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淘宝：学思创想
专题20. 相似三角形重要模型--母子型（共边共角模型）
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角
形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对
应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
4）共边模型
条件:如图1，在四边形
中，对角线
平分
，
，结论：
；
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例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在
中，
是
边上的点，
，
，
则
与
的周长比是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2022 春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 在AB 上，且
＝
．
（1）求证 △ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD 的长．
例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且∠APB＝120°，求
证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）在
中，
是斜边
上的高．
(1)证明：
；(2)若
，求
的长．
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例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在
ABC 中，∠ACB＝90°，CD AB
⊥
．
（1）图1 中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD 的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），
若点P 从C 点出发，以每秒1 个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1 个单位的速度沿线
段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P，
使以点B、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，
是等腰直角
斜边
的中线，以点
为顶点的
绕点
旋转，角的两边分别与
、
的延长线相交，交点分别为点
、
，
与
交于点
，
与
交于点
，且
．(1)如图1，若
，求证：
；(2)如图2，若
，求证：
；(3)如图2，过
作
于点
，若
，
，求
的长．
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例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在
中，
为
上一点，
．求证：
．
（2）如图2，在
中，
是
上一点，连接
，
．已知
，
，
．求证：
．
（3）如图3，四边形
内接于
，
、
相交于点
．已知
的半径为2，
，
，
，求四边形
的面积．
例8．（2022 春·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】
（1）如图1，在四边形
中，对角线
平分
，
，求证：
；
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【尝试应用】（2）如图2，四边形
为平行四边形，
在
边上，
，点
在
延长线
上，连结
，
，
，若
，
，
，求
的长；
【拓展提高】（3）如图3，在
中，
是
上一点，连结
，点
，
分别在
，
上，连结
，
，
，若
，
，
，
，
，求
的值．
课后专项训练
1.（2023 成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF⊥AC，垂足为E，AD
AB = 1
2
，
△CEF 的面积为S1，△AEB 的面积为S2，则S1
S2
的值等于（ ）
A．1
16
B．1
5
C．1
4
D．1
25
2．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在
中，
．分别以点
为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点
，作直线
分别交
，
于点
．以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，连结
．则下列说法错误的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，在
中，
，
于
点，下列关系中
不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在
中，
，
，以点
为圆心，以
为半径作弧交
于点
，再分别以
，
为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于点
，作射
线
交
于点
，连接
．以下结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·云南临沧·统考三模）如图，在
中，D 是
上的点，
，
，
，则
与
的面积比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在
中，以点
为圆心，任意长为半径作弧，分别交
，
于点
，
；分别以点
，
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于点
；作射线
交
于点
，若
，
，
的面积为，则
的面积为 ．
7．（2020·山西·统考中考真题）如图，在
中，
，
，
，
，垂足
为
，
为
的中点，
与
交于点
，则
的长为 ．
8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在
中，
，
，
，点
为
边上
一点，则点
与点
的最短距离为______．如图2，连接
，作
，使得
，
交
于
，则当
时，
的长为______．
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9．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，
是正五边形
的对角线，
与
相交于点
．
下列结论：①
平分
； ②
； ③四边形
是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
10．（2020·广东广州·统考中考真题）如图，正方形
中，
绕点
逆时针旋转到
，
，
分别交对角线
于点
，若
，则
的值为 ．
11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在
中，D 为BC 上一点，
，则
的
值为________．
12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD＝AB，
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∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED
ADC
∽△
；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB 的长．
13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在
与
中，点
、
分别在边
、
上，且
，若___________，则
．请从①
；②
；③
这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
14．（2023·湖南·统考中考真题）在
中，
是斜边
上的高．
(1)证明：
；(2)若
，求
的长．
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15．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为
的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴
趣并展开探究．
探究发现：如图1，在
中，
，
．
（1）操作发现：将
折叠，使边
落在边
上，点
的对应点是点
，折痕交
于点
，连接
，
，则
_______ ，设
，
，那么
______（用含
的式子表示）；
（2）进一步探究发现：
，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的
是黄金三角形．如图2，在菱形
中，
，
．求这个菱形较长对角线的长．
16．（2023·广东·九年级专题练习）定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足
，则称点P
为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是
的边AB 的中点，
，
，试判断点
D 是不是
的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在
中，
，
，
，若
点D 是
的“理想点”，求CD 的长．
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17．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形
为菱形，点E 在
的延长线上，
．
(1)求证：
；(2)当
时，求
的长．
18．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知，点D 在
的边
上，连接
． (1)如图1，若
．求证：
；(2)如图2，若
，
，
，
．求线段
的长；(3)如图3，M、N 分别是
上的两点，连接
交
于点P，当
，
时，若
，直接写出
的值______．
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19．（2022·湖南长沙·校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三
角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在
中，
为边
上的中线，
与
相似，那么称
为关于边
的“华益美三角”．
(1)如图2，在
中，
，求证：
为关于边
的“华益美三角”；
(2)如图3，已知
为关于边
的“华益美三角”，点
是
边
的中点，以
为直径的⊙
恰好经过点
．①求证：直线
与
相切；②若
的直径为
，求线段
的长；
(3)已知
为关于边
的“华益美三角”，
，
，求
的面积．
20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD，AB＝2
，BC＝10，∠B＝60°，E 是边BC 上的动点，以
AE 为一边作▱AEFG，且使得直线FG 经过点D．
（1）如图1，EF 与AD 相交于H，若H 是EF 的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD 的长；
（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E 在边BC 上移动时，始终保持∠AEF＝45°，
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①求y 关于x 的函数关系式，并求函数y 的取值范围；②连接ED，当△AED 是直角三角形时，求DF 的值．
21．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n 倍，则称三角形为“n 倍角三角形”．当
时，称为“1 倍角三角形”，显然等腰三角形是“1 倍角三角形”；当
时，称为“2 倍角三角形”，
小康通过探索后发现：“2 倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在
中，
所对的边分别为
，若
，则
．
下面是小康对“2 倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作
的平分线
，∴
．
设
，则
．
证法2：如图2，延长
到点
，使得
，连接
，……
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任务：(1)上述材料中的证法1 是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或
“相似”）．
(2)请补全证法2 剩余的部分．
22．（2022·安徽·校联考三模）在
中，
，
平分
．
（1）如图1，若
，
，求
的长．（2）如图2，过
分别作
交
于
，
于
．①求证：
；②求
的值．
23．（2023 春·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知
，点
，
在边
上，连接
，
，使
，且
．(1)请判定
的形状，并说明理由；(2)若
，
，求
的面积．
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24．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，
国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角
星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边
形
的边
的延长线相交于点F，
的平分线交
于点M．
(1)求证：
．(2)若
，求
的长．(3)求
的值．
25．（2022·江苏苏州·统考中考真题）（1）如图1，在△ABC 中，
，CD 平分
，交AB
于点D，
//
，交BC 于点E．
①若
，
，求BC 的长；②试探究
是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不
是，请说明理由．（2）如图2，
和
是△ABC 的2 个外角，
，CD 平分
，交AB 的延长线于点D，
//
，交CB 的延长线于点E．记△ACD 的面积为
，△CDE 的面
积为
，△BDE 的面积为
．若
，求
的值．
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