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专题 07 全等三角形模型之一线三等角（K 字）模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）...............................................................................................1
模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）...............................................................................................6
....................................................................................................................................................8
【知识储备】
1.“一线三等角”的应用四种情况：
①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题；
③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题；
④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要
常构造“一线三等角”来解题.
2.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型）
一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线
段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE；结论：ΔABE ΔECD，AB+CD=BC.
证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠A≅EC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
例1．（23-24七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是 的10个相同长方体小木块垒了两面与
地面垂直的木墙 与 ，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与
点 重合，直角三角板的直角顶点 与点 ， 均在水平地面上，点 ， 在同一竖直平面
内．已知 ， ，则两面木墙之间的距离为（ ）
A． B． C． D．例2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在 中，在 上取点 ，使 ，点 在
上，连接 ，且 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．
例3．（2023·河北张家口·八年级校考期中）如图1，在长方形 中， ， ，点 在
线段 上以 的速度由 向终点 运动，同时，点 在线段 上由点 向终点 运动，它们运动的
时间为 .
【解决问题】若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时，回答下面的问题：
(1) ；(2)此时 与 是否全等，请说明理由；(3)求证： ；
【变式探究】若点 的运动速度为 ，是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，请直接
写出相应的 的值；若不存在，请说明理由.例4．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有
，且满足 ．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说
明理由；(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ，
，直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是
12，求 与 的面积之和．
例5．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1， 与 中， ，
，B、C、E三点在同一直线上， ，则 ___________．
（2）如图2，在 中， ，过点C作 ，且 ，求 的面积．
（3）如图3，四边形 中 面积为14且 的长为7，求
的面积．例6．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在y轴正半轴，
点C在x轴正半轴， 交y轴于点E．(1)如图1，若点B坐标为 ，直接写
出点A的坐标 ，点C的坐标 ；(2)如图2， 若点B坐标为 ，过点B作
交x轴于点D，设 的长为d，请用含m的式子表示d；(3)如图3，若点 B为第三象限内任意一点，过点
B作 交x轴于点 D，判断 和 的数量关系，并给出证明．模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型）
一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线
段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件： ，AE=DE；结论： ，AB-CD=BC。
证明：∵ ，∴∠ECD=∠ABE，
∵ ，∠AED=∠AEB+∠CED， ，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ ，
∴ ， ，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（2024七年级下·山东·专题练习）如图，在 中， ， ， 于E，
于D， ， ，则 的长是（ ）A． B． C． D．
例2．（2023·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分
别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；
（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，
补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；
（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB
＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予
以证明．
例3．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形 （四边都相等，四个角都是直角）的顶点 作一
条直线 ．（1）当 不与正方形任何一边相交时，过点 作 于点 ，过点 作 于
点 如图（1），请写出 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若改变直线 的位置，使 与 边相交如图（2），其它条件不变， ， ， 的关系会
发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明；
（3）若继续改变直线 的位置，使 与 边相交如图（3），其它条件不变， ， ， 的关
系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明．1．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架 ，其中 ， ， 足够长，
于点 ，点 从 出发向 运动，同时点 从 出发向 运动，点 ， 运动的速度之比为
，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线 上取点 ，使 与 全等，则线段
的长为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点 是等腰 的边 上的一点，过点 作
于点 ，连接 ，若 ，则 的值是（ ）A．4 B．5 C．8 D．16
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在 中， ，分别过点B，C作过点
A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若 ，求DE的长．
4.（2023·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C
作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，
线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．5．（23-24八年级上·北京·期中）在 中， ， ．D是 边上一点，连接 ，
，且 ， 与 交于点F．(1)求证： ；(2)当 时，求证： 平分
．
6．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，
E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，
EF，AF间的等量关系： ．②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？
写出∠α与∠BCA的数量关系 ．（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的
结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．7．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）（1）如图①，已知： 中， ， ，直线
经过点 ， 于 ， 于 ，求证： ；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为： 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且
， 为任意锐角或钝角，请问结论 是否成立？如成立，请证明；
若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在 中， 是钝角， ， ，
，直线 与 的延长线交于点 ，若 ， 的面积是16，求
与 的面积之和．
8．（2022·湖南湘潭·中考真题）在 中， ， ，直线 经过点 ，过点 、 分别
作 的垂线，垂足分别为点 、 ．
(1)特例体验：如图①，若直线 ， ，分别求出线段 、 和 的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线 从图①状态开始绕点 旋转 ，请探究线段 、 和
的数量关系并说明理由；②如图③，若直线 从图①状态开始绕点A顺时针旋转 ，与线段相交于点 ，请再探线段 、 和 的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段 交线段 于点 ，若 ， ，求 ．
9．（23-24八年级上·广东潮州·阶段练习）在 中， ， ，直线 经过点C，且
于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ；② ；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时， ， ，求线段 的长．
10．（2023春·上海·七年级专题练习）已知 为等腰三角形， ，直线 过点 （不经过
点 ），过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
(1)如图1，当点 位于直线 的同侧时，判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 位于直线 的两侧，①（1）的结论是否还能成立，请说明理由；②设 与 交于点 ，当 时，判断 与 是否相等，并说明理由．
11．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在 中， ，直线 过点 ，点
是直线 上两点．
独立思考：（1）如图1，当直线 在 的外部，满足 时，试探究线段
与 之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：（2）如图2，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，满足
时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段 ， 与 之间的
数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线 经过 的内部，交 于点 ，且 ，
满足 时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段 与
之间的数量关系．
12．（2023·安徽·九年级期末）如图，Rt ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连
结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图△1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接
写出结果）13．（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1， ，
， ， ，垂足分别为点 ， ．请证明： ．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2， ， ，点
是 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交 于点 ．若 ， ，请证
明：点 为 的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3， ， ，
点 是射线 上一动点，连接 ，作 且 ，连接 交射线 于点 ．若
，请直接写出 的值．
14．（2023·重庆江津·八年级统考期末）（1）问题：如图①，在四边形 中， ， 是
上一点， ， ．求证： ；
（2）问题：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，且 ．求 的值．
15．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1， ， 过点 的直线 不经过三角形的内
部，过点 、 作 ， ，垂足为 ．
(1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______；
(2)请证明你所写的结论；
(3)尝试探究：若 ， ，图1中四边形 的面积为______；图2中过点 的直线 经过三角
形内部，其他条件不变，则四边形 面积为______；（用含 的代数式表示）
(4)拓展应用：如图3， ， ，则点 坐标为______．若点 （不与 重合），在坐标平面内，
与 全等，则点 的坐标为______．
16．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图1，在 中， ， ， 是过 的一条直线，且 ， 在 的异侧， 于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若直线 绕点A旋转到图2位置时 ，其余条件不变，问 与 ， 的关系如何，请证明；
(3)若直线 绕点A旋转到图3时 ，其余条件不变， 与 ， 的关系怎样？请直接写出结
果，不须证明．
(4)归纳（1），（2），（3），请用简捷的语言表述 与 ， 的关系．
