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专题 07 全等三角形模型之一线三等角（K 字）模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）...............................................................................................1
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）.............................................................................................20
..................................................................................................................................................36
【知识储备】
1.“一线三等角”的应用四种情况：
①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题；
③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题；
④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要
常构造“一线三等角”来解题.
2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）
一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线
段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE；结论：ΔABE ΔECD，AB+CD=BC.
证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠A≅EC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
例1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是 的10个相同长方体小木块垒了两面与
地面垂直的木墙 与 ，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与
点 重合，直角三角板的直角顶点 与点 ， 均在水平地面上，点 ， 在同一竖直平面
内．已知 ， ，则两面木墙之间的距离为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明 ，得出 ，
，即可得解．
【详解】解：由题意得： ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，故选：C．
例2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在 中，在 上取点 ，使 ，点 在
上，连接 ，且 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（ ）证明 即可求证；（ ）由 得 ，进而得
，即得 ，设 ，则 ，可得
，得到 ，再根据三角形外角性质得 ，解方程
求出 即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，一元一次方程的
应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：在 和 中， ，
∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，∴
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
例3．（2023·河北张家口·八年级校考期中）如图1，在长方形 中， ， ，点 在
线段 上以 的速度由 向终点 运动，同时，点 在线段 上由点 向终点 运动，它们运动的
时间为 .
【解决问题】若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时，回答下面的问题：
(1) ；(2)此时 与 是否全等，请说明理由；(3)求证： ；
【变式探究】若点 的运动速度为 ，是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，请直接
写出相应的 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解决问题（1）1；（2）全等；（3）见解析；变式探究：1或 .
【分析】解决问题（1）当t=1时，AP的长=速度×时间；（2）算出三角形的边，根据全等三角形的判定方
法判定；（3）利用同角的余角相等证明∠DPQ=90°；变式探究：若 与 全等，则有两种情况：
① ≌ ② ≌ ，分别假设两种情况成立，利用对应边相等求出t值.
【详解】解：解决问题
（1）∵t=1，点P的运动速度为 ，∴AP=1×1=1cm；
（2）全等，理由是：当t=1时，可知AP=1，BQ=1，又∵AB=4，BC=3，∴PB=3，
在△ADP与△BPQ中， ，∴△ADP≌△BPQ（SAS）（3）∵△ADP≌△BPQ，∴∠APD=∠PQB，
∵∠PQB+∠QPB=90°，∴∠APD+∠QPB=90°，∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ.
变式探究①若 ≌ ，则AP=BQ，即1×t=x×t，x=1；
②若 ≌ ，AP=BP，即点P为AB中点，此时AP=2，t=2÷1=2s，AD=BQ=3，∴x=3÷2= cm/s.
综上：当 与 全等时，x的取值为1或 .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，注意在运动中对三角形全等进行分类讨论，从而得出不同
情况下的点Q速度.
例4．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有
，且满足 ．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ，
，直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是
12，求 与 的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3) FBD与△ACE的面积之和为4
【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC△＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到
∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝
∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；
（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，
得出S ABD＝S CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S ABF即可得出结果．
△ △ △
【详解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中， ，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S ABD＝S CAE，
△ △
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S ABC＝ BC•h＝12，S ABF＝ BF•h，∵BC＝3BF，∴S ABF＝4，
△ △ △
∵S ABF＝S BDF+S ABD＝S FBD+S ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
△ △ △ △ △
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌
握全等三角形的判定与性质．
例5．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1， 与 中， ，
，B、C、E三点在同一直线上， ，则 ___________．
（2）如图2，在 中， ，过点C作 ，且 ，求 的面积．
（3）如图3，四边形 中 面积为14且 的长为7，求
的面积．【答案】（1）5；（2）2；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识．
（1）由 ，得 ，可证明 ，即得
，故 ；
（2）过D作 交 延长线于E，由 ，得 ，即得
，可证明 ，得 ，故 ；
（3）过A作 于E，过B作 交 延长线于F，由 面积为14且 的长为7，得
，又 ， ，得 是等腰直角三角形，即得 ，
根据 ，可得 ， ，即有 ，即可证明
，从而 ，故 ．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ；故答案为：5；
（2）过D作 交 延长线于E，如图2：
∵ ，∴ ，∴ ，在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）过A作 于E，过B作 交 延长线于F，如图3：
∵ 面积为14且 的长为7，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
例6．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在y轴正半轴，
点C在x轴正半轴， 交y轴于点E．(1)如图1，若点B坐标为 ，直接写
出点A的坐标 ，点C的坐标 ；(2)如图2， 若点B坐标为 ，过点B作
