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培优专题 25 相似三角形的一线三等角模型
【专题讲解】
1.常见基本类型：
同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）
异侧型
2.模型构造
1. 图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.
2. 图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.
3. 图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.
如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）
特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。
“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度
3.构造步骤：
找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；
定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是
45°等倾斜直线；
构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊
角的Rt△；
例：
如右图，当∠ABP=45°时，
∵∠ABP在y轴上，
∴在y轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE，△PHG，
则在y轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，
∴△AEB∽△BGP
AE BE
= （常用）
BG GP
∴
4.模型特例——K型图（三垂定理）
性质：
1. 普通”K型图”可得左右两个△相似，即
△∽△【当AB=BC时，△≌△】
1 2 1 2
2. 中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，
即当BD=BE时，△∽△∽△
1 2 3
3. 以上性质反之亦成立，即也可用于证明中
点或角相等或线垂直。
应用：
1. 当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K型图”解题
2. 当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K型图”解题
3. 由“ K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算
4. “ K 型图”常和“ A 字图”或“ 8 字图”类的 平行相似 结合在一起求长度
“K型图”常见 构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，
再过直角两边顶 点分别作直线的垂线。 如图：【专题训练】
1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形 的顶点 分别落在 轴 轴上， ，
AB=2BC则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A
在反比例函y＝ （x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝ 上运动，则m的值为( )
A．-9 B．-12 C．-15 D．-18
3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形
EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（ ）
A．16 B．8 C．8 D．164．（2020·重庆八中九年级阶段练习）如图，点 是正 两边上的点，将 沿直线 翻折，
点 的对应点恰好落在边 上，当 时， 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·重庆八中九年级阶段练习）如图，点 是双曲线 在第一象限分支上的一个动点，连接
并延长交另一分支于点 ，以 为边作等边 ，点 在第二象限，随着点 的运动，点 的位置也
不断变化，但点 始终在双曲线 上运动，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北襄阳·一模）如图， 为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上， ，将
沿直线DE翻折得到 ，当点F落在边BC上，且 时， 的值为______．
7．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____．
8．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，
AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、
DF=y，则y关于x的函数关系式为________
9．（2019·浙江·九年级期末）已知 是等边三角形， ，点D，E，F点分别在边 上，
， 同时平分 和 ，则 的长为_____．
10．（2021··九年级专题练习）如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ， ， 为
上一点， ，连接 ，过点 作 于点 ，与 交于点 ，则 的长是______．11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C
重合），连接PB，过点P作 ，交射线DC于点E，已知 ， ．设AP的长为x．
(1) ___________；当 时， _________；
(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
(3)当 是等腰三角形时，请求出 的值．
12．（2022·上海·七年级专题练习）等边 ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角
的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转△．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断 EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如△图2，求 EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，△求PE的长．
13．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当 时，求证： ．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且 ，若 ，求CD的长．
14．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在
边AB上（点P不与点A、B重合）， ．易证 ．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合）， ．若
， ， ，求AP的长．
【拓展】如图③，在 中， ， ，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结
CP，作 ，PE与边BC交于点E，当 是等腰三角形时，直接写出AP的长．
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ，CD⊥AB于点D，点E
是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出CE的长．
16．（2021·浙江衢州·中考真题）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，
CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证： ．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若 ， ，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 ，
，求 的值（用含k的代数式表示）．
