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专题19 对角互补模型（相似三角形模型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、对角互补相似1.............................................................................................................1
2、对角互补相似2.............................................................................................................2
3、对角互补相似3.............................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................8
压轴真题强化...........................................................................................................................11
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两
边做垂线，从而证明两个三角形相似。
1、对角互补相似1
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝∠EOF＝90°，点O 是AB 的中点，
专题目录
模型解读
常见类型讲解
辅助线：过点O 作OD⊥AC，垂足为D，过点O 作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；②
（思路提示：
）.
2、对角互补相似2
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝
.
辅助线：作法1：如图，过点C 作CF⊥OA，垂足为F，过点C 作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·
.（思路提示：
，CF=OG，在Rt△COG 中，
）
辅助线：作法2：如图，过点C 作CF⊥OC，交OB 于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·
.（思路提示：
，在Rt△OCF 中，
）
3、对角互补相似3
如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°。
辅助线：过点D 作DE⊥BA，垂足为E，过点D 作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD 四点共圆。
（2021·黔东南州·中考真题）（对角互补型四点共圆）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD.
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD=120
o,∠ABC=∠ADC=90
o.
求证：AD+AB=AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD=120
o，∠ABC+∠ADC=180
o.
①猜想AB、AD、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD 的面积。
真题演练
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②
【详解】（1）证明：∵AC 平分∠BAD，∠BAD＝
，
∴∠DAC＝∠BAC＝
，
∵∠ADC＝∠ABC＝
，
∴∠ACD＝∠ACB＝
，
∴AD＝
．
∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，
理由：过点C 分别作CE⊥AD 于E，CF⊥AB 于F．
，
∵AC 平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝
，∠EDC＋∠ADC＝
，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝
，
∴△CFB
△CED
，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE 中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE 中，∵AC 平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝
，
又∵AC＝10，
∴CE＝A
，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝
．
（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在Rt
ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O 在线段AB 上（点
O 不与点A，B 重合），且OB＝kOA，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM，将射线OM 绕点O
逆时针旋转90°，交射线CB 于点N．（1）如图1，当k＝1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系，并
说明理由；
（2）如图2，当k＞1 时，判断线段OM 与ON 的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；（3）点
P 在射线BC 上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且
＜
，请直接写出
的值（用含
k 的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，
作OD⊥AM 于D，OE⊥CB 于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD 中，
，
同理：OE＝
OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM 和Rt△EON 中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，
作OD⊥AM 于D，OE⊥BC 于E，
由（1）知：OD＝
OA，OE＝
OB，
∴
，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴
，
∴ON＝k•OM．
（3）如图3，
设AC＝BC＝a，
∴AB＝
a，
∵OB＝k•OA，
∴OB＝
•
a，OA＝
•
a，
∴OE＝
OB＝
a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°
15°
﹣
＝30°，
∴EN＝
＝
OE＝
•
a，
∵CE＝OD＝
OA＝
a，
∴NC＝CE＋EN＝
a＋
•
a，
由（2）知：
，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵
，
∴
，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝
a，
∴PN＝PE＋EN＝
a＋
•
a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝
，
由AD＋DM＝AC＋CM 得，
（
＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝
（AC＋CM）＜
（AC＋
AC）＝
AC，
∴k＞1
∴
，
∴
．
（1）特例感知：如图1，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC 边上中点D，连接
AD，点E 为AB 边上一点，连接DE，作DF⊥DE 交AC 于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC 边上中点D，连接
AD，点E 为BA 延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE 交AC 延长线于点F，求AF 的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在
ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC 边上中点D，连接
AD，点E 为射线BA 上一点（不与点A、点B 重合），连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°
交射线CA 于点F，当AE＝4AF 时，求AF 的长．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）
或
或
【详解】（1）证明：如图1 中，
巩固练习
∵△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD 是高，
∴BD＝CD＝AD
BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD
∠BAC＝45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在△BDE 和△ADF 中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；
（2）解：如图2 中，
由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，
在△BDE 和△ADF 中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝AB+AE＝4，
∴AF＝4；
（3）解：如图3 中，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
∠BAC＝60°，
∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2
，
∵AE＝4AF，
∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4
4
﹣m，CF＝4﹣m，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，
∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，
∴△EBD∽△DCF，
∴
，
∴
，整理得，m2
5
﹣m+1＝0，
解得m
或
（舍弃），
经检验，m
是分式方程的解．
当点F 在CA 的延长线上时，CF＝4+m，
由△EBD∽△DCF，可得
，
∴
，
解得，m
或
（舍弃），
经检验，m
是分式方程的解．
当点E 在射线BA 上时，BE＝4+4m，
∵△EBD∽△DCF，
∴
，
∴
解得，m
或
（舍弃），
经检验，m
是分式方程的解．
综上所述，满足条件的AF 的值为
或
或
．
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形
内接于
，
，
，
，则
的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
压轴真题强化
【详解】解：延长
至点E，使
，连接
，连接
并延长交
于点F，连接
，
∵四边形
内接于
，
∴
∴
∵
∴
，
∴
是
的直径，
∴
∴
是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
，
,
∵
∴
又∵
∴
∴
是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
二、解答题
2．（2019·湖北咸宁·中考真题）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
如图1，点
在
上，
的平分线交
于点
，连接
求证：四边形
是等补四边形；
探究：
如图2，在等补四边形
中
连接
是否平分
请说明理由．
运用：
如图3，在等补四边形
中，
，其外角
的平分线交
的延长线于点
求
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
平分
，理由见解析；（3）
.
