
ACD
1
1
8
4
2
2
CG
AC
1
1
6
3
2
2
DG
BC
DEF
DE
AB
DF
AC
AHD
ABC
△
∽△
DGH
DE
DF
DMN
DM
2
·
CD
CE CF
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20．（2024·河南周口·三模）在四边形
中，
是边
上一点，在
的右侧作
，且
，连接
．(1)如图，当四边形
是正方形时，
．
(2)如图，当四边形
是菱形时，求
（用含
的式子表示）．
(3)在（2）的条件下，且
如图，连接
交
于点
；若
为边
的三等分点，请直
接写出
的长．
ABCD
E
BC
AE
EF
AE
90
AEF
ABC
ABCD
.
DCF
DCF
AF
G
G
CD
BE
