文档文本内容
淘宝：学思创想
专题17 全等三角形模型之奔驰模型
对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我
们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模
型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的
这主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）..................................................................................................2
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................................................................4
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）........................................................................................6
....................................................................................................................................................9
淘宝：学思创想
模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）
此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特
征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。
等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足
（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式：
（选填题非常适用）
证明：以AP 为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC 和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC ，∴∠BAP=∠P’AC ，∴
（SAS ），∴BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵
，∴
，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。
注意：多线段共端点常考旋转。
淘宝：学思创想
例1．（23-24 八年级下·广东深圳·期中）如图，点P 是等边三角形
内的一点，且
，
，
，则
的度数为
．
例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点
是等边三角形
内一点，
，
，
，则
与
的面积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3.（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，
，
都是等边三角形，将
绕点C 旋转，使得点
A，D，E 在同一直线上，连接
．若
，
，则
的长是 ．
例4．（2024·安徽·一模）如图，P 是等边三角形
内的一点，且
，
，
，以
为边
在
外作
，连接
，则以下结论中不正确的是（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．
C．
D．
例5．（24-25 九年级上·广东广州·开学考试）如图，
是正
内一点，
，
，
，将
线段BO 以点
为旋转中心逆时针旋转
得到线段
，下列结论，①
可以由
绕点
逆时
针旋转
得到；②点
与
的距离为5；③
；④四边形
面积
；⑤
，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤
B．①③④
C．①③④⑤
D．①③⑤
模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC 内有一点P，满足
，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
淘宝：学思创想
证明：以AP 为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。
∵三角形ABC 和三角形APP’都为等腰直角三角形；
∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，
，∠AP’P=45°；
∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC ，∴∠PAB=∠P’AC ，∴
（SAS ），∴BP=CP’ ，
∠APB=∠AP’C；
∵
，∴
，∴∠PP’C=90°，
∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。
例1．（23-24 九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角
，
点P 在
内，
，
，
则PB 的长为（ ）
A．
B．
C．5
D．5
例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形
外取一点E，连接
，
，
，过点
作
的垂线交
于点P，若
，
则下列结论：①
；②
；
③点C 到直线
的距离为
；④
其中结论正确的个数有（ ）
淘宝：学思创想
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
例3．（2023 年湖北省武汉市中考一模）如图，
中，
，
，
．点P 为
内一点，且满足
．当
的长度最小时，则
的面积是 ．
例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形
内有一点P，
，
，
，求
的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是
将
绕点B 逆时针旋转
，得到了
（如图2），然后连结P P
'．
【解决问题】请你通过计算求出图2 中
的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形
内有一点P，且
，
，
．
（1）
的度数为 ；（2）直接写出正六边形
的边长为 ．
淘宝：学思创想
模型3.奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）
模型1）条件：如图1，点P 在等边三角形ABC 外，若
，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P 在等腰直角三角形ABC 外，若
，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非
常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
模型1）证明：以AP 为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。
∵三角形ABC 和三角形ADP 都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴
（SAS），∴BP=CD；
∵
，∴
，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。
模型2）证明：以AP 为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。
∵三角形ABC 和三角形APD 都为等腰直角三角形；