【详解】
证明：
四边形
为圆内接四边形，
四边形
是等补四边形；
平分
，理由如下：
如图2，过点
分别作
于点
，
垂直
的延长线于点
，则
，
四边形
是等补四边形，
又
是
的平分线，即
平分
如图3，连接
，
四边形
是等补四边形，
又
，
平分
由
知，
平分
又
即
3．（2022·湖北武汉·中考真题）已知
是
的角平分线，点E，F 分别在边
，
上，
，
，
与
的面积之和为S．
(1)填空：当
，
，
时，
①如图1，若
，
，则
_____________，
_____________；
②如图2，若
，
，则
_____________，
_____________；
(2)如图3，当
时，探究S 与m、n 的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当
，
，
，
时，请直接写出S 的大小．
【答案】(1)①
，25；②4；
(2)S=
(3)S=
【详解】（1）解：①∵
，
，
，
是
的角平分线，
∴四边形DECF 为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF 为正方形，
∵
，
∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∵CD 平分∠ACB，
∴CD⊥AB，且AD=BD=m,
∵
，
∴BD=n=
，
∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5，
∴S=
；
故答案为
，25；
②∵
，
，
，
是
的角平分线，
∴四边形DECF 为矩形，DE=DF，
∴四边形DECF 为正方形，
∵
，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∴DE=
，AE=ADcos30°=6，DF=DE=
，
∵∠BDF=90°-∠B=30°，
∴BF=DFtan30°=2，
∴BD=DF÷sin60°=4，
∴BD=n=4，
∴S=
，
故答案为：4；
；
（2）解：过点D 作DH⊥AC 于H，DG⊥BC 于G，在HC 上截取HI=BG，连接DI，
∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，
∴四边形DGCH 为矩形，
∵
是
的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DG=DH，
∴四边形DGCH 为正方形，
∴∠GDH=90°，
∵
，
∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，
在△DFG 和△DEH 中，
，
∴△DFG≌△DEH（ASA）
∴FG=EH，
在△DBG 和△DIH 中，
，
∴△DBG≌△DIH（SAS），
∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，
∴S△ADI=
，
∴S=
；
（3）过点D 作DP⊥AC 于P，DQ⊥BC 于Q，在PC 上截取PR=QB，连接DR，过点A 作AS⊥DR 于
S，
∵
是
的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°
∴∠QDP=120°，
∵
，
∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，
∴∠FDQ=∠EDP，
在△DFQ 和△DEP 中，
，
∴△DFQ≌△DEP（ASA）
∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，
在△DBQ 和△DRP 中，
，
∴△DBQ≌△DRP（SAS），
∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，
∴△DBF≌△DRE，
∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=
．
4．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
在
中，
，D 是
边上一点，且
（n 为正整数），E 是
边上
的动点，过点D 作
的垂线交直线
于点F．
【初步感知】
(1)如图1，当
时，兴趣小组探究得出结论：
，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当
，且点F 在线段
上时，试探究线段
之间的数量关系，请写出
结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段
之间数量关系的一般结论（直接写出结论，
不必证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接
，设
的中点为M．若
，求点E 从点A 运动到点C 的过程中，点M
运动的路径长（用含n 的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①
，证明过程略；②当点F 在射线
上时，
，当点F
在
延长线上时，
(3)
【详解】（1）证明：如图，连接
，
当
时，
，即
，
，
，
，
,
，
，即
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
；
（2）①
证明：如图，过
的中点
作
的平行线，交
于点
，交
于点
，
当
时，
，即
，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，且
，
，
根据（1）中的结论可得
，
；
故线段
之间的数量关系为
；
②解：当点F 在射线
上时，
如图，在
上取一点
使得
，过
作
的平行线，交
于点
，交
于点
，
同①，可得
，
，
，
，
，
同①可得
，
，
即线段
之间数量关系为
；
当点F 在
延长线上时，
如图，在
上取一点
使得
，过
作
的平行线，交
于点
，交
于点
，连接
同（1）中原理，可证明
，
可得
，
，
，
，
，
同①可得
，
即线段
之间数量关系为
,
综上所述，当点F 在射线
上时，
；当点F 在
延长线上时，
；
（3）解：如图，当
与
重合时，取
的中点
，当
与
重合时，取
的中点
，可得
的轨迹长度即为
的长度，
如图，以点
为原点，
为
轴，
为
轴建立平面直角坐标系，过点
作
的垂线段，交
于点
，过点
作
的垂线段，交
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
是
的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论
，
，
，
，
，
，
．
