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专题16 一线三等角相似模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、一线三等角模型（同侧型）........................................................................................2
2、一线三等角模型（异侧型）........................................................................................2
3、一线三等角模型（变异型）........................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................4
压轴真题强化.............................................................................................................................4
“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对
角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也
相等，从而得到两个三角形相似．
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、一线三等角模型（同侧型）
如图，∠CAP=∠PBD＝∠CPD，
结论：△ACP∽△BPD.
锐角型 直角型 钝角型
2、一线三等角模型（异侧型）
如图，∠1=∠2＝∠3；
结论：△ACP∽△BPD.
3、一线三等角模型（变异型）
类型一：
如图，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°；
结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.
类型二：
如图，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°；
结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.
类型三（中点型一线三等角）：
如图，∠1=∠2=∠3，且D 是BC 中点；
结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.
（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），
是菱形
边
上一点，
是
等腰三角形，
，
交
于点
，探究
与
的数量关
系．
问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当
时，直接写出
的大小；
(2)再探究一般情形，如图（1），求
与
的数量关系．
问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当
时，若
，求
的值．
真题演练
某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1，在
ABC 中，∠BAC＝90°，
＝k，直线l 经过点A，BD⊥直线I，CE 上直线l，垂
足分别为D、E．求证：
＝k．
（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件
做以下修改：在
ABC 中，
＝k，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
＝α，其中α 为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，
请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在
ABC 中，
沿
ABC 的边AB、AC 向外作矩形ABDE 和矩形ACFG，
＝
＝
，AH 是BC 边上的高，延长
HA 交EG 于点I．①求证：I 是EG 的中点．②直接写出线段BC 与AI 之间的数量关系： ．
一、单选题
1．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C 在同一条线上，点B 在点A，C 之间，点D，E 在直
线AC 同侧，
，
，
，连接DE，设
，
，
，
给出下面三个结论：①
；②
；③
；
巩固练习
压轴真题强化
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数
图象上的一点，连接
，
过点O 作
的垂线与反比例
的图象交于点B，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形
的边
上有一点
，连接
，把
绕点
逆
时针旋转
，得到
，连接
并延长与
的延长线交于点
．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在
中，
，
．正方形
的边长为
，它的顶点D，E，G 分别在
的边上，则
的长为 ．
来源微信公众号：明悉数学
三、解答题
5．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角
中，
，
，D 为直线
上任
意一点，连接
．将线段
绕点D 按顺时针方向旋转
得线段
，连接
．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D 在线段
上时，线段
与
的数量关系为________；
【类比探究】
（2）当点D 在线段
的延长线上时，先在图2 中补全图形，再探究线段
与
的数量关系并证
明；
【联系拓广】
（3）若
，
，请直接写出
的值．
6．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】
（1）如图1，已知
和
，
，
，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形
中，点E，F 分别在对角线
和边
上，
，
．用
等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形
中，点E 在对角线
上，点F 在边
的延长线上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
7．（2024·湖北·中考真题）在矩形
中，点E，F 分别在边
，
上，将矩形
沿
折叠，使点A 的对应点P 落在边
上，点B 的对应点为点G，
交
于点H．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，当P 为
的中点，
，
时，求
的长；
(3)如图3，连接
，当P，H 分别为
，
的中点时，探究
与
的数量关系，并说明理由．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3 世纪我国汉代的赵爽在
注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了
“一线三直角模型”．如图2，在
中，
，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，作
交
的延长线于点
．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段
与
的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接
并延长交
的延长线于点
，若
，
，求
的
面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接
交
于点
，则
______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线
上找点
，使
，请直接写出线段
的长
度．