淘宝：学思创想
∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，
，∠APD=45°；
∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴
（SAS），∴BP=CD；
∵
，∴
，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。
例1．（2024 九年级上·重庆·专题练习）如图，
是等边三角形
外一点，
，
，
，求
的度数．
例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P 为等边三角形
外一点，连接
，
，若
，
，
，则
的长是 ．
例3．（23-24 八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD 中，AD=5，CD=3，
∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图
1，在四边形
中，
，
，
，
，
，求CD的长．”经过小
组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将
绕点B 逆时针旋转60°到
，连接DE．则
淘宝：学思创想
是等边三角形，所以
，导角可得
，所以
．
（1）请补全图形；
【探究应用】（2）如图2，在
中，
，
．D 为
外一点，且
，
，求
的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在
中，
，
，
于D，M 为AD上一点，连
接BM，N 为BM上一点，若
，
，
，连接
，请直接写出线段
的长______．
淘宝：学思创想
1．（2024 九年级·重庆·期中）如图，在等边
内有一点
，使得
，那
么以
，
，
的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为 ．
2．（23-24 九年级下·吉林·阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条
件相对集中，以达到解决问题的目的．
【发现问题】如图①，在等边三角形
内部有一点
，
，
，
，求
的度数．
解：如图①，将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
，连接
，
．
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，即
．请你补充完整解答过程．
【应用问题】如图②，在正方形
内有一点
，若
，
，
，则
．
【拓展问题】如图③，在正方形
中，对角线
，
相交于点
，在直线
上方（包括直线
）有一点
，
，
，连接
，则线段
的最大值为 ．
淘宝：学思创想
3．（23-24 九年级上·山西吕梁·期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形
ABC 内有一点P，且
，
，
，求
的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造
，连接
，得到两个特殊的三角形，
从而将问题解决．
(1)请你计算图1 中
的度数；(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形
内有一点
，且
，
，
，求
的度数．
4．（23-24 九年级上·重庆沙坪坝·期末）（1）已知如图1，在
中，
，
，点
在
内部，点
在
外部，满足
，且
．求证：
．
（2）已知如图2，在等边
内有一点
，满足
，
，
，求
的度数．
淘宝：学思创想
5．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形
是正方形，点
为平面内一点，
(1)若点
在正方形内，如图1，
，求
的度数；
(2)若点
在正方形外，如果
，如图2，且
，求
的长．（用
表示）
6．（23-24 九年级上·浙江绍兴·阶段练习）阅读材料题：浙教版九上作业本①第18 页有这样一个题目：已
知，如图一，P 是正方形ABDC 内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB 的长.
小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC 绕点A 顺时
针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB
的长为 .
【方法迁移】：已知：如图二，△ABC 为正三角形，P 为△ABC 内部一点，若PC=1，PA=2，PB=
,求
∠APB 的大小.
【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC 中∠ACB=120°，D、E 是底边AB 上两点且∠DCE=60°，
若AD=2，BE=3，求DE 的长.
淘宝：学思创想
7．（2024·河南·校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图，点
是
等边三角形
内一点，
，求
的度数．为利用已知条件，不妨把
绕点
顺时针旋转60°得
，连接
，则
的长为_______；在
中，易证
，且
的度数为_____，综上可得
的度数为__ ；（2）类比迁移:如图，点
是等腰
内的一
点，
．求
的度数；（3）拓展应用:如图，在四边形
中，
，请直接写出BD的长．
6．（23-24 九年级上·山东德州·期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共
端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的．
淘宝：学思创想
（1）如图1，等腰直角三角形ABC 内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP
三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A 逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝
AP，△CPP'是 三角形，AP，BP，CP 三条线段的数量关系是 ．
（2）如图2，等边三角形ABC 内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究
AP、BP、CP 三条线段间的数量关系．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点P 在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝
135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB 的长．
7．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边
内部有一点P，
，
，
，求
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，连接
，则
为等边三角形．
，又
，
，
，
为 三角形，
的度数为 ．
【类比探究】如图2，在
中，
，
，其内部有一点P，若
，
，
，求
的度数．
【联想拓展】如图3，在
中，
，
，其内部有一点P，若
，
，
，求
的度数．
淘宝：学思创想
8．（23-24 九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边
内有一点
，且
，
，
，
若把
绕着点
逆时针旋转
得到
，连接
，
．
(1)求
的度数；(2)求
的长．(3)求点
划过的路径长；
(4)当
时，如果
是由
旋转所得，求
扫过的区域的面积．
9．（23-24 九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰
中，
，点
是
内一点，连
接
，且
，设
.
（1）如图1，若
，将
绕点
顺时针旋转
至
，连结
，易证
为等边三
角形，则
，
；（2）如图2，若
，则
，
；
（3）如图3，试猜想
和
之间的数量关系，并给予证明.
