文档文本内容
专题18 半角模型（相似三角形模型）
模型解读..................................................................................................................................1
常见类型讲解..........................................................................................................................1
1、正方形中的半角相似模型.........................................................................................2
2、特殊三角形中的半角相似模型.................................................................................3
（1）含45°半角模型................................................................................................3
（2）含60°半角模型................................................................................................3
真题演练..................................................................................................................................3
巩固练习..................................................................................................................................8
压轴真题强化.........................................................................................................................11
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等。通过翻折
或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件变更载
体，而构建模型，可把握问题的本质。
1、正方形中的半角相似模型
如图，在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交BC、CD 边于M、N 两点，且∠EAF＝45°
专题目录
模型解读
常见类型讲解
结论：如图，△AMN∽△AFE 且
．（思路提示：∠ANM=∠AEF ，
∠AMN=∠AFE）；
β
α
β
α
45°
A
B
C
D
E
F
N
M
结论：如图，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；
结论：如图，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且
；
M
N
F
E
D
C
B
A
45°
45°
A
B
C
D
E
F
N
M
结论：如图，△BME∽△AMN∽△DFN.
2、特殊三角形中的半角相似模型
（1）含45°半角模型
如图，已知∠BAC＝90°，
；
结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②
；③
（
）
（2）含60°半角模型
如图，已知∠BAC＝120°，
；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②
；③
（
）
（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有
角
的三角尺放在正方形
中，使
角的顶点始终与正方形的顶点
重合，绕点
旋转三角尺时，
角的两边
，
始终与正方形的边
，
所在直线分别相交于点
，
，连接
，可
得
．
【探究一】如图②，把
绕点C 逆时针旋转
得到
，同时得到点
在直线
上．求
证：
；【探究二】在图②中，连接
，分别交
，
于点
，
．求证：
；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线
与三角尺
角两边
，
分别交于点
，
．连接
交
于点
，求
的值．
【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]
【详解】[探究一]
∵把
绕点C 逆时针旋转
得到
，同时得到点
在直线
上，
∴
，
∴
，
∴
，
在
与
中
∴
∴
[探究二]证明：如图所示，
真题演练
∵四边形
是正方形，
∴
，
又
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
又∵公共角
，
∴
；
[探究三] 证明：∵
是正方形的对角线，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，
，
如图所示，将
绕点
顺时针旋转
得到
，则点
在直线
上．
∴
，
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
即
．
（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在菱形
中，
是锐角，
是
边上的动点，将射线
绕点
按逆时针方向旋转，交直线
于点
．
（1）当
，
时，
①求证：
；
②连结
，
，若
，求
的值；
（2）当
时，延长
交射线
于点
，延长
交射线
于点
，连结
，
，若
，
，则当
为何值时，
是等腰三角形.
【答案】（1）①见解析；②
；（2）当
或2 或
时，
是等腰三角形．
【详解】（1）①证明：在菱形
中，
，
，
，
，
∴
（ASA），
∴
．
②解：如图1，连结
．
由①知，
，
．
在菱形
中，
，
∴
，
设
，则
．
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）解：在菱形
中，
，
，
，
同理，
，
∴
．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当
时，
，
，
，
，
．
②如图3，当
时，
，
，
，
∴
．
③如图4，当
时，
，
，
，
．
综上所述，当
或2 或
时，
是等腰三角形．
综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能
力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我
们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB、AD 都落在对角线AC 上，展开得折痕AE、AF，连接
EF，如图1．
（1）
_________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1 中的
绕点A 旋转，使它的两边分别交边BC、CD 于点P、Q，连接PQ，如图
2．
（2）线段BP、PQ、DQ 之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2 中的
的边AP、AQ 分别交对角线BD 于点M、点N．如图
3，则
________；
剪一剪：将图3 中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4．
（4）求证：
．
【答案】（1）45，
，
；（2）
；（3）
；（4）见解析
巩固练习
【详解】（1）由翻折的性质可知：
为正方形
，
为等腰三角形
（2）如图：将
顺时针旋转
，
由旋转的性质可得：
，
由（1）中结论可得
为正方形，
在
和
中
（3）
为正方形
对角线
，
，
（4）如图：将
顺时针旋转
，连接
，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得：
，
在
中有
一、单选题
1．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4 的正方形
中，点
是
上一点，点