交x轴于点D，设 的长为d，请用含m的式子表示d；(3)如图3，若点 B为第三象限内任意一点，过点
B作 交x轴于点 D，判断 和 的数量关系，并给出证明．【答案】(1) ， (2) (3) ，证明见解析
【分析】（1）过点 B作 轴于点H，证明 ，可得 ，即可；
（2）过点B作 轴于点H， 轴于点 G， 连接 ，则 ，证明
，可得 ，由（1）得： ， ， ，然后
根据 ，可得 ，即可求解；
（3）在 上取 ，连接 ，证明 ，可得 ，从而得到
，过点 B作 交y轴于点G，可证明 ，可得
．再根据 ，可得 ，即可．
【详解】（1）解：过点 B作 轴于点H，
在 中， ，∵ ，∴ ，
∵点B坐标为 ， ∴ ，
又∵ ， ， ∴ ，∴ ，，∴ ， ；
（2）解：过点B作 轴于点H， 轴于点 G， 连接 ，则 ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵点B坐标为 ，∴ ，∴ ，∴ ，
由（1）得： ，∴ ， ，
，
， ， ，即 ；
（3）解： ，证明如下：如图，在 上取 ，连接 ，
∵ ， ，∵ ， ，∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
过点 B作 交y轴于点G，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ， ∴ ，∴ ．
又 ∵ ， ∴ ，∴ ，
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形等知识，得到全
等三角形是解题的的关键．
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）
一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线
段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件： ，AE=DE；结论： ，AB-CD=BC。
证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（2024七年级下·山东·专题练习）如图，在 中， ， ， 于E，
于D， ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明 是解题的关键．
由 于D， 于E，得 ，而 ，则 ，
而 ，即可证明 ，则 ，所以 ．
【详解】解：∵ 于D， 于E，∴ ，
∵ ，∴ ，在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 的长是 ．故选A．
例2．（2023·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分
别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；
（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，
补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；
（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB
＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予
以证明．
【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC= ，证法见详解，（3）180º- ，DE=EC-BD，证明见详解．
【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；
（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；
（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即
可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，
∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，
又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），
BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．
（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，
∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，
∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．
（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，
∵∠ADB＝∠AEC＝ 180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．
【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的
判定方法得出是解决问题的关键．
例3．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作一
条直线 ．（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 如图（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关系会
发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ， 的关
系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明．
【答案】(1) ，证明见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角形的对应边
相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根据全等三角
形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证 ，再证 ，根
据全等三角形的对应边相等进行代换即可．
【详解】（1） ，证明：
四边形 是正方形 ，
又 ， ∴在 和 中
，
（2） ，理由是： 四边形 是正方形 ，
又 ， ∴
在 和 中
， ∴EF=AF-AE=BE-DF
（3） ，理由是：
四边形 是正方形 ，
又 ， ∴
在 和 中
， EF=AE-AF=DF-BE
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明
是关键．1．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架 ，其中 ， ， 足够长，
于点 ，点 从 出发向 运动，同时点 从 出发向 运动，点 ， 运动的速度之比为
，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线 上取点 ，使 与 全等，则线段
的长为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设 ，则 ，使 与 全等，由
可知，分两种情况：情况一：当 ， 时，列方程解得 ，可得 ；情况
二：当 ， 时，列方程解得 ，可得 ．
【详解】解： 点 ， 运动的速度之比为 ， 设 ，则 ，
， 与 全等，
可分两种情况：情况一：当 ， 时，
， ， ， ，解得： ，
；
情况二：当 ， 时， ， ， ，解得： ，
，综上所述， 或 ， 故选：C．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点 是等腰 的边 上的一点，过点 作
于点 ，连接 ，若 ，则 的值是（ ）A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，正确作出辅
助线，证明 是解题关键．过 作 于 ，由 是等腰直角三角形，得到
， ，由余角的性质推出 ，进而证明 ，得到 ，
即可求出面积．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若 ，求DE的长．
【答案】7cm
【分析】利用一线三垂直模型证明 得到 即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键．
4.（2023·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C
作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE
【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角 ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．（23-24八年级上·北京·期中）在 中， ， ．D是 边上一点，连接 ，
，且 ， 与 交于点F．
(1)求证： ；(2)当 时，求证： 平分 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据 证明
三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
（1）根据 证明 与 全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ ，
在 与 中， ，∴ ，∴ ．
（2）证明：设 交于点G，如图，
由（1）得 ，
∴ ， ．由（1）得 ，
∵ ，∴ ．∴ ，
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，
6．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，