淘宝：学思创想
10．（23-24 九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】：如图1，在等边
中，点D 是等边
内一
点，连结
，
，将
绕点A 逆时针旋转
得到
，连结
，观察发现：
与
的数
量关系为 ，
度；
【尝试应用】：如图2，在等腰
中，
，
，点D 是
内一点，连结
，
，
，
，
，
，求
面积．
【拓展创新】：如图3，在等腰
中，
，
，点D 为平面内一点，且
，
，则
的值为 ．
11．（23-24 九年级·辽宁鞍山·期中）问题情境，利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好
，
，
，要求同学们利用圆规旋转某一条线段，探究图形中的结论．
问题发现，某小组将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，旋转角设为
，连接
、
，如图1
所示．如图2，小李同学发现，当点
落在边
上时，
；
如图3，小王同学发现，当
每改变一个度数时，
的长也随之改变．……
问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1，请你解答．
如图1，在
中，
，
，将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，设转角
淘宝：学思创想
设为
，连接
、
．（1）如图2，当点
落在边
上时，求证：
；（2）如图
3，当
时，若
，求
的长．（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等腰
三角形的顶角改为
，尝试画图，并提出问题请你解答．如图4，
中，
，
，
将线段
绕着点
逆时针旋转得到线段
，旋转角
，连接
、
，求
的度数．
12．（2024·吉林长春·一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集
中，以达到解决问题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形
内部有一点P，
，
，
，求
的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段
，连接
、
，则
，然后利用
和
形状的特殊性求出
的度数，就可以解决这道问题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段
绕点B 逆时针旋转
得到线段．
，连接
、
，
∵
，
，∴
是等边三角形，∴
，
．
∵
是等边三角形，∴
，
，
∴
，即
．
请你补全余下的解答过程．（2）【类比迁移】如图②，在正方形
内有一点P，且
，
，
，则
______度．（3）【拓展延伸】如图③，在正方形
中，对角线
、
交于点O，在直线
上方有一点P，
，
，连接
，则线段
的最大值为______．
淘宝：学思创想
13．（23-24 九年级上·吉林长春·阶段练习）【几何感知】如图（1），在
中，点D 为BC 边上一点，
连接AD，点P 为线段AD 上一点，连接PB、PC 得到有公共边的两个
和
，求证：
．
【类比迁移】如图（2），在
中，点D、E、F 分别为线段BC、AC、AB 上的点，线段AD、BE、
CF 交于点P，若
，
，则
．
【拓展迁移】如图（3），在
中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P 为
内部一点，且
，则线段AP＝ ．
14．（23-24 九年级上·山东德州·期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问
题：如图1，在等边△ABC 中，点P 在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB 的长．经过同学们
的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到
△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC 三边之间的数量关系．即能求PB＝ 请参考他们的想法，完成下
面问题：
淘宝：学思创想
【学以致用】如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，P 为△ABC 内一点，PA＝5，PC＝2
，
∠BPC＝135°，求PB 的长；
【能力拓展】如图3，等腰三角形ABC 中，∠ACB＝120°，D、E 是底边AB 上的两点且∠DCE＝60°，若
AD＝2，BE＝3，求DE 的长．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC 中，BC＝4，∠BAC＝45°，则
AB 的最大值是 ．（2）如图②，已知在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D 为△ABC 内一点，且
AD＝2
，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB 的度数．
问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝
AC．∠BAC＝120°，点A、B、C 分别是三个任务点，点P 是△ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP＝
30 米，打卡点P 对任务点A、B 的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P 的距离与
B、P 的距离和尽可能大，试求出AP+BP 的最大值．
16．（2024 山东校考二模）【操作发现】如图①，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，
△ABC 的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°，点B 的对
应点为B′，点C 的对应点为C′，连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B= ．
淘宝：学思创想
【问题解决】如图②，在等边三角形ABC 中，AC=
，点P 在△ABC 内，且∠APC=90°，
∠BPC=120°，求△APC 的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：
想法一：将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC 之间数量关系；
想法二：将△APB 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC 之间的数量
关系；
请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）
【灵活运用】如图③，在四边形ABCD 中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，
AD=kAB（k 为常数），直接写出BD 的长（用含k 的式子表示）．
17．（23-24 辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1，
为等边三角形内一点，满足
，
，
，试求
的大小.李明同学的思路是：将
绕点
逆时针旋转60°，点
的对
应点为
，画出旋转后的图形，再连接
.将求
分成求
和
的和即可.请你按照李明同
学给出的旋转的思路，求
的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形
中，
，
分别为
，
边上的点，满足
，若
，
，求
的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形
，
，
，
，求
的
长.
淘宝：学思创想
18．（23-24 九年级上·重庆江北·期末）【问题背景】如图1，P 是等边三角形
外一点，
，
则
．小明为了证明这个结论，将
绕点A 逆时针旋转
，请根据此思路完成其证明；
【迁移应用】如图2，在等腰直角三角形
中，
，
，点P 在
外部，且
，若
的面积为5.5，求
；
【拓展创新】如图3，在四边形
中，
，点E 在四边形
内部，且
，
，
，
，
，直接写出
的长．