是
延
长线上一点，连接
，
，
平分
．交
于点
．若
，则
的长度为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
压轴真题强化
【答案】D
在
中，由勾股定理得
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，
解得
，
∴
，
故选：D．
2．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形
中，点
，
分别在
，
上，连接
，
，
，
．若
，则
一定等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】将
绕点
逆时针旋转
至
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
由旋转性质可知：
，
，
，
∴
，
∴点
三点共线，
∵
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
在
和
中
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故选：
．
二、解答题
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往
往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰
中，
，点M 是
上的一点，
，
，将
绕点A 旋转后得到
，连接
，则
___________
．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形
中，
于点B，
于点D，点P、Q 分别是
上的点，且
，求
的周长．
（结果用a 表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形
，
，
求四边形
的面积．
【答案】（1）
；（2）2a；（3）
【详解】（1）∵
，
∴∠B=∠ACB=45°，
将
绕点A 旋转后得到
，此时AB 与AC 重合，由旋转可得：
△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，
∴∠MCN=∠ACB+∠ACN =90°，∠MAN=∠ABC=90°，
∴
∴
；
（2）∵
，
，
∴将
绕点C 旋转后得到
，此时BC 与DC 重合，
∴△BCP≌△DCM，
∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，
∵
，
∴
，
∴
，
∵PC=CM，QC=QC,
∴△QCP≌△QCM，
∴PQ=QM，
∴
的周长=AQ+AP+PQ= AQ+AP+QM= AQ+AP+DQ+DM= AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，
∵
，
∴
的周长=2a；
（3）如图，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；
∴△BCD≌△B′AD
∴S 四边形ABCD=S 四边形BDB′A，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAB′=135°
∴∠B′AE=45°，
∵
∴B′E=AE=
，
∴BE=AB+AE=2
+
=
，
∴
∵等边△DBB′，∴BB′上的高=
，
∴
∴
，
∴S 四边形ABCD=S 四边形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=
；
4．（2021·湖南娄底·中考真题）如图①，
是等腰
的斜边
上的两动点，
且
．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）如图②，作
，垂足为H，设
，不妨设
，请利用
（2）的结论证明：当
时，
成立．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【详解】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE 和△ACD 中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF 和△ADF 中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF 中，根据勾股定理，
，
即
；
（3）证明：将△ABE 逆时针绕点A 旋转90°到△ACD，连结FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵
，
∴AC=
，
在Rt△ABC 中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=
，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF 和△ADF 中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF 中，
即
，
∴
，
整理得
，
即
，
∴
，
∴
，
∴
．
5．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在
中，
，
，点D、E 在边
上，且
，
，
，求
的长．
解：如图2，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
．
由旋转的特征得
，
，
，
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，即
．
∴
．
在
和
中，
，
，
，
∴___①___．
∴
．
又∵
，
∴在
中，___②___．
∵
，
，
∴
___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，
就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形
中，点E、F 分别在边
上，满足
的周长等于正方形
的
周长的一半，连结
，分别与对角线
交于M、N 两点．探究
的数量关系并
证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形
中，点E、F 分别在边
上，且
．探究
的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在
中，
，
，
，点D、E 在边
上，且
．设
，
，求y 与x 的函数关系式．
【答案】【问题解决】①
；②
；③5；【知识迁移】
，见解析；【拓展应用】
；【问题再探】
【详解】【问题解决】解：如图2，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连接
．
由旋转的特征得
，
，
，
．
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，即
．
∴
．
在
和
中，
，
，
，
∴①
．
∴
．
又∵
，
∴在
中，②
．
∵
，
，
∴
③．
【知识迁移】
．
证明：如图，将
绕点
逆时针旋转
，得到
．
过点
作
交边
于点
，连接
．
由旋转的特征得
．
由题意得
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
又∵
为正方形
的对角线，
∴
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
．
∴
．
在
中，
，
∴
．
【拓展应用】
．
证明：如图所示，设直线
交
延长线于
点，交
延长线于
点，
将
绕着点
顺时针旋转
，得到
，连接
．
则
．
则
，
，
，
，
在
和
中
，
，
∴
，
过点H 作
交
于点O，过点H 作
交
于点M，则四边形
为矩形．
∴
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
∴
，
即
，
又∴
，
∴
，
即
，
【问题再探】如图，将
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
．过点
作
，
垂足为点
，过点
作
，垂足为
．过点
作
，过点
作
交
于
点
、
交于点
．
由旋转的特征得
．
，
，
，即
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，即
，
，
同理可得
．
，
，
，
又∵
，
∴四边形
为矩形．
，
，
在
中，
．
，
解得
．