E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，
EF，AF间的等量关系： ．②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？
写出∠α与∠BCA的数量关系 ．（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的
结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见
解析
【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，
CE = AF即可得出结论；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=
CF，CE = AF即可得出结论;（2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，
推出BE= CF，CE=AF即可得出结论．
【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF，
证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°，
∵∠BCA = 90°,∴∠BCE＋∠ACF= 90°,
∵∠BCE＋∠CBE =90°，∴∠ACF = ∠CBE，
∵AC = BC,∴△BCE≌△CAF,∴BE =CF,CE = AF,
∵CF =CE＋EF,∴EF= CF -CE=BE-AF；
②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180°
当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立;
理由是：如题图2，∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°,
又∵ ∴∠CBE= ∠ACF,
在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS),
∴BE =CF,CE = AF，∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ；
（2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下
∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA,
又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° ,
∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF∴∠EBC = ∠ACF，在△BEC和△CFA中
∴△ABE≌△CFA(AAS)∴AF = CE，BE = CF
∵EF= CE+CF,∴EF= BE＋AF．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△BCE≌△CAF是解题的关键．
7．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）（1）如图①，已知： 中， ， ，直线
经过点 ， 于 ， 于 ，求证： ；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为： 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且
， 为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在 中， 是钝角， ， ，
，直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是16，求
与 的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）结论 成立；理由见解析；（3）6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题
目所给条件，得出 是解决问题的关键．
（1）根据 直线 ， 直线 得 ，而 ，根据等角的余角相等得
，由 证得 ，则 ， ，即可得出结论；
（2）由 ，则 ，得出 ，由
证得 即可得出答案；
（3）由 ， ，可得 ，得出 ，由
证得 ，得出 ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出
即可得出结果．
【详解】（1）证明： 直线 ， 直线 ，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（2）解：结论 成立；理由如下：
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3）解： ， ，
，
在 和 中，
，
，，
设 的底边 上的高为 ，则 的底边 上的高为 ，
， ，
，
，
，
与 的面积之和为8．
8．（2022·湖南湘潭·中考真题）在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 、 分别
作 的垂线，垂足分别为点 、 ．
(1)特例体验：如图①，若直线 ， ，分别求出线段 、 和 的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ，请探究线段 、 和
的数量关系并说明理由；②如图③，若直线 从图①状态开始绕点A顺时针旋转 ，与线段
相交于点 ，请再探线段 、 和 的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段 交线段 于点 ，若 ， ，求 ．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2) DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析 (3)
【分析】（1）先根据得出 ，根据 ，得出 ，
，再根据 ，求出 ， ，
即可得出 ，最后根据三角函数得出 ， ，即
可求出 ；（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明 ，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明 ，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
（3）在Rt AEC中，根据勾股定理求出 ，根据 ，得出 ，代入数据
△
求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．
(1)解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ．
(2) DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵AB=AC，∴ ，∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵AB=AC，∴ ，∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．
(3)根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴ ，
在Rt AEC中，根据勾股定理可得： ，
△
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴ ，∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，∵AB=AC=5，∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明 ，是解题的关键．
9．（23-24八年级上·广东潮州·阶段练习）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的
条件是解此题的关键．
（1）①由已知推出 ，因为 ， ，推出
，根据“ ”即可得到答案；
②由①得到 ， ，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出 ，能推出 ，得到 ， ，代入
已知即可得到答案．
【详解】（1）证明：① ， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，（ ）；
②由（1）知： ，
， ，
，
；
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
（ ）；，
， ，
．
10．（2023春·上海·七年级专题练习）已知 为等腰三角形， ，直线 过点 （不经过
点 ），过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
(1)如图1，当点 位于直线 的同侧时，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 位于直线 的两侧，①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；
②设 与 交于点 ，当 时，判断 与 是否相等，并说明理由．
【答案】(1) ；理由见解析 (2)①成立，理由见解析；② ，理由见解析
【分析】（1）根据“ ”证明 即可得出结论；（2）①仍然根据“ ”证明
即可得出结论；②根据全等三角形的性质以及题意证明 ，进而得出 ，
则结论可得．
【详解】（1）解： ，理由如下：∵ 为等腰三角形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ；
（2）（2）①成立，同理可得 ，∴ ；
② ，理由如下：∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三等角”模型
证明全等是解本题的关键．
11．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：
数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在 中， ，直线 过点 ，点 是直线
上两点．
独立思考：
（1）如图1，当直线 在 的外部，满足 时，试探究线段 与 之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（2）如图2，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足
时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段 ， 与 之间的
数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足
时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段 与 之间
的数量关系．
【答案】（1） ，见解析；（2） ，见解析；（3）（1）中结论不成立．线段
与 之间的数量关系为
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的
判定和性质是解题关键．
（1）根据三角形外角的性质及等量代换得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出
， ，结合图形即可求解；
（2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可；
（3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）结论不成立， ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）结论不成立， ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
12．（2023·安徽·九年级期末）如图，Rt ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连
结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图△1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接
写出结果）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 或
【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，
在 AFD和 EAC中， ，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，
△ △
∵AC=BC，∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在 FDG和 BCG中 ，∴△FDG≌△BCG（AAS），
△ △
∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知： ADF≌△ECA， GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE△=7，∴CG=DG=1△.5，∴AG=CG+AC=5.5，
∴ ，同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴ ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1， ，
， ， ，垂足分别为点 ， ．请证明： ．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2， ， ，点
是 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交 于点 ．若 ， ，请证明：点 为 的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3， ， ，
点 是射线 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交射线 于点 ．若
，请直接写出 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)9
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，
添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用 证得 ，即可求证结论；
（2）过 作 于 ，由（1）得 ，进而可得 ，再利用 可
证 ，则可证 ，根据数量关系可得 ， ，进而可求证结论；
（3）过点 作 于 ，由（2）得 ， ， ，再根据数量关系即可
求解；
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：过 作 于 ，如图：由（1）得： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
是 的中点；
（3）解： ，理由如下：
过点 作 于 ，如图：由（2）得： ， ， ，
，
， ，
，
，
，
．
即 ．
14．（2023·重庆江津·八年级统考期末）（1）问题：如图①，在四边形 中， ， 是
上一点， ， ．求证： ；
（2）问题：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，且 ．
求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）先证明 ，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）过 点做 于点 ，易证 ， 是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过 点做 于点 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三等
角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
15．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1， ， 过点 的直线 不经过三角形的内
部，过点 、 作 ， ，垂足为 ．
(1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______；
(2)请证明你所写的结论；
(3)尝试探究：若 ， ，图1中四边形 的面积为______；图2中过点 的直线 经过三角
形内部，其他条件不变，则四边形 面积为______；（用含 的代数式表示）
(4)拓展应用：如图3， ， ，则点 坐标为______．若点 （不与 重合），在坐标平面内，
与 全等，则点 的坐标为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)① ，② 或
(4) ， 或 或【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型．
（1）由图可知 ；
（2）利用 可证 ；
（3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证 ，四边形 的面积为 和
面积之和；
（4）在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论．
【详解】（1）解： 和 是一对全等三角形，
故答案为： ；
（2）证明： ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
；
（3）解：①由（2）知 ，
， ，
四边形 的面积为： ；
②同（2）可证 ，
， ，
，
四边形 的面积为： ，
故答案为： ， ；
（4）解：如图所示，作 轴于点D．， ，
， ．
， 轴，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
；
若 与 全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示：当点P在第二象限时，作 轴于点H．
， 轴，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
；
同理可得 ， ，
综上可知，B点坐标为(-2,3)，点P的坐标为 或 或 ．
故答案为： ， 或 或 ．16．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图1，在 中， ， ， 是过 的一条
直线，且 ， 在 的异侧， 于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若直线 绕点A旋转到图2位置时 ，其余条件不变，问 与 ， 的关系如何，请证明；
(3)若直线 绕点A旋转到图3时 ，其余条件不变， 与 ， 的关系怎样？请直接写出结
果，不须证明．
(4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述 与 ， 的关系．
【答案】(1)见详解
(2) ，见详解
(3) ，详解
(4)当 、 在 异侧时， ；当 、 在 同侧时， ．
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据 证明 ，得 ； ．根据 代换即可；
（2）显然关系不成立．同理证明 ，得 ； ．此时 ；
（3）同（2）, 显然关系不成立．同理证明 ，得 ； ．此时
；
（4）根据前面证明的结论分类归纳．
【详解】（1）证明： ， ，
．
又 ， ，
．
， ．
又 ，
，
即 ．
（2）证明： ．证明如下：，
．
又 ，
，
．
又 ， ，
．
， ．
，
，
即 ．
（3）解：：证明： ．证明如下：
，
．
又 ，
，
．
又 ， ，
．
， ．
，
，
即 ．
（4）解：由（1）（2）（3）得出：
当 、 在 异侧时， ；
当 、 在 同侧时， ．
